2: Velg en av resonansfrekvensene og mål trykket som funksjon av posisjon i røret. Finn knutene i de stående bølgene og bestem lydhastigheten.

Transkript

1 Laboratorieøvelse Bølgefysikk, Inst. for fysikk, NTNU Dato oppdatert: 30. september 2010 LYDBØLGER Mål: Hensikten med oppgaven er å gjøre seg kjent med bølger og den matematiske beskrivelsen av bølger. Som del av dette inngår å gjøre seg kjent med begrepene bølgelengde, bølgetall, frekvens, vinkelfrekvens (sirkelfrekvens) og fasehastighet. Det legges vekt på å knytte sammen den matematiske beskrivelsen og den fysiske forståelsen av bølgefenomener. I oppgaven vil en møte tre ulike varianter av bølger; løpende bølger, stående bølger og resonansbølger. Stående bølger oppstår når en løpende og reflektert bølge adderes i området foran reflektoren. Når mediet som bølgene forplanter seg i reflekteres fra to ulike grenseflater, kan resonans oppstå. Et eksempel på dette er et rør som enten er åpent eller lukket i endeflatene. Da vil frekvenser som samsvarer med lengden av luftsylinderen forsterkes. I det som følger nedenfor vil først oppgavene og noen kommentarer i forbindelse med gjennomføringen bli introdusert. Som støtte for eksperimentene introduseres bølgelikningen for endimensjonale bølger med løsninger i teoridelen. Dernest vil det bli gitt en kort beskrivelse av løpende og stående bølger, og hvorfor stående bølger og resonans oppstår. En kortfattet versjon av Fourieromvending blir også presentert. Oppgaver 1: Finn resonansfrekvensene til et rør hvor den ene enden er lukket og den andre eksiteres med lydbølger fra en liten høyttaler. Sammenlikne målingene med teoretiske verdier og finn lydhastigheten. 2: Velg en av resonansfrekvensene og mål trykket som funksjon av posisjon i røret. Finn knutene i de stående bølgene og bestem lydhastigheten. 3: La resonansrøret utsettes for en harmonisk lydbølge og bestem Fourierspekteret. Finn Fourierspekteret når røret utsettes for støy. 4: Bestem resonansfrekvensene til en orgelpipe som eksiteres med støy. 5: Finn lydhastigheten ved bruk av stående bølger i et ferdig oppsett fra Brüel og Kjær. 6: Bruk Datastudio og sensorer til å finne lydhastigheten. 1 Teoretisk bakgrunn 1.1 Lydhastigheten Lydbølger skyldes sammenpressing av luft i et område og hvordan de forplanter seg i lufta. For å utlede bølgelikningen for trykkbølger brukes Newtons II lov på et element av lufta og adiabatlikningen for volumendringer av gasser. Et luftvolum avgrenses, se Fig. 1, og P 0 er lufttrykket i likevektstilstanden. Avgrensingen av luftvolumet gjøres ved posisjon x og x+ x langs x-aksen. x er altså tykkelsen av luftvolumet og A er tverrsnittet til luftsøylen. Vi tenker oss så at luftsøylen forskyves, på grunn av trykkendringer, og at trykket på venstre og høyre grenseflate av luftsøylen er P og P + P, henholdsvis. De nye endeflatene til luftsøylen ligger ved x+ξ(x) og x+ x+ξ(x+ x), der ξ(x) og ξ(x + x) er endringene i posisjonene til endeflatene av luftmassen. Det akustiske trykket er trykkforskjellen p = P P 0 ; eller P = P 0 +p. Dette medfører at endringer i trykket P er lik en endring i det akustiske trykket; P = p, siden P 0 er konstant. Når vi bruker Newtons II lov (summen av krefter er lik masse multiplisert med akselerasjon) på dette luftelementet, får vi: P A (P + P) A = A x ρ 2 ξ 2 (Newton II). (1) t 1

2 Figur 1: En avgrenset luftsøyle som forskyves på grunn av trykkendringer. Symbolet betyr partiellderivert, altså en endring i størrelsen selv og ρ er tettheten til lufta. Herav følger: p = x ρ 2 ξ t 2 (2) p x p x = ρ 2 ξ t2. (3) Når en avgrenset luftmengde presses sammen, vil trykket som lufta utsettes for og volumendringene være proporsjonale: p = B V (4) V der B kalles for volumkompressibiliteten. Dette gir: p = B A ξ ξ = B A x x. (5) Når dette deriveres med hensyn på x, fås: p x = B 2 ξ x 2 (6) og når dette settes inn i likningen over, fås bølgelikningen: B 2 ξ x 2 2 ξ x 2 = ρ 2 ξ t 2 (7) = ρ B 2 ξ t 2 = 1 c 2 2 ξ t 2 (8) der c 2 = B ρ og c er fasehastigheten til bølgene. Vi vil nå finne et uttrykk for volumkompressibiliteten. Endringene i luftvolumet er så raske at de regnes som adiabatiske, som vil si at ikke varme fra omgivelsene rekker å slippe ut fra den komprimerte lufta. Da gjelder følgende sammenheng mellom trykk og volum: der γ er adiabatkonstanten. Derivasjon av dette uttrykket gir, når høyresiden er konstant: eller som gir pv γ = konstant, (9) dp V γ +p γ V γ 1 dv = 0 (10) dp+p γ dv V = 0 (11) dp dv V = p γ (12) som er B med motsatt fortegn. Tettheten til lufta er lik massen til lufta, som er antall mol (n) multiplisert med molekylvekta M (molmassen, g/mol) til luft, dividert på volumet denne massen opptar: ρ = m V = n M V. Dermed blir fasehastigheten for lydbølger: B pγ nrt c = ρ = ρ = V γ γrt = (lydhastigheten). (13) n M M V Dimensjonen (enheten) av uttrykket under rottegnet blir: [ ] γrt = 1 Nm/(mol K) K M 0, 001 kg/mol = 1000 Nm kg = m2 s 2. (14) 2

3 Molekylmassen M er antallet gram av molekylvekta (tilnærmet lik antallet nukleoner i molekylet). Tallverdien til molekylmassen til luft, som er en blanding av nitrogen og oksygen, er; M = 28,8 g (fra 0, , = 28,8) slik at lydhastigheten som funksjon av temperatur T (i Kelvin) blir: 1,4 8, T/K c = m/s = 20,05 T/Km/s. (15) 28,8 For null grader Celsius (273,14 K) blir lydhastigheten: c =331,4 m/s. Dersom en vil finne lydfarten som funksjon av temperaturen T C i Celsiusgrader, kan en bruke relasjonen: og får da ved romtemperatur T C = 20 C at c = 343,4 m/s. T = (273+T C / C)K (16) Bølgelikningen er en partiell differensiallikning og er tilfredsstilt av alle to ganger deriverbare funksjoner av form ξ = f(u) = f(x ct). Dette ser en ved derivasjon og innsetting i bølgelikningen. Partiell derivasjon med hensyn til x gir: 2 ξ x 2 = 2 f u 2 u2 x 2 = 2 f 1 u2 (17) og partiell derivasjon med hensyn på t gir: 2 ξ t 2 = 2 f u 2 u2 t 2 = 2 f u 2 c2. (18) 1.2 Løpende bølger (vandrebølger) En harmonisk bølge har formen: ξ(x,t) = ξ 0 sin(ϕ) (19) der ϕ kalles fasen. Ved tidspunktet t = 0 og ved en vilkårlig posisjon x er fasen ϕ = x λ 2π, der λ er bølgelengden eller avstanden mellom to bølgetopper. Når x = λ vil sinusfunksjonen få samme verdi som i x = 0. x/λ er lik antallet bølger mellom 0 og x. Ved en vilkårlig tid t senere er fasen på stedet x lik ϕ = x ct 2π, siden bølgen da λ har beveget seg et stykke ct, se Fig. 2. Figur 2: Vandrebølge. Derfor skriver vi en harmonisk bølge på følgende form: ( ) ( 2π 2π c t 2π ξ(x,t) = ξ 0 sin x = ξ 0 sin λ λ λ ) x 2πf t = ξ 0 sin(kx ωt) (20) siden c λ = f. Størrelsen k kalles bølgetallet og er antallet bølger på en strekning 2π, dvs. k = 2π/λ og vinkelfrekvensen er ω = 2π f. ξ(x, t) er utslaget til luftmolekylene fra likevekt ved posisjon x og tid t. Trykkvariasjonene kan finnes ved derivasjon: p = B ξ(x,t) = B ξ 0 k cos(kx ωt) p 0 cos(kx ωt) (21) x og det er oftest trykkendringer som måles. Vi vil nå finne et uttrykk for akustisk impedans (Z), som er mediets motstand mot lyd. Den er definert som 3

4 forholdet mellom akustisk trykk (p) og hastigheten (v) til luftmolekylene: som gir: v = ξ dt = ξ 0 cos(kx ωt) ( ω) (22) Z = p v = B k ω = B w w c = c2 ρ = c ρ. (23) c Den akustiske impedansen, som er analog til elektrisk motstand (spenning/strøm), er altså produktet av fasehastighet og mediets tetthet. 1.3 Refleksjon av bølger Vi tenker oss en bølge som løper mot høyre med fasehastighet c. I x = 0 møter bølgen en forandring i mediet, for eksempel at tettheten endrer seg. Figur 3: Innfallende, reflektert og transmittert bølge. Da vil noe av bølgen forsette inn i det nye mediet, mens en del vil reflekteres tilbake, se Fig. 3. I tilfellet av harmoniske bølger beskrives den innfallende, reflekterte og den transmitterte bølgen beskrives slik: ξ i (x,t) = ξ i 0 sin(kx ωt) ξ r (x,t) = ξ r 0 sin(kx+ωt) ξ t (x,t) = ξ t 0 sin(k t x ωt), (24) der symbolbruken er som tidligere. Når vi nærmer oss x = 0 fra venstre side, hvor bølgen er en sum av innfallende og reflektert bølge, eller høyre, der vi bare har den transmitterte bølgen, må utslagene være like: eller ξ i 0 sin( ωt)+ξ r 0 sin(ωt) = ξ t 0 sin(ωt) (25) ξ i 0 ξ r 0 = ξ t 0 (første grensebetingelse). (26) Videre må trykket være kontinuerlig i punktet x = 0. Dette medfører: B 1 k i ξ i 0 +B 1 k i ξ r 0 = B 2 k t ξ t 0 (andre grensebetingelse). (27) Av dette finner vi amplituden til den reflekterte bølgen, når vi bruker at: B k = ρ c 2 ω = ρ c ω = Z ω (28) c og at vinkelfrekvensen (ω) er like stor på begge sider: ξ r 0 = Z 2 Z 1 Z 2 +Z 1 ξ i 0 (amplitude til reflektert bølge). (29) En ser at når tettheten til mediet på høyre side er mye større enn på venstre side, vil amplituden til reflektert bølge være like stor som den innfallende. 1.4 Stående bølger Når hele bølgen blir reflektert, blir bølgen en sum av innfallende og reflektert bølge: ξ(x,t) = ξ0 i sin(kx ωt)+ξ0 i sin(kx+ωt) = ξ0 i [sinkx cosωt coskx sinωt)]+ξ0 i [sinkx cosωt+coskx sinωt)] 4

5 = 2 ξ i 0 sinkx cosωt (stående bølge). (30) Dette er en harmoniske svingning (cosωt) med en x-avhengig amplitude (2ξ i 0 sinkx) og kalles en stående bølge. Selv om ikke amplituden til den reflekterte bølgen er like stor som den innfallende, får en stående bølger. Den sammensatte bølgen blir da: ξ(x,t) = (ξ i 0 +ξ r 0) sin(kx) cos(ωt) (ξ i 0 ξ r 0) cos(kx) sin(ωt) (31) som er en differansen mellom to stående bølger med amplituder lik summen og differensen mellom innfallende og reflektert, og hvor stedsleddet og tidsleddet har faseforskyninger på π/2 i forhold til hverandre. 1.5 Resonans Begge ender er lukket: Vi tenker oss at lydbølgene hindres i videre forplantning på to steder, slik at de reflekteres tilbake. Dette er tilfellet for bølgeutbredelse i et endimensjonalt rør. Anta at dette røret har lengde L og at den ene enden er plassert i x = l 1 og den andre i x = l 2. Figur 4: Rør med to lukkede ender. Randbetingelsene blir da at utslagene (ξ) må være null både i x = l 1 og x = l 2. Det medfører, ifølge uttrykket for stående bølger; at sinkl 1 = 0 og sinkl 2 = 0. Dette medfører at både kl 1 = n 1 π og kl 2 = n 2 π, der både n 1 og n 2 er hele tall. Dermed blir: L = l 2 l 1 = (n 2 n 1 ) π 2π λ = n λ 2 der n er et helt tall, n = 1,2,3,4... Dette kan også skrives om til λ n = 2 L n. Begge ender er åpne: Det er lettere for lydbølgen å forplante seg i fri luft sammenliknet med i det begrensede området inne i røret. Det medfører at en del av bølgene blir reflektert når den kommer til utgangen av røret. I åpningen av røret er trykket lik lufttrykket, slik at betingelsene blir da at det akustiske trykket er null cos(kl 1 ) = 0 og cos(kl 2 ) = 0, der l 1 og l 2 er posisjonene til endene av røret. Disse betingelsene gir k l 1 = π 2 +n 1 π og k l 2 = π 2 +n 2 π som til sammen gir: altså λ n = 2 L n L = l 2 l 1 = (n 2 n 1 ) π = n λ (33) k 2 som er det samme som over. En ende åpen, den andre lukket Anta at åpningen til venstre er åpen og den til høyre er lukket. Da blir betingelsene: cos(kl 1 ) = 0 og sin(kl 2 ) = 0 som gir k l 1 = π 2 +n 1 π og k l 2 = n 2 π, henholdsvis. Av dette får vi: som gir: L = l 2 l 1 = (n 2 n 1 ) π k Som vi skal se senere, er disse uttrykkene en overforenkling. + π 2 1 k (32) (34) λ n = 2 L n+ 1. (35) Impedans og refleksjon i rør Vi har fra tidligere at impedansen for plane lydbølger, Z = p/v, er forholdet mellom lydtrykk og hastighet til luftmolekylene, og kalles den karakteristiske impedansen. En stor impedans vil si at for et gitt lydtrykk vil molekylene bevege seg lite. Vi betrakter nå lydbølger inne i et rør sammensatt av to deler, med tverrsnittsareal A 1 og A 2, henholdsvis. Da må vi regne med impedans per arealenhet. Dermed blir forholdet mellom amplitudene til innfallende og reflektert 5

6 tverrsnitt A 1 tverrsnitt A 2 Figur 5: Diskontinuitet i rør: ulike tverrsnitt. bølge: I et rør med åpen ende vil det altså skje refleksjon og transmisjon av lydbølger. ξ0 r ξ0 i = Z A 2 Z A 1 Z A 2 + Z A 1 = A 2 A 1 A 2 +A 1. (36) 1.7 Resonans i rør For lydbølger avgrenset til et område, for eksempel et rør, regnes impedansen per arealenhet (A), og impedansen blir da: Z = p/v A = ρ c A. (37) La oss betrakte et rør hvor det er en høyre løpende og en venstre løpende reflektert bølge: Figur 6: Luftsøyle i rør. Til venstre er det en bevegelig membran (høyttaler) og røret er åpent i høyre ende. Inne i røret er det en bølge som løper langs positiv x-akse og en bølge reflektert fra åpningen som løper i negativ retning.hastighetenetilbølgeneipositiv-ognegativx-retning(reflektertbølge)vilbliv i = ρ c Aogv p i r = ρ c A p r (hastighet i motsatt retning) og samlet impedans på et sted x blir da: Z = p i +p r = ρ c v i +v r A pi +p r = ρ c p i p r A pi 0 exp( ikx)+p r 0 exp(ikx) p i (38) 0 exp( ikx) pr 0 exp(ikx). Ifølge uttrykket over er impedansen i henholdsvis origo (x = 0) og ved x = L gitt ved: Z 0 = ρ c A pi 0 +p r 0 p i 0 pr 0 (39) Z L = ρ c A pi 0 exp( ikl)+p r 0 exp(ikl) p i (40) 0 exp( ikl) pr 0 exp(ikl), og når disse uttrykkene kombineres, kan amplitudene elimineres, og en får: Z 0 = ρ c A ZL +i ρ c A tanh(kl) ρ c A +i Z L tanh(kl). (41) La oss tenke oss at røret drives av en mikrofon ved x = 0 og har åpen ende ved x = L. Som en første gjetning kunne en si at impedansen ved x = L er null; Z L = 0. Dette ville gi at Z 0 = ρ c i tanh(kl) (42) A Resonansene finner sted når impedansene har minima, og dette er tilfellet når imaginæredelen av impedeansuttrykket er null; det vil at tanh(kl) = 0, som resulterer i at resonansfrekvensene blir som vist tidligere f n = n c 2L. Den riktige betingelsen, imidlertid, er at impedansen ved utgangen av røret er lik strålingsimpedansen Z r : Z L = Z r, som er lik: Z r = ρ c S ( 1 2 (k a)2 +i 0,61 k a der a er radien til røret. Strålingsimpedansen er motstanden til lufta utenfor røret mot å sende ut trykkbølger. Når dette settes inn i uttrykket for Z 0, som igjen er minimal når en har resonansene (altså at imaginærenheten er null), ) (43) 6

7 fås følgende uttrykk for resonansfrekvensene: Dette uttykket er litt forskjellig from ligning 33 f n = n c 2(L+0,61a). (44) 1.8 Litt om Fourieromvending La oss tenke oss et signal som varierer med tiden på følgende måte: f(t) = a 1 sin(ω 0 t)+a 2 sin(2ω 0 t)+... a i sin(iω 0 t)+... (45) Signalet er en sum av harmoniske signaler med frekvenser som er heltallige multipla av grunnfrekvensen ω 0. Dette kunne være lydbildet fra f. eks. et instrument der a 1 er amplituden til grunnsvingningen ω 0 og a i er amplituden til de overharmoniske svingningene med frekvens iω 0. Framstilt som funksjon av tiden t, eller i tidsbildet, er denne lyden en sum av harmoniske svingninger. Enhver funksjon kan løses opp i en sum av harmoniske funksjoner, som kalles en Fourieromvending av signalet. I vårt eksempel er funksjonen allerede en sum av harmoniske signaler. Da kan amplitudene (Fourierkoeffisientene) framstilles som funksjon av frekvensene. I vårt eksempel får en bare bidrag ved ω 0, grunnfrekvensen, og ved iω 0, de overharmoniske frekvensene, slik at den Fourieromvendte funksjonen kan vises umiddelbart; se Fig. 7. Figur 7: Fourieromvending av signal som sum av harmoniske signaler. Det generelle uttrykket for en Fourierrekka til periodisk funksjon f(t) = f(t+t), der T er perioden, er: ( ) 2πnt ( ) 2πnt f(t) = a 0 + a n cos + b n sin, (46) T T n=1 der de såkalte Fourierkoeffisienten a n og b n er: hvor ϕ = 2π T t = ω 0t. a n = 1 π 2π 0 f(ϕ) cos(nϕ)dϕ n=1 b n = 1 π 2π 0 f(ϕ) sin(nϕ)dϕ (47) Fourierkoeffisientene finnes altså ved en matematisk utregning av disse integralene. Dette er som regel vanskelig, og ofte gjøres dette i praksis hjelp av datamaskin. Utgangspunktet er da et signal (f) som omsettes til digital form med jevne mellomrom, og disse tidspunktene kan kalles t k, der tallet k = 0,1,2,3...(N 1). Vi kjenner altså funksjonsverdiene f(t k ). En diskret Fourieromvending (DFT) er en algoritme som utfører følgende matematiske operasjon på funksjonen f k = f(t k ) og finner DFT koeffisientene (F n ): F n = = i N 1 k=0 k=1 f k exp( 2π i n k/n) = N ( ) 2π n k f(t n ) sin + N N 1 k=0 f k (i sin(2π n k/n)+cos(2π n k/n)) N ( 2π n k f(t n ) cos N k=1 ). (48) Operasjonen er illustrert i Fig. 8. Den digitaliserte verdien av funksjonen er i hvert punkt multiplisert med en cosinus (eller sinus) funksjon med frekvens ω n = 2π n T = ω 0 n og deretter blir alle produktene er summert. Rekken av tall (vektoren) kalles den diskrete Fouriertransformerte av funksjonen. Vi vil vise sammenhengen mellom DFT og FT. Et signal logges i en bestemt tid, kalt T. Antallet digitaliseringer er N, slik at tiden mellom hver digitalisering 7

8 Figur 8: Figuren illustrerer operasjonene som gjøres ved en diskret Fourieroppløsning av et signal. er T s = T/N. Tidspunktene for samplingene blir t k = kt s, der k = 0,1,2...(N 1). Vi definerer da en variabel frekvens: ω n = 2π n T = ω 0 n, (49) der ω 0 = 2π T kalles grunnfrekvensen og n er et heltall. Vi vil se hva som skjer når vi approksimerer FT med følgende uttrykk, der n = 0,1,...(N 1): F(ω n ) = T 0 exp( i ω n t) f(t)dt N 1 T s exp( 2π i n k/n) f(t k ) = T N F n, (50) k=0 siden F n nettopp var definert som denne summen. Altså er Fourierkoeffisientene de samme som DFT koeffisientene, bortsett fra en tallfaktor. 2 Praktisk utførelse Punkt 1 og 2: Resonanser i Kundts rør og måling av lydhastigheten. Figur 9: Apparaturoppsettet. Utstyret skal settes opp som vist i Fig. 9. Fremgangsmåten for dette er: Sett trykkmåleren (mikrofonen) inn i røret og slå på mikrofonforsterkeren. Før du slår på spenningen fra funksjonsgreneratoren til høyttaleren, pass på at utgangssignalet (amplituden) fra funksjonsgeneratoren er skrudd til null og at høyttalerene er koblet til utgangen med lav utgangsmotstand. 8

9 Siden høyttaleren er liten og bare tåler effekten P = 0,1 W, er vi nødt til å passe på spenningen som brukes. Siden vi vet at motstanden R i spolen som trekker membranen frem og tilbake er 32 Ω, må spenningen ikke være større enn (dette er bare et maksimum, og det er ingen grunn til å ha så høy spenning): V = R P = 32 0,1V 1.7V (fra: P = V I = V 2 ), (51) R som tilsvarer en maksimalamplitude på 1,7V 2 2,4V. Foråværepådensikresiden,brukikke mer enn 0,5 voltogsjekkdettevedhjelpavetmultimeteret(innstilt på AC). Amplituden ut fra funksjonsgreneratoren er frekvensavhengig, det vil si at ved høye frekvenser må amplituden stilles ned. Koble signalet til høytaleren inn på Ch 1 på oscilloskopet. Mikrofonen kobles til Ch 2 og oscilloskopet trigges fra TTL (transistor-transistor logic)-utgangen på signalgeneratoren. Sett høyttaleren helt inntil røret. Legg stempelet på en lengde L og mikrofonen på en lengde L/2 inne i røret. Stil på frekvensen ut fra funksjonsgeneratoren og resonansene for n = 1 til n = 10 ved hjelp av oscilloskopet. Disse resonansene skulle kunne høres, men på grunn av støy i laboratoriet er det vanskelig. Når en høyttalermembran vibrerer i nærheten av røret, vil enkelte frekvenser forsterkes av røret. Disse kalles resonansfrekvensene, og er bestemt av dimensjonene av røret og lydhastigheten. En hypotese er at luftmolekylene i nærheten av membranen svinger maksimalt. Da kan dette stedet regnes som en åpen ende. Tilsvarende regnes den andre enden for åpen når det ikke er noen plugg der. Ifølge teorien skal vi da kunne finne resonansfrekvenser på samme måte som vist i tabell 1. Tabell 1: Forventede resonansfrekvenser i et åpent rør med rørlengde L =0,70 cm og lydhastighet v = 343,4 m/s. Tabellen er framkommet ved Excel programmering hvor øverste rad og venstre kolonne er Excel-nummereringen. Følgende koder er lagt inn for bølgelengder og frekvenser: C5=2*$C$3/B5 D5=$D$3/C5 osv. klikke og dra. 1 B C D E 2 åpne ender rørlengde= lydhast.= ,4 4 n bølgelengder frekvenser forhold Resonansener fra åpen og lukket ende er visualisert i Fig. 10. Velg en resonasfrekvens (f.eks. n=5 eller 6) og beveg mikrofonen gjennom røret, og mål trykket (min eller max) som funksjon av posisjon i røret. Bruk avstanden mellom forskjellige knuter til å finne lydhastigheten. Punkt 3: Fourieromvending og bruk av støy. Til dette eksperimentet brukes et resonansrør som er lukket i begge ender (høyttalerene er den ene enden) og hvit støy. Hvit støy er kjennetegnet ved at den inneholder alle frekvenser. Hvis denne lyden sendes inn i et resonansrør vil bare frekvensene i støyen som samsvarer med resonansfrekvenesen i røret bli forsterket. Det er dette vi skal se ved å gå fram som følger: 9

10 Figur 10: Illustrasjon av resonanstilstander i rør med to åpne ender, og rør med en åpen og en lukket ende. Figurene angir utslagene fra likevekt for luftmolekylene. Lufttrykket er faseforskjøvet π/2 i forhold. Åpne Matlab og bruk følgende program til å lese fra DAQ-en (m-filen sound3.m finnes i E:\ MATLAB\ R2010a\ work) 12 : Bak hver kommando følger en liten forklaring på hva den gjør (bak prosenttegnet). 1 clear all; 2 close all; 3 % lukker gamle filer 4 AI=analoginput('nidaq','Dev2'); 5 %identifiserer "device" (Et National Instrument datainnsamlingkort) 6 Chan=addchannel(AI,0); 7 %spesifiserer hvilken kanal på kortet som skal logges 8 set(ai,'inputtype','differential'); 9 %spesifiserer at det skal måles differensielt (spenningen mellom to 10 %ledninger) 11 Fs=10000; 12 % spesifiserer samplingsfrekvens 13 AI.Channel.InputRange=[ ]; 14 %spesifiserer måleområdet; mellom -0.2 og 0.2 V 15 duration=1; 16 %spesifiserer samplingstiden; 1 sek 17 set(ai,'samplerate',fs); 18 %maskinen implementerer samplingsrate 19 ActualRate=get(AI,'Samplerate'); 20 % henter ut hva den virkelige samplingsfrekvensen er 21 set(ai,'samplespertrigger',duration*actualrate); 22 %maskiner avsetter plass til datastrengen 1 Finnes også på nettsiden til faget. 2 Dette programmet kan det hende at en må modifiseres litt for å kunne kjøre på alle PC-ene i labben. Spør labassistenten hvis det ikke fungerer. 10

11 23 set(ai,'triggertype','manual'); 24 % at sampling starter manuelt 25 blocksize=get(ai,'samplespertrigger'); 26 % størrelsen på datastrengen 27 Fs=ActualRate; 28 start(ai); 29 trigger(ai); 30 data=getdata(ai); 31 %dette er datastrengen 32 delete (AI); 33 clear AI; 34 for n=1:1:length(data); 35 tid(n)=n/fs; 36 end 37 %samplingstidspunktene bergnes 38 figure 39 plot(tid,data) 40 n=length(data); 41 %de målte verdiene framstilles i en figur 42 save F:\labdata\lyd.dat data -ascii -tabs 43 %de målte dataene lagres 44 y=fft(data); 45 % det gjøres en Fourieromvending av signalet 46 n1=length(y) 47 %finner lengden av datastrengen 48 abs=y(1:n/2).*conj(y(1:n/2)); 49 %regner ut absoluttverdien av den Fourieromvendte (halve lengden) 50 f=(0:(n1/2-1))*(fs/n1); 51 %beregner tilhørende frekvenser 52 figure 53 plot(f,abs) 54 %frekvensspekteret plottes Lydtrykket skal logges ved bruk av et National Instrument datainnsamlingskort (DAQ) som styres og leses fra Matlab. Koble mikrofonen til DAQ-en og legg den helt inntil stempelet Bruk signalgeneratoren og utsett røret for et harmonisk signal. Start så Matlab filen. Etter at Matlab har lest og regnet ut FFT skal figurer vises. En av disse figurene inneholder Fourieromvendingen. Studer dette spekteret. Nå skal røret utsettes for hvit støy: Støysignalet hentes fram ved å laste datafilen 3 F:\misc\whitenoise.wav på PC-en inn i en mediaavspiller (windows media player). Koble høyttaleren til PC-en. Start avspillingen av støyen og kjør deretter m-filen i Matlab. Noter resonansfrekvensene til røret i en tabell. Punkt 4: Bestem resonansfrekvensene til en orgelpipe som eksiteres med støy. En orgelpipe har en lukket og en åpen ende, og har veldefinerte resonansfrekvenser. Disse skal finnes ved hjelp av Fourieromvending. Fremgangsmåten er som følger: Åpne samme m-fil som i forrige punkt. Ta mikrofonen ut av røret og legg den på bordet. 3 Finnes også på nettsiden til faget. 11

12 Ta opp lyden fra en orgelpipe med Matlab. Orgelpipen blåses på med trykkluft fra veggen. Finn resonansfrekvensene og finn hvilken note det tilsvarer, se tabell 2 Finn lydhastigheten. Husk å ta hensyn til ligning 44 Tabell 2: Frekvenser for de forskjellige notene Note Omtrentlig frekvens (Hz) C 262 C# 277 D 294 D# 311 E 330 F 349 F# 370 G 392 G# 415 A 440 A# 466 B 494 Punkt 5: Måling av lydhastighet ved bruk av stående bølger. Du skal bruke et ferdig oppsett (Brüel og Kjær) hvor lydtrykket inne i et rør måles som funksjon av sted. Når lyd sendes inn i dette rørert, som har en veldig tynn membran i forkant, vil det oppstå stående bølger. Siden membranen er veldig tynn kan røres regnes som om det har en åpen ende. Slå på voltmeteret som måler trykket. Slå på funksjonsgeneratoren og velg en frekvens. Beveg på toget og skriv ned posisjonene x 1,x 2,x 3, til knutepunktene (der lydtrykket er null). Finn lydfarten. Anslå usikkerheten i frekvensen og avstanden mellom to naboknuter ved hjelp av: σ c c = (σλ λ ) ( ) 2 2 σf +, f σ λ λ = σ xk x k. (52) Punkt 6: Måling av lydhastighet ved bruk av løpende bølger. I dette eksperimentet brukes en høyttaler som er direktiv; det vil si den sender ut bølger stort sett i fremoverretning. Dessuten brukes Pasco Datastudio for måling av lydtrykk. Fra teoridelen vet vi at harmoniske bølger beskrives matematisk på følgende vis: ( ) 2π y(x,t) = y 0 sin(kx ωt) = y 0 sin x 2πf t. (53) λ Dersom to mikrofoner plasseres ved posisjonene x 1 og x 2 i lydfeltet, vil de måle lydtrykkene ( ) ( ) 2π 2π y(x 1,t) = y 0 cos λ x 1 2πf t og y(x 2,t) = y 0 cos λ x 2 2πf t Ett eksempel på dette er vist i figur 11. (54) Fremgangsmåten i for å kunne måle lydhastigheten ved hjelp av løpende bølger er: Koble to mikrofoner til dataloggingssystemet og slå det på. 12

13 Figur 11: Eksempel fra Pasco Datastudio. Åpne Datastudio på PC-en. I Datastudio lag et nytt eksperiment ved å trykke på Create Experiment og legge til to Sound Sensor De to signalene skal logges i 0,02 sekunder (stilles i Options ) med en loggefrekvens på 10 khz (stilles ved å dobbelklikke på sensoren). Bruk en frekvens på ca 500 Hz til høyttaleren. Hent disse signalene inn i samme graf og gjør en kurvetilpasning (sinus). Finn lydhastigheten. NB: I Pascoprogrammet er faktoren 2π neglisjert, både i vinkelfrekvens og faseforskjell (bølgetall). Programmet er ikke helt konsistent, det vil si at Datastudio bruker π = 1/2 = 2π = 1 (sterkt krummet rom). Fasen kan være negativ - legg da til 1.0. Fasedifferansen ser ut til å kunne bli 0.5 større enn den skal være - det tilsvarer et fortegnsskifte (sin(x+π) = sin(x)) som datastudio ser ut til å gjøre uten å si fra. 13