5.11 Det periodiske systemet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "5.11 Det periodiske systemet"

Transkript

1 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 1 Tillegg 5, til kapittel 5: 5.11 Det periodiske systemet La oss se litt mer i detalj på 1. Oppbygningen av de enkelte grunnstoffene Helium (Z = 2) I grunntilstanden er begge de to elektronene i 1s-orbitalen. Pauliprinsippet er oppfylt ved at de har motsatt spinn. Dermed er begge de to tilstandene for n = 1 oppbrukt, eller som en sier: n=1-skallet, eller K-skallet, er fullt. Denne elektron-konfigurasjonen betegnes 1s 2. Ionisasjonsenergien, dvs den energien som skal til for å fjerne ett av elektronene, er svært stor, 24.6 ev. Helium inngår derfor ikke forbindelser med andre atomer. Det er det minst reaktive av alle elementene, og opptrer som en énatomig gass, som kondenserer først ved en absolutt temperatur på 4.2 K. Dersom det ene elektronet fjernes, er det gjenværende helium-ionet et hydrogenlignende atom, der elektronet har energien 1 2 (2α)2 mc 2 4 (13.6 ev) = 54.4 ev. Den gjennomsnittlige bindingsenergien til de to elektronene er altså 1( )eV = 39.5 ev. 2 At den gjennomsnittlige bindingsenergien blir liggende mellom bindingsenergiene for hydrogen (13.6 ev) og He + (54.4 ev) er ganske naturlig. Dersom vi følger ett av elektronene og bruker sentralfelt-tilnærmelsen, så vil dette elektronet se et potensial som for små r er tilnærmet likt Coulomb-potensialet fra kjernen (med ladning 2e). For store r skjermes kjerneladningen av ladningsfordelingen fra det andre elektronet, og elektronet føler feltet fra en ladning 1 e. I gjennomsnitt vil hvert av elektronene føle at de beveger seg i feltet fra en effektiv ladning som ligger et sted mellom 2e og 1e. Med utgangspunkt i energiformelen for hydrogenlignende atomer kan vi da definere et effektivt ladningstall Z eff ved å sette 39.5 ev = 1 2 (Z effα) 2 mc 2. Resultatet, Z eff 1.7, er et uttrykk for hvor mye de to 1s-elektronene skjermer for hverandre.

2 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 2 Litium (Z = 3) To av de tre elektronene vil her fylle K-skallet. På grunn av Pauliprinsippet tvinges det tredje da ut i en av de åtte tilstandene i L-skallet (n = 2), hvor det vil velge den l-verdien som gir lavest energi. For hydrogen var de to 2s-tilstandene og de seks 2p-tilstandene degenerert (l-degenerasjon). For tyngre atomer, hvor det effektive potensialet avviker fra Coulombformen, oppheves som nevnt denne degenerasjonen, og en finner at energiverdiene E nl øker med dreieimpulsen, dvs at 2p-nivået ligger høyere enn 2s, osv. Grunnen til dette kan som nevnt forstås ved å se på radialtetthetene Pnl rad (r), som har mye til felles med de tilsvarende tetthetene for hydrogen. Ved å sammenligne radialtetthetene for 2s- og 2p-orbitalene ser vi at et elektron i 2stilstanden har størst sannsynlighet for å befinne seg nær kjernen, hvor det føler en ladning 3e. Dette 2s-elektronet ser derfor en større Z eff enn 2p-elektronet, og får da noe lavere energi enn det sistnevnte. (I hydrogen-tilfellet, hvor de to energiene er like, ser elektronet protonladningen for alle r.) Ionisasjonsenergien for 2s-elektronet viser seg å være 5.4 ev. I gjennomsnitt opplever dette elektronet altså et effektivt ladningstall gitt ved 5.4 ev = 1 2 (Z effα) 2 mc2 4, dvs. Z eff Moralen er at når det siste elektronet (her nr 3) tvinges ut i et nytt skall (her L-skallet) pga Pauliprinsippet, så blir overlappen med skallene innenfor (her K-skallet) liten, og vi får en forholdsvis liten verdi for Z eff og dermed for bindingsenergien. Den beskjedne ionisasjonsenergien på 5.4 ev gjør at litium lett gir slipp på 2s-elektronet. Ionisajonsenergien for neste elektron er derimot svært høy, 75.6 ev, altså enda høyere enn den første ionisasjonsenergien for helium, som var 24.6 ev. (Merk at Li + -ionet skiller seg fra det nøytrale heliumatomet bare ved en ekstra protonladning i kjernen.) Litium opptrer derfor i kjemiske forbindelser som et element med valens 1.

3 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 3 Beryllium (Z = 4) Konfigurasjonen er her 1s 2 2s 2. Ionisasjonsenergien på 9.3 ev, som er hva det koster å hente ut ett elektron. Å hente ut ett til koster 18.2 ev. Den gjennomsnittlige bindingsenergien for de to 2s-elektronene er altså ca 13.7 ev. Dette svarer til et effektivt ladningstall i overkant av 2. Igjen er det nok slik at disse 2s-elektronene skjermer for hverandre, men samtidig vil de av og til være så nær kjernen at de ser en ladning som er større enn 2e. Dette forklarer hvorfor det effektive ladningstallet her blir såpass stort. Bor, karbon, nitrogen, oksygen, fluor, neon (Z = 5 10) Her fylles de seks orbitalene i 2p-nivået suksessivt. Etter hvert som Z øker fra 5 til 10, bindes disse orbitalene kraftigere til kjernen. For neon, hvor både K- og L-skallene er fulle, er ionisasjonsenergien nesten like stor som for helium (21.6 ev). Dette betyr at neon-atomet ikke avgir elektroner til andre atomer. I likhet med helium har det heller ingen tendens til å trekke til seg et ekstra elektron og danne et negativt ion. Med andre ord har det praktisk talt ingen elektron-affinitet. (Et ekstra elektron måtte være i en 3s-tilstand. Da denne tilstanden overlapper lite med K- og L-skallene, blir den effektive ladningen som et 3s-elektron ville se praktisk talt lik null.) Flour, derimot, har med sine ni elektroner én ledig plass i L-skallet. Denne orbitalen overlapper i høyeste grad med de fem 2p-orbitalene i L-skallet, i den forstand at om et tiende elektron plasseres i denne orbitalen, så vil det oppleve et effektivt ladningstall som ikke er ubetydelig. Fluor har da også en betydelig elektron-affinitet: Et fritt elektron avgir ca 3.6 ev når det bindes i et F -ion. Fluor har altså valens 1. Oksygen mangler to elektroner på å ha et fullt L-skall. Dette elementet inngår derfor gjerne forbindelser der det låner to elektroner (eks: H 2 O), og har altså valens 2. Merk ellers at de fulle skallene i neon gir en kulesymmetrisk ladningsfordeling. For et underskall (n, l) der alle orbitalene er besatt finner en nemlig ψ nlm 2 = [R nl ] 2 Y lm (θ, φ) 2, m m

4 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 4 der summen over m generelt er lik (2l + 1)/4π, altså uavhengig av θ og φ. Kontrollér at dette er oppfylt for settet Y 10, Y 1,±1, og for det alternative settet Y pz Y 10 = 3 4π z 3 r, Y p x = 4π x 3 r, Y p y = 4π Dette er noe av bakgrunnen for at sentralfelt-tilnærmelsen fungerer så bra, særlig for tyngre atomer, hvor flertallet av elektronene befinner seg i fulle skall. 2. Det periodiske systemet. Kjemiske egenskaper Natrium, magnesium, aluminium, silisium, fosfor, svovel, klor, argon (Z = 11 18) Her fylles suksessivt de to 3s-orbitalene og de seks 3p-orbitalene, på samme måte som 2sog 2p-orbitalene ble fylt for de åtte elementene litium argon. Vi får derfor en reprise på den diskusjonen vi hadde for disse elementene. y r. Det ellevte elektronet i natrium sitter alene i M-skallet (n = 3), i en 3s-tilstand. Natrium har derfor valens 1, i likhet med litium. For argon det siste elementet i denne rekken er underskallene 3s og 3p fulle, og vi får enda en edelgass med en særlig stabil elektronkonfigurasjon. Klor og svovel mangler henholdsvis ett og to elektroner på å ha fullt 3p-skall, og har derfor valens 1 og 2, i likhet med fluor og oksygen. De kjemiske egenskapene til elementene natrium argon er i det hele tatt en nokså god etterligning av dem en finner hos litium neon. Grunnen er at disse egenskapene i stor grad bestemmes av bølgefunksjonene for de ytterste elektronene, som er svært like for f.eks litium og natrium. [3s-elektronet i natrium ser den effektive ladningen av kjernen og K- og L-elektronene, som er nokså nær 11e 10e = e, altså omtrent like stor som den effektive ladningen som sees av 2s-elektronet i litium.] For stigende atomnummer finner en flere slike etterligninger, som følger et bestemt periodisk mønster. Dette mønsteret kalles som kjent det periodiske system, og er gitt i tabellen på neste side. Kolonnene (søylene) i denne tabellen utgjør grupper av elementer med nokså like kjemiske egenskaper. Linjene i tabellen kalles perioder.

5 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 5 Periodisiteten gjenspeiler seg også i andre egenskaper ved atomene, som f.eks atomradiene (se Zumdahl), elektron-affinitet (Zumdahl) og ionisasjonsenergi. Figuren viser ionisasjonsenergien som funksjon av atomnummeret Z. Kalium (Z = 19),... For kalium ville en kanskje i første omgang vente å finne det siste elektronet i en 3d-orbital. Som vist i tabellen, havner det imidlertid i 4s, slik at kalium kjemisk hører til gruppen av alkalimetaller (litium, natrium, kalium, rubidium, cesium,..). Årsaken er at energien for 3d-orbitalen, på grunn av den høye dreieimpulsen (l = 2), faktisk ligger høyere enn

6 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 6 4s-nivået, på tross av at det siste har høyere hovedkvantetall (n = 4, og radialkvantetall n r = n l 1 = 3). Fyllingsrekkefølgen i det periodiske systemet bestemmes grovt sett av følgende skjematiske oversikt over energinivåene: Her ser en at 4s-, 3d- og 4p-orbitalene gir plass til tilsammen (2 2+1)+2 (2 1+1) = = 18 elektroner. Fyllingen av disse orbitalene gir den fjerde perioden i det periodiske systemet. Den femte perioden er like lang, idet den svarer til fyllingen av de 18 orbitalene av typen 5s, 4d og 5p. Den sjette perioden består derimot av hele 32 elementer. Denne svarer til fyllingen av 6s, 5d, 4f (lantanidene) og 6p (tilsammen = 32). Periodene på 2, 8, 8, 18, 18 og 32 kommer klart fram også i diagrammet for ionisasjonsenergien. La oss se spesielt på ionisasjonsenergien for elementene fra bor til neon, som svarer til fylling av de seks 2p-tilstandene. Her ville vi kanskje vente at ionisasjonsenergien skulle øke hele veien (minst for bor, med bare ett 2p-elektron, og størst for neon som har fullt 2p-skall). Diagrammet viser imidlertid at den forventede jevne økningen brytes av oksygen, hvor det siste elektronet er noe svakere bundet enn vi venter. For å forstå denne effekten skal vi ta utgangspunkt i bor, hvor det ene 2p-elektronet kan velge mellom seks mulige tilstander to spinnretninger kombinert med tre romlige 2p-bølgefunksjoner, som skiller seg fra hverandre bare ved vinkelfunksjonene. For de siste kan vi bruke de tre funksjonene Y px, Y py og Y pz som ble nevnt ovenfor. Hvilken av disse som velges, er uten fysisk betydning, siden orienteringen av aksekorset er fritt valgbar.

7 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 7 La oss så ta for oss karbon, med to 2p-elektroner, og tenke oss at det ene av disse velger en orbital med vinkelfunksjonen Y pz. Spørsmålet er hvilken tilstand det andre elektronet da vil velge? Går vi et lite stykke ut over sentralfelttilnærmelsen, og tenker på Coulomb-frastøtningen mellom de to elektronene, er det klart at det vil være fordelaktig for elektronet å velge en av de andre vinkelfunksjonene, f.eks en p x -orbital. Elektronene er da (i gjennomsnitt) lengre fra hverandre enn om de begge var i samme orbital ψ 2pz (med motsatte spinn). Moralen er som alltid: Grunntilstanden er den konfigurasjonen som svarer til lavest mulig energi. Tilsvarende vil de tre elektronene i nitrogen velge hver sin tilstand (ψ 2px, ψ 2py og ψ 2pz ). 1 For neste element, oksygen, kan nå tre av de fire 2p-elektronene gjøre akkurat det samme, dvs velge hver sin romlige tilstand. Det fjerde elektronet, derimot, blir nødt til å velge samme romlige orbital som ett av de tre første elektronene. Mellom de to sistnevnte, som altså blir boende i samme orbital, er det rimelig å anta at avstanden i gjennomsnitt blir mindre og Coulomb-frastøtningen større enn for de øvrige. Det er fristende å ta dette som en forklaring på at ionisasjonsenergien for oksygen er litt mindre enn vi ville vente ut fra den monotone stigningen vi observerer for grunnstoffene B, C og N, jf diagrammet. Ut fra denne tankegangen går det også an å forstå strukturen av H 2 O. Oksygen mangler to elektroner på å ha fullt 2p-skall. Anta at de to ledige tilstandene i 2p-skallet er én i 2p x og én i 2p y. Vannmolekylet dannes ved at oksygen gjerne vil fylle disse to ledige orbitalene ved å låne de to elektronene til de to hydrogenatomene (i hvertfall en del av tiden). Ut fra dette skulle vi vente oss en struktur der de to H-atomene og oksygenatomet danner en vinkel på 90 grader. Eksperimentelt er denne vinkelen ca grader. Årsaken til dette avviket er at de to protonene, som nå delvis er avkledd sine elektroner, frastøter hverandre. Energiminimum svarer derfor til en vinkel som er noe større enn 90 grader. 1 Samtidig viser det seg at de tre spinnene er parallelle. Det er et eksperimentelt faktum at atomer i grunntilstanden tilstreber et størst mulig resulterende spinn. Dette kalles Hunds regel. Illustrasjon for nitrogen:

8 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg Molekyler og faste stoffer Molekyler og faste stoffer er stabile konfigurasjoner av to eller flere atomer. Fra kjemien vet vi at de ca hundre elementene kan kombineres til utallige molekyler, med forskjellig sammensetning, form, størrelse og øvrige egenskaper. Dette gir et meget stort utvalg av byggesteiner for uorganisk og organisk materiale. Studiet av molkyler reiser mange interessante spørsmål: Hva er det som får atomene til å henge sammen? Kan vi egentlig betrakte et molekyl som sammensatt av individuelle atomer, eller er det mer fruktbart å oppfatte det som en samling av kjerner og elektroner, der elektronene beveger seg mer eller mindre på fellesbeite rundt omkring kjernene? Svaret på det siste spørsmålet er både/og: En kombinasjon av de to betraktningsmåtene er som regel det beste. Når f.eks to atomer slår seg sammen til et molekyl, vil de innerste elektronene i hvert av dem være så sterkt bundet til hver sin kjerne at deres tilstander stort sett er uforandret. For de ytterste elektronene bir derimot situasjonen helt forandret. Disse beveger seg nå i det resulterende kraftfeltet fra to ioner som ligger nært inntil hverandre, og er billedlig talt på fellesbeite, slik vi antydet. Bølgefunksjonene og sannsynlighetstetthetene for disse ytre elektronene blir derfor helt forskjellige fra atomære orbitaler. Vi skal se at disse forskjellene samtidig gir svar på det første spørsmålet vi stilte, om hva som binder (de i utgangspunktet nøytrale) atomene sammen. Bindingsmekanismene kan grovt inndeles i to typer, ionebinding og kovalent binding. 1. Ionebinding Eksempler på ionebinding har en i salter som NaCl (koksalt) og LiF (litiumfluorid). For å forstå hvorfor et natriumatom og et kloratom finner det energetisk fordelaktig å slå seg sammen til et molekyl skal vi forsøke å sette opp et klassisk elektrostatisk energiregnskap. Vi husker at klor mangler ett elektron på å ha et fullt 3p-skall (M-skall), mens natrium har ett elektron alene ute i M-skallet. Natrium gir derfor gjerne fra seg dette siste elektronet; ionisasjonsenergien på 5.1 ev er hva det koster å fjerne det. Klor på sin side tar gjerne imot et ekstra elektron for å få fyllt 3p-skallet, og betaler 3.8 ev for dette. (Dette betyr at det frigjøres en energi på 3.8 ev når klor-ionet dannes. Og omvendt koster det 3.8 ev å fjerne dette elektronet fra Cl -ionet. Det er dette vi mener med å si at klor har en elektronaffinitet på 3.8 ev.) Totalt koster det derfor 5.1 ev 3.8 ev=1.3 ev å flytte et elektron fra et natriumatom til et kloratom, når vi forutsetter at avstanden R mellom dem er stor. Dette energibeløpet får en tilbake, og mer på kjøpet, dersom en lar de to ionene (Na + og Cl ) bevege seg mot hverandre: Med en eksperimentell likevektsavstand på R Å

9 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 9 mellom de to ionene, vil det da pga Coulomb-tiltrekningen bli frigjort et energibeløp av størrelsesorden V ( ) V (R 0 ) = e2 4πɛ 0 R 0 = h2 2ma 2 0 2a ev R ev. Dette enkle overslaget indikerer at netto frigjort energi ved dannelse av et NaCl-molekyl er ca 5.8 ev 1.3 ev=4.5 ev. Eksperimentelt finner en at bindingsenergien er 3.6 ev. Grunnen til at estimatet vårt ikke stemmer helt med realitetene ligger i det som skjer når de to ionene kommer i kontakt med hverandre, dvs når de to elektonskyene (som i utgangspunktet er kulesymmetriske) begynner å overlappe. Pga Pauliprinsippet vil da noen av elektronene skyves bort fra overlappområdet, slik at elektrontettheten i dette området blir omtrent like stor som i nabolaget. De elektronene som skyves bort, må (fremdeles pga Pauliprinsippet) finne seg en plass lengre borte fra kjernene enn de ellers ville foretrekke. 2 Dette koster energi. Dessuten blir skjermingen av de to kjernenes plussladninger nå mindre effektiv. Resultatet er at den samlede kraften mellom de to ionene ikke lenger er gitt ved Coulombkraften ( e 2 /4πɛ 0 R 2 ), men avtar mot null etter hvert som R nærmer seg likevektsavstanden R 0, og blir frastøtende om vi forsøker å gjøre R mindre enn R 0. Et noenlunde realistisk potensial som svarer til denne kraften er vist i figuren. (Se kurven for Na + +Cl.) 2 Dette kan noe overflatisk sammenlignes med det som skjer når to såpebobler kommer i kontakt, uten å bli til én; radiene øker da, fordi det totale volumet er konstant.

10 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg Kovalent binding Den mest rendyrkede formen av kovalent binding har en i de såkalte homonukleære molekylene, som H 2, O 2, N 2 osv. De to atomene deltar her på en helt likeverdig måte i bindingen. Ionebinding er derfor helt utelukket. Vi skal forsøke å forstå hvordan den kovalente bindingen oppstår ved å se på det aller enkleste eksemplet, som en har for hydrogenmolekyl-ionet H + 2, sammensatt av to protoner og ett elektron. En enkel måte å tenke seg bindingen på er å forestille seg H + 2 som et proton (p 2 ) bundet til et hydrogenatom (p 1, e ). Dersom vi starter med protonet p 2 og hydrogenatomet i stor avstand fra hverandre så virker det ingen kraft mellom dem, fordi H-atomet er nøytralt. Etter hvert som p 2 nærmer seg, vil det imidlertid polarisere H-atomet, ved at elektronet e trekkes litt mot p 2, mens protonet p 1 skyves litt unna. Derfor blir (i gjennomsnitt) den tiltrekkende kraften på e litt større enn den frastøtende kraften på p 1. Vi får altså en resulterende tiltrekningskraft mellom protonet p 2 og H-atomet, analogt med kraften mellom en ladning og en dipol. Denne kraften øker med minkende avstand, bl.a fordi polariseringen da øker. Denne økningen fortsetter helt til p 2 kommer inn i elektronskyen. Da vil til slutt frastøtningen mellom p 1 og p 2 dominere. Likevektsavstanden mellom de to protonene viser seg å være 1.06 Å, og bindingsenergien er 2.65 ev (som er hva det koster å hente p 2 ut igjen). I denne likevektstilstanden må vi vente å finne en viss opphopning av elektronets sannsynlighetstetthet (og dermed også av ladningstettheten ) i området mellom de to protonene. Dette vil si at det på en måte er elektronet som binder de to protonene sammen. For å komme videre må en behandle problemet kvantemekanisk. Istedenfor å snakke om et H-atom og et proton, er det da mest fruktbart å regne på et elektron som beveger seg i det samlede potensialet fra de to protonene: ( V ( r) = e ). 4πɛ 0 r1 r2 Anta at protonene holdes i ro i en avstand R. Ved å løse Schrödingerligningen for elektronet kan en finne energien for en gitt tilstandstype. Denne vil avhenge av R. Den totale energien

11 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 11 til tre-partikkel-systemet er da gitt ved E tot (R) = E(R) + e2 4πɛ 0 R, der det siste leddet representerer frastøtningen mellom de to protonene. Dersom denne summen har et minimum for en viss R 0, og denne minimalverdien, E tot (R 0 ), er mindre enn ev (som er elektronets energi i det isolerte H-atomet), har vi en stabil tilstand for H + 2. Å løse Schrödingerligningen for potensialet V ( r) ovenfor er forholdsvis komplisert. Vi må derfor nøye oss med en kvalitativ diskusjon. Dersom vi legger koordinatsystemet vårt som antydet ovenfor, med de to protonene på y-aksen, like langt fra origo, ser vi at potensialet er symmetrisk mhp xz-planet (som står normalt på papirplanet). Figuren nedenfor viser hvordan V ( r) = V (x, y, z) varierer langs y-aksen. Tilstandene med lavest energi i dette potensialet vil ha L y = 0, slik at de er rotasjonssymmetriske omring y-aksen. Fordi potensialet er symmetrisk mhp xz-planet, vil da slike rotasjons-symmetriske tilstander være enten symmetriske eller antisymmetriske med hensyn på xz-planet. Dette er illustrert i figurene nedenfor, som antyder hvordan bølgefunksjonene for den laveste symmetriske og den laveste antisymmetriske tilstanden oppfører seg langs y-aksen, for to forskjellige verdier av R.

12 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 12 Kotekurvene til høyre i figurene viser hvordan sannsynlighetstettheten varierer i et plan gjennom y-aksen. Vi merker oss at sannsynligheten for å finne elektronet i området mellom de to protonene er størst for den symmetriske tilstanden (fordi den antisymmetriske tilstanden er null i xz-planet). Kurvene i diagrammet nedenfor viser elektronets energi E(R) og den totale energien E tot (R) som funksjoner av avstanden R mellom de to protonene. For den symmetriske tilstanden finner en at E tot har et minimum på 16.3 ev for R = R 0 = 1.06 Å, i overensstemmelse med de eksperimentelle resultatene. I forhold til energien på 13.6 ev for elektronet i det isolerte H-atomet, svarer dette resultatet til at bindingsenergien for H + 2 er 2.65 ev, slik vi nevnte; p + H H ev. For den antisymmetriske tilstanden, derimot, finner en ikke noe minimum. Dette betyr rett og slett at et elektron i en slik romlig antisymmetrisk tilstand ikke kan holde H + 2 sammen.

13 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 13 Ved likevektsavstanden R 0 = 1.06 Å( 2a 0 ) tilsvarer frastøtningen mellom de to protonene en positiv potensiell energi på 13.6 ev. Det som likevel gjør H + 2 mer stabilt enn et isolert H-atom og et proton, er at elektronets energi E S i den symmetriske tilstanden er så lav som 29.9 ev. Det siste er enkelt sagt en følge av usikkerhetsprinsippet: Ved å være på deling (eller fellesbeite ) mellom de to protonene, får elektronet større plass til rådighet, og kan følgelig ha mye lavere kinetisk (og dermed total) energi enn når det må holde seg til det ene protonet i H-atomet. Ut fra denne løsningen for H + 2 kan vi også forstå kvalitativt bindingen i hydrogenmolekylet, H 2. Pauliprinsippet tillater her begge elektronene å være i den symmetriske tilstanden, når de har motsatte spinn. Dette gir en kraftigere binding enn i H + 2, med en likevektsavstand R Å og en bindingsenergi som er nesten dobbelt så stor: H+H H ev. Mer generelt kan vi si at den kovalente bindingen mellom to atomer med hvert sitt uparrede elektron skyldes at begge disse elektronene er på deling mellom de to atomene, med motsatte spinn. Når atomene ikke er av samme slag, kan det ene virke mer tiltrekkende enn det andre. En finner derfor en glidende overgang mellom rent kovalente bindinger (som i H 2, O 2, osv) og rene ionebindinger, som i NaCl. Atomer som har flere uparrede elektroner, kan danne flere kovalente bindinger. Et eksempel er N 2, hvor en regner med at de tre uparrede 2pelektronene i nitrogen gir opphav til tre kovalente bånd og en ekstra sterk binding. Et annet eksempel er oksygen, som med sine to uparrede elektroner har mulighet for å inngå to kovalente bindinger, slik det gjør i H 2 O. Hvert av elektronene i de to H-atomene er da på fellesbeite sammen med hvert sitt uparrede oksygen-elektron. Som vi har sett, fører dette til en ganske bestemt geometri for vannmolekylet. En tilsvarende effekt kan en observere f.eks for ammoniakk-molekylet NH 3, hvor de tre protonene og nitrogenkjernen danner en pyramide, som antydet i figuren. Utgangspunktet for denne geometrien er de tre orbitalene ψ 2px, ψ 2py og ψ 2pz. Grunnen til at vinklene er større enn 90 grader er igjen at de tre delvis avkledde protonene frastøter hverandre. Moralen er generelt at et molekyl i grunntilstanden velger den formen som gir lavest mulig energi.

14 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 14 Et tredje eksempel er metan, Ch 4, som vi var inne på i en av øvingsoppgavene. Her er de fire H-atom-elektronene på fellesbeite med hvert sitt av fire karbon-elektroner. Det viser seg at den konfigurasjonen som gir lavest mulig energi for dette molekylet, svarer til fellesbeite-orbitaler, som er beslektet med de fire sp 3 orbitalene vi studerte for 2p-nivået i hydrogen. I denne konfigurasjonen danner likevekts-posisjonene for de fire hydrogenkjernene et regulært tetraeder, med de karakteristiske vinklene på grader. Figuren gir et stilisert bilde: Denne typen retningsbestemt binding er karakteristisk for mange karbonforbindelser (bl.a for diamant, se nedenfor). Denne formen for retningsbestemt binding har en ikke for rene ionebindinger. Et eksempel er magnesiumklorid, MgCl 2, som kan oppfattes som Cl Mg ++ Cl, der alle de tre ionene har fulle skall, og derfor i utgangspunktet opptrer som kulesymmetriske ladningsfordelinger. Når disse slår seg sammen til et molekyl, velger de to negative klor-ionene å holde seg så langt unna hverandre som mulig. MgCl 2 danner derfor et lineært molekyl. Hittil i dette kapitlet har vi neglisjert kjernenes bevegelse i molekylene. Disse kan for det første vibrere omkring sine likevektsposisjoner, hva de faktisk alltid er tvunget til å gjøre ifølge usikkerhetsprinsippet. For to-atomige molekyler kan vibrasjonen tilnærmet beskrives som en éndimensjonal kvantemekanisk oscillator; jf oppgaven der vi så på slike vibrasjoner, og fant at utsvingene er relativt små i forhold til avstandene mellom kjernene. For fleratomige molekyler har en flere mulige vibrasjonsmoder. (Molekylene kan bøye seg, vri seg, osv.) Dessuten kan molekylene rotere, når de er i gassform. Også rotasjonsbevegelsen er kvantisert; jf kvantiseringen av rotatoren. 3. Binding i faste stoffer I faste stoffer kan en skille mellom fire hovedtyper av binding: molekylær binding, ionebinding, kovalent binding og metallbinding. Molekylær binding har en i stoffer der molekylene beholder mesteparten av sin individualitet, og vekselvirker meget svakt med nabomolekylene. Dette forutsetter at molekylene har null dipolmoment og ingen uparrede elektroner som kan gi opphav til kovalente bindinger. Eksempler er edelgassene (énatomige molekyler) og stoffer som CH 4, Cl 2, I 2, CO 2

15 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 15 osv, som alle opptrer i gassform ved vanlige temperaturer. Bindingene er så svake at kokeog smeltepunktene ligger langt ned mot det absolutte nullpunktet. Ekstremt i så måte er helium, som har et kokepunkt på 4.2 K, og ikke fryser i det hele tatt, selv ved det absolutte nullpunktet. For å danne fast helium trengs et trykk på 20 atmosfærer ved T = 0. Forklaringen på at det i det hele tatt virker noen kraft mellom disse molekylene er at elektronenes bevegelser fører til fluktuasjoner av ladningsfordelingen. Dette forårsaker fluktuasjoner av molekylenes dipolmomenter (omkring middelverdien som er lik null). Disse fluktuerende dipolmomentene virker svakt polariserende på nabomolekylene, og gir dermed opphav til en såkalt van der Waals-kraft mellom molekylene. Denne kraften er meget svak og avtar med avstanden som R 7. Denne bindingtypen kalles derfor gjerne også en van der Waals-binding. Ionebinding har en f.eks i koksalt, NaCl. Krystallen består da av en tettpakket struktur av vekselvis Na + - og Cl -ioner, som alle i utgangspunktet har kulesymmetriske ladningsskyer. Ionene pakker seg derfor sammen som to sorter kuler, der hvert ion forsøker å omgi seg med så mange ioner av det andre slaget som mulig. Hva som er den mest stabile krystall-strukturen, avhenger av den relative størrelsen av de to ionetypene. Ionebindingen er en sterk binding, og gir høye smeltepunkter. Pga de fyllte elektronskallene finnes ingen frie elektroner. Disse stoffene er derfor isolatorer. Kovalent binding har en f.eks i diamant, hvor hvert karbonatom danner fire kovalente bånd med naboatomene. Som vist i figuren, finner vi også her den karakteristiske tetraedriske strukturen, der hvert karbonatom er bundet til fire naboer. I hvert av disse kovalente båndene (representert ved linjer i figuren) inngår to elektroner med motsatte spinn. Disse er på fellesbeite i en orbital som er symmetrisk med hensyn på midtpunktet av linjen (slik som for de to elektronene i H 2 ). Denne bindingen er meget sterk, og gjør diamant til et svært hardt materiale, med ekstremt høyt smeltepunkt. Kovalente stoffer er isolatorer, fordi alle de ytre elektronene sitter fast i sine bindinger. Metallbinding finner en i sin mest typiske form i alkalimetallene Li, Na, osv. Disse har som vi husker ett løst bundet (valens-)elektron som lett avgis. I metallet danner de positve ionene en krystallstruktur, mens valenselektronene beveger seg mer eller mindre fritt rundt

16 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Tillegg 5 16 omkring ionene. (En snakker gjerne om en elektron- gass.) På den måten får disse frie elektronene mye plass til disposisjon. Ut fra usikkerhetsprinsippet venter vi da at de kan ha lavere gjennomsnittlig kinetisk energi enn i et isolert atom. Dette viser seg å være riktig når en regner etter, og medvirker til å gjøre systemets totale energi lavere enn for en samling av isolerte atomer. Følgelig er den metalliske tilstanden, der atomene henger sammen i en krystallinsk struktur, mer stabil (har lavere total energi) enn samlingen av isolerte atomer. Vi ser at denne bindingsmekanismen er analog med den kovalente bindingen, i den forstand at valenselektronene her er på deling ( fellesbeite ) mellom alle atomene i krystallen. Valenselektronenes frihet til å vandre gir metallene en høy ledningsevne for elektrisk strøm (og også for varme viser det seg).

Atomets oppbygging og periodesystemet

Atomets oppbygging og periodesystemet Atomets oppbygging og periodesystemet Solvay-kongressen, 1927 Atomets oppbygging Elektroner: 1897. Partikler som kretser rundt kjernen. Ladning -1. Mindre masse (1836 ganger) enn protoner og nøytroner.

Detaljer

elementpartikler protoner(+) nøytroner elektroner(-)

elementpartikler protoner(+) nøytroner elektroner(-) All materie, alt stoff er bygd opp av: atomer elementpartikler protoner(+) nøytroner elektroner(-) ATOMMODELL (Niels Bohr, 1913) - Atomnummer = antall protoner i kjernen - antall elektroner e- = antall

Detaljer

F F. Intramolekylære bindinger Kovalent binding. Kjemiske bindinger. Hver H opplever nå å ha to valenselektroner og med det er

F F. Intramolekylære bindinger Kovalent binding. Kjemiske bindinger. Hver H opplever nå å ha to valenselektroner og med det er Kjemiske bindinger Atomer kan bli knyttet sammen til molekyler for å oppnå lavest mulig energi. Dette skjer normalt ved at atomer danner kjemiske bindinger sammen for å få sitt ytterste skall fylt med

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte

Detaljer

FY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9

FY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9 FY1006/TFY4215 - Øving 9 1 Frist for innlevering: 2. mars, kl 16 ØVING 9 Opgave 22 Om radialfunksjoner Figuren viser de effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, for et hydrogenlignende atom, samt

Detaljer

1) Redoksreaksjoner, reaksjoner hvor en forbindelse. 2) Syre basereaksjoner, reaksjoner hvor en. elektronrik forbindelse reagerer med en

1) Redoksreaksjoner, reaksjoner hvor en forbindelse. 2) Syre basereaksjoner, reaksjoner hvor en. elektronrik forbindelse reagerer med en Hvorfor studere kjemi? Kjemi er vitenskapen om elektronenes gjøren og laden. For å forstå kjemi: Følg elektronene. Samtlige kjemiske reaksjoner kan deles i to hovedkategorier: 1) Redoksreaksjoner, reaksjoner

Detaljer

TFY løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

TFY løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 TFY4215 - løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 Løsning oppgave 25 Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system a. (a1): De effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, 3 er gitt av kurvene 1,2,3,4,

Detaljer

Hvorfor studere kjemi?

Hvorfor studere kjemi? Hvorfor studere kjemi? Kjemi er vitenskapen om elektronenes gjøren og laden. For å forstå kjemi: Følg elektronene. Samtlige kjemiske reaksjoner kan deles i to hovedkategorier: 1) Redoksreaksjoner, reaksjoner

Detaljer

6. Atomer og molekyler

6. Atomer og molekyler TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Tillegg 6 1 TILLEGG 6 6. Atomer og molekyler Kapittel 6 Atomer og molekyler er det siste kapitlet i kvantemekanikkdelen av dette kurset. Det dekkes av dette tillegget,

Detaljer

KAPITEL 1. STRUKTUR OG BINDINGER.

KAPITEL 1. STRUKTUR OG BINDINGER. KAPITEL 1. STRUKTUR OG BINDINGER. KAPITTEL 1. STRUKTUR OG BINDINGER. Året 1828 var, i følge lærebøker i organisk kjemi, en milepæl i utvikling av organisk kjemi. I det året fant Friedrich Wöhler (1800-1882)

Detaljer

Nano, mikro og makro. Frey Publishing

Nano, mikro og makro. Frey Publishing Nano, mikro og makro Frey Publishing 1 Nivåer og skalaer På ångstrømnivået studere vi hvordan atomer er bygd opp med protoner, nøytroner og elektroner, og ser på hvordan atomene er bundet samen i de forskjellige

Detaljer

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, 2016 3 Bindingsteori - atomorbitaler Einar Sagstuen, Fysisk institutt, UiO 26.08.2016 1 Biologiske makromolekyler DNA PROTEIN t-rna 26.08.2016 2 Biologiske makromolekyler

Detaljer

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, 2017 3 Bindingsteori - atomorbitaler Einar Sagstuen, Fysisk institutt, UiO 28.08.2017 1 Biologiske makromolekyler DNA PROTEIN t-rna 28.08.2017 2 Biologiske makromolekyler

Detaljer

+ - 2.1 ELEKTRISK STRØM 2.1 ELEKTRISK STRØM ATOMER

+ - 2.1 ELEKTRISK STRØM 2.1 ELEKTRISK STRØM ATOMER 1 2.1 ELEKTRISK STRØM ATOMER Molekyler er den minste delen av et stoff som har alt som kjennetegner det enkelte stoffet. Vannmolekylet H 2 O består av 2 hydrogenatomer og et oksygenatom. Deles molekylet,

Detaljer

FLERVALGSOPPGAVER ATOMER og PERIODESYSTEMET

FLERVALGSOPPGAVER ATOMER og PERIODESYSTEMET FLERVALGSOPPGAVER ATOMER og PERIODESYSTEMET Hjelpemidler: Periodesystem Atomer 1 Hvilket metall er mest reaktivt? A) sølv B) bly C) jern D) cesium Atomer 2 Hvilket grunnstoff høyest 1. ioniseringsenergi?

Detaljer

Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( )

Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( ) Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 (04.11.01) 1. Generell bølgeteori - Bølgenatur (i) Bølgelengde korteste avstand mellom to topper, λ (ii) Frekvens antall bølger pr tidsenhet, ν (iii)

Detaljer

Kjemiske bindinger. Som holder stoffene sammen

Kjemiske bindinger. Som holder stoffene sammen Kjemiske bindinger Som holder stoffene sammen Bindingstyper Atomer Bindingene tegnes med Lewis strukturer som symboliserer valenselektronene Ionebinding Kovalent binding Polar kovalent binding Elektronegativitet,

Detaljer

Kjemiske bindinger. La oss demonstrere ved hjelp av eksempler

Kjemiske bindinger. La oss demonstrere ved hjelp av eksempler Kjemiske bindinger Atomer kan bli knyttet sammen til molekyler for å oppnå lavest mulig energi. Dette skjer normalt ved at atomer danner kjemiske bindinger sammen for å få sitt ytterste skall fylt med

Detaljer

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - hybridisering - molekylorbitaler

FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - hybridisering - molekylorbitaler FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, 2017 4 Bindingsteori - hybridisering - molekylorbitaler Einar Sagstuen, Fysisk institutt, UiO 05.09.2017 1 Biologiske makromolekyler 4 hovedtyper Kovalent Ionisk

Detaljer

FY1006/TFY4215 -øving 10 1 ØVING 10. Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system. 2 ma. 1 r + h2 l(l + 1)

FY1006/TFY4215 -øving 10 1 ØVING 10. Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system. 2 ma. 1 r + h2 l(l + 1) FY1006/TFY4215 -øving 10 1 ØVING 10 Oppgave 25 Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system De generelle formlene for energiene og de effektive potensialene for et hydrogenlignende system kan skrives

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 11 august 2010 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 11 august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a Siden potensialet V (x) er symmetrisk med hensyn på

Detaljer

1. Oppgaver til atomteori.

1. Oppgaver til atomteori. 1. Oppgaver til atomteori. 1. Hva er elektronkonfigurasjonen til hydrogen (H)?. Fyll elektroner inn i energidiagrammet slik at du får elektronkonfigurasjonen til hydrogen. p 3. Hva er elektronkonfigurasjonen

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 11, VÅR 2014

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 11, VÅR 2014 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet naturvitenskap og teknologi Institutt for materialteknologi TMT4110 KJEMI LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 11, VÅR 2014 OPPGAVE 1 a) Kovalent binding:

Detaljer

KOSMOS. 5: Elektroner på vandring Figur side Modell av et heliumatom. Elektron. Nøytron. p + Proton. Protoner

KOSMOS. 5: Elektroner på vandring Figur side Modell av et heliumatom. Elektron. Nøytron. p + Proton. Protoner 5: Elektroner på vandring Figur side 132 Elektron e p Nøytron n e Proton Modell av et heliumatom. Protoner Nøytroner Elektroner Nukleoner Elementærladning Elementærpartikler er små partikler i sentrum

Detaljer

Bindinger. Hvorfor vil atomer ha åtte elektroner i ytterste skall?

Bindinger. Hvorfor vil atomer ha åtte elektroner i ytterste skall? Bindinger Hvorfor vil atomer ha åtte elektroner i ytterste skall? Finnes det elever som lurer på dette? To klipp fra nettet: http://forum.kvinneguiden.no/index.php?showtopic=457448 http://www.fysikk.no/fysikkforum/viewtopic.php?f=2&t=183

Detaljer

Det enkleste svaret: Den potensielle energien er lavere dersom det blir dannet binding.

Det enkleste svaret: Den potensielle energien er lavere dersom det blir dannet binding. Kapittel 9 Kovalent binding Repetisjon 1 (11.11.03) 1. Kovalentbinding Deling av elektron mellom atom for å danne binding o vorfor blir denne type binding dannet? Det enkleste svaret: Den potensielle energien

Detaljer

Grunnstoffa og periodesystemet

Grunnstoffa og periodesystemet Grunnstoffa og periodesystemet http://www.mn.uio.no/kjemi/tjenester/kunnskap/period esystemet/ Jord, eld, luft, vatn = dei fire elementa ( «grunnstoffa») 118 grunnstoff Grunnstoff består av berre ein atomtype.

Detaljer

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom TFY45 - Løsning øving 6 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenlignende atom a. Vi merker oss først at vinkelderivasjonene i Laplace-operatoren gir null bidrag til ψ, siden ψ(r) ikke

Detaljer

FLERVALGSOPPGAVER KJEMISK BINDING

FLERVALGSOPPGAVER KJEMISK BINDING FLERVALGSOPPGAVER KJEMISK BINDING Hjelpemidler: periodesystem Hvert spørsmål har et riktig svaralternativ. Kjemisk binding 1 I hvilke(t) av disse stoffene er det hydrogenbindninger? I: HF II: H 2 S III:

Detaljer

Forelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers

Forelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers Forelesningsnotat om molekyler, FYS Susanne Viefers. mai De fleste grunnstoffer (unntatt edelgassene) deltar i formingen av molekyler. Molekyler er sammensatt av enkeltatomer som holdes sammen av kjemiske

Detaljer

Kapittel 10 Kjemisk binding II Molekyl struktur og hybridisering av orbitaler Repetisjon

Kapittel 10 Kjemisk binding II Molekyl struktur og hybridisering av orbitaler Repetisjon Kapittel 10 Kjemisk binding II Molekyl struktur og hybridisering av orbitaler Repetisjon 1 13.11.03 1. Molekylstruktur VSEPR modellen Elektronparene (bindende eller ikke-bindende) vil prøve å være så lang

Detaljer

Auditorieoppgave nr. 1 Svar 45 minutter

Auditorieoppgave nr. 1 Svar 45 minutter Auditorieoppgave nr. 1 Svar 45 minutter 1 Hvilken ladning har et proton? +1 2 Hvor mange protoner inneholder element nr. 11 Natrium? 11 3 En isotop inneholder 17 protoner og 18 nøytroner. Hva er massetallet?

Detaljer

Viktige begreper fra fysikk og kjemi

Viktige begreper fra fysikk og kjemi Innhold: Viktige begreper fra fysikk og kjemi... 1 Atom... 1 Grunnstoff... 2 Periodesystemet... 2 Molekyl... 2 Kjemisk binding... 3 Kjemisk nomenklatur... 5 Aggregattilstander... 5 Fast stoff... 6 Væske

Detaljer

Teoretisk kjemi. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo. Onsdag 13.

Teoretisk kjemi. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo. Onsdag 13. 1 Teoretisk kjemi Trygve Helgaker Centre for Theoretical and Computational Chemistry Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Onsdag 13. august 2008 2 Kjemi er komplisert! Kjemi er utrolig variert og utrolig

Detaljer

Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge.

Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge. Energibånd i faste stoffer. Et prosjekt i emnet FY1303 elektrisitet og magnetisme, skrevet av Tord Hompland og Sigbjørn Vindenes Egge. 1 Innholdsfortegnelse. Sammendrag...3 Innledning... 4 Hvorfor kvantemekanisk

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Tirsdag 9. desember 003 Oppgave 1. a) Amplituden

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden

Detaljer

Mandag Ledere: Metaller. Atomenes ytterste elektron(er) er fri til å bevege seg gjennom lederen. Eksempler: Cu, Al, Ag etc.

Mandag Ledere: Metaller. Atomenes ytterste elektron(er) er fri til å bevege seg gjennom lederen. Eksempler: Cu, Al, Ag etc. Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 7 Mandag 12.02.07 Materialer og elektriske egenskaper Hovedinndeling av materialer med hensyn på deres elektriske egenskaper:

Detaljer

Kollokvium 4 Grunnlaget for Schrödingerligningen

Kollokvium 4 Grunnlaget for Schrödingerligningen Kollokvium 4 Grunnlaget for Scrödingerligningen 10. februar 2016 I dette kollokviet skal vi se litt på grunnlaget for Scrödingerligningen, og på når den er relevant. Den første oppgaven er en diskusjonsoppgave

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM600 Fysikalisk kjemi II kvantekjemi og spektroskopi Eksamensdag: Torsdag 9. juni, 016 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet

Detaljer

BINGO - Kapittel 1. Bilde av svovel (bilde side 9) Et natriumion (Na + ) Positiv partikkel i kjernen på et atom (proton)

BINGO - Kapittel 1. Bilde av svovel (bilde side 9) Et natriumion (Na + ) Positiv partikkel i kjernen på et atom (proton) BINGO - Kapittel 1 Bingo-oppgaven anbefales som repetisjon etter at kapittel 1 er gjennomgått. Klipp opp tabellen (nedenfor) i 24 lapper. Gjør det klart for elevene om det er en sammenhengende rekke vannrett,

Detaljer

Atomegenskaper. MENA 1001; Materialer, energi og nanoteknologi - Kap. 4. Universet. Elektroner. Periodesystemet Atomenes egenskaper

Atomegenskaper. MENA 1001; Materialer, energi og nanoteknologi - Kap. 4. Universet. Elektroner. Periodesystemet Atomenes egenskaper MENA 1001; Materialer, energi og nanoteknologi - Kap. 4 Atomegenskaper Universet Nukleosyntese Elektroner Orbitaler Kvantetall Truls Norby Kjemisk institutt/ Senter for Materialvitenskap og nanoteknologi

Detaljer

Kapittel 2 Atom, molekyl og ion. 1. Moderne beskrivelse av atom - Enkel oppbygning - Grunnstoff og isotoper - Navn på grunnstoff

Kapittel 2 Atom, molekyl og ion. 1. Moderne beskrivelse av atom - Enkel oppbygning - Grunnstoff og isotoper - Navn på grunnstoff Kapittel 2 Atom, molekyl og ion 1. Moderne beskrivelse av atom - Enkel oppbygning - Grunnstoff og isotoper - Navn på grunnstoff 2. Introduksjon til det periodiske systemet 3. Molekyl og ioniske forbindelser.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS1000 Eksamensdag: 19. august 2016 Tid for eksamen: 9.00-13.00, 4 timer Oppgavesettet er på 6 sider Vedlegg: Formelark (2 sider).

Detaljer

Repetisjon. Atomer er naturens minste byggesteiner. Periodesystemet ordner grunnstoffene i 18 grupper. Edelgasstruktur og åtteregelen

Repetisjon. Atomer er naturens minste byggesteiner. Periodesystemet ordner grunnstoffene i 18 grupper. Edelgasstruktur og åtteregelen 423 Atomer er naturens minste byggesteiner Atom: Atomet er den minste delen av et grunnstoff som fortsatt har de kjemiske egenskapene til grunnstoffet. Atomet består av en positivt ladd atomkjerne. Rundt

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

Rust er et produkt av en kjemisk reaksjon mellom jern og oksygen i lufta. Dette kalles korrosjon, og skjer når metallet blir vått.

Rust er et produkt av en kjemisk reaksjon mellom jern og oksygen i lufta. Dette kalles korrosjon, og skjer når metallet blir vått. "Hvem har rett?" - Kjemi 1. Om rust - Gull ruster ikke. - Rust er lett å fjerne. - Stål ruster ikke. Rust er et produkt av en kjemisk reaksjon mellom jern og oksygen i lufta. Dette kalles korrosjon, og

Detaljer

Universitetet i Oslo

Universitetet i Oslo Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM1001 Innføring i kjemi Eksamensdag: tirsdag 15. desember 2009 Tid for eksamen: 14.30 til 17.30 Oppgavesettet er på 6 sider

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen

Detaljer

Tirsdag r r

Tirsdag r r Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 6 Tirsdag 05.02.08 Gauss lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1] Fra forrige uke; Gauss

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial

Detaljer

Angir sannsynligheten for å finne fordelingen av elektroner i rommet

Angir sannsynligheten for å finne fordelingen av elektroner i rommet Atom Orbitaler Angir sannsynligheten for å finne fordelingen av elektroner i rommet Matematisk beregning gir formen og orientering av s, p, d og f orbitaler Kun s og p orbitalene viktige i organisk kjemi

Detaljer

Den 35. internasjonale Kjemiolympiade i Aten, juli uttaksprøve. Fasit.

Den 35. internasjonale Kjemiolympiade i Aten, juli uttaksprøve. Fasit. Oppgave 1 A) d B) c C) b D) d E) a F) a G) c H) d I) c J) b Den 35. internasjonale Kjemiolympiade i Aten, juli 2003. 1. uttaksprøve. Fasit. Oppgave 2 A) a B) b C) a D) b Oppgave 3 Masseprosenten av hydrogen

Detaljer

Periodesystemet.

Periodesystemet. Periodesystemet http://www.youtube.com/watch?v=zgm-wskfbpo Periodesystemet har sitt navn fra at det ble observert at egenskaper til atomer varierte regelmessig og periodisk. Som vi viste og demonstrerte

Detaljer

Atommodeller i et historisk perspektiv

Atommodeller i et historisk perspektiv Demokrit -470 til -360 Dalton 1776-1844 Rutherford 1871-1937 Bohr 1885-1962 Schrödinger 1887-1961 Atommodeller i et historisk perspektiv Bjørn Pedersen Kjemisk institutt, UiO 31 mai 2007 1 Eleven skal

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering KJM3600 - Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Introduksjon KJM3600 - p.1/29 Introduksjon p.2/29 Flere navn på moderne teoretisk kjemi: Theoretical chemistry (teoretisk kjemi) Quantum chemistry (kvantekjemi)

Detaljer

Eten % 1.2%

Eten % 1.2% TFY4215 Innføring i kvantefysikk Molekylfysikk Løsningsforslag til Øving 11 Eten. 6. Med Hartree-Fock-metoden og basissettet 3-21G finner man en likevektsgeometri for eten med bindingslengdene C-H = 1.074

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 12. august 2004 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, tar for

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2. FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, øving 5 1 øsning oppgave 5 1 a Med finner vi energien til egenfunksjonen ØSNING ØVING 5 Kvantekraft nπx sin = n xπ x x x ψ nx,n y,n z = A sin n xπx x sin nπx x, sin n yπy

Detaljer

13 Addisjon av dreieimpulser

13 Addisjon av dreieimpulser TFY450/FY045 Tillegg 13 - Addisjon av dreieimpulser 1 TILLEGG 13 13 Addisjon av dreieimpulser (8.4 i Hemmer, 6.10 i B&J, 4.4 i Griffiths) Begrepet Addisjon av dreieimpulser kommer inn i bildet når vi ser

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 13, HØST 2009

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 13, HØST 2009 NTNU Norges teknisk-naturvitenskaelige universitet Fakultet for naturvitenska og teknologi Institutt for materialteknologi TMT4112 KJEMI LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 13, HØST 2009 OPPGAVE 1 Ved bruk av

Detaljer

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 19: Kosmologi

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 19: Kosmologi AST1010 En kosmisk reise Forelesning 19: Kosmologi Hubble og Big Bang Bondi, Gold, Hoyle og Steady State Gamow, Alpher, Herman og bakgrunnsstrålingen Oppdagelsen av bakgrunnsstrålingen Universets historie

Detaljer

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette

Detaljer

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7 FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom

Detaljer

Dette gir ingen informasjon om hvor en nukleofil vil angripe.

Dette gir ingen informasjon om hvor en nukleofil vil angripe. FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Våren 2016 Molekylfysikk Løsningsforslag til Øving 13 S N 2-reaksjon. 2. a) Flate med konstant elektrontetthet for molekylet ClC3: Dette gir ingen informasjon om

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM600 Fysikalisk kjemi II kvantekjemi og spektroskopi Eksamensdag: Onsdag 7. juni, 017 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet

Detaljer

3. Balansering av redoksreaksjoner (halvreaksjons metoden)

3. Balansering av redoksreaksjoner (halvreaksjons metoden) Kapittel 4 Oksidasjon og reduksjons reaksjoner (redoks reaksjoner) 1. Definisjon av oksidasjon og reduksjon 2. Oksidasjonstall og regler 3. Balansering av redoksreaksjoner (halvreaksjons metoden) Kapittel

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 970155 EKSAMEN

Detaljer

Løsningsforslag til Øvingsoppgave 1. Et krystall er bygd opp av aggregat av atomer ordnet etter et regelmessig tredimensjonalt mønster.

Løsningsforslag til Øvingsoppgave 1. Et krystall er bygd opp av aggregat av atomer ordnet etter et regelmessig tredimensjonalt mønster. Oppgave 1.1 Hva karakteriserer en krystall? Hvilke typer enhetsceller er vanligst hos metallene? Tegn. Et krystall er bygd opp av aggregat av atomer ordnet etter et regelmessig tredimensjonalt mønster.

Detaljer

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se

Detaljer

Løsningsforslag til Øvingsoppgave 1. Et krystall er bygd opp av aggregat av atomer ordnet etter et regelmessig tredimensjonalt mønster.

Løsningsforslag til Øvingsoppgave 1. Et krystall er bygd opp av aggregat av atomer ordnet etter et regelmessig tredimensjonalt mønster. Oppgave 1.1 Hva karakteriserer en krystall? Hvilke typer enhetsceller er vanligst hos metallene? Tegn. Et krystall er bygd opp av aggregat av atomer ordnet etter et regelmessig tredimensjonalt mønster.

Detaljer

AST1010 En kosmisk reise Forelesning 13: Sola

AST1010 En kosmisk reise Forelesning 13: Sola AST1010 En kosmisk reise Forelesning 13: Sola I dag Hva består Sola av? Hvor får den energien fra? Hvordan er Sola bygd opp? + solflekker, utbrudd, solvind og andre rariteter 1 Hva består Sola av? Hydrogen

Detaljer

TFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY415 - Løsning øving 7 1 Løsning oppgave a. Med z = r cos θ har vi at LØSNING ØVING 7 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator ψ 1 = C C 1 e mωr / h r cos θ, som er uavhengig av asimutvinkelen φ, dvs

Detaljer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a. FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)

Detaljer

Kapittel 12. Brannkjemi. 12.1 Brannfirkanten

Kapittel 12. Brannkjemi. 12.1 Brannfirkanten Kapittel 12 Brannkjemi I forbrenningssonen til en brann må det være tilstede en riktig blanding av brensel, oksygen og energi. Videre har forskning vist at dersom det skal kunne skje en forbrenning, må

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 6. juni 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 6. juni 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. juni 007 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. juni 007 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i én dimensjon er enten symmetriske eller

Detaljer

- Kinetisk og potensiell energi Kinetisk energi: Bevegelses energi. Kinetiske energi er avhengig av masse og fart. E kin = ½ mv 2

- Kinetisk og potensiell energi Kinetisk energi: Bevegelses energi. Kinetiske energi er avhengig av masse og fart. E kin = ½ mv 2 Kapittel 6 Termokjemi (repetisjon 1 23.10.03) 1. Energi - Definisjon Energi: Evnen til å utføre arbeid eller produsere varme Energi kan ikke bli dannet eller ødelagt, bare overført mellom ulike former

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid:

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid: Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Ola Hunderi Tlf.: 93411 EKSAMEN I FAG SIF465 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/29 Introduksjon Introduksjon p.2/29 Introduksjon p.3/29 Molekylmodellering Flere navn på moderne teoretisk

Detaljer

Materiallære for romteknologi

Materiallære for romteknologi Side 1 av 7 Materiallære for romteknologi Materialteknologi er i seg selv et omfattende fagområde. Det foreliggende kurset er ment å dekke design aspektet for elektroniske innretninger som gis kortere

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden

Detaljer

Energiband i krystallar. Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi

Energiband i krystallar. Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi Energiband i krystallar Halvleiarar (intrinsikke og ekstrinsikke) Litt om halvleiarteknologi Energibandstrukturen til eit material avgjer om det er ein leiar (metall), halvleiar, eller isolator Energiband

Detaljer

Kap 4. Typer av kjemiske reaksjoner og løsningsstøkiometri

Kap 4. Typer av kjemiske reaksjoner og løsningsstøkiometri 1 Kap 4. Typer av kjemiske reaksjoner og løsningsstøkiometri Vandige løsninger; sterke og svake elektrolytter Sammensetning av løsninger Typer av kjemiske reaksjoner Fellingsreaksjoner (krystallisasjon)

Detaljer

PARTIKKELMODELLEN. Nøkler til naturfag. Ellen Andersson og Nina Aalberg, NTNU. 27.Mars 2014

PARTIKKELMODELLEN. Nøkler til naturfag. Ellen Andersson og Nina Aalberg, NTNU. 27.Mars 2014 PARTIKKELMODELLEN Nøkler til naturfag 27.Mars 2014 Ellen Andersson og Nina Aalberg, NTNU Læreplan - kompetansemål Fenomener og stoffer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beskrive sentrale egenskaper

Detaljer

Fasit oppdatert 10/9-03. Se opp for skrivefeil. Denne fasiten er ny!

Fasit oppdatert 10/9-03. Se opp for skrivefeil. Denne fasiten er ny! Fasit odatert 10/9-03 Se o for skrivefeil. Denne fasiten er ny! aittel 1 1 a, b 4, c 4, d 4, e 3, f 1, g 4, h 7 a 10,63, b 0,84, c,35. 10-3 aittel 1 Atomnummer gir antall rotoner, mens masse tall gir summen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med

Detaljer

Senter for Nukleærmedisin/PET Haukeland Universitetssykehus

Senter for Nukleærmedisin/PET Haukeland Universitetssykehus proton Senter for Nukleærmedisin/PET Haukeland Universitetssykehus nøytron Anriket oksygen (O-18) i vann Fysiker Odd Harald Odland (Dr. Scient. kjernefysikk, UiB, 2000) Radioaktivt fluor PET/CT scanner

Detaljer

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 13: Sola

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 13: Sola AST1010 En kosmisk reise Forelesning 13: Sola I dag Hva består Sola av? Hvor får den energien fra? Hvordan er Sola bygd opp? + solflekker, utbrudd, solvind og andre rariteter Hva består Sola av? Hydrogen

Detaljer

LØYSING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenliknande atom

LØYSING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenliknande atom FY6/TFY45 - Løysing øving 6 Løysing oppgåve LØYSING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenliknande atom a) Vi merkar oss fyrst at vinkelderivasjonane i Laplace-operatoren gjev null bidrag til r, sidan (r)

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1 TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet

Detaljer