UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Svarark, formelsamling. Ingen. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Løsningsforslag Oppgave. poeng En parametrisert kurve er gitt ved rt = t i + t j. Farten vt er lik: A t + t B t + t C + 4t D + 4t E t Riktig svar: C + 4t. Begrunnelse: Hastigheten er vt = r t = i + t j, så farten blir vt = vt = + t = + 4t. Oppgave. poeng Hvilket kjeglesnitt fremstiller ligningen 9x + 4y 8x + y =? A Ellipsen med sentrum i, og halvakser a =, b =. B Det er ingen punkter som oppfyller ligningen. C Hyperbelen med sentrum i, og asymptoter y + = ± x. D Hyperbelen med sentrum i, og asymptoter y = ± x. E Ellipsen med sentrum i, og halvakser a =, b = Riktig svar: A Ellipsen med sentrum i, og halvakser a =, b =. Begrunnelse: Vi fullfører kvaatene: 9x + 4y 8x + y = 9x x + + 4y + 4y + 4 = + 9 + 9x + 4y + = x y + + = Fortsettes på side.
Deleksamen i MAT, Fredag. mars Side som er ligningen for en ellipse med sentrum i, og halvakser a =, b =. Oppgave. poeng Hvis A = og b =, så har matriseligningen Ax = b løsningen: A x = B x = C Det finnes ingen løsninger 4 D x = E x = 4 Riktig svar: D x = Begrunnelse: Matriseligningen er ekvivalent med ligningssystemet som har løsningene x = 4, y =. x + y = x + y = Oppgave 4. poeng Hvis T : R R er lineæravbildningen slik at 9 T = og T =, så er matrisen til T lik: 9 A B C D 9 E Riktig svar: D Begrunnelse: Siden T er lineær, har vi: 9 T = T = = T = og T = T og dermed er matrisen til T lik =. = T = Fortsettes på side.
Deleksamen i MAT, Fredag. mars Side Oppgave 5. poeng Den reduserte trappeformen til matrisen 4 er A B C D E Riktig svar: E Begrunnelse: Vi har 4 4 Oppgave. poeng Hvis Fx, y = x y i + j og C er kurven parametrisert ved rt = sin t i + t j, t [, π], så er linjeintegralet C F lik: A x y π cos t dt + π t dt B π t sin t i + sin t t j cos t + 4t dt C π sin t cos t + t dt D π t sin t + t sin t t 4 dt E π t sin t cos t + t sin t t dt Riktig svar: E π t sin t cos t + t sin t t dt Begrunnelse: Vi har Frt = Fsin t, t = t sin t i + sin t t j og r t = cos t i + t j, som gir π π F = Frt rt dt = t sin t i+sin t t j cos t i+t j dt = C = π t sin t cos t + t sin t t dt Oppgave 7. poeng Hvis φx, y = x y + x og C er kurven parametrisert ved rt = cos t i + sin t j, t [, π], så er C φ lik A B C Fortsettes på side 4.
Deleksamen i MAT, Fredag. mars Side 4 D π E Riktig svar: E Begrunnelse: C φ = φrπ φr = φ, φ, = x Oppgave 8. poeng Lineariseringen til funksjonen Fx, y = y i punktet a =, er gitt ved: x + y + 4 A T a Fx, y = + 4x + 4y 8 B T a Fx, y = CT a Fx, y = 4x 4 D T a Fx, y = y + 4x + 4y ET a Fx, y = 4x + 4y 8 Riktig svar: B T a Fx, y = Begrunnelse: Jacobi-matrisen er Fx, y = så lineariseringen blir = 4 F x F x F F = xy x, T a Fx, y = Fa + F ax a = 4 4 x 4x + 4y 8 + = y Oppgave 9. poeng A er området i første kvaant avgrenset av x-aksen, linjen y = x og sirkelen x + y = 4. Da er A x + y x dxdy lik: A [ π r r cos θ dθ] B [ π r r cos θ dθ] C [ π r r cos θ dθ] D [ 4 π r r cos θ dθ] E [ π r r cos θ dθ] [ π r r cos θ dθ] Riktig svar B: Begrunnelse: Linjen y = danner en vinkel π med x-aksen, og x + y = 4 er en sirkel med radius. Skifter vi til polarkoordinater husk Jacobi-faktoren Fortsettes på side 5.
Deleksamen i MAT, Fredag. mars Side 5 r, får vi: A x + y x dxdy = = [ π r cos θ + r sin θ r cos θ ] r dθ = [ π r r cos θ ] dθ Oppgave. poeng Volumet til området som ligger over xy-planet, under grafen til z = x + y og inni sylinderen x + y =, er: A B C π D π E π Riktig svar: C π Begrunnelse: La A være sirkelskiven om origo med radius i xy-planet. Da er [ π ] [ ] r V = x + y dxdy = r 4 dθ = π = π A 4 Oppgave. poeng En flate er parametrisert ved ru, v = u v i + u + v j + u k, der u, v. Arealet til flaten er A 5 B C D 5 E Riktig svar: C Begrunnelse: Vi har r r u = i + j + k og v = i + j, og dermed er r u r v = i j k = i + j + k og r u r ] v = + + =. Vi får Areal = ds = r u r v dudv = S dudv = Oppgave. poeng Anta at R er rektangelet [, ] [, ], og la C være randkurven til R med positiv orientertering. Da er C xy dx x y dy lik: A B C D 45 Fortsettes på side.
Deleksamen i MAT, Fredag. mars Side E 5 Riktig svar: A Begrunnelse: Vi skal bruke Greens teorem med P x, y = xy og Qx, y = x y. Da er Q P x = xy og = xy. Dette gir Q P dx + Q dy = C R x P dxdy = 4xy dxdy = [ x y ] [ ] x= x= dy = 8y dy = 9y = Oppgave. poeng Finn alle løsningene til ligningssystemet er gitt ved: x + y + z = x + y + z = x + y + 4z = 4 A Systemet har ingen løsninger B x = 4, y =, z = C x =, y =, z = D z =, y kan velges fritt, men da må vi la x = 4 y. E x = 4, y =, z = Riktig svar: D z =, y kan velges fritt, men da må vi la x = 4 y. Begrunnelse: Vi raeduserer den utvidede matrisen: 4 4 Siden den bakerste søylen ikke er en pivotsøyle, har vi løsninger, og siden den ane søylen ikke er en pivotsøyle, kan y velges fritt. Fra linje nummer ser vi at z =, og setter vi dette inn i den øverste linjen, får vi x = y z = 4 y. Oppgave 4. poeng A er området i xy-planet avgrenset av de fire linjene y = x, y = x +, y = x +, y = x +. Hvis vi innfører nye variable u = y x, v = y + x, blir integralet A xy dxdy lik: A [ ] v u dv du B [ ] v u uv dv du C [ ] v u 8 dv du D [ ] v u lnuv dv du E [ ] v u u + v dv du Fortsettes på side 7.
Deleksamen i MAT, Fredag. mars Side 7 Riktig svar: C [ ] v u 8 dv du. Begrunnelse: Vi løser ligningene u = y x, v = y + x for x og y og får x = v u og y = v+u. Jacobi-determinanten er x, y u, v = x u u v v = = Siden u = y x varierer mellom og, og v = y + x varierer mellom og, får vi [ v u xy dxdy = v + u ] x, y [ u, v dv v u ] du = dv du 8 A Oppgave 5. 4 poeng MATLAB-sekvensen t=-:.:; x=t.^-t; y=-t.^; plotx,y axis equal produserer figuren nedenfor. Finn arealet til området avgrenset av kurven. A B 5 C 5 D 8 5 E 5 9 Riktig svar: D 8 5. Begrunnelse: Kurven som beskrives er rt = t t i + t j der t [, ] og er positivt orientert. Ifølge Greens teorem er arealet omsluttet av kurven, gitt ved [ t Areal = x dy = t t t dt = t t 4 dt = ] 5 t5 = 8 5 C Oppgave. 4 poeng Volumet til legemet avgrenset av paraboloiden z = x + y og planet z = x + y + er Fortsettes på side 8.
Deleksamen i MAT, Fredag. mars Side 8 A 8π B 7π C π D 9π E π Riktig svar: A 8π. Begrunnelse: Skjæringskurven mellom de to flatene er gitt ved x + y = x + y + x + y = 4 og er altså en sirkel med radius om punktet,. Lar vi D være sirkelskiven, ser vi at Volum = x+y+ x +y dxdy = 4 x y dxdy D Skifter vi til polarkoordinater med sentrum i,, får vi Volum = π 4 r r dθ = π = π D ] [r r4 = 8π 4 4r r = Slutt