Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f( ) 3 f 3 4 3 b) g( ) ln( ) Vi bruker kjerneregelen på ln og setter f u ln Vi får da f u u u g u og u c) h 3 Vi bruker kjerneregelen på 3 Vi får da guu 3u 4 h og setter 3 g u u og u Eksamen REA30 Matematikk R Våren 05 Side av 7
Oppgave (5 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved P 3 ( ) 5 6 a) Vis at ( ) er en faktor i P ( ). 3 Vi setter inn i polynomet og får P 56 0 Det betyr at er en faktor i P. b) Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere P ( ) med lineære faktorer. 3 3 4 5 4 8 5 6: 4 3 3 6 3 6 0 Det betyr at P 4 3 Vi kan nå faktorisere andregradspolynomet ved hjelp nullpunktmetoden. 4 3 0 4 3 4 4 4 3 Det betyr at P 3 4 3 3. Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir 3 56 c) Bestem lim Både teller og nevner blir går mot 0 når. Telleren er lik P. 3 Vi faktoriser teller og får lim lim 3 35 5 Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side av 7
Oppgave 3 (3 poeng) Skriv så enkelt som mulig 3 4 3 Fellesnevner er 3 4 4 4 4 4 3 3 4 4 4 8 4 4 4 Oppgave 4 ( poeng) En sirkel er gitt ved likningen y y 4 0 0 Bestem sentrum S og radius r i sirkelen. Likningen for en sirkel er gitt ved y y r der, er radius. 0 0 y er sentrum i sirkelen og r 0 0 Vi lager fullstendige kvadrater og finner sentrum og radius i sirkelen. y 4y 0 y 5 Sirkel har sentrum i, og radius lik 5 Oppgave 5 (5 poeng) Vektoren v 3, 4 er gitt. a) Bestem en vektor u som er parallell med v og motsatt rettet. u 3, 4 b) Bestem en vektor w 0 som står vinkelrett på v a, b b, a er a, b b, a ab ab 0 Vi har at dersom Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 3 av 7
Det betyr at for eksempel w 4, 3 vil stå vinkelrett på v. c) Bestem konstantene k og t slik at v ku t w 3, 4 k3, 4 t4, 3 3 3k 4t 4 4k 3t 4 4 k t 4 4 t 3t 3 3 4 6 k t 4 t 4 3t 3 3 4 5 k t t 0 3 3 k t 0 d) Bestem en vektor som har samme retning som v og som har lengde lik 7. Vi har s3, 4 7 s 3,4 og 7 s s 3 4 7 5s 7 5s 7 3 s, 4s 7 s 5 Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 4 av 7
Oppgave 6 (4 poeng) Binomialkoeffisientene er gitt ved n n! r ( n r)! r! n a) Bestem. Vis at n.!! 34567890 66!! 0!! 34567890 n n! 3 n n n n n!! 3 n n b) Bruk det du fant i oppgave a) til å løse likningen 6 6 66 Oppgave 7 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved 36 36 0 36 0 6 0 6 6 f( ) 3 e,, 4 a) Bruk f ( ) til å avgjøre hvor f ( ) vokser og hvor f ( ) avtar. Bestem -verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter. 3 3 3 f e e e 3e 3e Vi har at faktoren 3. e vil være positiv for alle verdier av og at f 0 for Videre vil faktoren 0 for, 4 og 0 for,. Det betyr at grafen til f er stiger for, og synker for, 4. Vi har altså et toppunkt for. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 5 av 7
b) Bruk f ( ) til å bestemme -verdien til eventuelle vendepunkter på grafen til f. 3e 3e f 3e 3e 3e 3e Vi har at faktoren 3e. vil være negativ for alle verdier av og at f 0 for Videre vil faktoren 0 for, 4 og 0 for,. Det betyr at grafen til f vender sin hule side ned for,, 4. Vi har altså et vendepunkt for. Kommentar. verdien til vendepunktet kalles ofte infleksjonspunkt. og sin hule side opp for c) Lag en skisse av grafen til f. Nedenfor har vi tegnet grafen til f i GeoGebra. Du må jo tegne skissen på ark. I skissen må du ta med punktene som er funnet i a) og b) samt f 0 0. Skissen må tegnes i intervallet, 4 Du bør kunne finne tilnærmingsverdier for f 6 6 f, e,7 6 6 6 f 0,8 e,7 7,4 f 3e 3,7 8, 4 0, 4 4 e,7 55. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 6 av 7
Oppgave 8 (6 poeng) En vilkårlig ABC er gitt. En sirkel har radius R og sentrum i S og omskriver ABC. normal fra S til siden AC har fotpunkt D. Se skissen nedenfor. En A R B C a) Forklar at B DSA. Vi har at SC SA R. Det gir videre at ASC er likebeint og ASD CSD CSA. Setningen om sentralvinkel og periferivinkel gir at B CSA. DSA Vi setter AC b. b b) Vis at R sinb Vi har AD AC b og kan sette b b Det betyr at sinb R R sinb b sin sin b ASD CSD R R Vi setter BC a og AB c. c) Bruk tilsvarende resonnement som i oppgave b) til å vise at a b c R sina sinb sinc Vi bruker sammen begrunnelse som i oppgave a) og b). Vi har da at Vi lar en normal fra S treffe sidekanten BC i fotpunktet E. A BSA. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 7 av 7
Da er BE CE a og vi kan sette a a Det betyr at sina R R sin A a sin sin a BSE CSE R R Vi lar en normal fra S treffe sidekanten AB i fotpunktet F. c Da er AF BF c og vi kan sette sin sin c ASF BSF R R c c Det betyr at sinc R R sinc Oppgave 9 ( poeng) Løs likningen 9 3 0 9 3 0 3 3 0 3 3 0 4 3 7 3 3 4 3 3 ln3 ln4 ingen løsning ln3 ln4 ln4 ln3 Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 8 av 7
Oppgave (4 poeng) En sirkel har følgende egenskaper: Sentrum i sirkelen ligger på linjen y Sentrum i sirkelen ligger like langt fra origo som fra punktet A (6, 0) Origo og punktet A ligger begge på sirkelperiferien a) Tegn sirkelen i et koordinatsystem. Likningen for en sirkel er gitt ved y y r der, 0 0 0 y0 er sentrum i sirkelen og r er radius. I denne sirkelen vet vi at sentrum ligger på linjen y. Det betyr at og y er proporsjonale størrelser. Punktet A 6, 0 og origo 0, 0 ligger like lang fra sentrum og på sirkelperiferien. Vi har da at avstanden OS AS, der koordinaten er 3 og y koordinaten blir da y y 3. b) Bestem en likning for sirkelen. Sentrum i sirkelen er OS 3 3 8 3 Likningen for sirkel blir y y 3 3 3 dvs. 3 3 8 Dersom du tegnet sirkelen i a) i GeoGebra, så er likningen for sirkelen gitt i algebrafeltet. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 9 av 7
Oppgave (6 poeng) Bilene i en bilkø holder en fart på v km/h. Ifølge køteori vil antall biler N som passerer et bestemt sted per minutt være gitt ved modellen 6,7v Nv () 4 0,5v 0,006v a) Bruk graftegner til å tegne grafen til N for 0, 0 v. Vi tegner grafen i GeoGebra med kommandoen «Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]» Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 0 av 7
b) Bestem grafisk hva farten bør være for at minst 5 biler skal kunne passere stedet per minutt. Vi legger inn en linje y 5 og finner skjæringspunktene mellom denne linjen og grafen til N ved å bruke kommandoen «skjæring mellom to objekt». Vi finner at farten må ligge mellom,5 km/t og 58, km/t for at 5 biler skal passere hvert minutt. c) Bestem grafisk hva farten må være for at flest mulig biler skal kunne passere stedet per minutt. Hvor mange biler passerer stedet per minutt da? Vi bruker kommandoen «Ekstremalpunkt [<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» og finner toppunktet D 5.8, 9.8, se graf ovenfor. Det betyr at farten må være omtrent 6 km/t for at det skal passere flest mulig biler per minutt på dette stedet. Antall biler som passerer per minutt er da er ca. 30. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side av 7
Oppgave 3 (6 poeng) Posisjonen til to båter A og B er gitt ved A r ( t) 0 t, 0 6t r ( t) 8t 8, 0 3t B Alle lengdemål er gitt i kilometer, og tiden t er gitt i timer. a) Bestem farten (banefarten) til hver av båtene. Vi har at fartsvektoren er gitt ved vt r ' t. Farten er da gitt ved vt. Vi bruk CAS i GeoGebra, se nedenfor. I linje og har vi definert vektorene for båt A og båt B. I linje 3 og 5 finner vi fartsvektorene til henholdsvis båt A og B. I linje 4 finner vi at farten til båt A er 8,5 km/t og i linje 6 finner vi at farten til båt B er,66 km/t. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side av 7
b) Forklar at avstanden d mellom båtene er gitt ved d( t) (8t 8) (3t 0) Vi finner avstanden d mellom båtene ved å finne dt r t r t A B c) Når er denne avstanden minst? Hvor langt fra hverandre er båtene da? Vi finner eventuelle ekstremalpunkter til d ved å sette dt 0. Vi finner at d har et bunnpunkt for t,9, dvs. at etter ca time og 7 minutter er avstanden mellom båtene minst. Avstanden er da 6,55 km. I linje og ovenfor sjekker vi at det er et bunnpunkt ved å sette inn en verdi lavere enn,9 og en verdi høyere enn,9. Vi ser at d avtar fram mot,9 for så å øke. Vi kunne også ha funnet dette grafisk, se nedenfor. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 3 av 7
Oppgave 4 (4 poeng En funksjon f er gitt ved 4 3 f( ) a b c, Df Om denne funksjonen vet vi at f har nullpunkt i er -koordinaten til vendepunktet på grafen til f Grafen til f går gjennom punktet (3, 4) a) Sett opp tre likninger som svarer til opplysningene ovenfor.. f 0. f 0 3, f 3 4 b) Bruk CAS til å bestemme konstantene a, b og c. Vi bruk CAS i GeoGebra I linje definer vi funksjonen f. I linje, 3 og 4 legger vi inn likningene vi fant i a). I linje 5 bruk vi verktøyet «Løs en eller flere likninger» Tips: Merk linje,3 og 4 og bruk verktøyet Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 4 av 7
Oppgave 5 (4 poeng) Funksjonen g er gitt ved g() a D 3, g Grafen til g har en tangent i punktet P( t, g( t )). Tangenten skjærer grafen til g i et annet punkt Q. Se skissen nedenfor. y g P( t, g( t )) a) Vis at tangenten har likningen Q y (3at t) t at 3 Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for tangenten i punktet Vi bruker CAS og definerer først funksjonen g, se linje. Deretter bruker vi ettpunktsformelen og finner utrykket i linje 3. P t, g t. Ved å samle leddene som inneholder så får vi y 3at t t at 3at t t at 3 3 Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 5 av 7
b) Bruk CAS til å bestemme koordinatene til Q, uttrykt ved a og t. I linje 4 ovenfor finner vi at tangenten skjærer grafen til g for Skjæring ved t er tangeringspunktet P. Koordinatene til Q er gitt i linje 5 ovenfor. at t og. a Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 6 av 7
Bildeliste Bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 7 av 7