Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig..4 f ) Skriver om, og får Reger ut ved L'Hopitals regel at cos/) cos/)) = /. cos/) si/) si/) / = / 3 = /) = /. / Dermed divergerer rekka ved divergesteste...7 a) Vi skal vise at Vi deerer fuksjoe f ved l x) = = fx) = l x) og er taylorpolyomee til f omkrig. Vi er først oe deriverte av f: x. f x) = x) f x) = x) f 3) x) = x) 3 f 4) x) = 6 x) 4 Vi ser at vi geerelt får at de -tederiverte av f er f ) x) = )! x). Vi får dermed at taylorpolyomet av grad til f omkrig er For hver har vi T fx) = l ) + k= f k) ) x k = k! k= fx) = T fx) + R fx). k )! k! x k = Vi vil vise at restleddee R fx) går mot år går mot uedelig. Vi bruker Taylors formel med restledd.., side 89), som gir R fx) =! = f +) t) x t) dt =! x t) dt t) + k= x k k! t) +) ) x t) dt 8. februar 4 Side av 7
Løsigsforslag Øvig Vi vil e e øvre grese for absoluttverdie av restleddet. Vi begyer med å se på absoluttverdie av itegrade i uttrykket over, altså x t) t) + Vi vil vise at vi for alle x, ) og t mellom og x har x t) t) + x t La oss først ata at x. Vi har xt t side x <, så vi får x t x xt = x t), og dermed har vi x t t = x t t x = x. Så ser vi på tilfellet x <. Da har vi x t. Side både t og x er egative eller ), er xt positiv eller ), så vi har spesielt at t xt. Dermed er t x xt x = x t). Ved å bruke dette, får vi x t t = t x x = x. t Vi har dermed vist at vi har x t t x for alle x, ) og t mellom og x. Fra dee ulikhete får vi x t) t) + = x t x t ) t) + = t t x t Vi har altså vist at ulikhet ) holder. Nå bruker vi de til å e e øvre grese for absoluttverdie av restleddet: R fx) = x t) dt t) + x t) t) + dt x t dt x = x t dt = x l x) Ved å bruke dette, får vi R fx) x l x) ) = l x) x = greseverdie av x blir ull fordi x < ). Dette betyr at R fx) =. Ved å kombiere det vi har vist, får vi å for x, )) l x) = fx) = fx) = T fx) + R fx) ) ) ) ) = T fx) + R fx) = T fx) + x k ) x = = k. k= = ) 8. februar 4 Side av 7
Løsigsforslag Øvig b) Vi ka berege l Me vi har også ved å bruke deloppgave a): l = l ) = = ) = l = l l = l = Dermed får vi l = =.. Vi lar x stå for megde avfallsto i kg) som slippes ut daglig. Da vil megde avfallsto i vassdraget etter dager være 3 ) ix. i= Vi vil at dee summe aldri skal overstige, uasett hvor stor er. Side hvert ledd er positivt, vil summe av rekke 3 ) ix i= være større e hver delsum. Det er derfor tilstrekkelig å velge x slik at summe av dee rekke er maksimalt. Vi er summe av rekke ved å bruke setig.. side 6): Vi vil derfor ha som gir 3 ) ix x = 3 = x. i= x, x 8. Svaret blir dermed at fabrikke ka slippe ut maksimalt 8 kg hver kveld... a) Vi får oppgitt at e følge a ) kovergerer i Cesaro-forstad mot et tall a dersom a k = a. k= Vi skal vise at dersom følge a ) kovergerer mot a, så kovergerer de også mot a i Cesaro-forstad. Vi atar at følge a ) kovergerer mot a, altså at Vi skal vise at a = a. ) a k = a. k= Gitt e ε > vil vi altså e e N N slik at ) a k a < ε 3) k= 8. februar 4 Side 3 av 7
Løsigsforslag Øvig for alle N. Ata at vi blir gitt e slik ε > og skal e det tilhørede tallet N. La Da es ved )) e N slik at ε = ε for alle N. La N være et aturlig tall slik at Da er a a < ε 4) N > N a k a. ε ε > N k= N k= Vi får, for alle N, ) a k a = a k a = k= k= N = a k a) + N k= N k= N k= N k= N k= a k a + a k a + a k a + ε a k a + ε a k a. ) a k a) a k a) k= k=n + k=n + k=n + a k a ε ved 4) < ε + ε ved ) = ε = ε. Dette betyr at likig 3) er oppfylt for alle N, så vi har a k = a, k= og det betyr at følge kovergerer mot a i Cesaro-forstad... e) Ved delvis itegrasjo får ma at Ma har at π arcta x dx = [xπ arcta x)]b x + x dx bπ π arcta b) arcta b) = = b b /b 8. februar 4 Side 4 av 7
Løsigsforslag Øvig ved L'Hopital. Samtidig har ma med substitusjoe u = x +, x + x dx = u du = [ l + x )] b. Side l + b ) går mot uedelig år b går mot uedelig, så divergerer det opprielige itegralet, og dermed også rekka ved itegralteste...3 d) Her vil vi bruke gresesammelikigstest med /. Vi får at cos/) + / = cos/) + = >. Dermed divergerer rekka. e) Vi skal e ut om rekke = cos ) kovergerer. Vi vil bruke gresesammeligigsteste. Det er imidlertid ikke åpebart hvilke rekke vi bør sammelige med, så vi prøver oss frem med e rekke på forme p = for e eller ae foreløpig ukjet) p, og ser om vi etter hvert ka e ut hvilke p vi bør velge. Vi lar altså a = / p og b = cos. Da får vi ved å bruke l'hôpitals regel to gager) b cos = a p = si ) ) p p si = p p cos = ) ) cos p p) p = pp ) p Vi ser å at det ka løe seg å velge p =, for da får vi b cos = a ) = cos = <. Side vi vet at rekke = / kovergerer, får vi dermed ved gresesammeligigsteste at rekke cos ) kovergerer. = g) Taylorrekke til arcsi x rudt er gitt ved arcsi x = x + x3 6 +. Dermed har ma at arcta/ ) = + /)6 6 +. Dette gjør at vi vil gjette at rekke oppfører seg som rekke for. Gresesammelikigstest gir da arcsi/ ) / = 3 4 / 3 = = <, 4 hvor vi har brukt L'Hopitals regel. Dermed kovergerer rekka. 8. februar 4 Side av 7
Løsigsforslag Øvig h) Vi skal e ut om rekke + ) = kovergerer. Vi bruker gresesammeligigsteste med a = / og b = +. Da får vi b + = = a / + ) = + ) + + ) = + + + + + = + + = + / + = + / + = >. / divergerer, får vi dermed ved gresesammeligigs- Side vi vet at rekke teste at rekke = + ) divergerer. =.. Vi skal vise at N + ) < =N+ 3 < N for et aturlig tall N), og bruke dette til å e e tilærmet verdi for med feil midre e /. = Ved tilsvarede argumetasjo som i beviset for itegralteste se side 633634, spesielt gur.. og gur..) får vi at N+ Vi bereger disse to itegralee: og N N+ dx = x3 R x 3 dx < R dx = x3 R R Når vi setter i dette i 6), får vi N =N+ N+ = R 3 3 < dx. 6) N x3 x 3 dx = [x ] R R R N + ) ) = N+ N + ) x 3 dx = [x ] R = R N R R ) N = N N + ) < =N+ 3 < N 8. februar 4 Side 6 av 7
Løsigsforslag Øvig Nå skal vi bruke dette til å e e tilærmet verdi for = med feil midre e /. Vi ser at hvis vi velger oss e N, ka vi splitte opp dee rekke i e edelig sum opp til N og e rekke som starter på N + : Vi ka bruke gjeomsittet av = 3 N 3 = 3 + = =N+ 3 N + ) og N som e tilærmig til summe =N+, side vi vet at de summe skal ligge mellom 3 disse verdiee. Feile blir da maksimalt halvparte av avstade mellom de to verdiee, altså Vi vil derfor ha N ) N + ). N ) N + ) < Ved å prøve oss frem med N =, N =, og så videre, ser vi at dee ulikhete er tilfredsstilt for N = 4. Tilærmige vår blir dermed = 3 = = 4 3 + 3 = = = + 3 + 3 3 + ) 4 3 + 4 3 + 4 + ) + ) 4 + ).. 3 8. februar 4 Side 7 av 7