Innledning Grafer. Grafer / Nettverk. Hva er en graf? Hva er en graf? Eksempler på grafer? Hva er en graf? Elementære Graf-Algoritmer

Transkript

1 rafer / ettverk nnledning rafer lementære raf-lgoritmer ernt ngvald Sunde 1 ernt ngvald Sunde 2 va er en graf? e fleste applikasjoner involverer vanligvis ikke bare et sett elemeter, men også et sett med forbindelser mellom elementene lektriske retser Representert som grafer va er en graf? Relasjonen mellom disse forbindelsene leder fort til mange spørsmål r der en vei som fører fra et element til en annet ved å følge disse forbindelsene? vor mange andre element kan en nå fra et gitt element? va er den beste veien for å nå dette elementet fra dette andre elementet? ernt ngvald Sunde 3 ernt ngvald Sunde 4 va er en graf? or å modellere slike situasjoner, tar vi i bruk abstrakte objekter som vi kaller grafer n graf oder anter ode ant (edge) (forbindelse) = (V,) V = 1,2,3,4 V = 4 = n = 5 = e = (1,2),(1,3),(2,4),(5,2), 4,5) ksempler på grafer? art: en person som planlegger en reise kan trenge svaret på spørsmål som dette va er den minst kostbare veien for å komme til arcelona fra Trondheim? ller hva er den raskeste veien? or å svare på slike spørsmål, trenger vi å prossesere informasjon om forbindelser (reiseruter) mellom elementer (byer) ernt ngvald Sunde 5 ernt ngvald Sunde 6

2 ksempler på grafer? ypertext: år vi surfer på internet, møter vi på dokumenter som inneholder linker til andre dokumenter, og vi ønsker å flytte fra dokument til dokument ved å klikke på linkene. ele internet er da en graf, der elementene er dokumentene og forbindelsene er linkene raf-prosseserings-algoritmer er essensielle komponenter i søke-motorer som hjelper oss å lokalisere informasjonen på internet ksempler på grafer? lektriske kretser: består av elementer som transistorer, resistorer og kapisatorer som er koblet sammen på en innviklet måte, og vi trenger svaret på spørsmål r der en kortslutning i kretsen? an vi legge denne kretsen ut på et chip uten å måtte krysse noen ledninger? ernt ngvald Sunde 7 ernt ngvald Sunde 8 ksempler på grafer? ksempler på grafer? Tidsplanlegging: en fabrikk-prosess krever at en rekke oppgaver blir gjort, og under et sett av betingelser som spesifiserer at visse oppgaver ikke kan starte før andre oppgaver er fullførte Vi representerer da betingelsene som forbindelser mellom oppgavene (nodene) vordan kan vi planlegge rekkefølgen slik at prosessen tar kortest mulig tid? ernt ngvald Sunde 9 ettverk: et data-nettverk består av innbyrdes forbundet sider som sender, videresende og motar meldinger. Vi er interesert i å finne ut om det er en forbindelse mellom alle maskiner vordan vi kan legge ut kabler og bygge svitsjer som kan håndtere trafikken effektivt va skjer dersom en sentral maskin går ned? ryter hele nettverket sammen? ernt ngvald Sunde 10 lere eksempler ernt ngvald Sunde 11 ernt ngvald Sunde 12

3 raf-terminologi lementære raf-lgoritmer ernt ngvald Sunde 13 ernt ngvald Sunde 14 ernt ngvald Sunde 15 ernt ngvald Sunde 16 ernt ngvald Sunde 17 ernt ngvald Sunde 18

4 ernt ngvald Sunde 19 ernt ngvald Sunde 20 ernt ngvald Sunde 21 ernt ngvald Sunde 22 ernt ngvald Sunde 23 ernt ngvald Sunde 24

5 Representasjon av en graf Representasjon e to mest vanlige måtene å representere en graf er nabo-lister og matriser lementære raf-lgoritmer n graf oder anter = (V,) V = 4 = n V = 1,2,3,4 = 5 = e = (1,2),(1,3),(2,4),(5,2), 4,5) ode ant (edge) (forbindelse) ernt ngvald Sunde 25 ernt ngvald Sunde 26 abo-iste representasjon av abo-iste representasjon av n graf 1 2 = (V,) V = 4 = n oder anter 3 4 V = 1,2,3,4 = 5 = e = (1,2),(1,3),(2,4),(5,2), 4,5) ode ant (edge) (forbindelse) ager: n + e rukbar fleksibilitet, lett å sette inn / fjerne kanter og noder. angler muligheter, som å finne settet av noder med inngående linjer til en gitt node ernt ngvald Sunde 27 ernt ngvald Sunde 28 abo-matrise Representasjon av abo-matrise Representasjon av n graf oder anter ode abo-atrise ant (edge) (forbindelse) Representasjon av der ager: n 2 1 bety forbindelse 2 betyr ikke forbindelse = (V,) V = 1,2,3,4 V = 4 = n = 5 = e = (1,2),(1,3),(2,4),(5,2), 4,5) Uegnet (stor lagerplass) or grafer med få kanter. ett å implementere og finne ut om det finnes veier til og fra noder Statisk struktur ernt ngvald Sunde 29 ernt ngvald Sunde 30

6 Søking i grafer Søking i grafer lementære raf-lgoritmer itt: en graf = (V, ), rettet eller urettet ål: metodisk utforske hver node og hver kant i grafen på en bestemt måte ygger opp et tre av grafen lukker ut en node til å være roten Velger visse kanter til å produsere et tre ernt ngvald Sunde 31 ernt ngvald Sunde 32 vorfor Søking i rafer? jør det mulig å løse enkle problem som r det en forbindelse mellom to komponenter? innes det sykler i grafen? Søking i grafer er også en basis for å løse vanskligere graf-problemer ulighet for å koble sammen to komponenter? lanaritet? Relaterte roblem r der en sti fra a til b? øsning S eller S va er korteste vei fra s til t? øsning S innes det en sykel i grafen? øsning S ernt ngvald Sunde 33 ernt ngvald Sunde 34 redde-ørst-søk : va redde-ørst-søk lementære raf-lgoritmer n måte å utforske en graf på Utforsker grafen i bredden ehandler en og en node av gangen ygger et tre av grafen lukker ut en kilde node til å være roten inner ( utforsker ) denne nodens barn, deretter deres barn, etc. (-kø) ernt ngvald Sunde 35 ernt ngvald Sunde 36

7 S : genskaper S bygger et bredde-først-tre, der veier til roten representer korteste veier i an dermed bruke S til å kalkulere korteste vei fra en node til en annen node i (V+) tid orteste-vei distansen δ(s,v) = minste antall kanter fra s til v, eller dersom v ikke er forbundet med s. redde-ørst-søk : vordan ssosierer hver node med en farge vite noder er ikke oppdaget lle noder starter med å være hvite rå noder er oppdaget, men ikke utforsket e kan være naboer med hvite noder Svarte noder er oppdaget og helt utforsket e er bare naboer til svarte og grå noder ernt ngvald Sunde 37 ernt ngvald Sunde 38 redde-ørst-søk : ode S(, s) // s er startnode, er grafen initialierer noder; // fargelegg alle noder hvite Q = s; // initialiserer kø til s while (Q ikke tom) ybde-ørst-søk u = RemoveTop(Q); // ta ut neste node u for (each v u->adj) // gå gjennom alle naboer til u if (v->color == WT) // node ikke oppdaget v->color = RY; v->d = u->d + 1; // oppdater ny node lementære raf-lgoritmer v->p = u; nqueue(q, v); // legg den køen u->color = ; // node ferdig utforsket ernt ngvald Sunde 39 ernt ngvald Sunde 40 ybde-ørst-søk : va ybde-ørst-søk er en annen strategi for å utforske en graf Utforsker grafen i dybden anter blir utforsket fra den siste oppdaget noden v (-kø) år alle kantene til v har blitt utforsket, går en tilbake til noden som v ble oppdaget fra Tar i bruk rekursive metodekall S : genskaper ir verdifull informasjon om grafen Subgrafene former en skog av tre, der hvert tre gjenspeiler strukturen i rekursive kall ar parantes-struktur, kan utrykke velformulerte uttrykk an sjekke om det finnes en vei fra en node til en annen node ernt ngvald Sunde 41 ernt ngvald Sunde 42

8 ybde-ørst-søk : egreper S : seudokode ruker fargelegging slik som S lle noder starter med å være hvite eretter farget grå når de blir oppdaget år de er ferdig utforsket blir de farget sorte nnfører også begrepet timestamp iscovery time, d inished time, f lobale for grafen ernt ngvald Sunde 43 S()// selve algoritmen for each vertex u V[] u->color = WT; time = 0; for each vertex u V[] if (u->color == WT) S_Visit(u); // kalles hver gang // ny node oppdages S_Visit(u) // behandler // aktiv node u->color = RY; time = time+1; u->d = time; for each v dj[u] if (v->color == WT) S_Visit(v); u->color = ; time = time+1; u->f = time; ernt ngvald Sunde 44 Utforsking av en labyrint abyrint-ksempel lementære raf-lgoritmer ernt ngvald Sunde 45 art over en labyrint Urettet graf av laberinten ernt ngvald Sunde 46 abyrint-kempel av S S starter i node abyrint-s lementære raf-lgoritmer oder som ikke er utforsket er hvite anter som ennå ikke er utforsket er helt svarte, mens backedges er stiplede ernt ngvald Sunde 47 ernt ngvald Sunde 48

9 abyrint-kempel av S abyrint-kempel av S n har nå gått så langt en kan fra node i en bestemt retning, helt til en har kommet til som inneholder en kant tilbake til Stien er merket med piler på kantene n har nå nådd, en blindvei, siden og allerede er besøkt ernt ngvald Sunde 49 ernt ngvald Sunde 50 abyrint-kempel av S abyrint-kempel av S tter å ha gått tilbake til, går en i en retning som ikke var utforsket (,) og når til slutt, en annen blindvei. n går så tilbake til. er ser en at alle retninger leder tilbake til noder som er utforsket ernt ngvald Sunde 51 ernt ngvald Sunde 52 abyrint-kempel av S abyrint-kempel av S n går da helt tilbake til (som har sittet på stacken å ventet hele tiden) et var ingen nye veier fra, så en går da helt tilbake, og hele labyrinten er utforsket ernt ngvald Sunde 53 ernt ngvald Sunde 54

10 abyrint-kempel av S S starter i node abyrint-s lementære raf-lgoritmer oder som ikke er utforsket er hvite anter som ennå ikke er utforsket er helt svarte, mens backedges er stiplede ernt ngvald Sunde 55 ernt ngvald Sunde 56 abyrint-kempel av S abyrint-kempel av S S starter i node S starter i node Utforsker alle nodene som er naboer til Utforsker alle noder som er naboer til, og. Vi utforsker grafen/labyrinten i bredden ernt ngvald Sunde 57 ernt ngvald Sunde 58 abyrint-kempel av S abyrint-kempel av S S starter i node S starter i node Utforsker deretter alle nye node som er naboer med og som vi nettopp har oppdaget Utforsker så alle noder som er naboer med,,, og ernt ngvald Sunde 59 ernt ngvald Sunde 60

11 abyrint-kempel av S S starter i node Utforsker til slutt alle naboer til, og. Topologisk- Sortering abyrinten er nå ferdig utforsket lementære raf-lgoritmer ernt ngvald Sunde 61 ernt ngvald Sunde 62 Topologisk-Sortering Topologisk-Sortering Topologisk-Sortering av en rettet graf injær ordning av alle nodene i grafen, slik at node u kommer før node v dersom kanten (u,v) er representert i t ekempel på en topologisk sortering er år du skal kle på deg Undertøy ukse elte Skjorte Slips akke Sokker lokke Sko le på seg ernt ngvald Sunde 63 ernt ngvald Sunde 64 Topologisk-Sortering ksempel et rosjekt Undertøy ukse elte Skjorte Slips Sokker lokke Sko le på seg t stort prosjekt er ofte inndelt i en kolleksjon av mindre oppgaver, som må bli utført i en spesifisert rekkefølge for å fullføre det store prosjektet. ersom xi er en mindre oppgave kan dette framstilles grafisk X 1 X 2 X 4 akke X 6 Sokker Undertøy uske Sko lokke Skjorte elte Slips akke ernt ngvald Sunde 65 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 3, x 5, x 1, x 2, x 4, x 6, X 3 X 5 ulige topologiske sorteringer ernt ngvald Sunde 66

12 Topologisk-Sortering Topological-Sort() jør S år en node er ferdig, print den oder er printet i omvendt topologisk rekkefølge Tid: (V+) Strongly onnected omponenter lementære raf-lgoritmer ernt ngvald Sunde 67 ernt ngvald Sunde 68 Strongly onnected omponenter efinisjon: Sterkt sammenhengende komponenter i en gra er en (sub-)graf der alle noder kan nå alle andre noder i grafen Strongly onnected omponenter lgoritmen: (V+) lgoritmen bruker 2 dybde-først søk: n på =(V,) og en på T =(V, T ), (kantretningene er reversert) =(V,) Redusert graf av ernt ngvald Sunde 69 ernt ngvald Sunde 70