Lax-par, differensialligninger og solitoner John Grue Avdeling for mekanikk, matematisk institutt Fagligpedagogisk dag 3. januar 2006 Lax-par og solitoner p.1/36
Solitær pulsbølge 1834 solitær pulsbølge med form som ikke endrer seg blir oppdaget i Edinburgh-kanalen og beskrevet av ingeniøren John Scott Russel. Bølgen ble dannet da en pram i bevegelse stoppet opp og har form bølgehevning fart bølgelengde!! Lax-par og solitoner p.2/36
5 4 Bølger med 3 2 1 0 5 0 5 ; bølger med Lax-par og solitoner p.3/36
5 4 Bølger med (II) 3 2 1 0 5 0 5 ; bølger med Lax-par og solitoner p.4/36
(III) Bølger med 1 0.5 0 5 0 5 Lax-par og solitoner p.5/36
(IV) Bølger med 1 0.5 0 5 0 5 NB! Lax-par og solitoner p.6/36
Hollenderne Korteweg og de Vries, 1895 Balanse mellom brytning og utbredning lim fast lim fast Lax-par og solitoner p.7/36
1965: Solitoner Zabusky [fra Bell Telephone Lab. NJ] and Kruskal [fra Princeton] publiserer et 4 siders arbeid i Phys. Rev. Lett. i 1965 om numerisk integrasjon av Korteweg-de Vries ligning. Studerer på intervallet med initialbetingelse. med Lax-par og solitoner p.8/36
3 2 1 0 1 0 0.5 1 1.5 2 Korteweg-de Vries ligning med initialbetingelse. Lax-par og solitoner p.9/36
! 3 2 1 0 1 0 0.5 1 1.5 2 Solitære pulser dannes, hver med -form. Disse kolliderer med hverandre og overlever kollisjonene..! Lax-par og solitoner p.10/36
Zabusky & Kruskals hovedresultater KdV-ligningen har (flere) solitære pulsbølgeløsninger; med fart økende etter amplityden; som bevarer amplityde og form etter kollisjoner; p.g.a. den samtidige bølge- og partikkelegenskapen døper Zabusky & Kruskal pulsene for SOLITONER, jfr. fotoner. Lax-par og solitoner p.11/36
6 4 2 0 0 1 2 Større solitoner løper fortere enn mindre Lax-par og solitoner p.12/36
6 4 2 0 0 1 2... interakterer / kolliderer... Lax-par og solitoner p.13/36
6 4 2 0 0 1 2... interakterer / kolliderer... Lax-par og solitoner p.14/36
6 4 2 0 0 1 2 og bytter momentum, som partikler. Fart og form er bevart! Lax-par og solitoner p.15/36
1967: Invers spredningsteori. Gardner, Green, Kruskal og Miura (forskningsgruppe ved Princeton University), publiserer 6. november 1967 et 2-siders arbeid i Phys. Rev. Lett. (mottatt 15. september 1967) om det som etterpå blir kalt den inverse spredningsteorien. I dette arbeidet viser de til korrespondanse med Peter Lax som allerede har bevist at den spesielle solitoninteraksjonen gjelder for 2 solitoner. Gardner, Green, Kruskal og Miura arbeider med løsninger av den lineære Schrödingerligningen, dvs. er potensialbrønn og er egenverdi. Lax-par og solitoner p.16/36
Invers spredningsteori.. På operatorform egenverdi Lax-par og solitoner p.17/36
Egenverdi?? Transformerer ligningssettet Lax-par og solitoner p.18/36
... til kalles egenverdiene til matrisen på venstresiden av ligningssettet Lax-par og solitoner p.19/36
Invers spredningsteori... Hovedgrep: setter inn i KdV-ligningen finner at egenverdiene er uavhengig av tiden! finner løsningen fra en lineær ligning for enhver x og t Lax-par og solitoner p.20/36
Invers spredningsteori... Løsningen (til alle tider) av den ikkelineære KdV-ligningen er dermed bestemt av initialbetingelsene. Solitonene er bestemt ved tallene (egenverdiene) (diskret spektrum), og der!! Lax-par og solitoner p.21/36
Peter Lax ved Courant Institute, New York University, sender i februar 1968 til Communications on Pure and Applied Mathematics et arbeid som publiseres samme år Arbeider med og andre er Takker Kruskal og Zabusky for diskusjoner og Gardner for korrespondanse Lax-par og solitoner p.22/36
Grep. Finn en operator som gjør at er uavhengig av tiden Lax-par og solitoner p.23/36
Grep.. antisymmetrisk Resultat: Lax-par Lax-par og solitoner p.24/36
Lax-par og solitoner p.25/36 Lax KdV-hierarki. Sett først og
Lax KdV-hierarki.. og Med blir KdV-ligningen! Lax-par og solitoner p.26/36
Lax KdV-hierarki... Fortsett og Lax-par og solitoner p.27/36 Finner høyere ordens KdV-ligninger: Egenverdiene finnes fra Schrödingerligningen og bestemmer løsningen
Lax hovedresultat 1. Generelt prinsipp der ikkelineære ligninger assosieres med lineære ligninger 2. Egenverdiene av de lineære ligningene er integraler av de ikkelineære 3. Lax-paret gir differensialligningen: 4. Lax har også gjort mye annet i matematikken! Lax-par og solitoner p.28/36
Lax om 2-solitonløsningen I did not present the details because (i) I did not carry them out completely (ii) the formulas are horribly complicated (iii) an explicit formula for the double waves (indeed waves) was derived recently in [1] (Gardner, Greene, Kruskal & Miura, 1967) -tuple Lax-par og solitoner p.29/36
De generelle Lax-par En rekke ikkelineære differensialligninger kunne nå integreres ved å bruke denne metoden Hektisk aktivitet på begynnelsen av 1970-tallet Aktiviteten fortsetter i dag Ikkelineære ligninger med slike egenskaper kalles INTEGRERBARE mots. IKKE-INTEGRERBARE ligninger Lax-par og solitoner p.30/36
Ca. 1mm lange solitonbølgepakker i fiberoptiske kabler Lax-par og solitoner p.31/36
Indre solitoner i Sørkinahavet 1.5 m/s 30 C 250 m 350 m 0.5 m/s 2.5 m/s 0.2 m/s 1000 m 10 C Lax-par og solitoner p.32/36
Synes som streker på havoverflaten Vesterålen (ESR-2) Det indiske hav (Foto fra Shuttle) Lax-par og solitoner p.33/36
Indre solitoner i lab./kollisjoner ρ 2 Ferskt vann Salt vann a ρ 2 ρ 1 h h 2 1 y x ρ 1 0.25 0.75 1.25 1.75 25 15 5 5 15 25 () Målinger ( ) teori ( ) Lax-par og solitoner p.34/36
Store solitoner på dypt vann Først observert fra kartleggingsskip i Andamanhavet (Perry & Schimke 1965) Lax-par og solitoner p.35/36
Da er vi tilbake til 1965, da historien om solitoner begynte Lax-par og solitoner p.36/36