Nivå 1: Formelspråket. Formelle bevis: språk-nivåer 2: Sekventer, P 1,P 2,...,P Nivå n Q, n 0, omtaler formler. En - er en påstand om logisk konsekven
|
|
- Margrethe Mikkelsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DERFOR: i i<k A[i]=0 Av og A[k]=0 og j<k j =k følger A[j]=0 DERFOR: A[i]=0 og A[k]=0 Av og følger A[j]=0 i i<k j k DERFOR: A[i]=0 og A[k]=0 Av følger A[j]=0 i i<k j k DERFOR: A[i]=0 og A[k]=0 Av følger A[i]=0 i i<k i i k DERFOR: i i<k A[i]=0 A[k]=0 Av følger i i k A[i]=0 DERFOR: ( i i<k A[i]=0) A[k]=0 i i k A[i]=0 Teorem Ferdiglaget formelt bevis Av i i<k A[i]=0 og j<k følger j<k A[j]=0 og A[j]=0 1: Av A[k]= 0 og j = k følger A[j]= 0 2: 1
2 Nivå 1: Formelspråket. Formelle bevis: språk-nivåer 2: Sekventer, P 1,P 2,...,P Nivå n Q, n 0, omtaler formler. En - er en påstand om logisk konsekvens: at teoremdelen, sekvent formelen Q, følger logisk av antagelsene, formlene P 1,...,P n. S deduksjonsregler) omtaler Bevisregler (inferensregler, 1;S 2 ;...;S m T, m 0, beskriver en type Bevisregelen sekventer. Nivå 3: bevisskritt: at konklusjonen, en sekvent av formen T, formelle anses som bevist dersom hver av premissene, sekventer av kan formene S 1,...,S m, er bevist. - P Q; - P - Q Eksempel: Modus ponens kan uttrykkes slik: 4: Naturlig språk, ispedd matematiske notasjoner, blant Nivå metavariable, brukes til å omtale alt det andre. annet 2
3 Sekvent-kalkyle (SC) : P - P TRN : RFL 1 - P,, 1, 2 - P, 1 - P ;, 2,P - Q, 1, 2 - Q, - P, x t - P x t AI : VI : hver, angir en mengde antagelser listet opp i vilkårlig hvor Reglene uttrykker egenskapene til logisk konsekvens. rekkefølge. (Reeksivitet): P følger av P (for veldenert formel P ). RFL (Transitivitet): Hvis P følger av antagelser, 1, og Q følger TRN P (og antagelser, 2 ), da følger Q av, 1 (og, 2 ). av (Introduksjon av Antagelse): En logisk konsekvens ødelegges AI av ekstra antagelser. ikke (Variabel-Instansiering): En fri variabel x av type T står for VI en vilkårlig T -verdi. Den kan derfor erstattes av vilkårlig (veldenert) T -uttrykk. Alle frie x-forekomster i sekventen står for samme verdi. 3
4 er her underforstått at hver premiss kan ha (ekstra) antagelser. x meng- Det Isåfall skal de nedarves til konklusjonen., er av som har fri forekomster av variabelen x. (Antagelseden antagelser fri x i VI nedarves på vanlig måte, dvs. uforandret.) uten Symbolene P, Q,,,x,t er å forstå som metavariable, Merknad: variable på et språknivå høyere enn formelspråket. P, Q står dvs. formler,, for en formelmengde, metavariabelen x står for en for i formelspråket (som ikke behøver å hete x), og t står variabel Forkortede deduksjonsregler - P ; P - Q - Q P - - P,, x - P (, x ) x t - P x t TRN : AI : VI : for et uttrykk (underforstått av samme type som variabelen x). 4
5 Bevis i predikatkalkylen av funksjoner som opptrer i formelspråket kan fastlegges Betydningen dels ved aksiomer, dels ved bevisregler. Det er tradisjon å uttrykke betydningen av de logiske operatorene ved bevisregler, for mens andre funksjoner blir beskrevet ved aksiomer. deduksjon, ND, (se neste foil) er et slikt sett av bevisregler. Naturlig Det består av regler for introduksjon (I) og eliminasjon (E) av logiske operatorer i teoremdelen av sekventer. Reglene til elementære tankeskritt ved resonnement om formler i svarer ordens predikatkalkyle. 1. uten aksiomer i tillegg er et bevissystem for predikatkalkylen ND sådan. De bevisbare teoremer kalles her tautologier. En som er en formel som er sann for alle kombinasjoner av tautologi for fri variable og for alle tolkninger av funksjoner andre verdier enn logiske operatorer. 5
6 Naturlig deduksjon (ND) P ; - Q - P Q - - P Q - P - P Q - Q og I : E : P - P Q og - Q - - P Q - P Q; P - R; Q - R - R E : I : P - Q - P Q - P Q; - P - Q E : I : P - x P - x P - P x t - ( ) E : I : P x t - - x P - x P ; P - Q - Q ( ) I : E : - P ; - P - f P - f - P fe : fi : E : - P - P ( ): Bare P og evt. antagelser for første premiss i E kan ha fri x. 6
7 Bevis for (A B C) (A C) A - A A B C - A B C I A B A - E A B - C, A C I A B - C A C I - (A B C) (A C) er en trestruktur av sekventer, hvor hver bladnode er Beviset trivial-sekvent (en sekvent av formen P - P ), og hvor hver en node fremkommer som konklusjonen i (en instans av) en indre Rotnoden er selve teorem-sekventen. ND-regel. 7
8 for Bevis P) P) P P P P (P (P P P I - P P P I - P P P fi fi P, P) - (P f P, P) - (P f fe P) - (P P fe P) - (P P fi (P P) - f fe - (P P) E - P P 8
9 system S er sunt hvis alle formler bevisbare i S er gyldige. S Et komplett hvis alle gyldige formler i formelspråket er bevisbare er Bevisbarhet og gyldighet logisk system (sett av bevisregler og evt aksiomer) S bør svare Et korrekt logisk tenkning basert på den matematiske betydnin- til av formler i formelspråket. En formel F er bevisbar i S om gen nnes et S-bevis for sekventen - F. F er gyldig om den har det t for alle verdikombinasjoner av fri variable, og for alle verdien av andre funksjoner enn de logiske operatorene, som tolkninger tilfredsstiller alle aksiomer. i S. kan vises at ND-systemet, utvidet med sekvent-regelen RFL, Det er sunt og komplett for selve predikatkalkylen, dvs. for tau- både tologier. 9
10 intet konsistent aksiomsett er sterkt nok til at alle gyldige at om de aktuelle funksjonene kan bevises formelt. Det setninger altså si at intet formelt system kan være komplett for slike vil strukturer. naturlige tall med addisjon, multiplikasjon og likhet er Allerede nok til at intet komplett system kan nnes. komplisert har dette få konsekvenser for resonnementer relevante Heldigvis programutvikling. for Gödel's ufullstendighetsteorem Et aksiomsett uten selvmotsigelser sies å være konsistent. sats avslører en fundamental svakhet ved formallogiske Gödel's Den sier at det nnes matematiske strukturer slik systemer. 10
11 er systematiske og rimelig enkle. Systematikken består ND-bevis at uttrykk som stammer fra antagelser, brytes ned til mindre i Konstruksjon av bevis ved hjelp av E-regler; som deretter settes sammen til enheter ønskede teoremet ved hjelp av I-regler, samtidig med at an- det tagelsene (som regel alle) blir kastet av. å lage slike bevis møter vi vansker av særlig to slag: For Hvordan ser trivialsekventene ut som det lønner seg å starte med? Det hender at bevis ved selvmotsigelse, dvs. fi fulgt av fe, må benyttes på lite naturlige måter (se beviset for P P ). 11
12 konstrueres baklengs, der hvor hovedoperatoren i teoremdelebevis bestemmer den I-regel som kan brukes. Bakoverkonstruksjon I-regel introduserer hovedoperatoren i teoremdelen av en Hver Dermed blir strukturen i et ND-bevis i noen grad sekvent. bestemt av strukturen til teoremet. Et stykke på vei kan ND- I-regler bestemmer også premissene entydig ut fra konklusjonen. Noen Det gjelder bl.a. I, I og I. Her er også premissene hvis konklusjonen er det, slik at man ikke ledes inn bevisbare blindgater. (Det siste gjelder ikke for I, som derfor er lite i brukbar til bakoverkonstruksjon.) denerer et system BPC med bevisregler analoge med NDreglene, Vi men bedre egnet for bakoverkonstruksjon. BPC in- T-regler og A-regler som svarer til operatorintroduksjon neholder teoremdelen av en sekvent hhv. i en valgt antagelse. i 12
13 - P. 13 T : Bakover-konstruksjon: BPC P ; - Q - P Q - A : P,Q - R P Q - R T : P - Q - P Q Q - P - P Q A : - R; P - Q R P - Q R og P - Q - P Q - R; P - Q R P - Q R T : A : T : P - Q Q - P A : Q - P P - Q T : P x x - x P - x ny A : P x t, x - P Q x - P Q T : P x x t P - - x P A : P x x - Q x P - Q x ny er en metaoperator som negerer ved å sette til eller fjerne, Overstrekning at aldri oppstår, hhv. bytte t og f. t svarer til en tom antagelse som slik alltid kan underforståes. Dermed har f.eks. T spesialtilfellet P - f
14 Bruk av BPC alle reglene i BPC er konstruktive, i den forstand at premissene Nesten er bestemt tekstlig av konklusjonen. Unntakene er T A, hvor uttrykket t ikke fremgår direkte. (Det er imidlertid og å forsøke uttrykk som bygger på variable og funksjoner som nok i konklusjonen og evt. aksiomer, pluss i noen tilfeller forekommer konstanter, høyst en pr. type som opptrer.) ekstra at noen av reglene i BPC introduserer nye antagelser i Merk Ved mekanisk bruk av BPC-regel til bakoverkon- premissen(e). må antagelser i konklusjonen generelt videreføres til struksjon regelens premisser. Dette leder ofte til sekventer med logisk alle redundante antagelser og dermed mindre oversiktlige bevis. beskytter mot blindgater, men ikke mot dumme, BPC-reglene unyttige bakoverskritt, f.eks. operasjon på redundant antag- dvs. else, dårlig valg for t i T eller A, eller operasjon på en P i P -P. 14
15 AI, A R(x, y) - R(x, y) Bevis konstruert baklengs R(x, y), R(x, y) - R(y, y) T R(x, y) - R(x, y) R(y, y) A y) (R(x, - y)) y) R(y, R(x, AI, T AI, T (R(x, y) R(y, y)) - R(x, x) R(x, y) (R(x, y) R(y, y)) - (R(x, x) R(x, y)) z: T R(x, z) R(z, y) T T (R(x, y) R(y, y)) - z : T R(x, z) R(z, y) T - (R(x, y) R(y, y)) z: T R(x, z) R(z, y) - z : T R(x, z) R(z, y) 15
16 Generaliserte bevis bakoverkonstruksjon med BPC er det naturlig å generalisere Ved trivialsekvent til å være av formen, - P, hvor enten begrepet Pɛ, eller Q, Qɛ, for en formel Q. å vise andre teoremer enn tautologier trengs aksiomer om For (andre enn logiske operatorer) som inngår. Aksiomer, funksjoner A, er legale bladnoder i et bevis. For å vise en (ny) bevisregel - regelens premisser legale bladnoder. er er tidligere viste teorem-sekventer legale bladnoder, og Generelt ihht. bevist inferensregel er legale. bevisskritt manuell bevisføring anbefales det å benytte BPC til bakoverkonstruksjon Ved et stykke på vei, mens ND benyttes til å trekke slut- fra aksiomer og avleirede antagelser. (Ved å ta aksiomene ninger antagelser for teoremet kan BPC evt. benyttes hele veien.) som 16
17 kan håndteres formelt v.hj.a. regel for substitusjon, en spesialregel for Likhet over Bool, samt aksiomer om reeksivitet, et for hver type som opptrer. likhet Predikatlogikk med likhet EQ :,α t - P α t ; - t=t, α t - P α t B= : P -Q; Q -P -P=Q α i EQ er en hjelpevariabel som peker ut de forekomstene av t i konklusjonen EAX T : - x:t x=x som skal erstattes av t ved bakoverkonstruksjon. - x:t x=x y =z - y =z x=y - x=y Vi viser at likhetsrelasjonen er symmetrisk og transitiv. E y =y x=y - x=y - EQ, : P t: y=α, x, t y : - x=y y =x T x=y y =x - EQ, : P t: α=z, x, t y : x=y, - y=z x=z A x=y - y=z x=z T x=y y=z x=z - 17
18 i i<k A[i]=0 - i i<k A[i]=0 (triviell) 1. j<k -j<k (triviell) 2. i i<k A[i]=0 -j<k A[j]=0 (1, E) 3. i i<k A[i]=0, j<k - A[j]=0 (3,2, E) 4. A[k]=0 -A[k]=0 (triviell) 5. j =k - j =k (triviell) 6. A[k]=0, j=k - A[j]=0 (5,6,EQ) 7. i i<k A[i]=0, A[k]=0, j<k j=k - A[j]=0 (4,7, A ) 8. m n (m n)=(m<n m=n) (aksiom) 9. - n (j n)=(j<n j=n) (9, E) (j k)=(j<k j=k) (10, E) i i<k A[i]=0, A[k]=0, j k - A[j]=0 (8,11,EQ) 12. i i<k A[i]=0, A[k]=0 -j k A[j]=0 (12, T ) 13. i i<k A[i]=0, A[k]=0 - i i k A[i]=0 (13, T ) 14. ( i i<k A[i]=0) A[k]=0 - i i k A[i]=0 (14, A ) 15. ( i i<k A[i]=0) A[k]=0 i i k A[i]=0 (15, T ) Hovedeksempel, formelt 18
19 T, EQ (Aksiom - j, k :Int j k j<k j=k) : T, j<k j=k Vis A[j]=0 Anta av antagelser som en LIFO stakk, er det tilstrekkelig å skrive opp hver listen én gang og angi dens skop ved innrykk. Vi benytter antagelser antagelse ved delbevis forover, uten å bry oss med å skrive opp de tilsvarende direkte trivialsekventene. å føre baklengsskritt nedover arket og forlengs bevis mot høyre oppnår vi Ved skrive detaljene ned i den rekkefølge de opptrer under beviskonstruksjonen. å Forslag til bedre notasjoner Hovedeksempel, ( i i<k A[i]=0) A[k]=0 i i k A[i]=0 Vis A : T, A1: i i<k A[i]=0 og A2: A[k]=0 Anta i i k A[i]=0 Vis A : : E A[j]=0 Anta A1 A[j]=0 j<k = j<k = j : A2 =k = A[j]=0 j=k,eq Anta T/A-regler: bruk av BCP {EQ} baklengs, mens A = B,R C angir angir Her - A; - B et R-skritt forover (R ɛnd {EQ}):. Hvis det er mulig å bruke - C 19
20 Likhetslogikk likhetslogikk er alle aksiomer kvantorfrie ligninger, evt. av formen I P =t. Formalsystemet har 2 regler, EQ og en regel for å instansiere variable (som svarer til I fulgt av E). Vis m<m+1. Eksempel: A1: - t x t Aksiomer: - x=x t A2: Bevis: - x<y. A3: x<y+1 x=y m =m m<m t m<m t A1 A2 A3 m<m+1 at beviset konstrueres ved å anvende EQ baklengs: teoremet Merk er utgangspunktet, og sluttresultatet svarer til trivialsekventen t - t. Instansiering av aksiomer er derimot forlengs bevisskritt. Bevismåten kalles termomskriving. 20
v : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn
DetaljerSekventkalkyle for utsagnslogikk
Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet
DetaljerINF4170 { Logikk. Forelesning 1: Utsagnslogikk. Arild Waaler. 20. august Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF4170 { Logikk Forelesning 1: Utsagnslogikk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 20. august 2013 Dagens plan 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Institutt
DetaljerForelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet. 1 Mengdelære III. 2 Utsagnslogikk. 1.1 Multimengder. 2.
Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet 1 Mengdelære III 1.1 Multimengder Multimengder Mengder der antall forekomster av hvert element teller Definisjon (Multimengde). En
DetaljerForelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle. Roger Antonsen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 15:10) Utsagnslogikk INF3170
DetaljerLogiske symboler. Ikke-logiske symboler. Konnektiver Kvantorer Har fast tolking
Inf 3170 Logiske symboler Konnektiver Kvantorer Har fast tolking Ikke-logiske symboler Relasjonssymboler Funksjonssymboler Ariteten er alltid gitt Tolkningen kan variere Vi får formelspråket Start med
DetaljerINF1800 Forelesning 15
INF1800 Forelesning 15 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59) Sekventkalkyle for utsagnslogikk Introduksjonseksempel Hvordan finne ut om en gitt formel er en
DetaljerINF3140 Modeller for parallellitet INF3140/4140: Programanalyse
INF3140/4140: Programanalyse Uke 4, side 1. Hvordan sjekke egenskaper ved programmer? Testing eller debugging øker tilliten til programmet ved prøving, men gir ingen garanti for korrekthet Operasjonell
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 15: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59) Sekventkalkyle for utsagnslogikk
DetaljerSekventkalkyle for utsagnslogikk
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 15: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Sekventkalkyle for utsagnslogikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59)
DetaljerForelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007
Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007 1 Sekventkalkyle 1.1 Semantikk for sekventer Semantikk for sekventer Definisjon 1.1 (Gyldig
DetaljerDet utsagnslogiske spraket: konnektiver og formler. Semantikk: Denisjon av sannhet og gyldighet
Forelesning 4-13. februar 2006 Intuisjonistisk logikk 1 Intuisjonistisk logikk 1.1 Innledning Til na i kurset Det utsagnslogiske spraket: konnektiver og formler Bevissystem: sekventkalkylen LK for klassisk
DetaljerDefinisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.
Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar
DetaljerBevis for sunnhet (og kompletthet) av bevissystemet med hensyn på semantikken
Forelesning 4: Intuisjonistisk logikk Arild Waaler - 11. februar 2008 1 Intuisjonistisk logikk 1.1 Innledning Til nå i kurset Det utsagnslogiske språket: konnektiver og formler Bevissystem:LK og DPLL for
DetaljerHvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170, og Ole følger ikke inf3170. Ole følger inf3170, eller Ole følger ikke inf3170.
Forelesning 4: Repetisjon og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen - 12. februar 2007 1 Repetisjon Motivasjon Er utsagnene sanne? Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170,
DetaljerForelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007 1 Førsteordens sekventkalkyle 1.1 Introduksjon Vi har til nå sett sekventkalkyle for utsagnslogikk. Vi
Detaljervar y :{x :T R}; S endvar y
uttrykk av formen some x : T R selekterer ikke-deterministisk Et T -verdi som tilfredsstiller R, det vil si en verdi av subtypen en skal regnes med i den applikative delen av programmeringsspråket, some-uttrykk
DetaljerINF3170 Forelesning 11
INF3170 Forelesning 11 Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) Innhold Intuisjonistisk logikk 1 Innledning........................................... 1
DetaljerForelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler januar 2008
Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler - 21. januar 2008 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: Martin Giese (martingi@ifi.uio.no) Arild Waaler
DetaljerFørsteordens sekventkalkyle
INF3170 Logikk Forelesning 7: Sekventkalkyle for førsteordens logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Førsteordens sekventkalkyle 16. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 4: og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 12. februar 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet 1 Sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen 2 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 5. februar 2007
DetaljerMerk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!
Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:
DetaljerIntuisjonistisk logikk
INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Intuisjonistisk logikk 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) INF3170 Logikk
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk. Roger Antonsen. 27. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) Intuisjonistisk logikk INF3170 Logikk
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Negasjon som bakgrunn for intuisjonistisk logikk. Til nå i kurset. Forelesning 9: Intuisjonistisk logikk.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 9: Arild Waaler 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 Konsistens 19. mars 2007 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 19.03.2007 2 / 28 Innledning
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet. Christian Mahesh Hansen. 5.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 5. mars 2007 Institutt for informatikk
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-04 14:11) Forelesning 27 MAT1030 Diskret Matematikk 4. mai 2010
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle. Arild Waaler. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 1: Introduksjon. og sekventkalkyle Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 21. januar 2008 3 Institutt for informatikk
DetaljerEn formel er gyldig hviss den sann i alle tolkninger. Kan dette sjekkes automatisk?
Utsagnslogikk En formel er gyldig hviss den sann i alle tolkninger Tolkning = linje i sannhetsverditabell Altså: En formel er gyldig hviss den har T i alle linjene i sin sannhetsverditabell. Dette kan
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Fri-variabel sekventkalkyle. Forelesning 10: Automatisk bevissøk II fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet.
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 10: fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet Martin iese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. april 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 Logikk
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28 16:50) Førsteordens sekventkalkyle
DetaljerFørsteordens sekventkalkyle
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Førsteordens sekventkalkyle Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 30. april 2008 Oppsummering Mandag så vi på hvordan vi kan finne uttrykk og termer på infiks form,
DetaljerSemantikk Egenskaper ved predikatlogikk Naturlig deduksjon INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon Andreas Nakkerud 3. september 2015 Eksempel Gitt en similaritetstype 0, 2; 1; 2 bygger vi en struktur (modell) hvor A = {c 1, c 2, a, b},
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerInnledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon
Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerSekventkalkyle for første ordens predikatlogikk uten likhet
Sekventkalkyle for første ordens predikatlogikk uten likhet Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 29/9 07 Vi definerer sekventer for predikatlogikk på samme måte som i utsagnslogikk. En sekvent består
DetaljerHvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning.
Forelesning 12: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Christian Mahesh Hansen - 30. april 2007 1 Kompletthet av fri-variabel LK Teorem 1.1 (Kompletthet). Hvis Γ er gyldig,
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt
DetaljerForelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11
Forelesning 33 Repetisjon Dag Normann - 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske repetisjonen av MAT1030. Det som gjensto var kapitlene 11 om trær og
DetaljerForelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen mars 2006
Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen - 27. mars 2006 1 Kompletthet av LK 1.1 Overblikk Vi skal na bevise at LK er komplett. Ikke bare er LK sunn, den kan ogsa vise alle gyldige
DetaljerForelesning 27. MAT1030 Diskret Matematikk. Bevistrær. Bevistrær. Forelesning 27: Trær. Roger Antonsen. 6. mai 2009 (Sist oppdatert: :28)
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 27 6. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-06 22:28) MAT1030 Diskret Matematikk 6.
DetaljerRepetisjonsforelesning
Repetisjonsforelesning INF3170 Andreas Nakkerud Institutt for informatikk 24. november 2014 Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Repetisjon 24. november 2014 1 / 39 Utsagnslogikk Utsagnslogikk
DetaljerDefinisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen - 4. juni 2007 1 Kompletthet 1.1 Introduksjon Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
DetaljerBeregn minutter til å se gjennom og fullføre ubesvarte oppgaver på slutten av eksamenstiden.
Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen - 21. mai 2007 1 Generelle eksamenstips 1.1 Disponér tiden! Sett opp et grovt tidsbudsjett. En tre timers eksamen har 3 * 60 = 180 minutter. Oppgavene
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Sekventkalkyle Gerhard Gentzen ( ) Innhold. Forelesning 12: Snitteliminasjon. Herman Ruge Jervell. 8.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 12: Herman Ruge Jervell 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 8. mai 2006 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 2 / 27 Regler Innhold
DetaljerINF3170 Forelesning 4
INF3170 Forelesning 4 Sunnhet og kompletthet - 16. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:43) Dagens plan Innhold Sunnhet 1 Introduksjon.......................................... 1 Bevaring av falsifiserbarhet..................................
Detaljer: set T, add : set T T set T
1 Likhet over en vilkårlig type T Likhet ^=^ : T T Bool er en relasjon over GU T som skal tilfredsstille følgende krav: - x = x (reeksivitet) E1: - x = y y = x (symmetri) E2: E3: - x = y y = z x = z (transitivitet)
DetaljerKompletthet av LK. INF3170 Logikk. Overblikk. Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet. Roger Antonsen
INF370 Logikk Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kompletthet av LK 3. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-3 2:04) INF370 Logikk
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Resolusjon: regel og utledninger. Overblikk. Definisjon. Forelesning 14: Avanserte emner. Christian Mahesh Hansen
INF3170 Logikk Forelesning 14: Avanserte emner Dagens plan 1 Christian Mahesh Hansen 2 Dualiteter Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 14. mai 2007 4 5 Teorier, aksiomer og ufullstendighet
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo barn barn
DetaljerMetode for a avgjre gyldighet av formler. En av verdens raskeste teorembevisere, Vampire, bruker resolusjon.
Forelesning 15: Avanserte emner Roger Antonsen - 29. mai 2006 1 Resolusjon 1.1 Overblikk John Alan Robinson, 1965. Metode for a avgjre gyldighet av formler. Populr, eektiv og enkel a implementere. En av
DetaljerSist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot. barn
Forelesning 26 Trær Dag Normann - 28. april 2008 Oppsummering Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot barn barn barnebarn barnebarn barn blad Her er noen
DetaljerINF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk
DetaljerForelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 28. april 2008 Oppsummering Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver av eksamenen i MAT3600/MAT4600 høsten 2005
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver av eksamenen i MAT3600/MAT4600 høsten 2005 Oppgave 1 La L være førsteordens språket {a,b,f,r} hvor a og b er konstantsymbol, f er et funksjonsymbol med aritet 2 og
DetaljerFortsettelse. INF3170 Logikk. Eksempel 1. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen
INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Fortsettelse 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:24) INF3170 Logikk 6.
Detaljerx A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen. 6. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:23) Fortsettelse INF3170 Logikk 6.
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerSunnhet og kompletthet av sekventkalkyle for utsagnslogikk
Sunnhet og kompletthet av sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle System for å bevise sekventer fra aksiomer ved hjelp av regler Bevis er oppstilling som viser hvordan nye sekventer kan avledes
DetaljerINF1800 Forelesning 17
INF1800 Forelesning 17 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon og kommentarer Vi skal nå kunne Utsagnslogikk: syntaks og semantikk
DetaljerKarakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
Detaljer1 Utsagnslogikk (10 %)
1 Utsagnslogikk (10 %) a1) A A, C A A C A B A B (A C) B, C B B C B B, C A, C B, C A C B C A C B C B (A C) A (B C) B (A C) Utledningen lukkes ikke og vi får følgende valuasjon v som falsifiserer formelen:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 17: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon
DetaljerForelesning januar 2006 Introduksjon, mengdelre og utsagnslogikk. 1 Praktisk informasjon. 1.1 Forelesere og tid/sted. 1.2 Obliger og eksamen
Forelesning 1-23. januar 2006 Introduksjon, mengdelre og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: { Christian Mahesh Hansen (chrisha@ifi.uio.no) { Roger Antonsen (rantonse@ifi.uio.no)
DetaljerKapittel 4: Logikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. En digresjon. Forelesning 6: Utsagnslogikk og predikatlogikk.
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 6: Utsagnslogikk og predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk 3. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-03 12:49) MAT1030
DetaljerINF1800 Forelesning 20
INF1800 Forelesning 20 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:51) Mer om førsteordens logikk Tillukninger Vi har definert semantikk kun for lukkede formler.
DetaljerDagens plan INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk. Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen
Dagens plan INF3170 Logikk Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 23.
DetaljerLitt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel
INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02
DetaljerINF3170 Forelesning 2
INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Forstå teksten og begrepene! Disponér tiden! Forelesning 15: Oppgaveløsing. Christian Mahesh Hansen. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen 1 Generelle eksamenstips Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 21. mai 2007 Institutt for informatikk (UiO)
DetaljerFOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning
FOL: syntaks og representasjon 15. og 16. forelesning Førsteordens logikk Førsteordens logikk: et formelt system som man bruker til å representere og studere argumenter. Som utsagnslogikk, men mer uttrykkskraftig,
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:50) Mer om førsteordens
DetaljerMer om førsteordens logikk
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Mer om førsteordens logikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22
DetaljerForberedelse Kompletthet Kompakthet INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet. Andreas Nakkerud. 8.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet Andreas Nakkerud 8. september 2015 Forberedelse Theorem La x være en variabel som ikke forekommer i Γ eller i φ. (i) Γ φ Γ[x/c] Γ[x/c]. (ii) Hvis
DetaljerForelesning 31: Repetisjon
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 31: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 31: Repetisjon 18. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-18 14:11) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerRepetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk. 2 Førsteordens sekventkalkyle. 3 Sunnhet av førsteordens sekventkalkyle. 1 Mengden T av termer i L:
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Kompletthet følger fra modelleksistens. Kompletthet. Definisjon (Kompletthet) Teorem (Modelleksistens)
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 4. juni 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 04.06.2007
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11 01:52) Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)
DetaljerDeduksjon i utsagnslogikk
Deduksjon i utsagnslogikk Lars Reinholdtsen, Universitetet i Oslo Merknad Dette notatet om deduksjon er ikke pensum, og den behandlingen som Goldfarb gir av emnet fra 33 og utover dekker fullt ut det som
DetaljerForelesning 1 mandag den 18. august
Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden
DetaljerSlides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn
DetaljerKvantorer. MAT1030 Diskret matematikk. Kvantorer. Kvantorer. Eksempel. Eksempel (Fortsatt) Forelesning 8: Predikatlogikk, bevisføring
Kvantorer MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 8: Predikatlogikk, bevisføring Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 6. februar 008 Mandag 04.0.008 introduserte vi predikatlogikk Vi innførte
DetaljerLineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 8: Predikatlogikk, bevisføring Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 6. februar 2008 Kvantorer Mandag 04.02.2008 introduserte vi predikatlogikk Vi
DetaljerMAT1030 Forelesning 6
MAT1030 Forelesning 6 Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen - 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28 12:23) Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) Mer om parenteser Eksempel. (p q r) (p r) (q r) Her mangler
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Oppgave 1 a) Sett opp en sannhetsverditabell(truth table) for det logiske uttrykket
DetaljerDet betyr igjen at det får verdien F nøyaktig når p = T, q = T og r = F.
Forelesning 7 Dag Normann - 4. februar 2008 Oppsummering Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel og de utsagnslogiske bindeordene,,, og. Vi har sett hvordan vi kan undersøke egenskapene
Detaljer