Nabla, elektromagnetisme, vektorpotensial og superledning for FYS1120

Transkript

1 Nabla, elektromagnetisme, vektorpotensial og superledning for FYS1120 Den differensielle vektoroperatoren = e x x + e y y + e z z (1) kalles vanligvis for nabla eller del hvis man er mer engelsk orientert. Her er e x, e y og e z ortogonale enhetsvektorer i henholdsvis x-, y- og z-retning i et kartesisk koordinatsystem. Et punkt i dette systemet kan derved angis ved posisjonsvektoren r = xe x + ye y + ze z. Tilsvarende kan en skalar funksjon F = F (x, y, z) skrives mer kompakt som F (r). Hvis denne operatoren nå virker på en slik funksjon F (r), så får vi en ny vektor F = F x e x + F y e y + F z e z (2) Dette kalles for gradienten til funksjonen F og sier noe om hvordan funksjonen forandrer seg i forskjellige retninger. Det ser vi ved å beregne forskjellen i funksjonsverdien i to nærliggende punkter r og r + dr ved å gjøre bruk av en vanlig Taylor-utvikling, df = F (r + dr) F (r) = F F F dx + dy + x y z dz Siden den differensielle posisjonsvektoren er dr = e x dx + e y dy + e z dz, kan vi derfor skrive denne forskjellen som df = F dr. Ligger vektoren dr i en flate F (x, y, z) = konst, vil df = 0. Gradienten F står derfor normalt på slike ekvipotensialflater. Den peker i den retning hvor funksjonen F (r) øker mest. Fra regelen for den deriverte av et produkt, ser vi nå fra (2) at gradienten av et produkt av to funksjoner F og G er (F G) = ( F )G + F ( G) (3) I elektromagnetismen er vektorfelt viktigere enn skalare felt. Et slikt felt V = V(r) angir derfor en vektor med størrelse og retning i hvert punkt r. I mer detalj kan vi skrive V(r) = V x (r)e x + V y (r)e y + V z (r)e z På samme måte som to vektorer kan kombineres enten ved skalar (prikk) eller vektoriell (kryss) multiplikasjon, kan også nabla anvendes på vektorfeltet V(r) på to forskjellige måter. Med skalar multiplikasjon får vi divergensen til vektorfeltet V = V x x + V y y + V z z, (4) 1

2 mens vektoriell multiplikasjon gir curl eller virvlingen av feltet: e x e y e z V = / x / y / z V x V y V z ( Vz = y V ) ( y Vx e x + z z V ) ( z Vy e y + x x V ) x e z y (5) Fra disse to definisjonene har vi nå med en gang den viktige identiteten ( V) = 0 (6) som sier at divergensen av en curl alltid er null. Like viktig er identiteten F = 0 (7) som sier at curl til en gradient alltid er identisk lik null. Derimot er divergensen av en gradient ikke null. For vektoren V = F med komponenter V i = F/ x i i (4) finner vi F = 2 F. Her er den viktige Laplace-operatoren. Ved hjelp av den kan vi også skrive en curl av en curl som 2 = 2 x y z 2 (8) ( V) = ( V) 2 V (9) Dette følger direkte fra definisjonen (5). I elektromagnetisk teori blir denne ofte brukt. Produktet av et skalart felt F (r) og et vektorfelt V(r) er et nytt vektor felt U = F V med komponenter U i (r) = F (r)v i (r). Produktregelen for derivasjon gir nå direkte for U mens U blir (F V) = ( F ) V + F ( V), (10) (F V) = ( F ) V + F ( V). (11) Tilsvarende formler for nabla virkende på produkt av to vektorer kan også utledes. 1 Symmetriske felt Ofte vil vi møte situasjoner hvor det er sfærisk symmetri i problemet vi er opptatt av. Da vil vi kunne ha skalare felt F = F (r) og vektorfelt R = R(r)ˆr hvor ˆr = r/r er 2

3 en enhetsvektor i radiell retning. Siden r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2, vil vi måtte regne ut gradienten av r. Nå er r/ x = x/r og tilsvarende for de andre komponentene slik at r = (x/r)e x + (y/r)e y + (z/r)e z = ˆr. Derfor har vi at F (r) = F ˆr (12) r Skal vi beregne divergensen av et radielt vektorfelt R = R(r)ˆr, trenger vi først r = ( x/ x) + ( y/ y) + ( z/ z) = = 3 som følger direkte fra definisjonen. Bruker vi nå (10), får vi for divergensen ((R/r)r) = (R/r) r + (R/r) r For gradienten i første ledd finner vi fra resultatet over at (R/r) = r ( ) ( R R ˆr = r r R ) r 2 ˆr Dermed blir R = R R/r + 3R/r = R + 2R/r når vi benytter at r = 3. Dette resultatet kan vi skrive på en litt mer kompakt og generell form som R = 1 ( ) r 2 r 2 R r På samme måte finner vi at r = 0 slik at curl av et radielt vektorfelt er null, i.e. (R(r)ˆr) = 0. Tilsvarende resultat kan utledes for vektorfelt med sylindrisk symmetri. (13) 2 Elektriske felt En elektrisk ladningsfordeling med tetthet ρ(r) gir opphav til et elektrisk felt E(r) = 1 d 3 r ρ(r )(r r ) 4πε 0 r r 3 (14) Dette er i grunnen bare en mer generell utgave av Coulombs lov. Vi kan nå lett skrive om dette integralet ved bruk av (12). Derav følger at (1/r) = (1/r 2 )ˆr = (1/r 3 )r som lar oss skrive 1 r r = r r r r 3 (15) da bare virker på komponentene til r og ikke komponentene til r. Derfor kan vi skrive E(r) = 1 d 3 r ρ(r ) 1 4πε 0 r r = 1 4πε 0 3 d 3 r ρ(r 1 ) r r

4 av samme grunn. Vi har dermed vist at for statiske felt er det elektriske feltet gitt ved gradienten E = V hvor nå den skalare funksjonen V (r) = 1 4πε 0 d 3 r ρ(r 1 ) r r er det elektriske potensialet i punktet r. Fra (7) vil vi nå ha E = 0 som er Maxwells 2. ligning i en slik statisk situasjon. Maxwells første ligning sier at E(r) = ρ(r)/ε 0. Bruker vi nå her at E = V, ser vi at det elektriske potensialet må tilfredsstille (16) 2 V (r) = ρ(r)/ε 0 (17) Dette er en 2. ordens, partiell differensialligning og spiller en viktig rolle i elektromagnetisk teori. I vårt tilfelle kjenner vi allerede den generelle løsningen (16). Feltet fra en punktladning kan vi nå finne tilbake til fra (14). En slik ladning Q har en ladningstetthet som er null overalt bortsett fra i det punktet r hvor ladningen er lokalisert. Dette kan vi beskrive matematisk ved å innføre δ-funksjon δ(r) brukt av Dirac i kvantemekanikken. Den er null i alle punkt bort sett fra punktet r = 0. Tilsvarende er δ(r r ) null i alle punkt bortsett fra punktet r = r. Singulariteten i dette punktet er definert ved at integralet d 3 r F (r )δ(r r ) = F (r) (18) for alle funksjoner F = F (r). Ladningstettheten for en punktladning Q plassert i punktet r 0 kan dermed skrives ρ(r) = Qδ(r r 0 ). Fra den generelle formelen (14) gir denne punktladningen opphav til feltet E(r) = 1 d 3 r Qδ(r r 0 ) r r 4πε 0 r r 3 = Q r r 0 4πε 0 r r 0 3 når vi benytter egenskapen (18) til δ-funksjonen. Dette er jo akkurat hva vi gikk ut fra da vi formulerte Coulombs lov for kraften mellom to punktladninger. Tar vi nå divergensen av dette feltet og sammenligner med Maxwells 1. ligning E(r) = ρ(r)/ε 0, får vi det matematiske resulatet r r 0 r r 0 3 = 4πδ(r r 0) (19) Kombineres dette med (15), føger at 2 (1/r) = 4πδ(r) når vi setter r 0 = 0. Dette er ikke noe annet enn Poissons ligning (17) for potensialet fra en punktladning plassert i origo. 4

5 3 Magnetiske felt Under stasjonære forhold skapes magnetiske felt av elektriske strømmer. Generelt er disse gitt av en strømtetthet J(r) som er bevart, det vil si at elektriske ladninger ikke kan oppstå eller forsvinne. Den totale ladning Q i et volum V med ladningstetthet ρ er Q = d 3 rρ(r, t) V hvor vi har helt generelt antatt at den også kan variere med tiden. Forandringen dq dt V = d 3 ρ(r, t) r må opptre som ladning som strømmer ut av volumet gjennom dets overflate og er gitt ved Vda J. Her er da er et differensielt flateelement på overflaten V til dette volumet. Derfor må vi ha d 3 r ρ V V = da J Dette siste integralet kan skrives om ved hjelp av Gauss divergensteorem som sier at V da J = V d3 r J. Flytter vi nå disse to romlige integral over på samme side av likhetstegnet, får vi [ ρ ] d 3 r + J = 0 V Siden det valgte volumet V kan være ganske vilkårlig, må vi ha at inneholdet i parantesen er null, i.e. ρ + J = 0 (20) Dette er den matematiske utgave av loven for ladning/strømbevarelse. Siden vi er foreløbig opptatt av stasjonære forhold, vil ρ/ = 0 slik at vi da må ha J = 0. En mer direkte måte å innse at J = 0 under stasjonære forhold, kommer fra J = σe hvor σ er materialets ledningsevne. Da er J = σ E = 0 siden den totale, elektriske ladningstetthet i en leder er null. Det magnetiske felt fra en slik strømtetthet er gitt ved Biot-Savarts lov B(r) = µ 0 d 3 r J(r ) (r r ) 4π r r 3 (21) som har en tilsvarende matematisk struktur som Coulombs lov (14). Igjen kan vi benytte (15) til å omskrive dette som B(r) = µ 0 d 3 r J(r ) 1 4π r r 5

6 Vi bytter om de to vektorene i kryssproduktet og får B(r) = µ 0 d 3 r J(r ) 4π r r Her kan igjen nabla-operatoren taes utenfor integralet da den bare virker på r. Vi ser da at B = A hvor A(r) = µ 0 d 3 r J(r ) 4π r r kalles det magnetiske vektorpotensialet. Det spiller en tilsvarende rolle for det magnetiske feltet som det skalare potensialet gjør for det elektriske feltet E = V. Det er ofte viktig å kjenne divergensen av dette vektorfeltet. Vi finner A(r) = µ 0 d 3 r J(r ) 1 4π r r hvor virker på koordinatene i vektoren r. Men nå er (1/ r r ) = (1/ r r ) hvor nå virker på kordinatene i r. Vi kan dermed foreta en partiell integrasjon hvor overflateleddet kan settes lik null. Dermed blir A(r) = µ 0 4π d 3 r 1 r r J(r ) Men under slike statiske forhold som vi her tenker oss, har vi sett at J = 0. Derfor vil vi også ha at A = 0. (22) 4 Gauge transformasjoner Dette resultatet for divergensen av vektorpotensialet er i virkeligheten mer generelt. Også når vi har tidsvariasjoner, kan vi velge at A = 0. Dette skyldes at vi kan erstatte A med et nytt vektorpotensial A uten at det magnetiske feltet B forandrer seg. Hvis nemlig forskjellen mellom A og A er en gradient av en funksjon og da curl av en gradient alltid er null, ser vi at dette er mulig. Denne spesielle forandringen av vektorpotensialet, A A = A + Λ (23) hvor Λ = Λ(r) er en vilkårlig funksjon, kaller vi en gaugetransformasjon. Magnetfeltet vil da transformere som B B = A = A + Λ = A = B (24) da Λ = 0. Det er derfor invariant under transformasjonen. Vi har en tilsvarende invarians for det elektriske potensialet V (r) hvor vi alltid kan addere til en konstant uten 6

7 at det elektriske feltet E = V forandrer sin verdi. Ofte velger vi denne konstanten slik at potensialet i det uendelige er null. Som et enkelt eksempel på en slik gaugetransformasjon, la oss betrakte et konstant magnetfelt B = Be z langs z-aksen. Da er det lett å se ved direkte utregning at vektorpotensial A = Bx e y vil beskrive dette. Hvis vi nå velger transformasjonsfunksjonen Λ = Bxy, får vi fra (23) ved enkel derivasjon et nytt potensial A = Bx e y +( By e x Bx e y ) = By e x. Hadde vi istedet valgt Λ = Bxy/2, ville vi fått A = Bx e y ( By e x Bx e y ) = 1 2 Bx e y 1 2 By e x Dette kan mer kompakt skrives som A = 1 2 B r (25) og brukes ofte i kvantemekanikken. Det magnetiske vektorpotensialet spiller der en meget viktig rolle i beskrivelsen av elektromagnetiske prosesser. Invarians under gauge transformasjoner spiller en meget viktig rolle i dagens elementrpartikkelfysikk. 5 Maxwell s ligninger Som vist i forelesningene, er de fire fundamentale ligningene til Maxwell som følger: 1) D = ρ 2) E = B 3) B = 0 4) H = J + D Disse gjelder helt gjenerelt, også for elektromagnetiske felt som varierer med tiden. Som Einstein viste, er ligningene i overensstemmelse med hans spesielle relativitetsteori og gjelder derfor for ladning- og strømkilder som beveger seg vilkårlig hurtig. Benytter vi at B = A i den andre ligningen, kan vi på høyre side skrive B/ = /( A) = ( A/) da derivasjoner med hensyn på tid og rom kan ombyttes. Flytter vi dette leddet nå over på høyresiden av ligningen, får vi (E + A ) = 0 Inneholdet i parantesen må derfor være en gradient for alltid å være sant. Sammenholder vi dette med hva vi hadde under statiske forhold, må denne gradienten derfor være V hvor V er det elektriske potensial. Derfor har vi at det elektriske feltet kan alltid skrives som E = V A 7 (26) (27) (28)

8 Det siste leddet er ikke-konservativt og tilsvarerer den elektromotoriske spenning som beskrives i Faraday s induksjonslov. Under gaugetransformasjonen (23) kan det nå se ut til at det elektriske feltet E vil forandres. Vi unngår det ved at det elektriske potensialet samtidig transformeres til V V = V Λ Da må også transformasjonsfunksjonen avhenge av tiden, i.e. Λ = Λ(r, t). Disse to kombinerte transformasjonene utgjør en full gaugetransformasjon som nå vil være en invarians også for tidsvariable elektriske og magnetiske felt. Tar vi divergensen av fjerde ligning, får vi på samme måte at 0 = J + ( D) hvor vi i siste ledd igjen har byttet om på tid og rom-derivasjon. Fra Maxwell s første ligning har vi nå at D = ρ slik at vi får strømbevaringsloven (20) som resultat. Den er nå en konsekvens av Maxwell s ligninger. Eller vi kan si at den er automatisk bygget inn i dem. (29) 6 Elektromagnetiske bølger I vakum et det hverken elektriske ladninger eller strømmer. Her er D = ε 0 E og B = ε 0 H. Maxwell s fjerde ligning blir da B = ε 0 µ 0 ( E/). Deriverer denne partielt med hensyn på tiden, får vi B = ε 2 E 0µ 0 2 På venstre side kan vi her sette inn for B/ fra Maxwell s andre ligning. Det gir ( E) = ε 0 µ 0 2 E 2 Bruker vi nå identiteten (9) kombinert med E = 0, finner vi 2 E = ε 0 µ 0 2 E 2 (30) Dette er bølgeligningen for det elektriske feltet. Den tilsvarende ligningen for det magnetiske feltet finner vi på samme måte ved å først tidsderivere Maxwell s andre ligning og så sette inn E/ fra den fjerde ligningen. Gjør vi så bruk av (9) igjen kombinert med B = 0, blir resultatet 2 B = ε 0 µ 0 2 B 2 (31) 8

9 I begge disse bølgeligningene ser vi at forplantningshastigheten er 1 c = (32) ε 0 µ 0 Setter vi inn de kjente verdiene for konstantene ε 0 og µ 0, gir dette c = m/s. Dette er det samme som lyshastigheten i vakum. Med denne oppdagelsen skjønte Maxwell at lysbølger er et rent elektromagnetisk fenomen beskrevet ved hans ligninger. En plan bølge med frekvens ω = 2πf som forplanter seg langs enhetsvektoren n og med amplitude E 0, er beskrevet ved E(x, t) = E 0 cos(k x ωt) (33) hvor bølgetallet k = (ω/c)n. Man ser at dette er en løsning ved direkte innsettelse i (30). Da vi må ha oppfylt at E = 0, betyr det at k E 0 = 0. På samme måte finner vi for det magnetiske feltet i (31) at k B 0 = 0 som nå følger fra B = 0. Begge feltvektorene står derfor normalt på forplantningsretningen n. Bølgebevegelsen sies å være transvers. Dette ser vi også ved å ta i bruk den andre Maxwell-ligningene. Setter vi inn her løsningene (30) og (31), finner vi at k E 0 = ωb 0. Dette betyr at vi vil ha n E = cb for bølgen. De tre vektorene E, B og n danner derfor hele tiden et høyre-orientert aksekors. Energitettheten i bølgen følger fra det vanlige uttrykket u = 1 (E D + B H) (34) 2 som gir den instantane verdi u = E D for en plan bølge. I alminnelighet vil denne variere med tiden. Fra Maxwell s ligninger kan vi nå undersøke dette nærmere. Vi multipliserer Maxwell s fjerde ligning med E og den andre med H og trekker så de to ligningene fra hverandre. Det gir D E + B H = E ( H) H ( E) J E etter å ha flyttet alle tidsderiverte ledd over på venstre side. Siden B = µ 0 H og D = ε 0 E, ser vi at den dermed blir den tidsderiverte u/ av energitettheten (34). Høyresiden kan tilsvarende forenkles ved å bruke nabla-identiteten (E H) = H ( E) E ( H) Innfører vi her den såkalte Poynting s vektor S = E H, kan vi derfor skrive den resultererende ligning som u + S = J E (35) Her representerer høyresiden ohmsk energitap og vil være null der det ikke er noen strømmer, det vil si utenfor alle ledere. På samme måte som bevaringsligningen for 9

10 elektrisk ladning i (20), har vi dermed etablert en tilsvarende ligning for energi. Her representerer nå Poynting s vektor strømmen av energi. For den plane bølgen (33) skjer den med lysets hastighet i retning n. Elektromagnetiske bølger i media beskrives på nøyaktig samme måte ved de mer generelle Maxwell-ligninger (26) og (27). De resulterende bølgeligningene vil da ble de samme som i vakum, bare med ε 0 µ 0 erstattet med material-verdiene εµ. Vanligvis er ε = εε r og µ = µ r µ 0. Derfor vil materialet ha en lyshastighet v = c/n hvor n = ε r µ r > 1 er brytningsindeksen. 7 Superledere og Meissner-effekt Den spesifikke, elektriske motstand ρ i de fleste materialer avtar langsomt med avtagende temperatur T. I noen få tilfeller går den så plutselig til null som vist i figuren. Slike materialer sies å bli superledende. I alle superledere finnes det nesten frie ledningselektroner. På grunn av den elektriske vekselvirkningen med de faste ionene i gitteret, går ρ T c Figure 1: Den elektriske motsand blir null i en superleder for temperaturer lavere enn den kritiske. elektronene i en superleder ved tilstrekkelige lave temperaturer inn i en kvantemekanisk tilstand hvor de effektivt parer seg to og to. Slike par kalles Cooper-par etter han som foreslo denne mekanismen første gangen - og som senere fikk Nobel-prisen for sitt bidrag. Antall slike par n s per volumenhet varierer med temperaturen til materialet som vist i figuren. For temperaturer T > T c finnes det ingen slike par lenger og T c kalles den kritiske temperaturen. Hvert slikt par satt sammen av to fermioner blir da på et vis en ny bosonisk partikkel. Det er derfor alle parene kan være i samme kvantetilstand. De vil dermed alle ha samme impuls og hastighet. Dette er mulig i kvantemekanikken, men vanskelig å forestille seg i klassisk T 10

11 n s T T c Figure 2: Superledende Cooper-par finnes bare for temperaturer under den kritiske. fysikk. Når superlederen befinner seg i et magnetfelt beskrevet ved vektorpotensialet A, er ikke lenger impulsen p og bevegelsesmengden mv for hver slik partikkel den samme som i klassisk mekanikk. Derimot er det en direkte konsekvens av gauge-invarians at hvor q = 2e er den elektriske ladning for et Cooper-par. p = mv + qa (36) Vi sier ofte at alle partikkelparene i samme kvantetilstand inngår i et kondensat i analogi med hva vi har i klassisk fysikk. Er kondensatet uniformt i rommet, kan det ikke ha noen impuls. Men likevel vil hvert Cooper-par ha en hastighet gitt ved mv = qa som nå er et meget overraskende resultat av gauge-invarians. Det vil derfor være en elektrisk strøm J s = qn s v i superlederen som kan skrives som J s = n sq 2 m A (37) Dette er London s ligning, funnet før ideen om Cooper-par var foreslått. Et enda mer nyttig resultat får vi når vi kombinerer denne ligning med Maxwell s fjerde ligning. Denne skriver vi som B = µ 0 J hvor strømmen J nå inneholder alle strømmer, frie, bundne og superledende. I vårt tilfelle med superstrømmen J s finner vi dermed den viktige relasjonen B = (µ 0 n s q 2 /m)a. Dens fysiske betydning blir klar når vi så tar curl av begge sider. Venstre side av ligningen forenkles ved å benytte identiteten (9) kombinert med Maxwell s tredje ligning B = 0. På høyre side bruker vi at A = B. Dermed får vi 2 B = κ 2 B (38) hvor nå κ 2 = µ 0 n s q 2 /m. konsekvens av (37). Dette kalles også for London s ligning da den er en direkte 11

12 Denne ligningen forklarer nå en av de viktigste egenskapene til superledere, nemlig Meissnereffekten. Tenk deg at du har en superleder som er plassert slik at materialet ligger helt B B 0 x λ Figure 3: Når T < T c trenger et ytre magnetfelt bare litt inn i en superleder. i områet x > 0. Befinner den seg nå i et ytre magnetfelt B 0 langs z-aksen, vil dette inni superlederen være beskrevet av London s ligning (38). Da vi bare har variasjon i x-retningen, forenkles den nå til d 2 B dx 2 = κ2 B Den har enkle løsninger i form av eksponentialfunksjoner. Da det er fysisk umulig at T > T c T < T c c Figure 4: Meissner-effekten består i at magnetfeltet blir presset ut av en superleder når temperaturen T < T c. magnetfeltet vokser inni superlederen, ser vi at den akseptable løsningen er B = B 0 e κx (39) 12

13 hvor B 0 er feltet utenfor superlederen. Dette er vist i figuren. Magnetfeltet trenger bare inn i superlederen et lite stykke gitt ved penetrasjonslengden λ = 1/κ. Desto mindre antall n s Cooper-par vi har, desto lengre inn trenger feltet. For T > T c er n s = 0 og magnetfeltet trenger uhindret inn. Dette er Meissner effekten som vanligvis fremstilles med en superledende sylinder som vist i den siste figuren. Oslo 11/ , Finn Ravndal 13