x A A(x/t) er gyldig såfremt t ikke inneholder en variabel som fanges av en kvantor i A når den settes inn for x.
|
|
|
- Ragnar Kleppe
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 x A A(x/t) er gyldig såfremt t ikke inneholder en variabel som fanges av en kvantor i A når den settes inn for x. Det skal altså ikke finnes en variabel y i t y t og en kvantor y eller y i A med en fri forekomst av x i skopet sitt y( x ) A
2 x A A(x/t) Når dette kravet er oppfylt, sier vi at t er fri for x i A. Altså: Termen t er fri for variabelen x i formelen A dersom ingen fri forekomst av x i A er innenfor skopet til en kvantor som binder en av variablene i t. I to viktige tilfeller er dette automatisk oppfylt: 1. t inneholder ikke variabler. (Den er for eksempel en konstant.) 2. A inneholder ikke kvantorer.
3 Universell instansiering (UI) Vi kan bruke dette til å lage en regel for universell instansiering i naturlig deduksjon: x A A(x/t) hvis t er fri for x i A
4 Bruk av UI Vil resonere fra: x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) og x R(x,f(x)) til: x R(x,f(f(x))) f f
5 1 x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) 2 x R(x,f(x)) 3 R(v,f(v)) 4 R(f(v),f(f(v))) 5 R(v,f(v)) R(f(v),f(f(v))) 6 y z (R(v,y) R(y,z) R(v,z)) 7 z (R(v,f(v)) R(f(v),z) R(v,z)) 8 R(v,f(v)) R(f(v),f(f(v))) R(v,f(f(v))) 9 R(v,f(f(v))) P P 2, UI 2, UI 3,4,Conj 1, UI 6, UI 7, UI 8,4, MP men hva nå?
6 Universell generalisering (UG) A(x/y) x A hvis y er fri for x i A og y ikke er fri i x A eller i noen premisser ( Hvis A gjelder for en vilkårlig y som vi ikke har antatt noe spesielt om, så gjelder A for alle x. )
7 1 x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) 2 x R(x,f(x)) 3 R(v,f(v)) 4 R(f(v),f(f(v))) 5 R(v,f(v)) R(f(v),f(f(v))) 6 y z (R(v,y) R(y,z) R(v,z)) 7 z (R(v,f(v)) R(f(v),z) R(v,z)) P P 2, UI 2, UI 3,4,Conj 1, UI 6, UI 8 R(v,f(v)) R(f(v),f(f(v))) R(v,f(f(v))) 7, UI 9 R(v,f(f(v))) 8,4, MP 10 x R(x,f(f(x))) 9, UG
8 Eksistensiell generalisering og instansiering (EG og EI) er nokså tilsvarende regler for fjerning og introduksjon av eksistenskvantor. EG ligner egentlig mest på UI: A(x/t) x A hvis t er fri for x i A
9 Eksistensiell generalisering og instansiering (EG og EI) er nokså tilsvarende regler for fjerning og introduksjon av eksistenskvantor. EI ligner egentlig mest på UI: x A A(x/c) c er en ny konstant som ikke får lov til å forekomme i konklusjonen (A gjelder for et eller annet element. La oss kalle det c.
10 definert, blir EI en litt skummel regel som setter store (og uklare) begrensninger på når og hvordan andre regler kan brukes. Vi vil derfor gå forholdsvis fort videre til en sekventkalkyle, men ett eksempel til spanderer
11 Bruk av flere regler Vil resonere fra: y (B(y) x (P(x) K(x,y))) til: x (P(x) y (B(y) K(x,y))) P K B P K B
12 1 y (B(y) x (P(x) K(x,y))) 2 B(c) x (P(x) K(x,c)) 3 x (P(x) K(x,c)) 4 P(v) K(v,c) 5 B(c) 6 P(v) 7 K(v,c) 8 B(c) K(v,c) P 1, EI 2, Simp 3, UI 2,Simp P 4,6,MP 5,7,Conj 9 y (B(y) K(v,y)) 8,EG 10 P(v) y (B(y) K(v,y)) 6,9,CP 11 x (P(x) y (B(y) K(x,y))) 10,UG
13 Sekventkalkyle En ny regel for hver kombinasjon av V/H og /. H tilsvarer UG: Γ, A(x/y), Π Γ, x A, Π hvis y er fri for x i A og y ikke er fri i sekventen under streken
14 Sekventkalkyle En ny regel for hver kombinasjon av V/H og /. V tilsvarer EI (!) Γ, A(x/y), Π Γ, x A, Π hvis y er fri for x i A og y ikke er fri i sekventen under streken
15 Sekventkalkyle En ny regel for hver kombinasjon av V/H og /. V tilsvarer UI. Enkel versjon. (Sterkere versjon følger ) Γ, A(x/t), Π Γ, x A, Π hvis t er fri for x i A
16 Sekventkalkyle En ny regel for hver kombinasjon av V/H og /. H tilsvarer EG. Enkel versjon. (Sterkere versjon følger ) Γ, A(x/t), Π Γ, x A, Π hvis t er fri for x i A
17 1 y (B(y) x (P(x) K(x,y))) P Gjør dette om til et bevis i sekventkalkyle 2 B(c) x (P(x) K(x,c)) 3 x (P(x) K(x,c)) 4 P(x) K(x,c) 5 B(c) 1, EI 2, Simp 3, UI 2,Simp 6 P(x) 7 K(x,c) P 4,6,MP 8 B(c) K(x,c) 5,7,Conj 9 y (B(y) K(x,y)) 8,EG 10 P(x) y (B(y) K(x,y)) 6,9,CP 11 x (P(x) y (B(y) K(x,y))) 10,UG
18 B(u), P(v) K(v,u), P(v) B(u), K(v,u), P(v) K(v,u) B(u), x (P(x) K(x,u)), P(v) B(u) V B(u), P(v) K(v,u), P(v) K(v,u) B(u), x (P(x) K(x,u)), P(v) K(v,u) B(u), x (P(x) K(x,u)), P(v) B(u) K(v,u) B(u), x (P(x) K(x,u)), P(v) y (B(y) K(v,y)) V V V B(u) x (P(x) K(x,u)), P(v) y (B(y) K(v,y)) y (B(y) x (P(x) K(x,y))), P(v) y (B(y) K(v,y)) H y (B(y) x (P(x) K(x,y))) P(v) y (B(y) K(v,y)) H y (B(y) x (P(x) K(x,y))) x (P(x) y (B(y) K(x,y))) H H
19 1 x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) 2 x R(x,f(x)) 3 R(v,f(v)) 4 R(f(v),f(f(v))) 5 R(v,f(v)) R(f(v),f(f(v))) To anvendelser av UI. på samme formel. Gjør dette om til et bevis i sekventkalkyle 6 y z (R(v,y) R(y,z) R(v,z)) 7 z (R(v,f(v)) R(f(v),z) R(v,z)) P P 2, UI 2, UI 3,4,Conj 1, UI 6, UI 8 R(v,f(v)) R(f(v),f(f(v))) R(v,f(f(v))) 7, UI 9 R(v,f(f(v))) 8,4, MP 10 x R(x,f(f(x))) 9, UG
20 V tilsvarer UI: Γ, A(x/t), Π Γ, x A, Π Γ, R(v,f(v)), Π Γ, x R(x,f(x)), Π Γ, R(f(v),f(f(v))), Π Γ, x R(x,f(x)), Π??
21 Γ, A(x/t1), A(x/t2), Π Γ, x A, Π Γ, R(v,f(v)), R(f(v),f(f(v))), Π Γ, x R(x,f(x)), Π Greit nok her, men i andre bevis trenger vi kanskje tre instanser. Eller fire. Eller fem. Eller
22 V, endelig versjon: Γ, x A, A(x/t), Π Γ, x A, Π Γ, x A, A(x/t3), A(x/t2), A(x/t1), Π Γ, x A, A(x/t2), A(x/t1), Π Γ, x A, A(x/t1), Π Γ, x A, Π
23 H, endelig versjon: Γ, x A, A(x/t), Π Γ, x A, Π Γ, x A, A(x/t3), A(x/t2), A(x/t1), Π Γ, x A, A(x/t2), A(x/t1), Π Γ, x A, A(x/t1), Π Γ, x A, Π
24 1 x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) P 2 x R(x,f(x)) P 3 R(v,f(v)) 2, UI 4 R(f(v),f(f(v))) 5 R(v,f(v)) R(f(v),f(f(v))) 2, UI 3,4,Conj 6 y z (R(v,y) R(y,z) R(v,z)) 7 z (R(v,f(v)) R(f(v),z) R(v,z)) 1, UI 6, UI Gjør dette om til et bevis i sekventkalkyle 8 R(v,f(v)) R(f(v),f(f(v))) R(v,f(f(v))) 7, UI 9 R(v,f(f(v))) 8,4, MP 10 x R(x,f(f(x))) 9, UG
25 x R(x,f(x)), R(v,f(v)), R(f(v),f(f(v))), x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) R(v,f(f(v))) x R(x,f(x)), R(v,f(v)), x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) R(v,f(f(v))) x R(x,f(x)), x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) R(v,f(f(v))) x R(x,f(x)), x y z (R(x,y) R(y,z) R(x,z)) x R(x,f(f(x)))
26 Kyr er klovdyr Klovdyr er dyr Klovdyr er vegetarianere Vegetarianere spiser ikke dyr Dagros og Litago er kyr x (ku(x) kd(x)) Dagros spiser ikke Litago s(d, l)
27 x (ku(x) kd(x)) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) s(d, l)
28 x (ku(x) kd(x)) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) s(d, l)
29 x (ku(x) kd(x)) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) s(d, l)
30 x (ku(x) kd(x)) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) x (ku(x) kd(x)) s(d, l)
31 x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) s(d, l)
32 x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l)
33 x (ku(x) kd(x)) veg(d) veg(d) y (d(y) s(d,y)) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l)
34 x (ku(x) kd(x)) veg(d) y (d(y) s(d,y)) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) veg(d) veg(d) y (d(y) s(d,y)) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) veg(d) veg(d) s(d, l)
35 x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) veg(d) y (d(y) s(d,y)) s(d, l) y (d(y) s(d,y))
36 x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) y (d(y) s(d,y)) d(l) s(d,l) y (d(y) s(d,y))
37 x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) y (d(y) s(d,y)) d(l) y (d(y) s(d,y)) s(d,l) x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) y (d(y) s(d,y)) d(l) s(d,l)
38 x (ku(x) kd(x)) veg(d) s(d, l) y (d(y) s(d,y)) d(l)
Sekventkalkyle for første ordens predikatlogikk uten likhet
Sekventkalkyle for første ordens predikatlogikk uten likhet Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 29/9 07 Vi definerer sekventer for predikatlogikk på samme måte som i utsagnslogikk. En sekvent består
En formel er gyldig hviss den sann i alle tolkninger. Kan dette sjekkes automatisk?
Utsagnslogikk En formel er gyldig hviss den sann i alle tolkninger Tolkning = linje i sannhetsverditabell Altså: En formel er gyldig hviss den har T i alle linjene i sin sannhetsverditabell. Dette kan
Oversettelse / Formalisering
Oversettelse / Formalisering P K + x (P(x) K(x)) Noen politikere er korrupte. Det fins en korrupt politiker. En politiker er korrupt. P - K x (P(x) K(x)) x (P(x) K(x)) x ( P(x) K(x)) x (P(x) K(x)) P K
Førsteordens sekventkalkyle
INF3170 Logikk Forelesning 7: Sekventkalkyle for førsteordens logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Førsteordens sekventkalkyle 16. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06
Sunnhet og kompletthet av sekventkalkyle for utsagnslogikk
Sunnhet og kompletthet av sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle System for å bevise sekventer fra aksiomer ved hjelp av regler Bevis er oppstilling som viser hvordan nye sekventer kan avledes
Definisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.
Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar
Dagens plan. INF3170 Logikk. Sekventkalkyle Gerhard Gentzen ( ) Innhold. Forelesning 12: Snitteliminasjon. Herman Ruge Jervell. 8.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 12: Herman Ruge Jervell 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 8. mai 2006 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 2 / 27 Regler Innhold
FOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning
FOL: syntaks og representasjon 15. og 16. forelesning Førsteordens logikk Førsteordens logikk: et formelt system som man bruker til å representere og studere argumenter. Som utsagnslogikk, men mer uttrykkskraftig,
Dagens plan. INF4170 Logikk. Fri-variabel sekventkalkyle. Forelesning 10: Automatisk bevissøk II fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet.
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 10: fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet Martin iese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. april 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 Logikk
En repetisjon hrj høst 2009
En repetisjon hrj høst 2009 Data Maskin Data Syntaktiske objekter - endelige Mengde { } Multimengde [ ] Liste < > Symbol String = Liste av symboler Vi kan alltid finne ut om to syntaktiske objekter er
INF1800 Forelesning 20
INF1800 Forelesning 20 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:51) Mer om førsteordens logikk Tillukninger Vi har definert semantikk kun for lukkede formler.
Repetisjonsforelesning
Repetisjonsforelesning INF3170 Andreas Nakkerud Institutt for informatikk 24. november 2014 Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Repetisjon 24. november 2014 1 / 39 Utsagnslogikk Utsagnslogikk
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28 16:50) Førsteordens sekventkalkyle
Førsteordens sekventkalkyle
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Førsteordens sekventkalkyle Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:50) Mer om førsteordens
Mer om førsteordens logikk
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Mer om førsteordens logikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22
Dagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet. Christian Mahesh Hansen. 5.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 5. mars 2007 Institutt for informatikk
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007 1 Førsteordens sekventkalkyle 1.1 Introduksjon Vi har til nå sett sekventkalkyle for utsagnslogikk. Vi
Merk: Noen ganger er det flere mulige løsninger fordi det finnes ekvivalente varianter. ( x) (Sx ( y) (Ly Sxy)) ( x) (Lx ( y) (Sy Syx))
Del III A Oppgave 1 Merk: Noen ganger er det flere mulige løsninger fordi det finnes ekvivalente varianter. a) Every solid is soluble in some liquid b) There is a liquid in which every solid is soluble
Dagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt
Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen - 4. juni 2007 1 Kompletthet 1.1 Introduksjon Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
Hvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning.
Forelesning 12: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Christian Mahesh Hansen - 30. april 2007 1 Kompletthet av fri-variabel LK Teorem 1.1 (Kompletthet). Hvis Γ er gyldig,
INF1800 Forelesning 17
INF1800 Forelesning 17 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon og kommentarer Vi skal nå kunne Utsagnslogikk: syntaks og semantikk
Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170, og Ole følger ikke inf3170. Ole følger inf3170, eller Ole følger ikke inf3170.
Forelesning 4: Repetisjon og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen - 12. februar 2007 1 Repetisjon Motivasjon Er utsagnene sanne? Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170,
Beregn minutter til å se gjennom og fullføre ubesvarte oppgaver på slutten av eksamenstiden.
Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen - 21. mai 2007 1 Generelle eksamenstips 1.1 Disponér tiden! Sett opp et grovt tidsbudsjett. En tre timers eksamen har 3 * 60 = 180 minutter. Oppgavene
Dagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet 1 Sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen 2 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 5. februar 2007
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 17: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon
Sekventkalkyle for utsagnslogikk
Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet
Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007
Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007 1 Sekventkalkyle 1.1 Semantikk for sekventer Semantikk for sekventer Definisjon 1.1 (Gyldig
Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk. 2 Førsteordens sekventkalkyle. 3 Sunnhet av førsteordens sekventkalkyle. 1 Mengden T av termer i L:
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk
Merk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!
Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:
Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet. 1 Mengdelære III. 2 Utsagnslogikk. 1.1 Multimengder. 2.
Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet 1 Mengdelære III 1.1 Multimengder Multimengder Mengder der antall forekomster av hvert element teller Definisjon (Multimengde). En
Forelesning 13. mars, 2017
Forelesning 13. mars, 217 AVSNITT 5.2 Kovariansen mellom to variable Korrelasjon mellom to variable AVSNITT 5.3 Betingede fordelinger Kovariansen mellom to stokastiske variable Kovariansen mellom to stokastiske
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler
Dagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 4: og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 12. februar 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk
Fortsettelse. INF3170 Logikk. Eksempel 1. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen
INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Fortsettelse 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:24) INF3170 Logikk 6.
INF3170 Logikk. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen. 6. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:23) Fortsettelse INF3170 Logikk 6.
Kompletthet av LK. INF3170 Logikk. Overblikk. Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet. Roger Antonsen
INF370 Logikk Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kompletthet av LK 3. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-3 2:04) INF370 Logikk
TMA 4140 Diskret Matematikk, 2. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 2. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 2, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA
INF1800 Forelesning 15
INF1800 Forelesning 15 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59) Sekventkalkyle for utsagnslogikk Introduksjonseksempel Hvordan finne ut om en gitt formel er en
v : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn
INF3170 Forelesning 4
INF3170 Forelesning 4 Sunnhet og kompletthet - 16. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:43) Dagens plan Innhold Sunnhet 1 Introduksjon.......................................... 1 Bevaring av falsifiserbarhet..................................
INF1800. Logikk og Beregnbarhet
INF1800 Logikk og Beregnbarhet Lærebok: Discrete Structures, Logic, and Computability Utdrag blir pensum. Obs: Første opplag inneholder mange feil, andre opplag inneholder noen feil. Har du kjøpt boken
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 15: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59) Sekventkalkyle for utsagnslogikk
Sekventkalkyle for utsagnslogikk
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 15: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Sekventkalkyle for utsagnslogikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59)
Semantikk Egenskaper ved predikatlogikk Naturlig deduksjon INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon Andreas Nakkerud 3. september 2015 Eksempel Gitt en similaritetstype 0, 2; 1; 2 bygger vi en struktur (modell) hvor A = {c 1, c 2, a, b},
1 Utsagnslogikk (10 %)
1 Utsagnslogikk (10 %) a1) A A, C A A C A B A B (A C) B, C B B C B B, C A, C B, C A C B C A C B C B (A C) A (B C) B (A C) Utledningen lukkes ikke og vi får følgende valuasjon v som falsifiserer formelen:
INF3170 / INF4171. Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet. Andreas Nakkerud. 15. september 2015
INF3170 / INF4171 Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet Andreas Nakkerud 15. september 2015 Kripke-modeller Vi ser på modeller for et språk L. Definisjon En Kripke-modell er et
Logiske symboler. Ikke-logiske symboler. Konnektiver Kvantorer Har fast tolking
Inf 3170 Logiske symboler Konnektiver Kvantorer Har fast tolking Ikke-logiske symboler Relasjonssymboler Funksjonssymboler Ariteten er alltid gitt Tolkningen kan variere Vi får formelspråket Start med
Dagens plan. INF3170 Logikk. Forstå teksten og begrepene! Disponér tiden! Forelesning 15: Oppgaveløsing. Christian Mahesh Hansen. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen 1 Generelle eksamenstips Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 21. mai 2007 Institutt for informatikk (UiO)
INF3170 / INF4171. Normalisering. Andreas Nakkerud. 24. september 2015
INF3170 / INF4171 Andreas Nakkerud 24. september 2015 [σ ] 2 E [σ ] 2 [ ψ] 1 σ E E I ψ ψ σ σ E I 1 ( ψ) σ I 2 (σ ) (( ψ) σ) [σ ] 1 σ E I ( ψ) σ (σ ) (( ψ) σ) I 1 Forberedelse efinisjon Formelene rett over
INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk
INF4170 { Logikk. Forelesning 1: Utsagnslogikk. Arild Waaler. 20. august Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF4170 { Logikk Forelesning 1: Utsagnslogikk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 20. august 2013 Dagens plan 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Institutt
INF3170 Logikk. Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle. Roger Antonsen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 15:10) Utsagnslogikk INF3170
Databaser fra et logikkperspektiv del 2
Databaser fra et logikkperspektiv del 2 Evgenij Thorstensen IFI, UiO Høst 2015 Evgenij Thorstensen (IFI, UiO) Databaser og logikk del 2 Høst 2015 1 / 22 Outline 1 Konjunktive spørringer 2 QA for konj.
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å
Dagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.
Dagens plan. INF3170 Logikk. Kompletthet følger fra modelleksistens. Kompletthet. Definisjon (Kompletthet) Teorem (Modelleksistens)
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 4. juni 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 04.06.2007
Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler januar 2008
Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler - 21. januar 2008 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: Martin Giese (martingi@ifi.uio.no) Arild Waaler
Databaser fra et logikkperspektiv
Databaser fra et logikkperspektiv Evgenij Thorstensen IFI, UiO Høst 2013 Evgenij Thorstensen (IFI, UiO) Databaser fra et logikkperspektiv Høst 2013 1 / 31 Outline 1 Logikk som verktøy 2 Relasjonsdatabaser
Nivå 1: Formelspråket. Formelle bevis: språk-nivåer 2: Sekventer, P 1,P 2,...,P Nivå n Q, n 0, omtaler formler. En - er en påstand om logisk konsekven
DERFOR: i i
Dagens plan. INF3170 Logikk. Noen begreper. Automatisk bevissøk i førsteordens logikk
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 10: introduksjon, substitusjoner og uniisering Christian Mahesh Hansen 1 Institutt or inormatikk, Universitetet i Oslo 16. april 2007 Institutt or inormatikk (UiO)
Predikatlogikk Syntaks Semantikk INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Syntaks og semantikk. Andreas Nakkerud. 1. september 2015
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Syntaks og semantikk Andreas Nakkerud 1. september 2015 Predikatlogikk Utsagnslogikk: p 0, p 1, p 1 p 6, p 2 p 1 Predikatlogikk: (( x)p 1 (x)), (( x)(( y)p 4 (x, y)))
Slides til 1.5. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 1.5 Andreas Leopold Knutsen January 20, 2010 Argument Mål: korrekt resonnement (eks.:matematiske bevis) p 1 p 2. p n q Premisser/hypoteser/antagelser: p 1,..., p n (sammensatte prop.) Konklusjon/slutning/konsekvens:
Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen mars 2006
Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen - 27. mars 2006 1 Kompletthet av LK 1.1 Overblikk Vi skal na bevise at LK er komplett. Ikke bare er LK sunn, den kan ogsa vise alle gyldige
Dagens plan. INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle. Arild Waaler. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 1: Introduksjon. og sekventkalkyle Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 21. januar 2008 3 Institutt for informatikk
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF1080
INF1800 Forelesning 18
INF1800 Forelesning 18 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse tråder Førsteordens språk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse
Repetisjon og noen løse tråder
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Repetisjon og noen løse tråder Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15
INF3170 Forelesning 11
INF3170 Forelesning 11 Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) Innhold Intuisjonistisk logikk 1 Innledning........................................... 1
Intuisjonistisk logikk
INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Intuisjonistisk logikk 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) INF3170 Logikk
INF3170 Logikk. Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk. Roger Antonsen. 27. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) Intuisjonistisk logikk INF3170 Logikk
Repitisjon av Diverse Emner
NTNU December 15, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 Å substituere x med en trigonometrisk funksjon, gjør det mulig å evaluere integral av typen I = dx a 2 +x 2 I = dx a 2 +x 2 I = dx a 2 x 2 der a er en positiv
Dagens plan. INF3170 Logikk. Negasjon som bakgrunn for intuisjonistisk logikk. Til nå i kurset. Forelesning 9: Intuisjonistisk logikk.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 9: Arild Waaler 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 Konsistens 19. mars 2007 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 19.03.2007 2 / 28 Innledning
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-04 14:11) Forelesning 27 MAT1030 Diskret Matematikk 4. mai 2010
INF3170 Forelesning 10
INF3170 Forelesning 10 Fri-variabel sekventkalkyle Roger Antonsen - 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:37) Innhold Fri-variabel sekventkalkyle 1 Introduksjon..........................................
Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
Førsteordens logikk - syntaks
INF3170 Logikk Forelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Førsteordens logikk - syntaks 23. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:42) INF3170
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 3 INF1800 Logikk og beregnbarhet, høsten 2009
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 3 INF1800 Logikk og beregnbarhet, høsten 2009 Torgeir Lebesbye torgeirl@ifi.uio.no Universitetet i Oslo Lars-Erik Bruce larsereb@ifi.uio.no Universitetet i Oslo
STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
INF4170 Logikk. Forelesning 12: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle. Bjarne Holen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF4170 Logikk Forelesning 12: matriser og koblingskalkyle Bjarne Holen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 11. mai 2010 Dagens plan 1 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 Logikk 11.05.2010
Forelesning 27. MAT1030 Diskret Matematikk. Bevistrær. Bevistrær. Forelesning 27: Trær. Roger Antonsen. 6. mai 2009 (Sist oppdatert: :28)
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 27 6. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-06 22:28) MAT1030 Diskret Matematikk 6.
Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen februar 2006
Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen - 27. februar 2006 1 Frsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon og presiseringer Et frsteordens sprak L bestar av: 1. Logiske symboler
Bevis for sunnhet (og kompletthet) av bevissystemet med hensyn på semantikken
Forelesning 4: Intuisjonistisk logikk Arild Waaler - 11. februar 2008 1 Intuisjonistisk logikk 1.1 Innledning Til nå i kurset Det utsagnslogiske språket: konnektiver og formler Bevissystem:LK og DPLL for
Forelesning 13: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle Bjarne Holen - 7. mai 2007
Forelesning 13: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle Bjarne Holen - 7. mai 2007 1 Automatisk bevissøk IV 1.1 Introduksjon Bevissøk med koblinger Vi har til nå sett på forskjellige varianter
INF3140 Modeller for parallellitet INF3140/4140: Programanalyse
INF3140/4140: Programanalyse Uke 4, side 1. Hvordan sjekke egenskaper ved programmer? Testing eller debugging øker tilliten til programmet ved prøving, men gir ingen garanti for korrekthet Operasjonell
Oppgave 1. ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ.
Oppgave 1 Beviskalklen i læreboka inneholder sluttningsregelen QR: {ψ φ}, ψ ( xφ). En betingelse for å anvende regelen er at det ikke finnes frie forekomste av x i ψ. Videre så inneholder beviskalklen
Ekvivalente utsagn. Eksempler: Tautologi : p V p Selvmotsigelse: p Λ p
Ekvivalente utsagn Definisjoner: Et sammensatt utsagn som ALLTID er SANT kalles for en TAUTOLOGI. Et sammensatt utsagn som ALLTID er USANT kalles for en SELVMOTIGELSE eller en KONTRADIKSJON (eng. contradiction).
Regneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 30. april 2008 Oppsummering Mandag så vi på hvordan vi kan finne uttrykk og termer på infiks form,
Klasser, det analytiske hierarkiet og Shoenfields absolutthetsteorem
Klasser, det analytiske hierarkiet og Shoenfields absolutthetsteorem Dag Normann Oktober 1998 1 Klasse-hierarkiet 1.1 Syntaks-klasser Vi skal begynne med noe kjent og kjært: Definisjon 1 Vi vil se på språket
Pengepolitikk under et inflasjonsmål
Professor Tommy Sveen BI 20. oktober, 2017 TS (BI) BST 1612 20. oktober, 2017 1 / 35 Introduksjon Litt om meg Siviløkonom fra BI (1993) og doktorgrad fra NHH (2001) Professor i makroøkonomi, jobbet på
Fri-variabel sekventkalkyle
INF3170 Logikk Forelesning 10: Fri-variabel sekventkalkyle Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Fri-variabel sekventkalkyle 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:38) INF3170
LSCs Live Sequence Charts
LSCs Live Sequence Charts LSCs Live Sequence Charts / INF 5160 (Dbsem) 26. spril 2005 /Slide 1 Motivasjon Disposisjon - Message Sequence Charts (MSCs): Positive og negative sider - Fremtidsvisjon Basic
Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse
Netto innfl. Befolkning og velferd ECON 1730, H2016 Regresjonsanalyse Problem: Gitt planer for 60 nye boliger i kommunen neste år, hvor mange innflyttere kan vi forvente? Tabell Vestby kommune Nye boliger
Polare trekanter. Kristian Ranestad. 27. oktober Universitetet i Oslo
Universitetet i Oslo 27. oktober 2011 Pol og polare Enhetssirkelen har likningen q(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 For hvert punkt a = (a 1, a 2 ) på sirkelen er tangentlinja til sirkelen definert av likningen
TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 5, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA
10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet
Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For