R eksamen våren 07 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 3sin cos f 3cos sin 3cos sin b) g cos uv uv uv der u og v cos Vi bruker produktregelen for derivasjon g cos sin cos sin c) h cos. Skriv svaret så enkelt som mulig. sin Vi bruker kvotientregelen for derivasjon u uv uv der u cos og v sin v v sin sin sin sin cos cos sin sin cos h sin sin sin sin sin sin h sin h sin sin sin sin Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side av 5
Oppgave (4 poeng) Bestem integralene a) d 3 3 ln C ln C b) cos( ) d Vi bruker variabelskifte: u du 4 d du d 4 du sin d cos cos sin sin 4 4 4 4 u u du u C C Oppgave 3 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved f( ) sin( ), 0, a) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til f. sin sin. Det gir: Vi vet at har sin største verdi når sin k k 4 I vårt definisjonsområde betyr det at vi har toppunktene, 4 og 5, 4 Vi vet at sin har sin minste verdi 3 når sin. Det gir: sin 3 k 3 k 4 I vårt definisjonsområde betyr det at vi har bunnpunktene 3, 3 4 og 7, 3 4 Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side av 5
b) Bestem nullpunktene til f. f 0 sin 0 sin sin 5 k k 6 6 5 k k I vårt definisjonsområde betyr det at vi har nullpunktene: 5 3 7, 0,, 0,, 0 og, 0 c) Lag en skisse av grafen til f. Vi legger inn punktene vi har funnet i oppgave a) og b) i et koordinatsystem og trekker en jevn kurve gjennom punktene. Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 3 av 5
Oppgave 4 (3 poeng) Differensiallikningen y y er gitt. a) Bestem den generelle løsningen til differensiallikningen. Vi har valgt å vise hvordan denne likningen kan løses som en homogen lineær differensiallikning av første orden ved å bruke integrerende faktor og som en separabel differensiallikning (grønn løsning). Løst ved hjelp av integrerende faktor. Løst som separabel Integrerende faktor: e d e differensiallikning y y 0 e ye y e 0e ye y e y e 0 C 0d C y e y Ce y y y y y dy d y d ln y C C C y e der C C C C3 y e e y Ce 3 b) Bestem den spesielle løsningen, når du får vite at y 5. Vi har at Dette gir y 5. Ce Ce 5 5 5 C e e 5 5 5 5 y e e e e e e Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 4 av 5
Oppgave 5 (3 poeng) Figuren til venstre nedenfor viser et linjestykke tegnet i et koordinatsystem. Vi dreier linjestykket 360 om -aksen. Vi får da en avkortet kjegle som vist på figuren til høyre nedenfor. Bestem volumet av den avkortede kjeglen. Vi finner først et uttrykk på formen y a b for linjestykket. Vi ser av grafen ovenfor at stigningstallet a til linjestykket er og at linjen skjærer y -aksen i 3. Linjestykket er gitt ved y 3 Vi bruker formelen for omdreiningslegemet f d y d, der y 3 4 4 4 3 d 3 9 d 3 9 d 4 4 0 0 0 4 3 3 6 9 4 36 0 0 3 6 6 80 96 60 3 3 3 Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 5 av 5
Oppgave 6 (6 poeng) En kule har sentrum i S (, 3, 5). Punktet P (4,, 5) ligger på kuleflaten. a) Bestem en likning for kuleflaten. Vi har at likningen for en kule er gitt ved 0 0 0 0 0 0 y y z z r der, y, z er sentrum i kulen og r er radien. Vi finner først radien r som er gitt ved r SP 4, 3, 5 5 3, 4, 0 3 4 5 5 Likningen for kuleflaten blir y z y z 3 5 5 3 5 5 Et plan a tangerer kuleflaten i punktet P. b) Vis at 34y 6 er en likning for planet a. Likningen for et plan er gitt ved: a b y y cz z der a, b, c er normalvektoren til planet og 0, 0, 0 Vi vet at punktet 4,, 5, 0 0 0 y z er et punkt i planet. P ligger på kuleflaten. I tillegg vet vi at radien står normalt på tangentplanet i dette punktet. Det betyr at vektoren SP 3, 4, 0 vil være en normalvektor til tangentplanet. Likningen for tangentplanet blir: 3 4 4 y 0 z 5 0 34y 6 En annen kule har sentrum i Q (, 0, 7). Planet a tangerer også denne kuleflaten. c) Bestem likningen til den nye kuleflaten. Radien i denne kula er lik avstanden fra Q til planet, da planet tangerer kula. For å finne radien til kula bruker vi avstandsformelen fra et punkt til et plan, d a0 by0 cz0 d, der a, b, c er normalvektoren til planet og a b c 0, y0, z 0 er punktet Q. 3 40 07 6 0 d 3 4 0 Likningen for kuleflaten blir y z y z 7 4 0 7 Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 6 av 5
Oppgave 7 (7 poeng) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 3 S( ) ln ln ln a) Bestem konvergensområdet til rekken. Vi ser at kvotienten ln. Vi har at en geometrisk rekke er konvergent når k. I dette tilfellet betyr det at ln som gir e e Det betyr at rekken konvergerer når e e. b) Bestem et enklere uttrykk for S når rekken konvergerer. a k ln Summen av rekken blir S c) Bestem slik at summen av rekken blir 3. 3 ln 3 3ln 3ln ln 3 3 for, e e e Denne verdien for ligger innenfor konvergensområdet vi fant i oppgave a) d) For hvilke verdier av r har likningen S Fra oppgave a) vet vi at ln r løsning?. Vi finner ln uttrykt ved r og løser ulikhetene. r ln r r ln r ln r r ln r r r r r r r 0 0 r r r 0 0 r r Begge ulikhetene må være oppfylt. Vi ser at S r har løsninger for r. Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 7 av 5
Oppgave 8 (3 poeng) Vis ved hjelp av induksjon at 3 n n!! 3! 4! n! n! :, n, 3, 4, 5, P n Du får bruk for at n! 3 n n og at n! n! n Trinn, Induksjonsgrunnlaget. Vi viser at formelen gjelder for n. Når n, har vi kun ett ledd på venstre side. Venstre side:!! Høyre side! Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. Vi har da 3 t t!! 3! 4! t! t! Vi vil nå vise at formelen da gjelder for nt. Det betyr at vi må vise at t 3 t t!! 3! 4! t! t! t! t! t! t! t t! t 3 t! 3! 4! t! t! t! t t! t! t t! t t! t t! t t t! t! t! t! t t! t t! t! t t! t! t! t Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt. Ifølge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n, 3, 4, 5, Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 8 av 5
DEL Med hjelpemidler Oppgave ( 6 poeng) Funksjonen f er gitt ved 4 3 f( ) 7 5 9 a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Vi tegner grafen til f i GeoGebra Grafen til f har to vendepunktene A og B. Linjen gjennom A og B har likningen y g. b) Bestem uttrykket g. Vi bruker CAS i GeoGebra og finner først vendepunktene til grafen til f ved å bruke kommandoen «Vendepunkt (<Polynom>)», se linje til høyre. Vi bruker så kommandoen «Linje (<Punkt, Punkt>)» og finner uttrykket for linjen gjennom vendepunktene A og B som 5 5 g se linje 5 til høyre. 8 8 Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 9 av 5
Linjen skjærer grafen til f også i to andre punkter: C a, f a og, D b f b. b c) Bestem integralet ( f( ) g( )) d. Gi en geometrisk tolkning av svaret. a Vi bruker CAS og finner først skjæringspunktene mellom f og g ved å bruke kommandoen «Skjæring(<Funksjon>,<Funksjon>)», se linje 6. Vi ser at i tillegg til vendepunktene får vi to punkter til. I linje 9 bruker vi kommandoen «Integral mellom (<Funksjon>, <Funksjon>,<Punkt>,<Punkt>)» og finner at dette integralet blir 0, se linje 9. Integralet mellom grafen til g og grafen til f blir altså 0. Det betyr at arealet av områdene der g f er like stort som arealet av området der g f. Nedenfor har vi vist dette grafisk. Dette er IKKE et krav til løsningen av oppgaven. Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 0 av 5
Oppgave (4 poeng) Vi har gitt punktene A(3,, t ), B(4, 3, 3) og C (8, 3, 5), der t. a) Bruk CAS til å vise at arealet av ABC kan uttrykkes som f( t) 3( t 8t 30). Vi legger inn punktene i CAS og bruker kryssproduktet for å finne arealet av ABC. I linje 6 ser vi uttrykket som vi skulle finne. b) Bestem det minste arealet som ABC kan ha. I linje 7 finner vi at grafen til f har et stasjonært punkt for t 4. I linje 8 og 9 ser vi at dette stasjonære punktet er et bunnpunkt. (Her kunne vi selvsagt også ha brukt dobbelderiverttesten, og vist at grafen vender sin hule side opp i t 4. Dette er vist i linje ). I linje 0 finner vi at det minste arealet som ABC kan ha er 8. Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side av 5
Oppgave 3 (3 poeng) Funksjonen f er gitt ved f( ) sin d, og d Grafen til f roteres 360 om -aksen. Bruk CAS til å bestemme mulige verdier for d slik at volumet av omdreiningslegemet blir 6. Vi finner at dersom d eller d så vil volumet av omdreiningslegemet bli 6 Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side av 5
Oppgave 4 (4 poeng) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved S a a k a k, a 0, k En annen uendelig geometrisk rekke er gitt ved T a ak a4 k, a 0, k a) Bruk CAS til å bestemme a og k når du får vite at S 6 og T. Vi bruker sumformel for uendelig geometrisk rekke og finner uttrykk for summen av rekkene S og T. For rekken S blir uttrykket a S, der k k For rekken T blir uttrykket a T, der k k Vi løser likningssettet i linje 3 og 4 og finner a 4 og k, se linje 5. Verdien av k ligger 3 innenfor konvergensområdet for begge rekkene. b) Undersøk om det er mulig å finne en verdi for k slik at S T. Vi bruker CAS og løser likningen S T, se linje 7. 3 Vi ser at k. Denne verdien for k ligger utenfor 4 konvergensområdet til T. Det betyr at det ikke finnes noen verdier for k slik at S T Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 3 av 5
Oppgave 5 (7 poeng) En pasient får tilført en medisin kontinuerlig. Dosen er 3,0 mg per time. Samtidig blir en del av medisinen skilt ut av kroppen. Vi antar at det skjer ved at kroppen skiller ut 30 % av den totale medisinmengden per time. Pasienten har ikke noe medisin i kroppen ved oppstarten av behandlingen. Vi lar yt ( ) mg være den totale medisinmengden i kroppen ved tiden t, målt i timer, etter at behandlingen startet. a) Forklar at situasjonen ovenfor gir differensiallikningen y 0,30 y 3, y 0 0 Av oppgaven vet vi at målt i timer, etter at behandlingen startet. yt mg er den totale medisinmengden i kroppen ved tiden t, Endringen y av den totale medisinmengden i kroppen etter t timer er summen av det kroppen skiller ut og inntak av ny dose. Kroppen skiller ut 30 % av den totale medisinmengden per time, altså 0,30y. I tillegg blir pasienten tilført 3,0 mg av medisinen per time. Ved starten av behandlingen har pasienten ingen medisin i kroppen, Det gir y 0 0. b) Bruk CAS til å løse differensiallikningen i oppgave a). c) Hvor mye medisin har pasienten i kroppen når behandlingen har pågått i lang tid? Vi lar t og vi ser i linje 3 at pasienten vil ha 0 mg medisin i kroppen når behandlingene har foregått i lang tid. 0 0,3t Vi kunne også se på hva som skjer med leddet e e når t blir stor. Dette leddet vil da gå mot 0 og vi ville stått igjen med 0. 3t Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 4 av 5
En annen pasient får samme dose av medisinen. Da behandlingen startet, hadde hun en ukjent mengde, y o mg, av medisinen i kroppen. Seks timer etter at behandlingen startet, hadde hun 9,7 mg av medisinen i kroppen. Gå ut fra at medisinen også hos denne pasienten skilles ut med 30 % per time. d) Bestem y o Vi finner et uttrykk for differensiallikning ved startbetingelsen y0 y0 linje 4 og 5. Vi vet at denne pasienten har 9,7 mg av medisin i kroppen etter 6 timer. I linje 6 finner vi hvor mye denne pasienten måtte ha av medisinen y 0 i kroppen da behandlingen startet. Vi finner at denne pasienten hadde 5,0 mg av medisinen i kroppen ved starten av behandlingen., se Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet. Eksamen REA304 Matematikk R Våren 07 Side 5 av 5