UNIVERSITETET I OSLO
|
|
- Jørn Våge
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Mandag. mai Tid for eksamen: Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT-INF36 Anvendelser av lineær algebra, prøveeks. Ingen Godkjent kalkulator Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgave Fourieranalyse a (vekt %) Regn ut DFT av vektorene x = (, 3, 5, 7), og av x = (, 4, 6, 8) (du skal altså regne ut F 4 x og F 4 x ). Svar: Vi får at 8 F 4 x = i i 3 5 = + i i i 7 i i i 4 + i F 4 x = b (vekt %) i i = 6 8 i Forklar hvordan du kan regne ut DFT av vektoren (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8) basert på utregningene fra a. (du trenger ikke gjøre selve utregningen). Hva er fordelene med denne fremgangsmåten, og hva kalles algoritmen? Svar: I FFT-algoritmen splitter vi opp beregningen av F 4 (x) i beregningen av F (x (e) ) og F (x (o) ), der x (e) og x (o) er vektorene av lengde med likeindekserte og odde-indekserte komponenter, respektive. I dette tilfellet blir x (e) = (, 3, 5, 7) og x (o) = (, 4, 6, 8). Me andre ord vil FFT-algoritmen bruke FFT-beregningene vi gjorde i a., slik at vi kan spare regnearbeid. Fordelen med å benytte FFT-algoritmen er at vi sparer regneoperasjoner (er av orden O(N log N)). (Fortsettes på side.)
2 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side Oppgave Fourieranalyse I denne oppgaven antar vi at alle funksjoner er periodiske med periode T. Du får bruk for at vi i Fourieranalysedelen av kurset definerte indreproduktet for slike funksjoner ved f, g = T T f(t)g(t)dt. a (vekt %) Anta f er kontinerlig deriverbar. Bruk delvis integrasjon til å vise at f, e πint/t = T πin f, e πint/t, og forklar hvorfor det følger fra dette at (f N ) (t) = (f ) N (t), der f N er N te ordens Fourierrekka til f, og (f ) N er N te ordens Fourierrekka til f. Med andre ord, den deriverte av Fourierrekka er lik Fourierrekka til den deriverte. Svar: Vi har at f, e πint/t = T = T T ( [ T = T πin T f(t)e πint/t dt πin f(t)e πint/t T ] T f (t)e πint/t dt = + T ) T f (t)e πint/t dt πin T πin f, e πint/t. hvor vi brukte at T πin f(t)e πint/t er periodisk med periode T. Videre har vi at (f N ) (t) = = ( N n= N N n= N f, e πint/t e πint/t ) = πin T f, e πint/t e πint/t = (f ) N (t). N n= N f, e πint/t e πint/t der vi satt inn sammenhengen mellom indreproduktene som vi fant. Nedenfor finner du plott av firkantpulsen (f s (t)) og trekantpulsen (f t (t)) over en periode, slik vi har definert dem i kurset (vi har satt T = ):.5.5 f s (t) f t (t) t t b (vekt %) Forklar fra figuren hvorfor f t(t) = 4 T f s(t), bortsett fra i de to punktene der f t ikke er deriverbar. (Fortsettes på side 3.)
3 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side 3 Svar: Vi ser fra figuren at trekantpulsen vokser lineært med fra t = til t = T/, slik at den deriverte her er T/ = 4 T = 4 T f s(t). På samme måte blir stigningstallet 4 T = 4 T f s(t) på andre halvdel av perioden, slik at f t(t) = 4 T f s(t) for alle t i den første perioden. c (vekt %) I kompendiet regnet vi ut at Fourierrekka til firkantpulsen kunne skrives (f s ) N (t) = 4 π sin(πt/t ) + 4 3π sin(π3t/t ) + 4 5π sin(π5t/t ) +. Fra b. følger det nå at ((f t ) ) N (t) = 4 ( 4 T π sin(πt/t ) + 4 3π sin(π3t/t ) + 4 ) 5π sin(π5t/t ) + Bruk dette og resultatet fra a. til å regne ut (f t ) N (Fourierrekka til trekantpulsen). Dette verifiserer et eksempel fra kompendiet, der vi fant denne Fourierrekka ved direkte utregning. Du kan ta for gitt at du kan bruke resultatet fra a. selv om det finnes to punkter der f t ikke er kontinuerlig deriverbar. Svar: Fra a. følger det at ((f t ) N ) (t) = 4 ( 4 T π sin(πt/t ) + 4 3π sin(π3t/t ) + 4 ) 5π sin(π5t/t ) +. Integrerer vi denne får vi at (f t ) N (t) = 8 π ( cos(πt/t ) + 3 cos(π3t/t ) + 5 cos(π5t/t ) + )+C. Setter vi her inn t = T/4 på begge sider ser vi at C =. Dette gir Fourierrekka for trakantpulsen som vi også fant i kompendiet. Oppgave 3 Filtre Vi skal i denne oppgaven se på filteret T = 6 {, 4, 6, 4, }. 3a (vekt %) Skriv opp en 8 8 sirkulant Toeplitz matrise som svarer til å anvende dette filteret på en vektor av lengde 8. Svar: Vi får matrisen (Fortsettes på side 4.)
4 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side b (vekt %) Figur : Plott av λ T (ω) Regn ut og plott (den kontinuerlige) frekvensresponsen til T. Er filteret et lavpass- eller høypassfilter? Svar: Frekvensresponsen blir λ T (ω) = 6 (eiω + 4e iω e iω + e iω ) = cos ω + 3 cos(ω). Det er klart at dette har sin største verdi for ω =, og at vi har minimumsverdi for ω = π (dette kan også sees ved at man regner ut den deriverte og setter denne lik ). Filteret er derfor et lavpassfilter, og Figur viser λ T (ω). Det er klart at dette gir et lavpassfilter. 3c (vekt %) La oss definere vektoren x = (cos(π5 /N), cos(π5 /N),..., cos(π5 (N )/N)), der N er lengde til vektoren. Regn ut T x. Svar: I kompendiet definerte vi Fourierbasisvektoren φ n som vektoren med elementer N e πikn/n. Vi har også at φ N n er vektoren med elementer N e πik(n n)/n = N e πikn/n. Setter vi n = 5 får vi at e πi5 /N = Nφ 5 e πi5 /N = Nφ N 5, (Fortsettes på side 5.)
5 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side 5 der representerer k. Dermed får vi at cos(π5 /N) = ( e πi5 /N + e πi5 /N) = N(φ5 + φ N 5 ). Siden både φ 5 og φ N 5 er egenvektorer har vi nå skrevet x som en sum av egenvektorer. De tilhørende egenverdiene er gitt ved frekvensresponsen og er derfor gitt ved λ T (π5/n) = cos(π5/n) + 3 cos(4π5/n) λ T (π(n 5)/N) = cos(π(n 5)/N) + cos(4π(n 5)/N) 3 = cos(π5/n) + 3 cos(4π5/n), respektive. Siden disse er like blir også x en egenvektor for T med cos(π5/n) + 3 cos(4π5/n) som tilhørende egenverdi, slik at T x = ( cos(π5/n) + 3 cos(4π5/n))x. Oppgave 4 Bilder og tensorprodukter La filteret T være gitt ved T = {,, }. 4a (vekt %) I kompendiet definerte vi T T som en operasjon på et bilde, og forklarte at T T anvendt på et bildet X kan regnes ut ved hjelp av et såkalt computational molecule. Skriv opp det tilhørende computational molecule for T T. Svar: Hvis vi gjør slik som i Eksempel 7.4 får vi ((T T )(x y)) i,j = (T x) i (T y) j = (x i + x i + x i+ )(y j + y j + y j+ ) = x i y i + x i y i+ + x i+ y i + x i+ y i+ + x i y j + x i y j + x i y j+ + x i+ y j + 4x i y j Ved lineær utvidelse vil dette også holde når vi erstatter x y med en generell matrise X, og vi får derfor molekylet (som kan leses ut av koeffisentene over) 4. Flere observante studenter har sett at vi også kan regne ut molekylet ved å regne ut t t, der t er vektoren med filterkoeffisienter, det vil si at molekylet blir ( ) = 4. Strengt talt er det ikke slik vi har lært å regne ut molekylet i denne versjonen av kompendiet, men dere vil ikke få trekk på eksamen hvis dere regner ut molekylet på denne måten, siden denne måten å regne ut på burde vært formulert og bevist i kompendiet (siden det er enklest å regne ut molekylet på denne måten). (Fortsettes på side 6.)
6 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side 6 4b (vekt %) La oss definere x = (,, 3), y = (3,, ), z = (,, ), og w = (, 4, ). Regn ut matrisen A = x y + z w, slik vi har definert tensorproduktet av vektorer i kompendiet. Svar: Vi får at A = ( 3 ) + ( 4 ) = = c (vekt %) Forklar hvordan vi kan regne ut (T T )A ved å anvende filteret T på hver rad og søyle i matrisen, og gjennomfør utregningen. Hvis matrisen A mer generelt var et bilde, hva kan du si om hvordan det nye bildet blir seende ut? Svar: I kompendiet lærte vi at (T T )A = T AT T, som svarer til at vi først anvender T på hver søyle i bildet, og på den resulterene matrisen anvender T på hver rad. Anvender vi T på hver søyle i bildet får vi først matrisen T A = Anvender vi filteret på radene her får vi T AT T = Siden filteret som blir anvendt er et lavpassfilter vil det nye bildet se litt utglattet ut i forhold til det gamle. Oppgave 5 Wavelets I denne oppgaven skal vi la φ(t) være funksjonen vi brukte da vi definerte Haar-waveleten, det vil si funksjonen som er på [, ], og ellers. La funksjonen f være definert på [, N) ved at f(t) = t. Vi minner også om at funksjonen ψ er definert på [, N) ved å være på [, /), på [/, ), og ellers, og at indreproduktet vi bruker er definert ved f, g = N f(t)g(t)dt. 5a (vekt %) I kompendiet definerte vi funksjonen ψ m,n ved ψ m,n (t) = m/ ψ( m t n). Vis at ψ m,n er ortonormale. Svar: Kanskje enklest å lage en tegning her og forklare ut fra denne: Hvis vi ser på ψ m,n og ψ m,n og m > m så vil enten supportene til de to funksjonene være disjunkte (i så fall så er de ortogonale), eller supporten til ψ m,n er inneholdt i an av halvdelene til supporten til ψ m,n, og der er ψ m,n konstant (enten eller ). Siden ψ m,n har lik stort areal over og under x-aksen følger det da at N ψ m,n (t)ψ m,n (t)dt =, slik at funksjonene er ortogonale. At funksjonene har norm følger ved en enkel utregning. (Fortsettes på side 7.)
7 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side 7 5b (vekt %) Regn ut w m,n = f, ψ m,n (vi kalte disse for waveletkoeffisienter). Her var ψ m,n = m/ ψ( m t n). Svar: Siden ψ m,n er kun på [ m n, m (n + )) f, ψ m,n = = m (n+/) m n [ m/ t m m/ (n+) tdt ] m (n+/) m n m/ tdt m (n+/) ] m (n+) [ m/ t m (n+/) = 3m/ ( (n + /) n (n + ) + (n + /) ) = 3m/. 5c (vekt %) Regn ut projeksjonen av f ned på underrommet W utspent av funksjonene {ψ,, ψ,,..., ψ,n }. Svar: Vi har at N proj W f = f, ψ,n ψ,n = 4 n= N n= ψ,n. Oppgave 6 Wavelets Anta at vi kjører følgende algoritme på lyden representert ved vektoren S: l=length(s); c=(s(::(l-))+s(::l))/sqrt(); w=(s(::(l-))-s(::l))/sqrt(); news=[c w]; news=news/max(abs(news)); playerobj=audioplayer(news,44); playblocking(playerobj) 6a (vekt %) Kommenter koden og forklar hva som skjer. Hvilken wavelet er det som blir brukt? Hva representerer vektorene c og w? Beskriv lyden du vil høre. Svar: c og w representerer koordinatene i waveletbasisene φ og ψ. Koden kjører en Haar-wavelettransform. Lyden skaleres slik at verdiene ligger mellom og, og deretter avspilles lyden. Siden lyden splitts i to deler, og c representerer en lavere oppløsnings-versjon av lyden (med halvparten lydsampler) så vil vi først høre lyden avspilt i dobbel hastighet. Deretter hører vi detaljdelen av lyden w avspilt i dobbel hastighet. Fra kompendiet husker vi at vi kan gjenkjenne lyden også i detaljdelen. 6b (vekt %) Anta at vi legger til noen linjer i koden over som nullstiller elementene i vektoren w før vi regner oss tilbake ved å kjøre en invers wavelet transform. (Fortsettes på side 8.)
8 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side 8 Hva vil du høre hvis du spiller av den nye lyden du da får? Svar: Dette svarer til at vi rekonstruerer lavere oppløsnings-versjonen av lyden. Oppgave 7 Konveksitet 7a (vekt %) Forklar hva det vil si at f er en konveks funksjon, og vis at max{f, g} er en konveks funksjon når f og g er det (vi definerer max{f, g} ved at max{f, g}(x) = max(f(x), g(x))) Svar: At f er konveks vil si at f(( λ)x + λy) ( λ)f(x) + λf(y) for alle λ mellom og. Vi har at f(( λ)x + λy) ( λ)f(x) + λf(y) ( λ) max{f, g}(x) + λ max{f, g}(y) g(( λ)x + λy) ( λ)g(x) + λg(y) ( λ) max{f, g}(x) + λ max{f, g}(y), men da vil også max{f, g}(( λ)x + λy) ( λ) max{f, g}(x) + λ max{f, g}(y), slik at max{f, g} også er konveks. 7b (vekt %) Anta f, g er konvekse, positive, og voksende funksjoner, begge to ganger deriverbare og definert på R. Vis at h(x) = f(x)g(x) er konveks. Hint: Se på den andrederiverte til h(x). Svar: Vi har at h (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x), og h (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) + f (x)g (x). Siden f og g er konvekse er f (x) og g (x). Siden funksjonene er voksende er f (x) og g (x). Siden funksjonene også er positive ser vi at alle tre ledd i summen er større eller lik slik at h (x), og det følger at h også er konveks. Oppgave 8 Ikkelineær optimering I denne oppgaven skal vi finne minimum for funksjonen f(x, y) = 3x + y under betingelsene x + y = og x, y. 8a (vekt %) Finn en matrise A og en vektor b slik at betingelsen x + y = kan skrives på formen Ax = b. Svar: Vi kan sette A = ( ), og b =. 8b (vekt %) Formuler KKT-betingelsene for dette problemet, og finn minimum ved å løse disse. Svar: Vi setter g (x, y) = x og g (x, y) = y, og har at (Fortsettes på side 9.)
9 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side 9 f = (3, ), g = (, ), g = (, ). KKT-betingelsene tar derfor formen x + y = og f + A T λ + ν g + ν g = (3, ) + λ(, ) + ν (, ) + ν (, ) =, der de siste to leddene bare tas med hvis de tilsvarende ulikhetene er aktive, og der ν, ν. Hvis ingen av ulikhetene er aktive får vi at (3, ) + λ(, ) =, som ikke har noen løsning. Hvis begge ulikhetene er aktive har vi at x = y =, som ikke oppfyller betingelsen x+y =. Hvis vi bare har en aktiv ulikhet så har vi to muligheter: Hvis den første er aktiv får vi at (3, ) + λ(, ) + ν (, ) =. Likningen for komponent sier at λ =, og likningen for komponent sier da at 3 ν =, slik at ν =. Hvis den andre ulikheten er aktiv får vi at (3, ) + λ(, ) + ν (, ) =. Likningen for komponent sier at λ = 3, og likningen for komponent sier da at 3 ν =, som gir at ν =. Denne muligheten må vi imidlertid forkaste siden ν <. Vi står igjen med den første ulikheten som aktiv som eneste mulighet. Da er x =, og betingelsen x + y = gir da at y =, og minimumsverdi. Siden f klart er nedad begrenset på området vi minimerer over så er det klart at dette må være et globalt minimum. Vi bør til slutt si noe om det finnes kandidater til minimum fra punkter som ikke er regulære. Hvis ingen av ulikhetene er aktive har vi ingen kandidater, siden h = (, ). Hvis en ulikhet er aktiv får vi ingen kandidater heller, siden (, ) og (, ) er lineært uavhengige, og siden (, ) og (, ) er lineært uavhengige. Hvis begge ulikhetene er aktive (x = y = ) er det opplagt at betingelsen x + y = ikke er oppfylt. Alt i alt får vi ingen nye kandidater fra punkter som ikke er regulære. 8c (vekt %) Skriv opp barrierfunksjonen φ(x, y) = ln( g (x, y)) ln( g (x, y)) for dette optimeringsproblemet, der g og g representerer de to bibetingelsene i problemet. Regn også ut φ. Svar: Vi får at φ(x, y) = ln x ln y, og vi har at φ = ( /x, /y). 8d (vekt %) Løs barrierproblemet med parameter µ, og kall løsningen for x(µ). Blir lim µ x(µ) løsningen du fant i b.? Svar: I barrierproblemet minimerer vi funksjonen f(x, y) + µφ(x, y) = 3x + y µ ln x µ ln y under bibetingelsen x + y =. KKT-betingelsene blir da (3, ) + µ( /x, /y) + λ(, ) =, som gir likningene µ x = 3 + λ µ y = + λ. Dette gir at µ y + = µ x, som igjen gir at µ(y x) = xy. Setter vi inn betingelsen x + y = får vi at µ( x) = x( x), som kan skrives x ( + µ)x + µ =. Løser vi dette finner vi at x = + µ ± ( + µ) 4µ (Fortsettes på side.) = + µ ± + 4µ.
10 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side Dette svarer til to forskjellige punkter, avhengig av hvilket fortegn vi velger, men velger vi + som fortegn ser vi at x >, slik at y < for at x + y =, slik at (x, y) da er utenfor definisjonsområdet til problemet. Derfor er x = +µ +4µ. Det er klart at x når µ her, slik at løsningen på barrierproblemet konvergerer mot løsningen på det opprinnelige problemet. Oppgave 9 Ikkelineær optimering [%] Vi skal se på følgende optimeringsproblem. min{x : x, (x ) x }. Skriv opp KKT betingelsene for dette problemet, og finn minimum. Svar: Vi kan skrive opp tre ulikhetsbetingelser g (x, x ) = x g (x, x ) = (x ) + x. Regner vi ut gradientene ser vi at KKT betingelsene tar formen ( ) ( ) ( ) (x ) + µ + µ =, x der de to siste leddene på venstre side bare blir inkludert hvis de tilhørende ulikhetene er aktive. Det er klart at vi ikke finner noen løsning hvis ingen ulikhet er aktiv. Hvis kun den første ulikheten er aktiv finner vi heller ingen løsning. Hvis kun den andre ulikheten er aktiv får vi likningene (x ) + x = + µ (x ) = µ x =. Fra den siste likningen får vi at vi enten har at x = eller µ =. µ = er i konflikt med den andre likningen. Hvis x = gir den første likningen at x = eller x =. x = innsatt i den andre likningen gir at µ = /, som strider mot µ. Med x = får vi µ = /, slik at (, ) er en kandidat til minimum. Hvis begge ulikhetene er aktive har vi likningene (x ) + x = x = + µ (x ) = µ + µ x =. Det er klart at dette reduserer seg til det systemet vi akkurat løste, slik at (, ) blir eneste kandidat til minimum. Det er klart at vi faskisk må ha et minimum, siden enhver kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset område har et minimum. Til slutt bør man også her kommentere eventuelle punkter som ikke er regulære. Hvis den første ulikheten er aktiv er det umulig å ha at g =. (Fortsettes på side.)
11 Eksamen i MAT-INF36, Mandag. mai Side Hvis den andre ulikheten er aktiv må vi ha at ((x ), x ) = i et punkt som ikke er regulært, slik at (x, x ) = (, ). Det er imidlertid klart at den andre ulikheten ikke er aktiv i dette punktet. Hvis begge ulikhetene er aktive er det opplagt at (x, x ) = (, ), eller (, ). Det første punktet har vi allerede sett på. I det andre punktet er gradientene g = (, ) og g = (, ), som er lineært uavhengige, slik at vi ikke får noen kandidater fra punkter som ikke er regulære. SLUTT
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 8. juni 07 Tid for eksamen: 09.00 3.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT-INF360
DetaljerMAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 2
6. mars, 13 MAT-INF 36: Obligatorisk oppgave Innleveringsfrist: 4/4-13, kl. 14:3 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. et. i Niels
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerMAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 2
6. mars, 13 MAT-INF 36: Obligatorisk oppgave Innleveringsfrist: 4/4-13, kl. 14:3 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. et. i Niels
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerMAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3
8. april, 2013 MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3 Innleveringsfrist: 2/5-2013, kl. 14:30 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT1100 Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 011. Tid for eksamen: 09.00 1.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i Eksamensdag: 9. april,. Tid for eksamen: : :. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus og
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 27 Tid for eksamen: 14.3 17.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF 347 / INF 447 Digital Signalbehandling
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 227 Numerisk lineær algebra Eksamensdag: 5. desember 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:
DetaljerMAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag
MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag I kapittel 9 i kompendiet forklarte vi at maximum-likelihood er en av de viktige anvendelsene av ikke-lineær optimering. Vi skal se litt mer på hva
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: mai 2002 IN 155 Digital Signalbehandling Tid for eksamen: 6. mai 9.00 21. mai 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider.
Detaljerη = 2x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 3 x x 3 4 2x 1 + x 3 + 5x 4 1 w 1 =3 x 1 x 2 x 3 2x 4 w 2 =4 x 1 x 3 w 3 =1 2x 1 x 3 5x 4
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MA-IN-ST 233 Konveksitet og optimering Eksamensdag: 31. mai 2000 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 29. mars 2007 Tid for eksamen: 09.00 2.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF 3470 / INF 4470 Digital Signalbehandling
Detaljer2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF-MAT 3370 Lineær optimering Eksamensdag: 3. juni 2008 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT
Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet
DetaljerEksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 2 8 38 Eksamensdato: 6. juni 207 Eksamenstid (fra til): 09:00
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 11. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MoD200 Eksamensdag: 15. desember 2003 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 2. juni 24 Tid for eksamen: 4.3 8.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: STK429
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06
Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,
DetaljerLøsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 2. juni 2006 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF-MAT 3370/INF-MAT 4370 Lineær
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerEKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerMAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 1
7. februar, 2013 MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 28/2-2013, kl. 14:30 Informasjon Skriftlige besvarelser skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. et.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11 Modellering og beregninger Eksamensdag: Mandag 1 Desember 218 Tid for eksamen: 9: 13: Oppgavesettet er på 5 sider
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3440/4440 Signalbehandling Eksamensdag: xx. desember 007 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Detaljer1 Mandag 15. februar 2010
1 Mandag 15. februar 2010 Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av teorien vi har gjennomgått
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL
DetaljerMAT feb feb feb MAT Våren 2010
Våren 2010 Mandag 15. februar 2010 Forelesning Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerEKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 4 Faglig kontakt under eksamen: Marte Pernille Hatlo 7359698 / 97537854 EKSAMEN I TMA48 OPTIMERINGSTEORI Fredag 2. juni
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger
University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Prøveeksamen 1 Eksamensdag: Onsdag 14. November 2014. Tid for eksamen:
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren 93064 EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA TMA405 Fredag 5 desember
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF/ Signalbehandling Eksamensdag: 9. desember Tid for eksamen:. 7. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLP. Kap. 17: indrepunktsmetoder
LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.
DetaljerTMA Matematikk 4D Fredag 19. desember 2003 løsningsforslag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk D Fredag 9. desember 23 løsningsforslag a Vi bruker s-forskyvningsregelen Rottmann L{gte at } Gs a med gt t.
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet
DetaljerLøsning til prøveeksamen i MAT2400, V-11
Løsning til prøveeksamen i MAT400, V-11 Oppgave 1 a) Vi ser at den deriverte f (x) = 1 1+x alltid er mindre enn eller lik 1 i tallverdi. Gitt to punkter x, y R, finnes det ifølge middelverdisetningen en
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Mandag. desember Oppgave a) Karakteristisk polynom er + = ;
DetaljerEksamen i TMA4180 Optimeringsteori Løsningsforslag.
Eksamen i TMA48 Optimeringsteori Løsningsforslag. Oppgave :. ordens betingelse for minima gir oss f(x) = [ 2x 2x 2 + 2 2x 2 2x 2 ] [ = som er oppfylt for når x 2 = x +. I dette punktet er [ ] 2 2 2 f(x)
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerMAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V Løsningsforslag
MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V-2015 Oppgave 1: a) Vi har Av 1 = ( 4 6 6 1 Løsningsforslag ) ( 3 2 ) = ( 24 16 ) = 8v 1, så v 1 er en egenvektor med egenverdi 8. Tilsvarende er ( ) ( ) ( ) 4 6 2 10
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerEksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag
Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1
MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerFasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015
Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerOppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 803 Matematikk for siviløkonomer Dato 8. desember 07 kl 400-900 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 7 3 y = 9 6 7
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3440/4440 Signalbehandling Eksamensdag: 11. desember 006 Tid for eksamen: 15.30 18.30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
Detaljer