Kom igang med

Transkript

1 Kjetil Idås Kom igang med CAS Innføring med tips og oppgaver for bruk i klasserommet til selvstudium eller kurs Din pedagogikk. Vår teknologi. Effektiv læring.

2

3 Informasjon om boka Denne boka er skrevet for lærere og elever i den videregående skolen og for studenter på høgskoler. Eksemplene er relevante ift læreplanene og eksamen på Vg1, Vg2 og Vg3. Boka kan brukes som selvstudium, eller som en kursbok kapittel for kapittel. Hvert kapittel er bygget opp som en oppslagsside med fremgangsmåter på venstre og differensierte oppgaver på høyre side. Boka har som målsetting å gjøre deg til en fornøyd TI nspire bruker. Programmet har mange muligheter, og en av utfordringene under produksjonen har vært å filtrere ut det som må kunnes for å beherske temaet. Det kan derfor være flere eller raskere måter å bruke programmet på. TI nspire har våren 2010 vært på markedet i tre år, og denne versjonen 2.0 er den største oppdateringen til nå. Brukergrensesnittet er vesentlig endret, ny funksjonalitet har kommet til og programmet benytter nå gjennomgående farger. Det er hyggelig som erfaren TI bruker å registrere at Texas Instruments har lyttet til mange av de norske erfaringene med produktet i denne siste versjonen. Under utviklingen av produktet har jeg hatt stor glede av faglige tilbakemeldinger fra Anders Øverbye, Texas Instruments Norge, god kvalitetssikring av Svein Terje Kvestad fra Horten Videregående skole og dummies testing av Anders Erlend Idås. Har du forslag til endringer eller kommentarer, tar jeg svært gjerne imot det på Lykke til med TI nspire! Kjetil Idås april 2010

4 2

5 3 Innholdsfortegnelse Bli kjent med TI nspire 4 Slik bruker du TI nspire 6 Slik lager du matte dokumenter 8 Slik bruker du Kalkulatoren 10 Slik bruker du CAS Kalkulatoren 12 Algebra likninger og ulikheter 14 Algebra differensiallikninger 16 Geometri enkel konstruksjon 18 Geometri vinkler og lengder 20 Funksjoner grunnleggende bruk 22 Funksjoner polynomfunksjoner 24 Funksjoner log, ln og e funksjoner 26 Funksjoner trigonometriskefunksjoner 28 Funksjoner regresjon 30 Funksjoner integrasjon 32 Funksjoner sammensattefunksjoner 34 Funksjoner vektorfunksjoner 36 Vektorer regning og tegning 38 Økonomi lineær optimering 40 Økonomi kostnader, inntekter 42 Økonomi etterspørsel, mengde 44 Sannsynlighet kombinasjoner 46 Sannsynlighet fordeling 48 Statistikk histogram, kakediagram 50 Statistikk kurver og boksplott 52 Visualisering av matematikk 54 TI nspire i undervisning tips! 56 Mer nspire? 58

6 4 Δ Δ Δ Δ r Sider Rammer Sideoppsett Bli kjent med TI nspire TI nspire består av seks applikajoner (programmer) som utgjør et komplett matematikkprogram fra ungdomsskole til høgskolenivå. Spesielt er Ti nspire godt egnet til oppgaveløsning på del 2 oppgaver i den videregående skolen hvor digitale verktøy kan brukes. Det du produserer lagres i oppgaver med underliggende sider. Disse kan nummereres i samsvar med oppgaver i en lærebok slik at det blir samsvar mellom fil og lærebok. ne deles inn i rammer med ønsket sideoppsett. Notes produksjon av tekst Notes er TI nspires tekstbehandler. Her kan du skrive vanlig og matematisk tekst. I Notes kan du også utføre kalkulasjon direkte, slik at du på en forklarende måte kan vise hva du beregner. Kalkulatoren en avansert CAS kalkulator Kalkulatoren er en CAS kalkulator som i tillegg til å kalkulere algebra, også kan løse likninger, ulikheter, derivere og beregne for eksempel integraler. Den kan bruke variabler og regne med bokstaver. For å forklare hva du gjør, kan det legges tekstkommentarer før en beregning. Graf plotting av grafer og analyse av funksjoner Grafapplikasjonen plotter grafer og lar deg legge inn den informasjonen du trenger i koordinatsystemet. Nedenfor ser du hvordan TI nspire er brukt for å løse en oppgave hvor det er behov for tekst, kalkulator og grafplotting.

7 Lister, data og statistikk Lister brukes til å registrere data som kan plottes som funksjoner via en regresjonsanalyse eller plottes som kakediagram eller histogram. Listene er grunnlaget for datainnsamlingen som brukes både i statistikk, sannsynlighetsberegninger og funksjonslære. 5 Geometri og vektorer I programmet kan du konstruere, tegne vektorer og bruke kalkulatoren til å foreta både geometriske og vektorbaserte oppgaver. Geometriprogrammet er dynamisk, slik at du kan dra og endre på geometrisk punkter.

8 6 Slik bruker du TI nspire Tips! Annet skjermbilde? Klikk Når programmet har startet, åpnes et skjermbilde med Microsoft look. Skjermbildet består av en menylinje, en verktøylinje og et oppgaveark. Til venstre vises flere paneler og til høyre en referansefolder med linker og referanser. Eller sjekk nederst på skjermen Sjekk innstillingen før du begynner TI nspire er satt opp med en rekke innstillinger fra leverandøren. Kontroller og tilpass både språk og matematiske innstillinger første gang du bruker programmet: Språkinnstillinger: Fil > Innstillinger > Endre språk > [gjør ditt valg] > Lagre nå Matematiske innstillinger: Fil > Innstillinger > Dokumentinnstillinger > [gjør valg] > Legg til systemet

9 7 r og sider Det du produserer, organiseres i r med underliggende Sider. I en fil kan du ha mange oppgaver og filer. Når du begynner å bruke variabelnavn og funksjoner, er de unike i den oppgaven de er definert. Sletting Slette oppgave: Klikk på oppgaven > Delete Slette applikasjon: Klikk applikasjon> Delete Sette inn oppgave: Klikk på Sideoppsett Ti nspire er beregnet for å arbeide med flere applikasjoner i en oppgave. Derfor må du velge et sideoppsett som passer til oppgaven du skal løse: Klikk på > [gjør ditt valg] Skifte applikasjon flytte en applikasjon til en annen ramme Klikk på applikasjonen som skal flyttes > Rediger > Sideoppstett > Skift applikasjon > klikk i rammen du vil flytte applikasjonen. Paneler Paneler brukes til å få rask tilgang til spesialtegn, matematikkoperatorer og filer. Åpne et panel og dra ønsket innhold over i valgt ramme. 1. Åpne TI nspire 2. Sett inn r, Sider og applikasjoner som vist i figuren: Tips! arkene kan nummereres av deg 3. Slett Side 2 i 1 4. Slett Graf applikasjonen i 1 5. Bytt plass på applikasjonene i 1 6. Sett inn tre ekstra rammer i 2 6. Lagre fila med filnavnet TI kurs

10 Slik lager du matte dokumenter I TI nspire kan du lage matematikkdokumenter hvor du kombinerer tekst og beregninger. Dette har du behov for i all oppgaveløsning og spesielt i praktiske oppgaver. 8 Skrive og formatere tekst Når du skal skrive tekst, åpner du Notes. Det er en enkel tekstbehandler som kan utheve, kursivere og understreke tekst. I tillegg kan du kombinere teksten med alle typer matematiske tegn og sjabloner. Dermed erstatter dette Mathtype og andre løsninger for å skrive matematisk tekst. Åpne Matematiske sjablonger / Spesialtegn > dra tegnet inn i applikasjonen Foreta beregninger inne i teksten Matteboksen Du kan foreta beregninger direkte inne i teksten. Klikk på 3:Setti.. > 1: Matematikk boks > Skriv inn uttrykket > Trykk Enter.

11 9 1. Sett inn en ny bruk Notes Guri Grill har en kiosk. I 2008 solgte hun pølser for 10 kr per stykk og hamburgere for 50 kr. 1. januar 2009 satte hun opp alle prisene med 12 %. A. Hva koster ei pølse og en hamburger etter prisoppgangen? B. En flaske brus koster 20 kr etter prisoppgangen. Hva kostet den før prisoppgangen? Etter at prisene ble satt opp, ble salget dårlig. 1. juni 2009 bestemte Guri Grill seg for å sette ned alle prisene i kiosken med 20 %. C. Hva koster ei pølse og en hamburger etter 1. juni? D. Etter 1. juni koster en baguett 36 kr. Hva kostet den før prisnedgangen? 2. Lagre fila 1. Sett inn en ny (2P eksamen 2007) 2. Lagre fila

12 10 Slik bruker du Kalkulatoren I kalkulatoren kan du gjøre alle typer beregninger og kalkyler. Regneuttrykkene og svarene vises linje for linje under hverandre. TI nspire kan regne både med bokstaver og tall. * = multiplikasjon / = brøkstrek,divisjon. = desimaltegn ^ = potens Enkel kalkulasjon I Kalkulatoren skriver du regneuttrykket og trykker Enter for beregning. Ti nspire kalkulerer eksakt dvs at hvis du for eksempel skriver inn en brøkoppgave, blir svaret en brøk. Multiplikasjon med bokstaver må etterføles av multiplikasjonstegnet *. TI nspire kalkulerer med bokstaver og benevning, men gjør ikke om enheter for eksempel fra milliliter til liter. Redigere i kalkulatoren Når en oppgave er beregnet, kan den ikke redigeres på samme linje. Den må enten skrives på nytt eller kopieres til neste linje. Trykk pil opp > [ til oppgaven] > Enter tasten Slette Kalkuleringer kan slettes ved å stå på ønsket linje og trykke Backspace Tekst i kalkulatoren Du kan legge inn tekstinformasjon på en linje i kalkulatoren for å forklare hva du beregner.klikk > 6: Sett inn kommentar Bruke matematiske spesialtegn Alle matematiske operatorer, sjablonger og symboler ligger i Panelet Hjelpefunksjoner under Vindu menyen. Det er derfor effektivt å ha verktøypanelet fremme når du arbeider med litt mer avansert matematikk. Desimalsvar CTRL + Enter

13 11 Innholdet henter du ved å peke og dra det over i applikasjonen. Panelene kan du dra, forandre størrelse på og plassere der hvor det er mest effektivt for deg. 1. Sett inn en ny bruk Kalkulatoren Løs oppgavene: 2. Lagre fila 1. Sett inn en ny Regn ut med svar i desimaler: 2. Lagre fila

14 12 Slik bruker du CAS Kalkulatoren TI nspire er en CAS kalkulator. Det vil si at den i tillegg til vanlige kalkulatoroppgaver kan gjøre matematiske beregninger ved hjelp av kommandoer. Kommandoene kan skrives som en kommando eller hentes fra verktøypanelet og dras over i applikasjonen. Kommandoer er bygget opp med en gitt syntaks som må følges for at den skal fungere. I katalog sjablongen kan du klikke på kommandoen, se hvordan den brukes og dra den over i Kalkulatoren. Algebra kommandoer Det er en rekke kommandoer som kan hentes fra Verktøypanelet eller aktiveres fra 3:Algebra ikonet. desolve Løser desolve(ligning,x,y) differensiallikninger expand Regn ut uttrykk expand(uttrykk) factor Faktoriserer et factor(uttrykk) uttrykk solve Løser likninger og ulikheter solve(ligning,variabel) solve(ulikhet,variabel) Funksjonskommandoer I funksjonsdrøfting er det flere kommandoer som er vanlig å bruke. Etter at kommandoen er skrevet, omformes både derivasjon, lim og integralkommandoen til matematisk notasjon. derivative Deriverer funksjoner derivative(funksjon,variabel) integral Regner ut det bestemte integralet integral(funksjon,variabel, øvre grense, nedre grense) lim Beregner grenseverdien lim(funksjon,variabel,grense) zeros Finner x verdiene som gjør funksjonsuttrykket = 0 zeros(funksjon,variabel)

15 13 1. Sett inn en ny bruk Kalkulatoren 2. Løs oppgavene Tips! Når en kommando er skrevet og svaret beregnet, omgjøres kommandoen til matematisk notasjon 1. Sett inn en ny Løs oppgavene: Gitt funksjonen: a. Finn nullpunktene til funksjonen b. Deriver funksjonen c. Finn arealet under grafen i intervallet fra x= 1 til x= 10

16 14 Algebra likninger og ulikheter I TI nspire kalkulatoren kan du bruke mange ulike kommandoer for å løse for eksempel likninger og ulikheter. Kommandoen du benytter både til å løse likninger og ulikheter er SOLVE. SOLVE Solve(likning,x) Solve(ulikhet >0,x) Løse likninger Når du skal løse en likning, benyttes kalkulatorapplikasjonen. Kommandoen SOLVE skrives etterfulgt av likningen, deretter et komma og så navnet på variabelen (vanligvis x). Kommandoen brukes slik: SOLVE(likning, variabelnavn) Løse ulikheter Ulikheter løses også med kommandoen SOLVE. Hvis ulikheten har flere betingelser, brukes AND mellom betingelsene. Kommandoen brukes slik: SOLVE(ulikhet, variabelnavn) eller SOLVE(ulikhet1 AND ulikhet2, variabelnavn) Desimalsvar CTRL + Enter

17 15 1. Sett inn en ny bruk Kalkulatoren 2. Løs oppgavene nedenfor Betingelse (loddrett strek) + betingelse x > 0 and x < Sett inn en ny Løs oppgaven (S1 eksamen våren 2008) 2. Lagre fila

18 16 Algebra differensiallikninger TI nspire kan løse både første og andreordens differensiallikninger og plotte differensiallikningens retningsdiagram. Tips! ANS Inneholder svaret i forrige beregning Løse differensiallikning av første orden og andre orden Differensiallikninger av første og andre orden løses på samme måte. Førsteorden har notasjonen y, mens andreorden har y. Likningene løses ved hjelp av kommandoen DESOLVE og ANS. Kommandoene har disse syntaksene: DESOLVE(differensallikning,x,y) og ANS x=x verdi and y=y verdi Svaret TI nspire gir vil bestå av Cnr hvor C står for konstant og nr for hvilken konstant i rekken TI nspire har funnet. For å finne konstanten brukes kommandoen ANS etterfulgt av koordinatene for punktet (x,y). Tips! y Apostrofer skrives som anførselstegn Plotte løsningskurven Når du skal plotte løsningskurven til en differensiallikning, må du bruke et program som først må lastes ned fra Bruk programmet med denne syntaksen: Plot_diffeq(differensiallikning,{x,y}) Plotte retningsdiagram Det samme programmet brukes for å få plottet retningsdiagrammet.

19 17 1. Sett inn en ny bruk Kalkulatoren 2. Løs differensiallikningene og lag retningsdiagram: a. y 4y = 12 b. y 2xy = 2x c. y = (3 3x)y + e x d. y = e x e. y + 0.2y y = 0 f. x 2 y xy + y =0 1. Sett inn en ny 2. Løs differensiallikningen og plott løsningskurven y xy = 0 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgaven (R2 eksempeloppgave 2008)

20 18 Geometri enkel konstruksjon I TI nspire kan du konstruere geometriske figurer og utføre ulike målinger og beregninger av disse. Programmet er dynamisk i alle punkter, noe som betyr at du kan flytte på punktene. Du vil oppdage hvor effektivt dette er både for å endre på konstruksjonen og utforske matematikken i det du har konstruert. Geometriapplikasjonen Når du skal arbeide med geometri, velger du Geometri. Da vises et ark som har ca. størrelsen til et liggende A4 ark. Faste mål Sett av et linjestykke. Målsett linjestykke. Klikk på mål Endre lengden. Laget av Adrian Oldknow, England Konstruksjon Konstruksjon utføres med geometriknappene øverst i skjermbildet. Knappene er selvforklarende, og under hver knapp er det en rekke konstruksjonsverktøy. I alle konstruksjoner og målinger begynner du med å klikke på startstedet, for eksempel for sentrum av en sirkel og deretter klikk og dra resten av konstruksjonen. Punktnavn, farger og attributter I konstruksjonen kan du sette navn på punkter, velge farge og endre attributter (linjetykkelse, linjetype). Klikk på punktet > klikk høyreknappen > velg fra menyen

21 19 1. Sett inn en ny bruk Geometri 2. Løs oppgaven: Konstruer figuren nedenfor som er en trekant med en omskrevet sirkel. Elementene i konstruksjonen er: Trekant Hjørnenavn Midtpunkt Vinkelrett Attributter (Stiplet sterk og farge) og Sirkel. Bruk farger for å skille de ulike geometriformene fra hverandre. Tips! Median: Linjestykket fra et vinkelhjørne til motstående sides midtpunkt 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgaven: a. Konstruer en trekant med tilhørende medianer. b. Vis ved måling at avstanden fra hjørnet til medianenes skjæringspunkt er 2:1.

22 20 Geometri vinkler og lengder Tips! Sjekk at vinkelinnstillingen er Grader. Fil > Innstillinger > Dokumentinnstillinger I Geometri skal vi ofte beregne vinkler og lengder på ulike sider. Til det bruker vi ofte de trigonometriske formlene for sinus, cosinus og tangens. Bruk av sinus, cosinus og tangens Når du skal beregne en vinkel med en av de trigonometriske funksjonene, kan du gjøre det ved å skrive kommandoen SIN, COS eller TAN eller trekke kommandoen fra Katalog sjablongen. Velg ønsket kommando, og dra den over i Kalkulatoren. Beregne lengder Lengder av sider kan finnes ved å bruke måleverktøyet. Skal sider beregnes med pytagoras, dras kvadratrottegnet fra Matematiske sjabloner til kalkulatoren. Måle vinkler TI nspire kan måle vinklene på en geometrisk figur. Teknikken er å klikke på det ene vinkelbeinet, klikke på vinkelhjørnet og så det siste vinkelbeinet. Det er ikke mulig å klikke på vinkelmålet og endre vinkelen. Klikk på 8:Måling > 4:Vinkel > Klikk på en side > klikk på hjørne > klikk på side

23 21 1. Sett inn en ny bruk Geometri 2. Løs oppgaven: Konstruer de rettvinklede trekantene ABC og ABD nedenfor (ca samme mål). a. Mål sidene i trekanten ABC b. Mål vinklene i trekanten ABD. c. Regn ut vinklene i trekanten ABC vha sin og cos d. Regn ut siden AD 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgaven (2T eksamen 2009 forkortet) Finn vinkel u :

24 22 Funksjoner grunnleggende bruk Tips! Når en funksjon er plottet får den et navn fn(x). Dette navnet kan brukes i Kalkulatoren. Med grunnleggende bruk menes hvordan du arbeider i et koordinat system i TI nspire. TI nspire egner seg svært godt til å arbeide med funksjoner. Du kan plotte mange funksjoner i samme koordinatsystem. Funksjonsnavnene er globale innen samme oppgave, og du kan jobbe med de ulike elementene på en dynamisk måte. Plotte en graf Du plotter en graf ved å legge til applikasjonen Grafer. Nederst i vinduet vises funksjonsfeltet hvor du skriver inn funksjonsuttrykket etter f1(x)=. Funksjonene nummereres automatisk fra f1 og oppover. Funksjonsnavnet fungerer som en variabel som kan brukes bla i Kalkulatoren. Trykk Enter og grafen plottes. Endre skala og/eller aksenavn Du kan velge skala og navn på aksene. X kan for eksempel byttes ut med måneder og y kan gis navnet f(x). Klikk på x eller y og skriv inn ønsket benevning. Det samme kan gjøres med skala. Klikk på tallet og endre skala. Zooming tilpasning til vinduet Det er mange måter å zoome grafvinduet til ønsket størrelse. Grab: Klikk på et punkt > en hånd vises > dra 1. Klikk i grafvinduet > hold venstreknappen nede dra vinduet til ønsket størrelse 2. Klikk på 4:Vindu > Klikk på 1:Vindusinnstillinger 3. Grab et punkt på aksen > dra

25 23 Tips! Definisjonsmengde: f1(x)= likning betingelse f1(x)= x + 2 x>0 and x<4 Plotte grafer Du kan plotte mange grafer i det samme koordinatsystemet. Når de plottes, får de ulik farge. Ved å klikke på dobbeltpilene i funksjonsfeltet, vises registrerte funksjoner som eventuelt kan korrigeres. Vise funksjonsnavn Klikk på grafen med høyre knapp > Klikk på 2:Navn Funksjonsnavnet kan dras til ønsket posisjon i vinduet. Punkter, Koordinater og Navn Punkter, koordinater og navn på ulike elementer på grafen setter du inn slik: 1. Klikk på > velg ønsket punkt > klikk der punktet skal være. 2. Høyreklikk på punktet > velg 2:Navn og/eller 7:Koord. og lgn. 1. Sett inn en ny bruk Graf og Kalkulator 2. Plott grafene til Tilpass akser, gi aksene navn og vis navnene på grafene. Løs likningene og ulikhetene i Kalkulatorvinduet. 3. Løs oppgaven (1P eksempeloppave 2009 noe forkortet) 4. Lagre fila

26 24 Funksjoner polynomfunksjon Polynomfunksjoner står sentralt i læreplanene i matematikk. Det er stor fordel å ha gode digitale ferdigheter med TI nspire på dette området, spesielt på del 2 på eksamen i den videregående skolen. Tips! Funksjonene nummereres automatisk fra f1(x) og oppover. Definisjonsmengde I mange tilfeller, for eksempel i praktiske situasjoner, er en funksjon definert for en gitt definisjonsmengde som 1, 3 eller 0. I TI nspire oppgir du dette slik: f1(x)= funksjon betingelse and betingelse Dette kan se slik ut: Topp, bunn og nullpunkter I TI nspire heter topp og bunnpunkter minimum og maksimumspunkter. Disse finner du ved hjelp av punkt verktøyet. Dette gjør du slik: 1. Klikk på 2. Velg 2:Punkt på 3. Plasser punktet et vilkårlig sted på grafen dobbeltklikk 4. Grab punktet dra det til ønsket punkt. TI nspire viser enten maksimum eller minimum når punktet treffes. 5. Klikk venstreknappen punktet plasseres.

27 25 1. Sett inn en ny Bruk Graf og Kalkulator 2. Gitt funksjonen Plott grafen Marker topp, bunn og nullpunkter med tilhørende koordinater. 1. Sett inn en ny Bruk Graf 2. Gitt funksjonen Plott grafen for x>0 Marker topp, bunn og nullpunkter med tilhørende koordinater. 1. Sett inn en ny Bruk Graf applikasjonen 2. Løs oppgaven (2T eksamen 2008):

28 26 Funksjoner log, ln og e Tips! Ulik skala på aksene: Hold SHIFT nede > grab et punkt og dra til ønsket skala. I matematikken arbeider vi ofte med eksponential eller logaritmefunksjoner. Ofte fremkommer funksjonene som et resultat av en regresjonsanalyse. Når denne typen funksjoner skal plottes, kreves det god tilpasning av skalaene i koordinatsystemet fordi grafene beskriver en praktisk situasjon innen for eksempel økonomi eller realfag. Logaritmefunksjoner log og ln Logaritme og naturlig logaritmefunksjoner behandles på samme måte som polynom og rasjonale funksjoner. I TI nspire skrives 10 er logaritmer som log(x) og naturlige logaritmer som ln(x). Eksponentialfunksjoner Funksjoner med x som eksponent, skrives inn og behandles som andre funksjoner. Hvis grunntallet er e, velges det fra spesialtegnsjablonen og dra s inn i kalkulator eller grafvinduet. e blir da automatisk uthevet som tegn på at det er Eulertallet.

29 27 1. Sett inn en ny Bruk Graf og Kalkulator 2. Gitt funksjonene a. Plott grafene b. Finn skjæringspunktene mellom f1(x) og f2(x) c. Finn når f3(x) > f1(x) d. Finn når f3(x) > 0 1. Sett inn en ny Løs oppgaven (2Mx med IKT eksamen 2004 noe endret): 2. Lagre fila

30 28 Funksjoner trigonometriske I TI nspire kan du løse trigonometriske likninger og plotte trigonometriske grafer. Innstillingene må være radianer Når du jobber med funksjonene til sin(x) og cos(x), måles vinkler i radianer. Denne innstillingen må gjøres i Dokumentinnstillingene i programmet: Fil > Innstillinger > Dokumentinnstillinger > Klikk på Radianer > OK Tips! Trigonometriske likninger: Plotte trigonometriske punksjoner For å plotte trigonometriske funksjoner, brukes kommandoene SIN(x), COS(X) eller TAN(x). I funksjonsuttrykk hvor π inngår kan du enten skrive ordet pi eller dra inn tegnet fra verktøysjablonen. Brukes pi i sammenheng med andre bokstaver, for eksempel x, må multiplikasjonstegn brukes. Skal du løse en trigonometrisk likning, brukes kommandoen Solve.

31 29 1. Sett inn en ny Bruk Graf og Kalkulator 2. Plott funksjonene til: a. f(x) = cos(x) b. f(x) = 2 sin(2x) c. f(x) = sin (x +3 ) d. f(x) = 0.2sin(0.03x 0.2) Bruk kalkulatoren til å finne når f(x) = 0.24 i a, b og c 4. Lagre fila 1. Sett inn en ny Løs oppgaven (3Mx eksamen 2004 noe endret): 2. Lagre fila

32 30 Funksjoner regresjon I TI nspire er det to ulike teknikker for å gjennomføre en regresjonsanalyse begge basert på data som skrives inn i Lister & regneark. Registrere data Datasettet som er grunnlaget for regresjonsanalysen skrives inn i Lister & regneark. A kolonnen tilsvarer x verdiene og B kolonnen y verdiene i koordinatsystemet. 1. Skriv inn navn på x og y verdier 2. Skriv inn dataene Statistisk regresjonsanalyse Hvis du skal finne en funksjon som empirisk beskriver datasettet og som ikke skal brukes i kalkulatoren, er det enkleste å utføre regresjonsanalysen i Data & statistikk. 1. Åpne Data & statistikk 2. Klikk på x aksen > klikk på x verdi navnet 3. Klikk på y aksen > klikk på y verdi navnet 4. Klikk 4:Analyse > 6:Regresjon > ønsket regresjon Regresjonsanalyse med funksjon som resultat Fra Lister & regneark kan du få en funksjon som resultat av regresjonsanalysen, som kan plottes som Graf og brukes til ulike beregninger i Kalkulatoren. 1. Klikk > Statistikk > 1: Stat beregning > ønsket regresjon 2. Åpne Graf > trykk Enter etter f1(x) funksjonen

33 31 1. Sett inn en ny bruk Lister & regneark 2. Gitt datasettet Tips! Ved en regresjonsanalyse får du også informasjon om restkvadrater Timer Km a. Plott datasettet i Data & statistikk finn funksjonen b. Utfør en regresjonsanalyse c. Finn funksjonen d. Plott funksjon 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgaven (S1 eksamen 2008 forkortet):

34 32 Funksjoner integrasjon I TI nspire kan du regne ut både ubestemte og bestemte integraler under en graf eller mellom to grafer. Arealet kan visualiseres med farger. Regne ut et integral I kalkulatoren regner du ut et integral enten med kommandoen INTEGRAL eller ved å dra integralsjablongen fra Matematiske sjablonger over i Kalkulatoren. INTEGRAL(funksjon, variable, nedre grense, øvre grense) Tips! Det er lurt å sette inn et punkt både på start og sluttpunktet for arealet. Beregne arealet mellom en graf og x aksen For å beregne arealet mellom x aksen og en graf, gjør du følgende: Klikk 6:Analyse > 7: Integral > Klikk på frapunkt > Klikk på tilpunkt Beregne arealet mellom to grafer Skal du plotte og beregene arealet mellom to grafer, gjøres det som teorien i læreboka : 1.Sett inn punkt for skjæringspunktet mellom grafene 2. Beregen arealet for det største arealet 3. Beregn arealet for det minste arealet > Høyreklikk på grafen > B:Farge> Velg

35 33 1. Sett inn en ny Bruk Kalkulator 2. Regn ut integralene: Tips! For å få farger på begge arealene må du først beregne det største arealet. 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgaven (R2 eksamen 2008 noe endret) e. Plott grafene til f(x) og y

36 34 Funksjoner sammensatte I TI nspire kan du arbeide med både vanlige funksjoner, sammensatte funksjoner og sammensatte vektorfunksjoner. Tips! Uendelig skrives som en kommando: infinity Grensebetraktninger lim I arbeid med sammensatte funksjoner er det ofte behov for å gjennomføre en analyse for a avgjøre om funksjonen er kontinuerlig. I TI nspire kan du bruke kommandoen LIM til dette. LIM(funksjon, variabel, grense) Plotte sammensatt funksjon (stykkevis delte funksjoner) Når du skal plotte en sammensatt funksjon, bruker du malene på den Matematiske sjablongen. Der finner du maler for sammensatte funksjoner med og uten betingelser og for to eller n funksjoner.

37 35 1. Sett inn en ny Bruk Graf 2. Plott disse sammensatte funksjonene: 1. Sett inn en ny bruk Kalkulator Regn ut disse grenseverdiene: 2. Lagre fila 1. Pott funksjonen og finn grenseverdien 2. Lagre fila

38 36 Funksjoner vektorfunksjoner Vektorfunksjoner behandles som vanlige funksjoner, men Grafvinduet må være satt i Parametrisk modus. Plotte grafen til vektorfunksjoner Når du skal plotte en vektorfunksjon, gjør du følgende: 1. Åpne Graf applikasjonen > 3: Graftype > 2: Parametrisk 2. Skriv inn vektorfunksjonen 3. Velg intervall for t og step verdi Tips! Hvis bare en del av vektorfunksjonen plottes må du øke tstep intervallet Nå plottes vektorfunksjonen. Tilpass funksjonen til vinduet. Regne med vektorfunksjoner Mange oppgaver går ut på å finne skjæringspunkter mellom kurvene til vektorfunksjoner. Da brukes kommandoen SOLVE med vektorfunksjonens variabel som ukjent. Det er lurt å bruke ulike variabelnavn i funksjonene.

39 37 1. Sett inn en ny Bruk Graf 2. Plott kurvene til vektorfunksjonene: 1. Sett inn ny oppgave 2. Løs oppgaven (2Mx eksamen 2007 noe endret)

40 38 Vektorer regning og tegning Du kan bruke TI nspire til å tegne eller regne med vektorer. Dette går ofte raskere enn med papir og blyant og gir en bedre kvalitet. Tips! På TI s norske hjemmeside ligger en fil for å arbeide med vektorer i 3D. Tegne vektorer Du kan tegne vektorer enten i Graf eller Geometri applikasjonen. Geometriapplikasjonen brukes når du ikke har koordinater. 1. Åpne Graf eller Geometriapplikasjonen 2. Klikk på 7:punkter > 8: Vektor > Klipp på startpunkt og sluttpunkt 3. Sett på navn på punkter og vektorer > klikk høyreknapp Laget av Øystein Nordvik Regne med vektorer Når du skal regne med vektorer, bruker du hakeklammer slik [x,y]. Du kan både addere og subtrahere vektorer (og regne ut kryssproduktet). Når du regner med vektorer, er det smart å lagre vektoren med et navn. Det gjør du i Kalkulator ved å skrive vektornavn:= [x,y]. Vektoren er nå lagret i vektornavnet og kan brukes som en variabel i videre kalkulasjon.

41 39 1. Sett inn en ny Bruk Grafer og Kalkulator Tips! Eksakt punktplassering: Plasser et punkt > Klikk på x / y koordinat > Skriv inn ønsket x eller y 2. a. Tegn vektorene nedenfor: b. Regn ut vektor AB c. Regn ut vektor AM 1. Sett inn en ny Bruk Kalkulator og Grafer 2. Løs oppgaven nedenfor (2Mx eksamen 2007)

42 40 Økonomi lineær optimering Lineære optimering er et nyttig verktøy innenfor økonomi. I læreplanen for S1 er det en videreføring av likningssett og matematisk modellering. Lineær optimering kan også brukes grafisk for å finne best mulige løsninger på praktiske problemer. I TI nspire bruker vi kommandoen SOLVE og Grafapplikasjonen når vi arbeider med lineær optimering. Likningssett Når du arbeider med lineær optimering, gjøres det i flere stepp: 1. Utrykk y med kommandoen SOLVE 2. Åpne Graf applikasjon 3. Klikk etter f1(x) > Backspace Klikk på ønsket operator > skriv inn ulikheten Graf-plott Se kapitlet Funksjonergrunnleggende bruk 4. Skriv inn de andre ulikhetene 5. Tilpass vinduet med For å finne den optimale løsningen, brukes kalkulatoren og SOLVE.

43 41 1. Sett inn en ny bruk Graf og Kalkulator 2. Løs oppgaven: Gitt likningssettet: 3x + 3y <= 75 2x + 2y <= 90 8x + 2y <= 100 Finn grafisk det området som tilfredsstiller betingelsene 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgavene nedenfor (S1 Eksamen våren 2008 forkortet)

44 42 Økonomi kostnader, inntekter TI nspire gjør det enkelt å arbeide med kostnads og inntektfunksjoner. Du kan bruke programmet til å beregne enhetskostnader, marginalkostnader og plotte grafene til kostnads, inntekt og overskuddsfunksjoner. Plotte økonomifunksjoner Økonomifunksjoner skiller seg fra vanlige matematiske funksjoner ved at de har en mye større skala på aksene og at de eksisterer i et definert område. Dessuten brukes vanligvis funksjonsnavn K(x), I(x) og O(x). Tips! Eksistensområde I(x)= likning betingelse 1. Åpne Kalkulator> definer funksjonene som variabler funksjonsnavn:= funksjonsuttrykk betingelser 2. Åpne Graf > skriv inn funksjonsnavnet i(x), k(x) eller 0(x) 3. Tilpass skalaen og enhetene på aksene Tips! Ulik skala på aksene: Hold SHIFT nede > grab et punkt > dra til ønsket skala. Beregne kostnader, inntekter og overskudd Når kostnad, inntekt og overskuddsfunksjonene er definert som variabler, kan de inngå i regneoperasjoner i Kalkulatoren.

45 43 1. Sett inn en ny Bruk Kalkulator og Grafer 2. Gitt funksjonene.,,.,, a. Definer funksjonene som variabler i Kalkulator b. Finn overskuddsfunksjonen og definer den som en variabel c. Plott funksjonene d. Hva er overskuddet når x= 500 e. Regn ut når overskuddet = 0 f. Regn ut når overskuddet er positivt (o(x) > 0) 1. Sett inn en ny Løs n (S2 eksamen høsten 2009) 2. Lagre fila

46 44 Økonomi etterspørsel, mengde Matematisk handler etterspørsel, grensekostnader og inntektsanalyse om regresjonsanalyse, derivasjon, grafplotting og integralberegning. Regresjon, derivasjon og integralberegning er også beskrevet andre steder i denne boka. Finne største inntekt Utgangspunktet et at du kjenner en etterspørsel eller kostnadsfunksjon og en x verdi du ønsker å finne maksverdien for. 1. Definer funksjonen som en variabel i Kalkulatoren 2. Definer en inntektsfunksjon i Kalkulatorene ved i(x)=e(x)*prisen 3. Deriver inntektsfunksjonen med kommandoen DERIVATIVE(funksjon, variabelnavn) 4. Regn ut når i (x) = 0 med kommandoen SOLVE 5. Sett x verdien for nullpunktet inn i inntektfunksjonen i(x) Samlet mengde For å finne samlet mengde av inntekt, omsetning eller kostnader, må vi regne ut arealet under funksjonene. Det gjøres med integrasjon på følgende måte: Klikk 6:Analyse > 7: Integral > Klikk på frapunkt > Klikk på tilpunkt Les mer om dette i kapitlet Funksjoner integrasjon.

47 45 1. Sett inn en ny Bruk Kalkulator og Grafer 2. Gitt funksjonene.,,.,, a. Plott grafene til k(x) og i(x) b. Bruk SOLVE til å finne når inntektene er større enn kostnadene c. Finn overskuddsfunksjonen O(x) d. Finn når overskuddet er størst 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgaven (Eksamen 3MZ h2005 noe endret) Kostnadene og inntektene ved produksjon av x enheter av en vare i et firma er gitt ved:.,,.,, a. Plott grafen til K og I i samme koordinatsystem b. Finn overskuddsfunksjonen for varen c. Hvilken produksjon gir størst overskudd? d. Finn grensekostnaden og grenseinntekten

48 46 Sannsynlighet kombinasjoner TI nspire kan som en CAS kalkulator regne ut alle typer sannsynligheter og kombinasjoner. I dette kapitlet får du oversikten over kommandoene du får bruk for i den videregående skolen. Kombinasjoner For å regne ut ulike typer kombinasjoner, brukes kommandoene n!, npr og ncr. Beregning Fakultet Antall mulige rekkefølger av n ulike elementer Ant. permutasjoner Antall mulige utvalg av r elementer fra n elementer uten tilbakelegging der rekkefølgen spiller en rolle Antall kombinasjoner Antall mulige utvalg av r elementer fra n elementer uten tilbakelegging der rekkefølgen ikke spiller en rolle Kommando n! npr(n,r) ncr(n,r) Tips! Definer de ulike dataene som variabler så er de enklere å holde kontroll på. Sannsynlighet Vanlig sannsynlighetsregning utføres i Kalkulatoren. Programmet gir svar som brøk hvis du har skrevet brøk. Trykker du CTRL+Enter istedenfor bare Enter kommer svaret som desimalsvar.

49 47 1. Sett inn en ny Bruk Kalkulator 2. Løs oppgavene a. I en gruppe er det seks personer fra seks ulike land. Bruk ncr til å finne hvor mange rekkefølger de kan stå i b. På finalen på 400m hekk i OL løper 8 personer. Bruk npr til å finne hvor mange resultatlister det kan bli c. I en treningsgruppe med 12 utøvere skal fire bli tatt ut på stafettlaget. Bruk n! til å finne hvor mange ulike kombinasjoner av stafettlag det er mulig å ta ut? 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgavene (S1 eksamen h2008)

50 48 Sannsynlighet fordeling TI nspire kan regne ut alle typer sannsynligheter og kombinasjoner. Her får du oversikten over kommandoene du får bruk for i den videregående skolen. Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling For å regne ut en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling, bruker du kommandoen for antall kombinasjoner satt inn i formelen for hypergeometriske forsøk: Binomisk sannsynlighetsfordeling Skal du gjennomføre en binomisk sannsynlighetsfordeling, bruker du kommandoen BINOMPDF(antall forsøk, sannsynligheten, antall utvalgte) Normalfordeling For å plotte standard normalfordeling, bruker du Lister & regneark: 1. Skriv z verdien i celle A1 > trykk Enter > Klikk 4:Stats.. > 2: Stat fordeling.. > 2:Normal Cdf 3. Skriv inn verdiene > trykk Enter.

51 49 1. Sett inn en ny Bruk Kalkulator 1. Løs oppgavene a. Et ektepar har seks barn, hvor ingen er tvillinger. Bruk BINOMPDF for å finne sannsynligheten for at de har: 1. en jente 2. to jenter 3. fire gutter b. I en friidrettsklubb er det 47 aktive utøvere 30 jenter og 17 gutter. Bruk hypergeometrisk forsøk for finne sannsynligheten for å velge ut: 1. Fem gutter jenter c. Vis normalfordelingskurven for et datasett hvor nedre grense = 1.5, øvre grense = 0.50, forventningsverdi = 1.5, sannsynligheten = med et standardavvik = 1 2. Lagre fila 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgaven (S1 eksamen 2008)

52 50 Statistikk histogram, kakediagram TI nspire er et godt program for å arbeide med statistikk på nivået i den videregående skolen. Programmet har alle verktøyene du trenger til dine beregninger i ett og samme program. Plotte histogram Histogrammer kalles også søylediagram. Når du skal plotte et histogram, gjør du følgende: 1. Åpne Lister & regneark > Velg navn på kolonnene > Skriv inn dataene 2. Klikk 3: Data > Frekvens plott > Velg variabler på x aksen (Dataliste) og y aksen (Frekvensliste) > Velg visningstype Tips! Når Data & statistikk vinduet åpnes vises ikke x og y akser. Klikk iskjermkanten så vises aksen Plotte kakediagram Kurvediagram viser hvordan en datamengde utvikler seg uten at det er en funksjon. Den gir et visuelt inntrykk av utviklingen. 1. Registrer Data i Lister & regneark > 3:Data > 5: Frekvensdiagram 2. Skriv inn i infoboksen hva som er x og y verdier 3. Frekvensdiagrammet vises > klikk på en stolpe> 1:Kakediagram

53 51 1. Sett inn en ny bruk Lister & regneark 2. Gitt datasettet nedenfor. Lag et søylediagram: 3. Gitt datasettet nedenfor. Plott kakediagrammet som viser prosentvis fordeling av ulike typer heiskort:. 4. Lagre fila 1. Sett inn en ny 2. Løs oppgaven (2P eksamen høsten 2009)

54 52 Statistikk kurver og boksplott I programmet kan du få tegnet kurver som indikerer en utvikling av en datafrekvens (ikke funksjon) og vise ulike mål som boksplott. Boksplott brukes for å vise sammenhengen i en datamengde mellom største og minste verdi. Plotte kurvediagram Kurvediagram viser hvordan en datamengde utvikler seg uten at det er en funksjon. Den gir et visuelt inntrykk av utviklingen. 1. Registrer Data i Lister & regneark > Åpne Data & statistikk 2. Klikk under x aksen > velg variabel > tilsvarende på y aksen 3. Klikk på et punkt med høyre museknapp > 2: Forbinde datapunkter Tips! Når Data & statistikk vinduet åpnes vises ikke x og y akser. Klikk i skjermkanten så vises aksen Plotte boksplott Kurvediagram viser hvordan en datamengde utvikler seg uten at det er en funksjon. Den gir et visuelt inntrykk av utviklingen. 1. Registrer Data i Lister & regneark > Åpne Data & statistikk 2. Klikk under x aksen > velg variabel > tilsvarende på y aksen 3. Klikk på et punkt med høyre museknapp > 2: Forbinde datapunkter Medianer På boksen vises en strek som er boksens median. Ved å føre pekeren over boksplottet, vises medianens verdi eksakt.

55 53 1. Sett inn en ny bruk Lister & regneark 2. Gitt datasettet nedenfor. Plott kurvediagrammet som viser reduksjonen i antall gårdsbruk i Norge på 70 tallet. 3. Prisindeksen for nye boliger har fulgt utviklingen som vises nedenfor. Lag en graf som illustrerer dette. 4. Lagre fila 1. Sett inn en ny Nedenfor vises årsbeste statistikken for 100m løping menn Lag et boksplott som viser forholdet mellom løperne 2. Lagre fila

56 54 Visualisering av matematikk Ved hjelp av variabler og skyvekontroll kan du enkelt forklare, utforske og visualisere matematiske problemstillinger. Variabler kan kobles på en enkel måte for å bygge opp og utforske matematiske modeller. Opprette variabler En variabel kan være alle linjer, mål og punkter i en av applikasjonene for eksempel lengden på en linje, radien i en sirkel eller arealet av en trekant. Når du har opprettet en variabel, lagres den og kan brukes innen samme. Variabler gjør det mulig å bygge modeller. Å dele eller kople de variablene som du oppretter, er et effektivt verktøy for å utforske matematikk.visningen av koblede variabler blir automatisk oppdatert når verdiene til variablene endres. 1. Klikk på verdien som skal lagres i en variabel 2. Klikk på 3. 1: Lagre var > skriv inn variabelnavn Koble variabler Når du skal koble en variabel til en beregning, gjør du følgende: 1. Opprett variablene > 1:handling > 6: tekst >Klikk på plassering 2. Skriv variabelnavnene > Klikk høyreknapp > 4: Beregn 3. Koble variabelnavn til teksten (følg info på skjerm) Tips! Skalaendring Ta tak i enden av skalaen dra Bruke skyvekontroll En skyvekontroll er en verdiskala koblet til en variabel. Når du drar på skyvekontrollen, endres verdien til variabelen. Klikk på 1:Handling > A:Skyvekontroll > Velg navn > Plasser skyvekontrollen.

57 55 1. Sett inn en ny bruk Graf 2. Lag modellen i figuren nedenfor. Utforsk hva som skjer med f1(x) når a og/eller b endres 1. Sett inn en ny 2. Lag en modell som viser sammenhengen mellom linja mellom punktene og stigningstallet/den deriverte i punktet P. Ved å dra i punktet P1, skal modellen beregne stigningstallet.

58 56 TI nspire i undervisning tips! Å bruke TI nspire som produksjonsverktøy i matematikk, effektiviserer arbeidet både for elever og lærere og gir en betydelig bedre kvalitet enn med bruk av papir og blyant. For at dette skal fungere i praksis, følg disse rådene: Filstruktur fil og oppgavenavn Gi filene det samme navnet som kapitlene i læreboka for eksempel 3 Funskjoner. Alle oppgaver fra samme kapitel utføres i samme fil. Dette gir god oversikt over arbeidet og gjør det enkelt å levere digitalt for eksempel på en læringsplattform (Itslearning, Fronter o.l). Gi oppgavene samme oppgavenummer som i læreboka. Klikk på oppgavenummeret og bruk høyretast for å endre oppgavenummer. Standardisert sideoppsettet Bruk alltid et Sideoppsett med Notes i øvre, venstre hjørne. Der kan brukerens navn skrives med tilhørende oppgavenavn. Uthev gjerne overskriftene. Tilpass bredden og høyden på Notes, slik at det blir unødvendig å scrolle for å se hele teksten. Dette er spesielt viktig ved innlevering og prøver. Notasjon viktig ift retting og ved eksamen Lær elevene å uttrykke seg tydelig, slik at andre lesere av dokumentet forstår elevens tankegang og løsning. Forklar tydelig hvor og hvordan oppgaven er løst.

59 57 Bruk gjerne forklaringer i Kalkulatoren. Uthev viktige forhold for eksempel svar i Notes. Prøver og innlevering På prøver må vi sikre oss at vi har mottatt elevens innlevering. Når fila leveres digitalt på en læringsplattform eller USB pinne, kan dette være gode råd: 1. Eleven lagrer med sitt navn for eksempel Kari Hansen 2. Ved utskrift, huk av på Legg til dokumentnavn som fotnote 3. Skriv ut bare en side pr side, slik at det er tydelig hva eleven har skrevet

60 Mer nspire? 58 TI nspire er et omfattende program hvor dette heftet bare har gitt en smakebit på alle mulighetene. Ønsker du mer nspirasjon eller komme i kontakt med andre, er det mange muligheter! På Texas instruments norske hjemmeside ligger aktiviteter, løsningsforslag og modeller som du kan bruke i matematikk og realfag generelt. På Ning samfunnet Delogbruk er det en egen TI nspire gruppe. Her kan du være med i diskusjoner og få svar/hjelp av medlemmene. Meld deg inn!

61 59 Dette er min blogg hvor jeg skriver om matematikk, digitale verktøy og TI nspire. Her kan du være med å diskutere løsninger, eksamensoppgaver og lese om mine erfaringer med TI nspire, ebøker og digitale verktøy i matematikk. Velkommen! Texas Instruments internasjonale hjemmeside. Her er det en rekke aktiviteter i ulike realfag under valget: Classroom Activities > Activities Exchange. Her legges det fortløpende ut nye aktiviteter følg med!

62 60

63

64 Denne boka kan lastes ned gratis fra vår hjemmeside education.ti.com/norge Hvis du som lærer er i tvil om hva slags verktøy som passer for din skole, kan du gjerne kontakte vår skolekonsulent Anders Øverbye på eller skrive til a-overbye@ti.com med ditt telefonnummer oppgitt. Han vil da ringe tilbake. Alternativt kan du kontakte våre forhandlere Alfasoft AS ved Mikael Skolvlie, tlf EMO AS ved Jan-Yngve Halvorsen, tlf