LABORATORIUM I EMNENE TFY4160 BØLGEFYSIKK FY1002 BØLGEFYSIKK. for studenter ved studieprogrammene MTFYMA MLREAL BFY NTNU

Transkript

1 LABORATORIUM I EMNENE TFY4160 BØLGEFYSIKK FY1002 BØLGEFYSIKK for studenter ved studieprogrammene MTFYMA MLREAL BFY NTNU Høsten 2010

2

3 Forord Dette heftet inneholder tekster til laboratoriekurset til emnene TFY4160 Bølgefysikk og FY1002 Bølgefysikk Dette utgjøres av praktiske laboratorieoppgaver En generell beskrivelse av TFY4160/FY1002 Bølgefysikk finnes på følgende nettside: og laboratoriekurset spesielt: På disse nettsidene vil studentene finne all nødvendig informasjon om påmeldinger til laboratoriet, timeplaner, romfordelinger osv Heftet bygger på tidligere laboratoriehefter i TFY4160 Bølgefysikk og FY1002 Bølgefysikk, med følgende bidragsytere: Arne Mikkelsen, Pawel Sikorski Magnus Olderøy, Severin Sadjina, Jon Andreas Støvneng, Mikael Lindgren Nnnnnn Nnnnnnn, Thor Bernt Melø 24 august 2010

4 ii

5 Innhold 1 LYDBØLGER 1 11 Praktiskutførelse 2 12 Teoretiskbakgrunn Lydhastigheten Løpendebølger(vandrebølger) Refleksjonavbølger Ståendebølger Resonans Impedansogrefleksjonirør Resonansirør LittomFourieromvending 14 2 VANNBØLGER Kommentarertiloppgavene Teoretiskerelasjonerforvannbølger Matematisk beskrivelse av harmoniske bølger Teoriforbølgepaketter Kortfattet utledning av dispersjonsrelasjonen for vannbølger 26 3 BØLGEOPTIKK Teoretiskbakgrunn Elektromagnetiskebølger Refleksjonogrefraksjon Polarisasjonoginterferens Diffraksjon Braggdiffraksjon Anvendelseavmikrobølger Metoder Generering og deteksjon av mikrobølger Polarisatorer Beregningsoppgaver Eksperimenter Apparatur Polarisasjon Intensitetforulikeavstander 49 iii

6 iv INNHOLD 354 Intensitetforulikeretninger Transmisjon Refleksjon Stående bølger Målingavbølgelengde Refraksjon Youngs dobbeltspalteeksperiment Braggdiffraksjon - målingavgitterkonstant Avslutning 53 A OSCILLOSKOPET 55 A1 Teoretiskbakgrunn 55 A11 Katodestrålerøret 55 A12 Oscilloskopet 57

7 Kapittel 1 LYDBØLGER Mål Hensikten med oppgaven er å gjøre seg kjent med bølger og den matematiske beskrivelsen av bølger Som del av dette inngår å gjøre seg kjent med begrepene bølgelengde og bølgetall, frekvens og vinkelfrekvens (sirkelfrekvens), og fasehastigheten til bølgene Det legges vekt på å knytte sammen den matematiske beskrivelsen og den fysiske forståelsen av bølgefenomener I oppgaven vil en møte tre ulike varianter av bølger; løpende bølger, stående bølger og bølger i resonans Stående bølger oppstår når en løpende og reflektert bølge setter seg sammen i området foran reflektoren Når mediet som bølgene forplanter seg i kan reflekteres fra to ulike grenseflater, kan resonans oppstå Et eksempel på dette er et rør som eneter er åpent eller lukket i endeflatene og frekvenser som samsvarer med lengden av luftsylinderen vil forsterkes I det som følger nedenfor vil først bølgelikningen for endimensjonale bølger med løsning bli introdusert Dernest vil det bli gitt en kort beskrivelse av løpende og stående bølger, og hvorfor stående bølger oppstår En kan foreta en Fourieromvending av slike svingninger, og dermed kan lydhastigheten bestemmes Oppgaver 1: Finn resonansfrekvensene til et rør med lukket ende som utsettes med lydbølger fra en liten høyttaler Finn lydhastigheten 2: Finn resonansfrekvensene til det samme røret med åpen ende og finn lydhastigheten 3: La resonansrøret utsettes for en harmonisk lydbølge og bestem Fourierspekteret Finn Fourierspekteret når røret utsettes for støy 4: Bestem resonansfrekvensene til en orgelpipe som eksiteres med støy 5: Finn lydhastigheten for løpende bølger og bruk av Datastudio 1

8 2 KAPITTEL 1 LYDBØLGER 6: Finn lydhastigheten ved bruk av stående bølger 11 Praktisk utførelse Punkt 1 og 2: Resonanser i Kundts rør og måling av lydhastigheten Sett opp utstyret som vist i Fig 11 Figur 11: Apparaturoppsettet Sett trykksonden i enden av røret La tidsaksen bevege seg med hastighet 5 ms/delestrek og den målte spenningen til signalet være 5 mv/delestrek Skru på forsterkerenog funksjonsgeneratoren Pass på at amplituden er skrudd ned på null før du slår den på Høyttaleren er liten og tåler bare effekten P = 0,1 W Motstanden R ispolensom trekker membranen att og fram er 8 Ω, og det medfører at spenningen inn på høyttaleren fra generatoren ikke må være større enn: V = R P = 8 0, 1V = 0, 9V (fra: P = V I = V ) 2, R som tilsvarer en maksimalamplitude på 0, 9V 2 1, 2V For åværepå den sikre siden, bruk ikke mer enn 0,5 volt og kontroller dette ved hjelp av et AVO-meter (innstilt på AC) Koble mikrofonen til Channel 2 på oscilloskopet og uttaket på funksjonsgeneratoren til Channel 1 Du kan trigge oscilloskopet fra TTL(transistortransistor logic)-utgangen på oscilloskopet Sett frekvensen til 100 Hz og øk den langsomt Du kan både høre og se utslaget på oscilloskopet og sett opp de observerte resonansfrekvensene i en tabell Lydhastigheten kan du finne som produktet av frekvens og bølgelengde Når en høyttaler vibrerer i nærheten av røret, vil enkelte frekvenser forsterkes av røret Disse kalles resonansfrekvensene og er bestemt av dimensjonene av røret og lydhastigheten Der som høyttaleren står svinger luftmolekylene maksimalt og dette stedet regnes da som

9 11 PRAKTISK UTFØRELSE 3 en åpen ende Tilsvarende regnes den andre enden for åpen når det ikke er noen plugg der Ifølge teorien skal vi da finne følgende resonansfrekvenser; se tabellen under Tabell 11: Forventede resonansfrekvenser i et åpent rør med rørlengde L =0,70 cm og lydhastighet v = 343,4 m/s Tabellen er framkommet ved Excel programmering hvor øverste rad og venstre kolonne er Excel-nummereringen Følgende koder er lagt inn for bølgelengder og frekvenser: C5=2*$C$3/B5 D5=$D$3/C5 osv klikke og dra 1 B C D E 2 åpne ender rørlengde= lydhast= ,4 4 n bølgelengder frekvenser forhold Resonansene er visualisert i Fig 12 For hver av resonansene, beveg trykksonden gjennom røret og noter deg maksimale og minimale verdier Sett disse inn i tabell og beregn lydhastigheten Punkt 3: Fourieromvending og bruk av støy Det brukes resonansrør som er lukket i begge ender Støysignalet hentes fra F/misc/whitenoise Lydtrykket logges ved bruk av National Instrument datainnsamlingskort Hvit støy inneholder alle frekvenser Bare de frekvensene i støyen med frekvenser som samsvarer med resonansfrekvensene vil forsterkes opp i røret Matlab-programmet som henter inn data og Fourieromvender datastrengen er vist nedenfor Bak hver kommando følger en liten forklaring på hva den gjør (bak prosenttegnet) clear all; close all; % lukker gamle filer AI=analoginput( nidaq, Dev2 ); %identifiserer "device"(et National Instrument datainnsamlingkort) Chan=addchannel(AI,0); %spesifiserer hvilken kanal på kortet som skal logges set(ai, InputType, Differential );

10 4 KAPITTEL 1 LYDBØLGER Figur 12: Illustrasjon av resonanstilstander i rør med to åpne ender og rør med en åpen og en lukket ende %spesifiserer at det skal måles differensielt(spenningen mellom to %ledninger) Fs=10000; % spesifiserer samplingsfrekvens AIChannelInputRange=[-02 02]; %spesifiserer måleområdet; mellom -02 og 02 V duration=1; %spesifiserer samplingstiden; 1 sek set(ai, SampleRate,Fs); %maskinen implementerer samplingsrate ActualRate=get(AI, Samplerate ); % henter ut hva den virkelige samplingsfrekvensen er set(ai, SamplesPerTrigger,duration*ActualRate); %maskiner avsetter plass til datastrengen set(ai, TriggerType, Manual ); % at sampling starter manuelt blocksize=get(ai, SamplesPerTrigger ); % størrelsen på datastrengen Fs=ActualRate; start(ai);

11 11 PRAKTISK UTFØRELSE 5 trigger(ai); data=getdata(ai); %dette er datastrengen delete (AI); clear AI; for n=1:1:length(data); tid(n)=n/fs; end %samplingstidspunktene bergnes figure plot(tid,data) n=length(data); %de målte verdiene framstilles i figur save F:\labdata\lyddat data -ascii -tabs %de målte dataene lagres y=fft(data); % det gjøres en Fourieromvending av signalet n1=length(y) %finner lengden av datastrengen abs=y(1:n/2)*conj(y(1:n/2)); %regner ut absoluttverdien av den Fourieromvendte (halve lengden) f=(0:(n1/2-1))*(fs/n1); %beregner tilhørende frekvenser figure plot(f,abs) %frekvensspekteret plottes Punkt 5: Framgangsmåte for måling av lydhastighet ved bruk av løpende bølger Det brukes en høyttaler som er direktiv; det vil si den sender ut bølger stort sett i framoverretning Dessuten brukes Pasco Datastudio for måling av lydtrykk Endimensjonale, harmoniske bølger beskrives matematisk på følgende vis: ( ) 2π y(x, t)=y 0 sin(kx ωt) =y 0 sin λ x 2πf t der y 0 er maksimalutslaget, λ er bølgelengden og ω er vinkelfrekvensen (også kalt vinkelfart, sirkelfrekvensen) Dersom to mikrofoner plasseres ved posisjonene x 1 og x 2 ilydfeltet, vil de måle lydtrykkene y(x 1,t)=y 0 cos ( 2π λ x 1 2πf t Ett eksempel på dette er vist i figur 13 ) og ( ) 2π y(x 2,t)=y 0 cos λ x 2 2πf t koble to mikrofoner til dataloggingssystemet

12 6 KAPITTEL 1 LYDBØLGER Figur 13: Eksempel fra Pasco Datastudio bruk en frekvens på ca 500 Hz til høyttaleren som lager lyden Logg de to signalene samtidig i 0,02 sek med en loggefrekvens på 10kHz Hent disse signalene inn i samme graf og gjør en kurvetilpasning (sinus) Dette er gjort i eksempelet over og tilpasningsparametrene er beregnet og vist Ifølge bølgeuttrykket blir faseforskjellen mellom de to signalene Δϕ = k (x 1 x 2 ), og fra Fig 13 blir Δϕ =0, , = 0, 291 (gitt i andeler av bølgelengder) Når avstanden mellom mikrofonene ble målt til x 1 x 2 = 0,20 m, blir fasehastigheten c = ω k = ω Δϕ x 1 x 2 = 2π 500 s 1 2π 0,291 0,20m = 344 ms 1 NB: I Pascoprogrammet er faktoren 2π neglisjert, både i vinkelfrekvens og faseforskjell (bølgetall) Punkt 6: Framgangsmåte for måling av lydhastighet ved bruk av stående bølger Du bruker et ferdig oppsett (Brüel og Kjær) hvor lydtrykket inne i et rør måles som funksjon av sted Skriv ned posisjonene x 1,x 2,x 3, der lydtrykket er null Avstanden mellom to naboknuter (Δx) er halve bølgelengden; altså λ = 2Δx Les av frekvensen f, og finn lydfarten som c = λ f Se avsnittet om stående bølger Usikkerheten beregnes slik: σ c c = σ λ λ + σ f f, σ λ λ = σ xk x k Anslå usikkerheten i frekvensen (feks 0,1 Hz) og usikkerheten i avstanden mellom to naboknuter (for eksempel 0,1 cm)

13 12 TEORETISK BAKGRUNN 7 12 Teoretisk bakgrunn 121 Lydhastigheten Lydbølger skyldes sammenpressing av luft i et område og hvordan de forplanter seg i lufta For å utlede bølgelikningen for trykkbølger brukes Newtons II lov på etelement av lufta og adiabatlikningen for volumendringer av gasser Figur 14: En avgrenset luftsøyle som forskyves på grunn av trykkendringer Et luftvolum avgrenses, se Fig 14, og P 0 er lufttrykket i likevektstilstanden Avgrensingen av luftvolumet gjøres ved posisjon x og x +Δx langs x-aksen Δx er altså tykkelsen av luftvolumet og A er tverrsnittet til luftsøylen Vi tenker oss så at luftsøylen forskyves, på grunn av trykkendringer, og at trykket på venstre og høyre grenseflate av luftsøylen er P og P +ΔP, henholdsvis De nye endeflatene til luftsøylen ligger ved x + ξ(x) og x +Δx + ξ(x +Δx), der ξ(x) ogξ(x +Δx) er endringene i posisjonene til endeflatene av luftmassen Det akustiske trykket er trykkforskjellen p = P P 0 ; eller P = P 0 + p Dette medfører at endringer i trykket P er lik en endring i det akustiske trykket; ΔP =Δp, siden P 0 er konstant Når vi bruker Newtons II lov (summen av krefter er lik masse multiplisert med akselerasjon) på dette luftelementet, får vi: P A (P +ΔP ) A = A Δx ρ 2 ξ 2 t (Newton II) Symbolet betyr partiellderivert, altså en endring i størrelsen selv og ρ er tettheten til lufta Herav følger: Δp = Δx ρ 2 ξ t 2 Δp Δx p x = ρ 2 ξ t 2 Når en avgrenset luftmengde presses sammen, vil trykket som lufta utsettes for og volumendringene være proporsjonale: p = B ΔV V

14 8 KAPITTEL 1 LYDBØLGER der B kalles for volumkompressibiliteten Dette gir p = B A ξ ξ = B A x x Når dette deriveres med hensyn på x, fås p x = B 2 ξ x 2 og når dette settes inn i likningen over, fås bølgelikningen B 2 ξ = ρ 2 ξ x 2 t 2 2 ξ = ρ x 2 B 2 ξ t = 1 2 c 2 ξ 2 t 2 der c 2 = B ρ og c er fasehastigheten til bølgene Vi vil nå finne et uttrykk for volumkompressibiliteten Endringene i luftvolumet er så raske at de regnes som adiabatiske, som vil si at ikke varme fra omgivelsene rekker å slippe ut fra den komprimerte lufta Da gjelder følgende sammenheng mellom trykk og volum: pv γ = konstant, der γ er adiabatkonstanten Derivasjon av dette uttrykket gir, når høyresiden er konstant dp V γ + p γ V γ 1 dv =0 eller dp + p γ dv V =0 som gir dp dv V = p γ som jo er B med motsatt fortegn Tettheten til lufta er lik massen til lufta, som er antall mol (n) multiplisert med molekylvekta M (molmassen, g/mol) til luft, dividert på volumet denne massen opptar: ρ = m = n M Dermed blir fasehastigheten for lydbølger: V V B pγ nrt c = ρ = ρ = γ V γrt = (lydhastigheten) M n M V Dimensjonen (enheten) av uttrykket under rottegnet blir: [ ] γrt = 1 Nm/K K 1000 Nm = M 0, 001 kg kg = m2 s 2 Molekylmassen M er antallet gram av molekylvekta (tilnærmet lik antallet nukleoner i molekylet) Tallverdien til molekylmassen til luft, som er en blanding av nitrogen og

15 12 TEORETISK BAKGRUNN 9 oksygen, er; M = 28,8 g (fra 0, , = 28, 8) slik at lydhastigheten som funksjon av temperatur T (i kelvin) blir: 1, 4 8, T/K c = m/s =20, 05 T/Km/s 28, 8 For null grader Celsius (273,14 K) blir lydhastigheten: c =331,4 m/s Dersom en vil finne lydfarten som funksjon av temperaturen t i Celsiusgrader, kan en bruke relasjonen: T = (273 + t/ C) K og får da ved romtemperatur t =20 C at c = 343,4 m/s Bølgelikningen er en partiell differensiallikning og alle to ganger deriverbare funksjoner av form ξ = f(u) =f(x ct), tilfredsstiller bølgelikningendette ser en ved derivasjon og innsetting i bølgelikningen Partiell derivasjon med hensyn x gir: og partiell derivasjon med hensyn på t gir 2 ξ x = 2 f 2 u u2 2 x = 2 f 2 u 2 k2 2 ξ t = 2 f 2 ϕ ϕ2 2 t 2 = 2 f ϕ 2 ω2 Innsetting i bølgelikningen gir videre at forholdet mellom vinkelfrekvens og bølgetall, B som er fasehastigheten, er lik ρ 122 Løpende bølger (vandrebølger) En harmonisk bølge har formen ξ(x, t) =ξ 0 sin(ϕ) der ϕ kalles fasen Ved tidspunktet t =0ogvedenvilkårlig posisjon x er fasen ϕ = x 2π, λ siden x/λ er lik antallet bølger mellom 0 og x, ogλ er bølgelengden eller utstrekningen av en bølge Når x = λ vil sinusfunksjonen få samme verdi som i x = 0 Ved en vilkårlig tid t senere er fasen på stedetx lik ϕ = x ct 2π, siden bølgen da har beveget seg et λ stykke ct, se Fig 15 Derfor skriver vi en harmonisk bølge på følgende form: ( 2π ξ(x, t) =ξ 0 sin λ x 2π c t ) ( ) 2π = ξ 0 sin λ λ x 2πf t = ξ 0 sin(kx ωt) siden c = f Størrelsen k kalles bølgetallet og er antallet bølger på enstrekning2π, dvs λ k =2π/λ og vinkelfrekvensen er ω =2π f

16 10 KAPITTEL 1 LYDBØLGER Figur 15: Vandrebølge ξ(x, t) er utslaget til luftmolekylene fra likevekt ved posisjon x og tid t Trykkvariasjonene kan finnes ved derivasjon: ξ(x, t) p = B = B ξ 0 k cos(kx ωt) p 0 cos(kx ωt) x og det er oftest trykkendringer som måles Vi vil nå finne et uttrykk for akustisk impedans (Z), som er mediets motstand mot lyd Den er definert som forholdet mellom akustisk trykk (p) og hastigheten (v) til luftmolekylene: v = ξ dt = ξ 0 cos(kx ωt) ( ω) som gir Z = p v = B k ω = B c c c = B c B ρ = c ρ Den akustiske impedansen, som er analog til elektrisk motstand (spenning/strøm), er altså produktet av fasehastighet og mediets tetthet 123 Refleksjon av bølger Vi tenker oss en bølge som løper mot høyre med fasehastighet c Ix = 0 møter bølgen en forandring i mediet, for eksempel at tettheten endrer seg Da vil noe av bølgen forsette inn i det nye mediet, mens en del vil reflekteres tilbake, se Fig 16 I tilfellet av harmoniske bølger beskrives den innfallende, reflekterte og den transmitterte bølgen beskrives slik: ξ i (x, t) =ξ i 0 sin(kx ωt) ξ r (x, t) =ξ r 0 sin(kx + ωt) ξ t (x, t) =ξ t 0 sin(k t x ωt), der symbolbruken er som tidligere Når vi nærmer oss x = 0 fra venstre side, hvor bølgen er en sum av innfallende og reflektert bølge, eller høyre, der vi bare har den transmitterte bølgen, må utslagene være like: ξ i 0 sin( ωt)+ξ r 0 sin(ωt) =ξ r 0 sin(ωt)

17 12 TEORETISK BAKGRUNN 11 Figur 16: Innfallende, reflektert og transmittert bølge eller ξ i 0 ξ r 0 = ξ r 0 (første grensebetingelse) Videre må trykket være kontinuerlig i punktet x = 0 Dette medfører: B 1 k i ξ i 0 + B 1 k i ξ r 0 = B 2 k t ξ t 0 (andre grensebetingelse) Av dette finner vi amplituden til den reflekterte bølgen, når vi bruker at B k = ρ c 2 ω c = ρ c ω = Z ω og at vinkelfrekvensen (ω) erlikestorpå begge sider: ξ r 0 = Z 2 Z 1 Z 2 + Z 1 ξ i 0 (amplitude til reflektert bølge) Enseratnår tettheten til mediet på høyre side er mye større enn på venstre side, vil amplituden til reflektert bølge være like stor som den innfallende 124 Stående bølger Når hele bølgen blir reflektert, blir bølgen en sum av innfallende og reflektert bølge ξ(x, t) = ξ0 i sin(kx ωt)+ξ0 i sin(kx + ωt) = ξ0 i [sin kx cos ωt cos kx sin ωt)] + ξi 0 [sin kx cos ωt +coskx sin ωt)] = 2 ξ0 i sin kx cos ωt (stående bølge) Dette er en harmoniske svingning (cos ωt) med en x-avhengig amplitude (2ξ i 0 sin kx) og kalles en stående bølge Selv om ikke amplituden til den reflekterte bølgen er like stor som den innfallende, får en stående bølger Den sammensatte bølgen blir da: ξ(x, t) =(ξ i 0 + ξ r 0) sin(kx) cos(ωt) (ξ i 0 ξ r 0) cos(kx) sin(ωt)

18 12 KAPITTEL 1 LYDBØLGER som er en differense mellom to stående bølger med amplituder lik summen og differensen mellom innfallende og reflektert, og hvor stedsleddet og tidsleddet har faseforskyninger på π/2 i forhold til hverandre 125 Resonans Begge ender er lukket: Vi tenker oss at lydbølgene hindres i videre forplantning på to steder, slik at de reflekteres tilbake Dette er tilfellet for bølgeutbredelse i et endimensjonalt rør Anta at dette røret har lengde L og at den ene enden er plassert i x = l 1 og den andre i x = l 2 Figur 17: Rør med to lukkede ender Randbetingelsene blir da at utslagene (ξ) måværenullbåde i x = l 1 og x = l 2 Det medfører, ifølge uttrykket for stående bølger; at sin kl 1 =0ogsinkl 2 = 0 Dette medfører at både kl 1 = n 1 π og kl 2 = n 2 π, der både n 1 og n 2 er hele tall Dermed blir L = l 2 l 1 =(n 2 n 1 ) π 2π λ = n λ 2 der n er et helt tall, n =1, 2, 3, 4 eller vi kan skrive λ n = 2 L n Begge ender er åpne: Det er lettere for lydbølgen å forplante seg i fri luft sammenliknet med i det begrensede området inne i røret Det medfører at en del av bølgene blir reflektert når den kommer til utgangen av røret I åpningen av røret er trykket lik lufttrykket, slik at betingelsene blir da at det akustiske trykket er null cos(kl 1 )=0ogcos(kl 2 )=0,derl 1 og l 2 er posisjonene til endene av røret Disse betingelsene gir k l 1 = π + n 2 1 π og k l 2 = π + n 2 2 π som til sammen gir L = l 2 l 1 = (n 2 n 1 ) π = n k 2 λ altså λ n = 2 L n eller det samme som over En ende åpen, den andre lukket Anta at åpningen til venstre er åpen og den til høyre er lukket Da blir betingelsene: cos(kl 1 )=0ogsin(kl 2 ) = 0 som gir k l 1 = π 2 + n 1 π og k l 2 = n 2 π, henholdsvis Av dette får vi L = l 2 l 1 = (n 2 n 1 ) π k + π 2 1 k som gir λ n = 2 L n Som vi skal se senere, er disse uttrykkene en overforenkling

19 12 TEORETISK BAKGRUNN Impedans og refleksjon i rør Vi har fra tidligere at impedansen for plane lydbølger er Z = p/v, forholdet mellom lydtrykk og hastighet til luftmolekylene og som kalles den karakteristiske impedansen En stor impedans vil si at for et gitt lydtrykk vil molekylene bevege seg lite Vi betrakter nå lydbølger inne i et rør sammensatt av to deler, med tverrsnittsareal A 1 og A 2, henholdsvis Figur 18: Diskontinuitet i rør: ulike tverrsnitt Da må vi regne med impedans per arealenhet Dermed blir forholdet mellom amplitudene til innfallende og reflektert bølge: ξ0 r Z A = 2 Z A 1 = A 2 A 1 ξ0 i Z A 2 + Z A A 2 + A 1 1 Ietrørmedåpen ende vil det altså skje refleksjon og transmisjon av lydbølger 127 Resonans i rør For lydbølger avgrenset til et område, for eksempel et rør, regnes impedansen per arealenhet (A), og impedansen blir da Z = p/v A = ρ c A La oss betrakte et rør hvor det er en høyre løpende og en venstre løpende reflektert bølge: Figur 19: Luftsøyle i rør Til venstre er det en bevegelig membran (høyttaler) og røret er åpent i høyre ende Inne i røret er den en bølge som løper langs positiv x-akse og en bølge reflektert fra åpningen som løper i negativ retning Hastighetene til bølgene i positiv- og negativ x- retning (reflektert bølge) vil bli v i = p i ρ c A og v r = p r A (hastighet i motsatt ρ c retning) og samlet impedans påetstedx blir da: Z = p i + p r = ρ c v i + v r A pi + p r = ρ c p i p r A pi 0 exp( ikx)+pr 0 exp(ikx) p i 0 exp( ikx) pr 0 exp(ikx)

20 14 KAPITTEL 1 LYDBØLGER Ifølge uttrykket over er impedansen for impedansen i henholdsvis origo (x =0)ogved x = L gitt ved: Z 0 = ρ c A ξi + ξ r ξ i ξ r Z L = ρ c A ξi exp( ikl)+ξ r exp(ikl) ξ i exp( ikl) ξ r exp(ikl), og når disse uttrykkene kombineres, kan amplitudene elimineres, og en får: Z 0 = ρ c A ZL + i ρ c tanh(kl) A ρ c + i Z A L tanh(kl) La oss tenke oss at røret drives av en mikrofon ved x =0ogharåpen ende ved x = L Som en første gjetning kunne en si at impedansen ved x = L er null; Z L = 0 Dette ville gi at Z 0 = ρ c S i tanh(kl) Resonansene finner sted når impedansene har minima, og dette er tilfellet når imaginæredelen av impedeansuttrykket er null; det vil at tanh(kl) =0, som resulterer i at resonansfrekvensene blir som vist tidligere f n = n c Den riktige betingelsen, imidlertid, 2L er at impedansen ved utgangen av røret er lik strålingsimpedansen Z r : Z L = Z r,somer lik: Z r = ρ c ( ) 1 S 2 (k a)2 + i 0, 61 k a der a er radien til røret Strålingsimpedansen er lik motstanden til lufta utenfor røret mot trykkbølger Når dette settes inn i uttrykket for Z 0, som igjen er minimal når en har resonansene (altså at imaginærenheten er null), fås følgende uttrykk for resonansfrekvensene: n c f n = 2(L +0, 61a) 13 Litt om Fourieromvending La oss tenke oss et signal som varierer med tiden på følgende måte: f(t) =a 1 sin(ω 0 t)+a 2 sin(2ω 0 t)+ a i sin(iω 0 t)+ Signalet er en sum av harmoniske signaler med frekvenser som er heltallige multipla av grunnfrekvensen ω 0 Dette kunne være lydbildet fra f eks et instrument der a 1 er amplituden til grunnsvingningen ω 0 og a i er amplituden til de overharmoniske svingningene med frekvens iω 0 Framstilt som funksjon av tiden t, eller i tidsbildet, er denne lyden en sum av harmoniske svingninger Enhver funksjon kan løses opp i en sum av harmoniske funksjoner, som kalles en Fourieromvending av signalet I vårt eksempel er funksjonen allerede en sum av harmoniske signaler Da kan amplitudene (Fourierkoeffisientene) framstilles som funksjon av frekvensene I vårt eksempel får en bare bidrag ved ω 0, grunnfrekvensen, og ved iω 0,deoverharmoniske

21 13 LITT OM FOURIEROMVENDING 15 Figur 110: Fourieromvending av signal som sum av harmoniske signaler frekvensene I vårt eksempel er funksjonen allerede en sum av harmoniske signaler, slik at den Fourieromvendte funksjonen kan vises umiddelbart; se Fig 110 Det generelle uttrykket for en Fourierrekka til periodisk funksjon f(t) =f(t + T ), der T er perioden, er: f(t) =a 0 + ( ) 2πnt a n cos + T n=1 der de såkalte Fourierkoeffisienten a n og b n er: ( ) 2πnt b n sin, T n=1 a n = 1 π 2π f(ϕ) cos(nϕ)dϕ b n = 1 π 2π f(ϕ) sin(nϕ)dϕ hvor ϕ = 2π T t = ω 0t 0 Fourierkoeffisientene finnes altså ved en matematisk utregning av disse integralene Dette er som regel vanskelig, og ofte gjøres dette i praksis hjelp av datamaskin Utgangspunktet er da et signal (f) som omsettes til digital form med jevne mellomrom, og disse tidspunktene kan kalles t k, der tallet k =0, 1, 2, 3(N 1) Vi kjenner altså funksjonsverdiene f(t k ) En diskret Fourieromvending (DFT) er en algoritme som utfører følgende matematiske operasjon på funksjonen f k = f(t k ) F n = = i N 1 f k exp( 2π i n k/n) = k=0 N ( ) 2π n k f(t n ) sin + N k=1 N 1 k=0 0 f k (i sin(2π n k/n)+cos(2π n k/n)) N ( 2π n k f(t n ) cos N k=1 ) Operasjonen er illustrert i Fig 111 Den digitaliserte verdien av funksjonen er i hvert punkt multiplisert med en cosinus (eller sinus) funksjon med frekvens ω n =2π n = T ω 0 n og alle produktene er summert Rekken av tall (vektoren) kalles den diskrete Fouriertransformerte av funksjonen Vi vil vise sammenhengen mellom DFT og FT Et signal logges i en bestemt tid, kalt T Antallet digitaliseringer er N, slik at tiden mellom hver digitalisering er T s = T/N Tidspunktene for samplingene blir t k = kt s,

22 16 KAPITTEL 1 LYDBØLGER Figur 111: Figuren illustrerer operasjonene som gjøres ved en diskret Fourieroppløsning av et signal der k =0, 1, 2(N 1)Videfinererdaenvariabelfrekvens ω n =2π n T = ω 0 n, der ω 0 = 2π kalles grunnfrekvensen og n er et heltall Vi vil se hva som skjer når vi T approksimerer FT med følgende uttrykk, der n =0, 1, (N 1): F (ω n ) = T exp( i ω n t) f(t)dt 0 T s N 1 k=0 siden F n nettopp var definert som denne summen exp( 2π i n k/n) f(t k )= T N F n,

23 Kapittel 2 VANNBØLGER Mål Hensikten med oppgaven er å gjøre seg kjent med begrepene frekvens, bølgelengde og fasehastighet til bølger Dessuten er hensikten å gjøre seg kjent med begrepene dispersjon og gruppehastighet og hvordan denne kan måles og avledes fra dispersjonsrelasjonen En skal måle fase- og gruppehastighet for vannbølger i to ulike frekvensintervall ved bruk av to forskjellige teknikker Oppgaver A - for harmoniske vannbølger (i lite vannkar, det brukes stroboskopiske teknikker får å måle bølgelenger) 1: Mål bølgelengden (λ) som funksjon av frekvensen (f) 2: Beregn fasehastigheten c (c = λf) og framstill denne som funksjon av bølgetallet k (k =2π/λ) Regnearket Excel kan brukes til dette 3: Finn fra målingene i forrige punkt hva gruppehastigheten (u) til vannbølger vil bli som funksjon av bølgetallet k Dette kan gjøres i samme Escelark som du brukte i punktet over Framstille u og c i samme diagram 4: Beregn og framstill kvadratet av målte vinkelfrekvenser (sirkelfrekvenser) (ω 2 ; ω = 2πf) som funksjon av bølgetallet k Bestem, ved sammenlikning av det teoretiske uttrykket for ω 2 (dispersjonsrelasjonen) med målte resultater, vannets overflatespenning og kommenter resultatene 5: Bruk dispersjonsrelasjonen til å finne fase- og gruppehastighet som funksjon bølgelengde og sammenlikne målt med beregnet fasehastighet B - for en bølgepakett på vannoverflaten (i bølgerenne, vi benytter oss av at en krum vannoverflate vil virke som samle/spredelinse) 17

24 18 KAPITTEL 2 VANNBØLGER 1 og 2: Som punkt 1 og 2 over 3: Lag en bølgegruppe og mål gruppehastighet ved bruk av Datastudio og detektorer for lysmåling Sammenlikne den målte verdien med forventet verdi 21 Kommentarer til oppgavene Punkt A1 Vannoverflata som linse Den krumme vannoverflata fungerer som sylinderlinser, og den punktformede lyskilden vil avbildes som lyse striper på bordflaten, se Fig 21 Lyskilden og duppen som lager bølgene har samme frekvens, og selv om en bølgetopp med tilhørende stripe har beveget seg en bølgelengde mellom hvert blink, vil vi oppfatte bildet på bordet som stillestående Figur 21: Strålegangen fra lyskilde til billedplan Den krumme vannoverflata vil bryte lyset Fra punktkilden kan vi trekke to linjer gjennom to påfølgende bølgetopper Vi kan videre trekke to parallelle linjer, en i vannoverflata og en i billedplanet (bordet), slik at vi får to likebente trekanter Da ser vi at forholdet mellom bølgelengden til vannbølgene (λ) og av bildet av dem på bordet(λ ), er lik forholdet mellom avstandene fra lyskilden til vannflata og bordet: λ = a λ = λ a λ b b Lyskilden er punktkilde og vannbølgene er plane, slik at på bordet vil se mørke og lyse striper For å øke nøyaktigheten, måles avstanden mellom feks seks striper, som vil være fem bølgelengder

25 21 KOMMENTARER TIL OPPGAVENE 19 Punkt A3: I følge matematisk utledning (se senere), oppstår gruppehastigheten fordi vinkelfrekvensen (ω) endrer seg med bølgetallet (k) og den finnes som den deriverte: u i = Δω Δk = ω i+1 ω i 1 k i+1 k i 1 Dette kan utføres direkte i Excel som divisjoner av differenser mellom to naboceller Se Tabell 21 Indeksen i er nummeret til en rad i Exceldiagrammet Tabell 21: Eksempel på Excel-bruk til datainnamling og databearbeidelse Punkt A4: Ifølge teorien for vannbølger, har en følgende dispersjonsrelasjon (for dypvannsbølger) ω 2 = g k + σ ρ k3 Når bølgelengden måles i cm, er g = 982 cm/s 2 Størrelsen σ er overflatespenningen, som forrentvanner80gcm/s 2 og tettheten er ρ =1, 0g/cm 3 Lag en kolonne i Exceldiagrammet for dette uttrykket og sammenlign med ω 2 beregnet fra målingene Tilpass σ til best overensstemmelse Da kan problemløseren (eller Solver) brukes Det er essensielt minste kvadraters metode, hvor en beregner kvadratsummen av avvikene mellom teoretisk og målt størrelse og minimaliserer denne for å finne overflatespenningen Framstille begge ω 2 (teoretisk og målt) i samme Exceldiagram Punkt A5: Finn også teoretisk fasehastighet (ω beregnes som kvadratroten av uttrykket over, og divider dette med k) og sammenlikn den med den målte Gjør det tilsvarende for gruppehastigheten u i = Δω Δk = ω i+1 ω i 1, k i+1 k i 1

26 20 KAPITTEL 2 VANNBØLGER hvor dispersjonsrelasjonen nå brukes for å finne differenser i ω Figur 22: Eksempel på graf som viser fasehastighet sfa bølgetall PunktB1ogB2: Oppsettet er liknende som under punkt A1, men lyskilden er slått på hele tiden Når det settes to lysmålere under bølgerenna på to forskjellige steder, vil en få målinger som kan se noe ut som i Fig 23 Signalet fra diodene er proporsjonale med lysintensiteten, Figur 23: Måling av lysintensitet fra to detektorer plassert under en bølgerenne som blir belyst med en punktkilde plassert over bølgerenna som igjen er en funksjon av krumningen til vannoverflata på et sted Fasehastigheten er hastigheten som en bølgetopp beveger seg med, og den kan finnes direkte som c = Δx/Δt Tidsforskjellen Δt mellom bølgetoppene finnes i Datastudio ved hjelp av [x, y]-markør og Δx som avstanden mellom fotodiodene (husk å redusere med geometrifaktoren)

27 22 TEORETISKE RELASJONER FOR VANNBØLGER 21 Punkt B3: Bølgegruppen lages ved en kortvarig innkobling av motoren som driver bølgegeneratoren Gruppehastigheten måles direkte som avstanden mellom fotodiodene dividert med tidsforskjellen mellom maksimalverdier for gruppene Den forventede gruppehastighet beregnes som u = Δω Δk = ω i+1 ω i k i+1 k i Da må en finne den midlere frekvensen (f) til de harmoniske bølgene som paketten består av, som er inversverdien til tidsrommet (T ) mellom to påfølgende topper i paketten (f = 1/T ) Herfra finnes tilsvarende vinkelfrekvens, ω = 2πf; ogsådet tilhørende k-tallet som k = ω/c 22 Teoretiske relasjoner for vannbølger Fasehastigheten (c) til en bølge er farten til en bølgetopp og den er bestemt av relasjonen (se senere utledning): c = ω k = f λ, der ω =2πf er vinkelfrekvensen og k =2π/λ er bølgetallet, mens f er frekvensen og λ er bølgelengden til den harmoniske bølgen Bølgetallet er altså antallet bølger på en strekning 2π I oppgaven bestemmes frekvens og bølgelengde ved måling og dermed kan fasehastigheten bestemmes Ofte er bølger avgrenset til ett område på overflata og kalles da en gruppebølge; dette navnet fordi den kan tenkes framkommet som en sum av flere harmoniske bølger Midtpunktet av bølgen vil bevege seg med en gruppehastighet (u), som er bestemt av følgende relasjon u = dω dk ω 2 ω 1, k 2 k 1 altså den deriverte av vinkelfrekvensen med hensyn på bølgetallet k Den deriverte kan beregnes som en differens mellom målte naboverdier av vinkelfrekvens og bølgetall Tyngdekraften (G) og overflatespenningen (T ) virker på vannet under en krummet overflate for åfå den tilbake til likevekt, som er en jevn overflate Dessuten, siden vann tilnærmet er en imkompressibel væske, vil vannmengder i bevegelse i et område forskyves til naboområder Vannmolekyler vil derfor bevege seg i både vertikal- og horisontalretningen Dersom bølgelengden er liten i forhold til dybden av karet (dette kalles dypvannsbølger), vil ett vannmolekyl følge en sirkulær bevegelse ved overflaten Når en utleder bølgelikningen for vannbølger, vil en få en relasjon mellom ω og k, og denne kalles dispersjonsrelasjonen For dypvannsbølge ser den slik ut: ω 2 = g k + σ ρ k3 Den forteller hvordan vinkelfrekvensen til bølgebevegelsen er bestemt av parametrene for mediet og bølgetallet k Disse parametrene er vannets tetthet, ρ =1, 0g/cm 3,og overflatespenningen σ, som for rent vann er σ =72gcm/s 2 =0, 072 N/m Tyngdens

28 22 KAPITTEL 2 VANNBØLGER akselerasjon som er g =9, 82 m/s 2 Fra dette uttrykket kan henholdsvis fasehastigheten og gruppehastigheten beregnes som funksjon av bølgetallet (eller bølgelengden): c = ω k u = dω dk Tabell 22: Tabell for sammenheng mellom fasehastighet og gruppehastighet som funksjon av bølgelengde (eller frekvens) for dypvannsbølger Dette er gjort og vist i Tab 22 For λ = 1,7 cm blir de to bidragene i uttrykket for ω 2 like store og fasehastigheten like stor som gruppehastigheten For λ>1, 7 cm dominerer tyngden (gk-leddet) og gruppehastigheten blir halvparten av fasehastigheten (se Tab 22), mens for λ<1, 7 cm dominerer overflatespenningen og gruppehastigheten er 3/2 av fasehastigheten Vis dette ved derivasjon av uttrykket over Om en tar hensyn til at vannkaret har endelig dybde (vanndybden er h), mens en neglisjerer overflatespenningen, ser dispersjonsrelasjonen slik ut: ω 2 = g k 1 exp( 2kh) 1+exp( 2kh) Dersom en innretter seg slik at produktet 2kh > 1, kan eksponetialleddene neglisjeres, og for lange dypvannsbølger sitter en tilbake med ω 2 = g k Mål dybden av vannet og sjekk hvilke bølgelengder en må ha for at kh > 1

29 23 MATEMATISK BESKRIVELSE AV HARMONISKE BØLGER Matematisk beskrivelse av harmoniske bølger Begrepene bølgelengde og bølgetall, frekvens og vinkelfrekvens vil bli introdusert og diskutert Dessuten vil uttrykket for fasehastigheten bli utledet Harmoniske bølger beskrives ved likningen: y(x, t)=y 0 cos(kx ωt) =Re{y 0 exp(i(kx ωt))} der y(x, t) er bølgeutslaget på stedetx ved tidspunktet t, ogy 0 er maksimalutslaget til bølgen Parameteren k kalles bølgetallet og forteller oss, som vi snart skal se, antallet topper til bølgen over en strekning på 2λ (6,28 m) Parameteren ω kalles vinkelfrekvensen, Figur 24: Bølge og betyr antallet ganger bølgeutslaget har en bestemt verdi (for eksempel maksimalverdi) i tidsrommet π sekunder Re er forkortelse for realdelen til ett komplekst tall Ved beregninger brukes ofte komplekse tall, fordi regnereglene er da oftest enklere enn for reelle tall Etter utregningen kan trekke ut realdelen av det komplekse tallet Bølgelengden λ er lik avstanden mellom to bølgetopper, eller avstanden mellom to punkter x 1 og x 2 på x-aksen, slik at stigende bølgeutslag på disse stedene er like store: som vil være tilfellet når: y(x 1,t) = y(x 2,t) y 0 cos(kx 1 ωt) = y 0 cos(kx 2 ωt), kx 2 = kx 1 +2π λ x 2 x 1 = 2π k Er avstanden mellom to bølgetopper λ, blir størrelsen k = 2π λ nettopp antallet bølgetopper over strekningen 2π, somnevntover

30 24 KAPITTEL 2 VANNBØLGER Sett at vi befinner oss på ett sted i bølgen (ved x = x 0 )vedtident 1, og spør etter tidspunktet t 2 som er slik at bølgeutslaget er like stort som ved tiden t 1 Forskjellen mellom tidspunktene kalles periodetiden T (eller svingetiden, T = t 2 t 1 ), som igjen er knyttet til parametrene i bølgefunksjonene Forbindelsen mellom svingetiden T og vinkelfrekvensen kan en finne slik: som gir at y(x 0,t 1 ) = y(x 0,t 2 ) y 0 cos(kx 0 ωt 1 ) = y 0 cos(kx 0 ωt 2 ) ωt 1 = ωt 2 +2π t 2 t 1 = T =2π/ω Antallet ganger bølgen svinger opp og ned på ett sted i tidsenheten kalles frekvensen (f eller ν), og denne blir da f = 1 T = ω 2π ω =2π f For en harmonisk bølge er det gjerne parametrene λ og f som måles Er ω og k (eller f og λ) for en harmonisk bølge kjent, kjenner en også fasehastigheten c, som er den farten som en bølgetopp beveger seg med For at en hele tiden skal befinne seg på toppenav en bølge, eller at utsalget skal være konstant, må argumentet i cosinusfunksjonen være null (eller ϕ 0 = konstant) kx m ωt =0, eller kx m ωt = ϕ 0 der x m er den x-verdien som gir maksimalutslag (bølgetopp) Dermed blir fasehastigheten c x m t = ω k En kunne også ha funnet dette ved derivasjon av x m med hensyn på tiden En ser at fasehastigheten c er lik forholdet mellom λ og k Settes uttrykkene for λ og k inn, får en også: c = ω k = 2πf 2π = λ f = λ T λ Fasehastigheten er altså produktet av frekvens og bølgelengde 24 Teori for bølgepaketter Oppførsel og utseende til en ofte forekommende bølgepakett vil bli utledet Farten som paketten beveger seg med vil bli beregnet (gruppehastigheten) Uskarphetsrelasjon, en egenskap med bølger, vil bli utledet Rent harmoniske bølger opptrer sjeldent Virkelige bølger har en begrenset utstekning og kalles ofte bølgepaketter Enhver pakett kan betraktes som en sum (superposisjon) av rent harmoniske bølger: i=n y(x, t)= y 0 (k i ) cos(k i x ω i t) i=1

31 24 TEORI FOR BØLGEPAKETTER 25 Maksimalutslagene, y 0 (k i ), til de enkelte harmoniske bølgene som inngår i summen kan være forskjellig for de ulike bølgetallene, slik at disse må sespå som en funksjon av k i, bølgetallet for i-te harmoniske komponenten i summen La oss regne ut hvorledes fasongen på den sammensatte bølgen blir for det spesielle tilfellet når alle maksimalutslagene i summen er like store (y 0 ) for alle k i Videreantar en at bølgetallene k i fordeler seg jevnt i intervallet fra k 0 Δk, k 0 +Δk, derk 0 er midtpunktet i intervallet Bredden av intervallet blir 2Δk, og kalles bølgetallsbredden Antallet bølger dn i intervallet dk antas å være konstant og settes lik n 0 n 0 = dn dk = N 2 Δk, der N er det totale antallet bølger i hele intervallet Vi tilnærmer summen med en Figur 25: Fordeling av antall bølger langs bølgetallsaksen integral, og substituerer størrelsen k, som er integrasjonsvariabel, med størrelsen q: q = k 0 k Videre må vi regne med, i det generelle tilfellet, at vinkelfrekvensen ω er en funksjon av bølgetallet k (dispersjonsrelasjonen) Vi foretar en rekkeutvikling av ω rundt k 0,somer midtpunktet for k-tallene ω = ω(k) =ω(k 0 )+ dω(k 0) (k k o )+ = ω 0 + u q + dk altså en Taylorutvikling, der u dω(k 0) dk kalles gruppehastigheten til bølgen Årsakentil at dette navnetvil framgå av beregningen nedenfor Utregning av summen gir: i=n y(x, t) = y 0 cos(k i x ωt) =y 0 i=1 i=n i=1 cos(kx ωt)dn = y 0 Ifølge reglene for regning med eksponenter får en videre; y(x, t) = y 0 n 0 Re(exp(i(k 0 x ω 0 t)) Δk k 0 +Δk k 0 Δk exp(i(qx uqt)) dq Re(exp(i(kx ωt)) N 2Δk dk = N y o cos(k o x ω o t) Δk sin((x ut) Δk (x ut) Δk = N y o cos(k o x ω o t) sin z z

32 26 KAPITTEL 2 VANNBØLGER der z =(x u t) Δk Argumentet z avhenger både av sted og tid, slik at bølgene vil forplante seg langs x- aksen som en gruppe med farten u Bølgepaketten er ett produkt av en harmonisk bølge, cos(k 0 x λt), som hylles inn av funksjonen sin z/z Det er bevegelsen til omhyllingsfunksjonen en lettest ser, og denne beveger seg med gruppehastigheten u Denne funksjonen er vist i Fig 26 Figur 26: En bølgepakett Kastes en stein i vannet, er det utbredelsen av paketten som det er lettest åobservere, og følgelig er det gruppehastigheten er ser Uttrykket for omhyllingskurven viser også at det er en sammenheng mellom spredning i bølgetall, Δk, og utstrekningen av paketten Det er naturlig å definere utstrekningen av bølgepaketten, Δx, som den dobbelte x-verdi som gjør at denne funksjonen blir null Velges for enkelhets skyld tidspunktet; t = 0, ser en at dette finner sted når Δx Δk = π (uskarphetsrelasjonen) Produktet av bølgetallsbredde, Δk, og utstrekning, Δx, er en konstant Dette er en generell egenskap for bølger og vil følgelig gjelde for materiebølger Jo mer veldefinert bølgetallet er, jo større utstrekning har paketten, og omvendt Dersom Δx, utstrekningen av bølgepaketten, bestemmes, kan en bestemme spredningen i bølgetall Δk = π Δx 25 Kortfattet utledning av dispersjonsrelasjonen for vannbølger Hvordan vann beveger seg Vi betrakter en vannpartikkel på stedet(x, y) når vannet er i likevekt; se Fig 27 Når

33 25 KORTFATTET UTLEDNING AV DISPERSJONSRELASJONEN FOR VANNBØLGER27 vannmassene forstyrres, blir den nye posisjonen til denne partikkelen målt fra likevektsposisjonen (ξ x, ξ y ), som vil være en funksjon av både sted og tid: ξ x = ξ x (x, y, t) ξ y = ξ y (x, y, t) Figur 27: Beskrivelse av en enkelt vannpartikkel I tilfellet av en harmoniske bølge, altsånår overflaten beskrives av funksjonen ξ y (x, 0,t)= ξ y 0 sin(kx ωt), der symbolene har den vanlige meningen, gjøres følgende antakelser om partikkelutslaget ved stedet (x, y); at det også varierer som en harmonisk funksjon av fasen: ϕ = kx ωt, og at det er en faseforskjell på π/2 mellom horisontal- (xkomponenten)- og vertikalkomponenten (y-komponenten) til partikkelbevegelsen: ξ x (x, y, t) =ξ x 0 (y) sin(kx ωt); ξ y (x, y, t) =ξ y 0 (y) cos(kx ωt) (2-1) Herav følger at bevegelsen til vannpartikkelen blir en ellipse: ( ) 2 ( ) 2 ξx ξy + =1 ξ x 0 ξ y 0 Av dette kan vi finne hastigheten til en vannpartikkel ved derivasjon av disse uttrykkene medhensynpåtiden: v y (x, y, t)= dξ y dt = ω ξy 0 (y)sin(kx ωt) v y (x, y, t)= dξ y dt = ω ξy 0(y)sin(kx ωt) (2-2) Så langt har vi satt opp en gjetning for hvordan vannpartiklene beveger seg; i det som følger skal vi vise at gjetningen, eller prøveløsningen, er riktig under visse betingelser, som er at vann er en inkompressibel væske og at vi ser bort fra friksjon når væskelag glir på hverandre Imkompressibilitet La oss betrakte en rektangulær boks med sidekanter Δx og Δy som ligger fast i vannet Netto vannmengde som strømmer inn i boksen med sidekanter vinkelrett på x-retningen er produktet av tettheten (ρ), arealet, som er Δx Δy, og hastighetsforskjellen mellom endene av boksen; som er: og tilsvarende for y-retning: ρ Δy Δz Δv x = ρ Δy Δz v x x Δx, ρ Δx Δz v y y Δy

34 28 KAPITTEL 2 VANNBØLGER Figur 28: Inkompressibilitet (venstre) og virvelfrihet(høyre) Siden vannet er imkompressibelt, må summen av disse leddene være null; og da får vi: v x x + v y =0 (2-3) y Dette uttrykket kalles divergensen og den er null i dette tilfellet Ingen virvler Denne betingelsen fører med seg at vannet ikke kan ha netto angulært moment (spinn, virvler) Viskositet kan føre til at krefter langs vannlag med ulik hastighet kan oppstå, og dermed virveldannelser På den annen side, fravær av friksjon medfører fravær av virvler, som gjør at summen av hastighetsvektoren rundt en lukket sløyfe må være null; altså v y x v x =0 (2-4) y Dette ser vi ved å addere hastigheter rundt rektangelet til høyre, se figuren over Bidraget til linjeintegralet av hastigheten fra AB og CD er lengden Δx multiplisert med forskjellen i v x -verdier, Δx v x Δy og tilsvarende for bidragene fra de to andre sidekantene En y sier da at curl er null Formen på ellipsene Vi vil nå kombinere inkompressibilitet og fravær av virvler med hastighetsuttrykkene, som var: v x (x, y, t) = dξ x dt = ω ξx 0 (y)cos(kx ωt) v y (x, y, t) = dξ y dt = ω ξy 0(y)sin(kx ωt) Når vi deriverer disse og setter dette inn i likningene avledet fra inkompressibilitet og virvelfrihet; fås dξ y 0 dy k dξ ξx 0 x 0 =0 dy k ξy 0 =0 (2-5) (vi slutter å bruke partiell derivert, funksjonen vi søker avhenger bare av en variabel; y) Ny derivasjon og innsetting gir d 2 ξ y 0 dy 2 k2 ξ y 0 =0,

35 25 KORTFATTET UTLEDNING AV DISPERSJONSRELASJONEN FOR VANNBØLGER29 som har løsning ξ y 0(y) =C 1 exp(ky)+c 2 exp( ky), (2-6) hvor C 1 og C 2 er integrasjonskonstanter, som er bestemt av randbetingelser I vårt tilfelle er den ene betingelsen at ξ0(y y = 0) = ξ 0,somvilsiatC 1 + C 2 = ξ 0 Den andre randbetingelsen er at ved bunnen (y = h) kan det ikke være noen hastighet i y-retning: ξ y 0 ( h) =0=C 1 exp( kh)+c 2 exp(kh) som gir ξ y 0(y) =ξ 0 og tilsvarende for x-komponenten: exp(k(h + y) exp( k(h + y) exp(ky) exp( ky) = ξ 0 sinh(k(h + y)) sinh(kh) (2-7) ξ x 0 (y) =ξ 0 cosh(k(h + y)) (2-8) sinh(kh) Fra disse uttrykkene kan vi finne formen til ellipsene De blir mer og mer flate mot bunnen av karet Figur 29: Bevegelser til vannpartikler Dispersjonsrelasjonen Dispersjonsrelasjonen er knyttet til bevegelseslikningen for systemet For væsker brukes ofte Bernoullis likning, som forteller at energien til en avgrenset væskemengde er bevart, dersom systemet er stasjonært, som betyr at det ikke endrer seg over tid Vi kan få vårt system stasjonært ved å følge bølgebevegelsen, det vil si vi innfører et koordinatsystem

36 30 KAPITTEL 2 VANNBØLGER der origo beveger seg med fasehastigheten x = x ω t i forhold til det opprinnelige k systemet I det stasjonære systemet blir hastighetskomponentene til vannpartiklene v x (x,y) = ω ξ0 x (y) sin(kx ) ω k v y (x,y) = ω ξ y 0 (y) cos(kx ) I disse uttrykkene opptrer ikke tiden og da kan systemet oppfattes som stasjonært Bernoullis setning sier at samlet mekanisk energi per enhetsmasse (E) erlikoveralt langs en strømlinje, som er banen som en vannpartikkel følger E = p ρ v2 + V, der p er trykket, v er hastigheten og V den potensielle energien Vi ser på en strømlinje som ligger på overflaten av vannet Der er to bidrag til trykket; det ene skyldes lufttrykket p a, og det andre skyldes overflatespenningen (σ) Dette trykket er overflatespenningen dividert med krumningsradius (R) til overflata, som er inversverdien til den dobbeltderiverte av funksjonen som beskriver overflata (ξ 0 ); Når ξ = ξ 0 cos(kx ) blir 2 ξ x 2 p = p a σ R = p a σ 2 ξ x 2 = k 2 ξ 0 cos(kx ) slik at trykket blir: p = p a + σ k 2 ξ 0 cos(kx ) Det andre leddet i Bernoullis likning blir: v 2 = vx(0,x 2 )+vy(0,x 2 )=ω 2 ξ 0 (sin 2 2 kx +coth 2 (kh) cos 2 (kx )+( ω k )2 2ω 2 ξ0 k coth(kh) cos kx Tilslutt, uttrykket for potensiell energi er V = g ξ = g ξ 0 cos(kx ) Når disse ledden summeres i uttrykket for E, finner en: E = p a ρ + σk2 ρ ξ 0 cos(kx )+ 1 2 (ω k )2 ω2 k coth(kh) cos(kx )+gξ 0 cos(kx ) Ifølge Bernoullis likning skal dette være en konstant (ikke avhengig av x ), som betyr at summen av leddene foran må forsvinne, noe som tilsier at: σ k 2 ρ ω2 k coth(kh)+g =0 eller ω 2 = gk + σ k3 ρ tanh(kh),

37 25 KORTFATTET UTLEDNING AV DISPERSJONSRELASJONEN FOR VANNBØLGER31 som er dispersjonsrelasjonen for vannbølger Det framgår at fasehastigheten (c = ω/k) vil variere med k eller ω Det betyr at en bølge med en viss fasong på et senere tidspunkt vil ha en annen fasong, fordi når en løser opp bølgen i en sum av Fourierkomponenter, vil disse bevege seg med ulike fasehastigheter og dermed endre utseendet Alternativt, se nettside: resonanceswavesandfieldsblogspotcom/2008/04/water-waves-mathematical-derivationhtml

38 32 KAPITTEL 2 VANNBØLGER

39 Kapittel 3 BØLGEOPTIKK Mål Etter å ha bearbeidet seminar og laboratorium under emnet Bølgeoptikk skal du ha kunnskap om refleksjon, refraksjon, polarisasjon, interferens og diffraksjon av elektromagnetiske bølger, studert refleksjon, refraksjon, polarisasjon og interferens av mikrobølger eksperimentelt, målt gitterkonstant for et makrogitter av stålkuler vha Braggdiffraksjon Før labøvelsen Før du møter til labøvelsen må du lese gjennom oppgaven og gjøre beregningsoppgavene som er beskrevet i avsnitt 34 33

40 34 KAPITTEL 3 BØLGEOPTIKK 31 Teoretisk bakgrunn 311 Elektromagnetiske bølger Maxwells 1 elektromagnetiske likninger lyder E = ρ ɛ (3-1) E = B (3-2) t B = 0 (3-3) 1 ɛμ B = j ɛ + E t (3-4) der E er det elektriske feltet, B det magnetiske feltet og materialkonstantene σ, μ og ɛ er hhv ledningsevne, permeabilitet og permittivitet For utledning av den elektromagnetiske bølgelikningen antar vi et ladningsfritt medium: ρ = 0 Da er ifølge (3-1) E = 0 Vi antar også at det ikke finnes noen andre kilder for elektromotorisk kraft, og vi antar et homogent lineært medium (dvs μ og ɛ er konstanter) For å finne bølgelikningen for E-feltet tar vi da feks først (3-2) og bruker (3-4) for å eliminere B-feltet Videre bruker vi Ohms lov j = σ E og vektoridentiteten A = A 2 A Vi vil da ende opp med følgende to bølgelikninger som beskriver det elektromagnetiske feltet 2 E 2 E ɛμ t 2 2 B ɛμ 2 B t 2 σμ E t σμ B t = 0 (3-5) = 0 (3-6) I isolatorer er det ofte en god approksimasjon å sette σ = 0 Da vil tredje ledd i begge bølgelikninger falle ut Det gir en 2 ordens bølgelikning med samme form som bølgelikningen (??) vi brukte for å behandle stående bølger i luft Av formen på likningene ser du med en gang at i isolatorer vil elektromagnetiske bølger bre seg ut med en hastighet lik 1/ ɛμ I ledere er det ofte en god approksimasjon åantaσ ωɛ Davil andre ledd i begge bølgelikninger falle ut Det gir en førsteordens differensiallikning av varmeledningstypen Selv om bølgelikningene kan utledes fra Maxwells likninger som antydet ovenfor er det omvendte ikke tilfellet Når du løser bølgelikningene må du derfor forkaste løsninger som ikke oppfyller Maxwells likninger For monokromatiske bølger er det nok åløse bølgelikningen for E-feltet Deretter kan B-feltet bestemmes fra (3-2) 1 James Clark Maxwell,

41 31 TEORETISK BAKGRUNN 35 For å løse bølgelikningen for E-feltet kan du feks bruke den komplekse formen E( r, t) = E s ( r) exp( jωt) (3-7) som har to komponenter hvor det fysiske E-feltet blir representert ved den ene av komponentene Vi følger konvensjonen og velger den reelle komponenten 2 Innsetting av den komplekse E-formen i (3-5) gir { exp( jωt) 2 Es + ω 2 ɛμe s + jωσμe } s = 0 (3-8) Løsning av bølgelikningen i en isolator For en plan bølge E s = E s (z) iz-retningen i en isolator hvor σ = 0 kan likning (3-5) forenkles til 2 Es z 2 + ω2 μɛ E s =0 (3-9) med løsningen E s (z) = E 0 exp( jω ɛμ z) (3-10) hvor E 0 er en kompleks konstant Løsningen må oppfylle Maxwells likning (3-1) for et ladningsfritt rom: E s (z) = E sx(z) x + E sy(z) y + E sz(z) z =0 Da første og andre ledd er lik null må også siste være null, slik at løsningen er forenlig med likn (3-9) bare når E sz = 0 Mao kan E s (z)-feltet ikke ha noen z-komponent Vi får da følgende løsning E s (z) =(êe x E 0x + êe y E 0y )exp( jω ɛμ z) (3-11) hvor êe x og êe y er enhetsvektorer hhv langs x og y aksen For B-feltet vil vi tilsvarende finne B s (z) = ( êe x E 0y + êe y E 0x ) ɛμ exp( jω ɛμ z), (3-12) og fra (3-11) og (3-12) finner vi sammenhengen B s = ɛμ êe z E s (3-13) hvor êe z er enhetsvektoren langs z-aksen Dette uttrykket viser at B s står vinkelrett på E s og siden êe z står vinkelrett på bølgefronten må begge feltvektorene ligge i bølgefronten og begge bølgene være transversale Dette er vist i fig 31 2 Matematisk sett er begge komponenter likeverdige Du kan imidlertid kun velge den ene som representant for det fysiske feltet Avhengig av hvilken komponent du velger får du en faseforskjell på π/2 Derfor må du under løsning av et gitt problem konsekvent bruke den ene av komponentene for å representere det fysiske feltet