9 - ТАРАУ ФУРЬЕ ӘДІСІ

9 - ТАРАУ ФУРЬЕ ӘДІСІ 9.. Фурье әдісінің жалпы схемасы. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шекаралық есептерді шешу үшін ең бір көп тараған эффектілі әдістердің бірі Фурье әдісі. Ол сызықты біртекті шекаралық есептерді шығаруға қолданылады. Бұл әдісті көбінесе басқаша айнымалыларды ажырату немесе өзіндік функциялар әдісі деп те атайды. Фурье әдісінің негізгі идеясы дербес туындылы дифференциалдық теңдеу үшін қойылатын шекаралық есептерді жай дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шекаралық есептерге немесе тәуелсіз айнымалылар саны азырақ болатын дербес туындылы дифференциалдық теңдеуге келтіру. Мысалы егер теңдеу екі және тәуелсіз айнымалыларын қамтитын болса онда бұл теңдеудің шешімін жай дифференциалдық теңдеулердің шешімі болатын X және функцияларының көбейтіндісі түрінде іздестіріледі. Нәтижесінде осы теңдеудің дербес шешімдері табылады. Сосын осы шешімдердің сызықты комбинациясынан алғашқы шекаралық есептің шешімі құрастырылады. Енді осы әдісті пайдаланып кейбір қарапайым шекаралық есептердің шешімін алу жолдарын толық зерттейік. 9.. Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу. Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын бастапқы бірінші шекаралық есепті қарастырайық: теңдеуінің шекаралық шарттарды Q { R ; } 9.. 9.. 9..3 бастапқы шартын қанағаттандыратын C Q C Q класында жататын классикалық шешімін табу керек. Бұл есептің шешімін Фурье әдісін пайдаланып табамыз. -қадам. 9.. теңдеуінің шешімін X түрінде іздестіреміз. X және функцияларын табу үшін функциясының дербес туындысын тауып 9.. теңдеуіне апарып қоямыз: X X

X X X X 9..4 9..4 теңдеуінің сол жағы айнымалысына ал оң жағы айнымалысына байланысты функциялар. және тәуелсіз айнымалылар бір-біріне тәуелсіз болғандықтан 9..4 теңдеуінің әрбір жағы тұрақты болуы керек. Осы тұрақтыны - деп белгілейік. алдындағы «-» таңбасы есепті шығаруға ыңғайлы болу үшін алынған. Онда X X немесе а ә X X. Енді а және ә жай дифференциалдық теңдеулерді шешу керек. Көңіл аударатын бір жағдай: 9.. шекаралық шарттарды пайдаланып ә жай дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін емес оның X X X X шекаралық шарттарын қанағаттандыратын дербес шешімін іздестіреміз. -қадам. X X X X Штурм-Лиувилль есебін шешеміз. Бұл есептің меншікті мәндері... ал өзіндік функциялары X s формуласы арқылы табылатындығы ІIІ тарауда көрсетілген болатын. 3-қадам. -параметрінің табылған мәндерін а теңдеуіне қойып оны шешеміз: A / 4-қадам. -3 қадамдардың нәтижесін пайдаланып 9.. теңдеуінің дербес шешімдерін жазамыз: A X s

9.. теңдеуі біртекті және сызықты болғандықтан оның дербес шешімдерінің сызықты комбинациясынан тұратын A s 9..5 функциясы оның шешімі болады және 9.. шекаралық шарттарын қанағаттандырады. 5-қадам. 9..3 бастапқы шартын пайдаланып 9..5 теңдігіндегі A коэффицентін анықтаймыз: A s A s. 9..6 9..6 теңдігінен бастапқы функциясы Штурм-Лиувилль есебінің өзіндік функциялары арқылы Фурье қатарына жіктеліп тұрғанын көреміз. Бұл жағдайда Фурье қатарының коэффиценттерін A s d... 9..7 формулалары арқылы табамыз. Осы коэффициенттерді 9..5 теңдігіне апарып қойып берілген 9..-9..3 есебінің формальді шешімін аламыз. аралығында берілген функциясы қандай шарттарды қанағаттандырғанда 9..5 формальді шешім 9..-9..3 есебінің классикалық шешімін беретіндігін яғни 9..5 қатары арқылы анықталатын функциясының C Q CQ класында жататындығын және оның 9.. теңдеуі мен 9.. 9..3 шарттарын қанағаттандыратындығын анықтаймыз. Ол үшін:. 9..5 қатары арқылы анықталатын функциясын аргументі бойынша бір рет ал аргумент бойынша екі рет формальді түрде мүшелеп дифференциалдаймыз: A s 9..8 A s 9..9. Q облысында 9..5 қатарының жалпы мүшесін ал Q R : Q облысында 9..8 бен 9..9 катарларының жалпы мүшелерін бағалаймыз: 3

Q N : A s A s A 9.. өйткені кез келген болғанда болғандықтан. және s Q N : A s A A s 9.. өйткені кезде тізбегі өте жылдам нөлге ұмтылады. 3. 9..5 9..8 және 9..9 қатарларға мажорлаушы қатарларды анықтаймыз. -ші пункттен жоғарыда қарастырылып отырған қатарлардың мажорлаушы қатары ретінде A 4. мажорлаушы A қатарын алуға болатынын көреміз. A сандық қатарын жинақтылыққа зерттейміз. функциясының кесіндісінде анықталатын Фурье катарының коэффициенті болғандықтан 4.3.-теорема тұжырымы бойынша кесіндісінде үзіліссіз бірінші ретті туындысы бар болып функцияның шартын қанағаттандырған кезде болады. C 5. 9..5 қатары арқылы анықталатын Q C Q класында жататындығын көрсетеміз. A қатары жинақталатын функциясының A қатары жинақталған кезде Вейерштрасс белгісі бойынша 9..5 қатары Q облысында бірқалыпты және абсолютті жинақталатын болады. Сонымен қатар оның қосындысы болатын функциясы Q облысында үзіліссіз болады яғни CQ Дәл осы сияқты. A қатары жинақталған кезде 9..8 және 9..9 қатарлары Вейерштрасс белгісі бойынша Q облысында бірқалыпты және абсолютті жинақталатын болады. Сондықтан және функциялары Q облысында үзіліссіз болады. кез келген болғандықтан және функциялары Q облысында үзіліссіз болады яғни C Q. 4

6. функциясы жоғарыда айтылған шарттарды қанағаттандырған кезде 9..5 формуласы мен анықталатын функциясының 9.. 9..3 есебінің шешімі болатынын тексереміз. 9..5 қатарының әрбір мүшесі шекаралық шарттарды қанағаттандыратын болғандықтан функциясы да осы шарттарды қанағаттандыратын болады. Бастапқы шарттың орындалатындығы шешімді құрудан шығады. 9..8 және 9..9 өрнектерін 9.. теңдеуіне апарып қою арқылы 9..5 қатары арқылы анықталатын функциясының Q облысында осы теңдеудің шешімі болатындығына көзімізді жеткіземіз. Сонымен жоғарыда айтылғандарды қорытып төмендегідей тұжырымға келеміз. 9..-теорема. Егер С және орындалатын болса онда 9.. 9..3 есебінің жалғыз классикалық шешімі бар болады және ол коэффициенті 9..7 формуласы арқылы есептелетін 9..5 қатарының қосындысы түрінде анықталады. 9..- салдар. 9.. 9..3 есебінің шешімі Q облысында шексіз дифференциалданады яғни С Q. 9.3. Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу. Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы бірінші шекаралық есепті қарастырайық: теңдеуінің Q f R : шекаралық шарттарды 9.3. 9.3. 9.3.3 класында жататын классикалық шешімін табу керек. Әдетте біртекті емес дифференциалдық теңдеуге қойылатын шекаралық есептердің шешімін табу үшін оны шешімдерінің қосындысы берілген есептің шешімін анықтайтындай етіп қосымша есептерге жіктейді. Нақты қандай есептерге жіктеу керектігін анықтау үшін берілген есептің шешімін белгісіз функциялардың қосындысы түрінде іздестіреді. Осы әдісті пайдаланып 9.3. 9.3. есебін қосымша есептерге жіктейік. Ол үшін оның шешімін бастапқы шартын қанағаттандыратын C Q CQ W 9.3.4 5

түрінде іздестіреміз және W белгісіз функциялары қандай есептердің шешімі болатындығын анықтау үшін 9.3.4 формуласымен анықталатын функцияны 9.3.-9.3.3 есебіне апарып қоямыз. W W f 9.3.5 W 9.3.6 W W 9.3.7 9.3.5-9.3.7 теңдіктерінен функциясын келесі 9.3.8 9.3.9 9.3. теңдеу біртекті бастапқы шарт біртекті емес шекаралық шарттары біртекті болатын бірінші қосымша есептің шешімі болатындай ал W функциясын келесі W W f 9.3. W 9.3. W W 9.3.3 теңдеу біртекті емес бастапқы және шекаралық шарттары біртекті болатын екінші қосымша есептің шешімі болатындай таңдаймыз. Әрі қарай төмендегідей қадамдар жасаймыз. -қадам. 9.3.8-9.3. бірінші қосымша есептің шешімін табамыз. Бұл есепті 9. пунктінде қарастырған болатынбыз. Оның классикалық шешімі функцияның кесіндісінде үзіліссіз бірінші ретті туындысы бар болып шарттарын қанағаттандырған кезде 9.3.5 формуласы арқылы яғни қатары арқылы анықталады. Мұндағы A s 9.3.4 A s d... формуласы арқылы табылады. Сонымен функциясын таптық. 6

-қадам. 9.3.- 9.3.3 екінші қосымша есептің шешімін табамыз. Екінші қосымша есептің шешімін W s 9.3.5 түрінде іздестіреміз. Мұндағы белгісіз табуды қажет ететін функция. 9.3.5 - Q облысында бірқалыпты жинақталатын және аргументтері бойынша мүшелеп дифференциалдауға болатын қатар деп ұйғарайық. Онда оның қосындысы W функциясы 9.3. бастапқы шартты қанағаттандыратын болады. 9.3.5 қатарына 9.3. бастапқы шартын қойып функциясы үшін s... 9.3.7 шартын аламыз. Берілген f функциясы кесіндісінде аргументі бойынша Фурье қатарына жіктелетін болсын яғни мұндағы f f s 9.3.8 f f s d 9.3.5 қатарын 9.3. теңдеуіне апарып қойып. 9.3.9 s f 9.3. теңдігін аламыз. f функциясының 9.3.8 және 9.3. жіктеулерін салыстыра отырып жіктеудің жалғыздығын ескеріп f 9.3. біртекті емес сызықты коэффициенттері тұрақты бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеуіне келеміз. Сонымен функциясын анықтау үшін 9.3. дифференциалдық теңдеуімен 9.3.7 бастапқы шартын таптық. Бұл функциясына 7

байланысты Коши есебі. Коши есебін шешу үшін сызықты жай дифференциалдық теңдеулер теориясының нәтижелерін қолданамыз. 9.3. теңдеуінің жалпы шешімін тұрақтыларды вариациялау әдісін пайдаланып құрамыз. Әуелі 9.3. теңдеуіне сәйкес келетін біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін C 9.3. түрінде іздестіреміз. Мұндағы белгісіз C функциясы C f теңдігінен анықталады. Бұдан интегралдау арқылы теңдігін аламыз. 9.3. дифференциалдық теңдеуінің C s f s ds C C cos C функциясының мәнін 9.3. теңдігіне апарып қойып 9.3.3 s f s ds C жалпы шешімін аламыз. 9.3.3 теңдігінен бастапқы шартты ескеріп C болатындығын көреміз. Сонымен егер кесіндісінде үзіліссіз болған кезде Коши есебінің шешімі f функциясы s f s ds 9.3.4 формуласы арқылы анықталатын болады. Табылған 9.3.5 теңдігіне апарып қойып екінші қосымша есептің функциясының мәнін W s f s d s s 9.3.5 формальді шешімін табамыз. Мұндағы арқылы табылады. f функциясы 9.3.5 формуласы 8

3-қадам. f C Q және f f шарттарын қанағаттандыратын кезде 9.3.5 формуласының оң жағында тұрған қатар Q облысында бірқалыпты және абсолютті жинақталатын болады сонымен қатар оны Q облысында аргументі бойынша бір рет ал аргументі бойынша екі рет мүшелеп дифференциалдауға болады. Олай болса 9.3.5 формуласымен анықталатын W функциясы 9.3.-9.3.3 екінші қосымша есебінің классикалық шешімін анықтайды. Сонымен төменде келтірілетін теорема тұжырымы орындалатынын дәлелдедік. 9.3.-теорема. Егер C f C Q және f f шарттары орындалатын болса онда 9.3.-9.3.3 біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы бірінші шекаралық есебінің жалғыз классикалық шешімі бар болады және ол және W функцияларының қосындысы арқылы табылады яғни мұндағы s A s f s ds s A s d f f s d... 9.4. Шекаралық шарттары біртекті емес болатын біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы шекаралық есепті шешу. Жан-жағы жылу өткізбейтіндей ішкі жылу көзі бар стерженьдегі жылудың және шекараларындағы температура сәйкесінше және функциялары арқылы сипатталатын құбылыс мына жылуөткізгіштік теңдеуі f 9.4. шекаралық 9.4. және бастапқы 9.4.3 шарттармен шешу есебіне келтіреді. Бұл есептің шешімін табуға шекаралық шарттары біртекті емес гиперболалық типті теңдеуге қойылатын бастапқы бірінші шекаралық есептің шешімін табуға пайдаланған тәсілді қолданамыз яғни 9.4. 9.4.3 есебінің 9

шешімін W түрінде іздейміз. Мұндағы және W функциялары белгісіз табуды қажет ететін функциялар. W функциясын A B C квадраттық үшмүшелік түрінде іздестіреміз. Белгісіз A B және C функцияларын W W болатындай етіп таңдап аламыз ол W болады. Бұл жағдайда белгісіз функция ~ f 9.4.4 9.4.5 9.4.6 ~ есебінің шешімі болады мұндағы ~ f ~ f ~ ~. f C Q C және ~ ~ ~ ~ f f шарттары орындалған кезде 9.4.4-9.4.6 есебінің 9.3.-теорема тұжырымы бойынша жалғыз классикалық шешімі бар болады. Жоғарыда айтылғандарды қорыта келіп келесі теорема тұжырымына келеміз. C C f f C Q 9.4.-теорема. Егер және f f шарттары орындалатын болса онда 9.4.-9.4.3 есебінің жалғыз классикалық шешімі бар болады және ол және W функцияларының қосындысы арқылы табылады. 9.4. ескерту. Жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын басқа да шекаралық есептерді жоғарыда пайдаланған тәсілдерді қолданып шығаруға болады. Соған бір мысал келтіріп кетейік. 9.4.-мысал. Жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылған бастапқы-екінші біртекті емес шекаралық A : a 9.4.7 есептің шешімін табу керек. Шешу: A ~ 9.4.8 9.4.9

-қадам. 9.4.- теорема тұжырымы бойынша A есебінің жалғыз классикалық шешімі бар болады. -қадам. A шекаралық шарттарын қанағаттандыратын 3A функциясын құрамыз: A A A. Сонымен A функциясы A есебінің шекаралық шарттарын қанағаттандыратын болады. 3-қадам. Жаңа белгісіз функциясы үшін B a A A есебін аламыз. Бұл есептің шешімін түрінде іздейміз. Мұндағы функциясы C : a есебінің шешімі ал функциясы D : A A a есебінің шешімі 4-қадам. C есебінің шешімін Фурье әдісін пайдаланып табамыз. X болсын. функциясын теңдеуге және шекаралық шарттарға қою арқылы функциясына байланысты бірінші ретті сызықты жай дифференциалдық теңдеуін ал X функциясына байланысты Штурм-Лиувилль есебін аламыз. Бұл дәрісте C есебі қарастырылған 9.. 9..3 есебімен пара-пар болады. Сондықтан C a Олай болса C теңдеуінің жалпы шешімі: s. N X a C s. Мұндағы C кез-келген белгісіз тұрақты шама. Енді C есебінің бастапқы шартын пайдаланып C тұрақты шаманы табайық:

C A s s cos cos cos s s A A A A A A A d A A d d Ad d A d A C C есебінің шешімін A a s формуласы арқылы табамыз. 5-қадам. D есебінің шешімін 9.3.5 түрінде іздестіреміз. Мұнда. s cos cos cos s s A A d A d d d d d A f

3 a a a a a a a A a A d A d A d A 3 болатынын ескеріп D есебінің шешімін 3 s a a A формула арқылы табамыз. 6 қадам. Сонымен A есептің шешімі: 3. s a a a A A A 9.5. Фурье әдісіне байланысты жалпы ескертулер. Фурье әдісін дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің кеңейтілген класының да шешімдерін құруға пайдалануға болады. c a a j j j 9.5. теңдеуін қарастырайық. 9.5. функциясы 9.5. теңдеуінің шешімі болу үшін және функциялары сәйкесінше c a a j j j 9.5.3 және

cos 9.5.4 теңдеулерін қанағаттандырулары керек. Кеңістік айнымалылары саны болған кезде яғни 9.5. теңдеуі a b c 9.5.5 түрінде берілген кезде функциясына сәйкес келетін теңдеу b c a 9.5.6 түрінде жазылатын болады. 9.5.4 және 9.5.6 теңдеуінің екеуі де сызықты жай дифференциалдық теңдеулер. Олардың шешімдерін құру қиын емес. Бірақ 9.5. теңдеуінің 9.5. түріндегі толық шешімдерін құру және 9.5. теңдеуіне қойылатын бастапқы шекаралық есептердің шешімінің қатар түрінде құрылатынын жалпы жағдайда сызықты операторлардың спектрлік теориясын пайдаланбай дәлелдеу мүмкін емес. Мұндай есептерді зерттеу тәуелсіз айнымалының өзгеру интервалының кейбір нүктелерінде aфункциясының немесе функциясының мәні нөлге айналған кезде күрделене түседі. Көбінесе осындай жағдайлар қолданыста көп кездеседі. Арнайы функциялар деп аталатынын функциялар осындай жағдайларды зерттеуге мүмкіндік береді. болған кезде 9.5.6 теңдеуі бізге белгілі a b c Бессель теңдеуін береді. Бессель теңдеуінің шешімдерін цилиндрлік немесе Бессель функциялары деп атайды. болған кезде 9.5.6 теңдеуі a b c 9.5.7 Чебышев теңдеуін береді. Бұл теңдеуді Чебышев функциялары деп аталатын 4

J функциялары қанағаттандырады. Мұнда... Лагеррь теңдеуі де 9.5.7 теңдеуінің дербес түрі болып табылады. Лаплас теңдеуін қарастырайық. 9.5.8 теңдеуіне тікелей қою арқылы 9.5.8 yy y...! y 9.5.9 және y y 9.5....! дәрежелі көпмүшеліктерінің 9.5.8 Лаплас теңдеуін қанағаттандыратындықтарын тексеру оңай. Олай болса 9.5.9 9.5. көпмүшеліктері гармониялық функциялар болады. Оларды шарлық функциялар деп атайды. 9.5.9 және 9.5. формулалары барлық сызықты тәуелсіз дәрежелі шарлық функцияларды береді. Олардың саны тең болады. Мысалы болған кезде 9.5.9 және 9.5. формулаларынан y функцияларының ал болған кезде y y 3 y 4 функцияларының гармониялық функциялар яғни шарлық функциялар болатындығын көреміз 9.5.8 Лаплас теңдеуін сфералық координаталар жүйесінде жазайық. Кеңістіктегі y декарттық координаталары мен сфералық координаталары s s y cos s 5 cos

байланыстары арқылы берілетін болғандықтан Лаплас теңдеуінің сфералық координаталар жүйесіндегі түрі s s s 9.5. теңдігі түрінде анықталады. Бұл жағдайда функциялары мен қатар y Y... 9.5. y Y... 9.5.3 функциялары да 9.5. теңдеуінің шешімін анықтайтын болады. Y функцияларын Лапластың сфералық функциялары деп атайды. 9.5. теңдеуінің шешімін Фурье әдісі бойынша y Y 9.5.4 түрінде іздейміз. 9.5.4 өрнекті 9.5. теңдеуге қойып d d d cos 9.5.5 d Y Y s Y s s 9.5.6 теңдеулерін аламыз. болған кезде 9.5.5 және 9.5.6 теңдеулері d d d d 9.5.7 Y Y s s s Y 9.5.8 теңдіктеріне келеді. 6

9.5.3 теңдігіндегі және 9.5.8 теңдеулерінің шешімдері болады. және Y функциялары сәйкесінше 9.5.7 Ô Y функциясы 9.5.8 теңдеуінің шешімі болу үшін сәйкесінше және функциялары 9.5.9 s d d d s d s 9.5. теңдеулерін қанағаттандыруы керек. Y функция аргумент бойынша периодты болғандықтан яғни Y Y болғаны үшін және 9.5.9 теңдеуден мұндағы бүтін сан болатынын көреміз. Енді cos accos белгілеулерін енгізу арқылы 9.5. теңдеуін 9.5. түрінде жаза аламыз. 9.5. теңдеуінен болған кезде 9.5. Лежандр теңдеуін аламыз. Лежандр теңдеуінің сызықты тәуелсіз шешімдерін P cos және Q cos түрінде белгілейді және оларды сәйкесінше бірінші және екінші текті Лежандр функциялары деп атайды. 9.5. теңдеуінің P cos және Q cos сызықты тәуелсіз шешімдерін сәйкесінше бірінші және екінші текті тіркелген Лежандр функциялары деп атайды. 9.6. Толқындық теңдеу үшін қойылатын есептің шешімін табу. Толқындық теңдеу үшін қойылатын бастапқы бірінші шекаралық есепті қарастырайық. теңдеуінің Q { R ; } 9.6. 7

бастапқы шарттарын 9.6. 9.6.3 шекаралық шарттарды қанағаттандыратын C Q С класында жататын классикалық шешімін табу керек. -қадам. 9.6. теңдеуінің шешімін X және функцияларының көбейтіндісі түрінде іздестіреміз яғни X. X және белгісіз функцияларын табу үшін функциясының дербес туындыларын табамыз: X X Табылған туындыларды 9.6. теңдеуіне апарып қойып айнымалыларды ажыратамыз: X X X. * X Алынған теңдіктің сол жағы айнымалысына ал оң жағы айнымалысына байланысты функциялар. және тәуелсіз айнымалылар бір-біріне тәуелсіз болғандықтан соңғы * теңдеуінің әрбір жағы тұрақты болу керек. Осы тұрақтыны - деп белгілейік. алдындағы таңбасы есепті шығаруға ыңғайлы болу үшін алынған. Онда X X немесе а ; ә X X. 9.6.3 шекаралық шарттарын пайдаланып X X X X шарттарын аламыз. -қадам. 8

X X X X Штурм-Лиувилль есебін шешеміз. Бұл есептің меншікті мәндері... ал өзіндік функциялары X s формуласы арқылы табылатындығына келеміз. 3-қадам. - параметрінің табылған мәндерін а теңдеуіне қойып оны шешеміз: '' cos '' s A cos B s 4-қадам. а - ә теңдеулерінің шешімдерін пайдаланып 9.6. теңдеуінің дербес шешімін X A cos B s s формуласы арқылы жазамыз. Бұл дербес шешімдерді толқындық теңдеудің меншікті тербелістері деп атайды. 9.6. теңдеуі біртекті және сызықты болғандықтан дербес шешімдерінің сызықты комбинацияларынан құралған A cos B s s 9.6.4 функциясы да 9.6. теңдеуінің шешімін анықтайды және ол 9.6.3 шекаралық шарттарды қанағаттандырады. 5-қадам. А және В коэффициенттерін табу үшін бастапқы шарттарды пайдаланамыз. Бірінші бастапқы шарттан A s A 9 s теңдігін аламыз. Егер функциясының [ ] кесіндісінде үшінші ретті үзіліссіз туындысы бар және теңдіктері орындалатын болса онда Стеклов теоремасы бойынша оны Штурм-Лиувилль есебінің өзіндік функциялары арқылы Фурье қатарына жіктеуге және Фурье қатарының коэффициенттерін A формуласы арқылы табуға болады. Екінші бастапқы шарттан s d 9.6.5

A s B cos s B s B s теңдігін аламыз. Егер функциясының [ ] кесіндісінде екінші ретті туындысы бар және теңдігі орындалатын болса онда Стеклов теоремасы бойынша оны Штурм-Лиувилль есебінің өзіндік функциялары арқылы жіктеуге және Фурье қатарларының коэффициенттерін B s d 9.6.6 формуласы арқылы табуға болады. Табылған A және B коэффиценттерін 9.6.4 теңдігіне апарып қойып 9.6. 9.6.3 есебінің шешімін табамыз. 3 C C және 9.6..-теорема. Егер шарттары орындалатын болса онда 9.6. 9.6.3 бастапқы бірінші шекаралық есебінің жалғыз орнықты классикалық шешімі бар болады және ол коэффициенттері 9.6.5 9.6.6 формулалары арқылы табылатын 9.6.4 қатарының қосындысы түрінде анықталады. Дәлелдеуі. және функцияларына қойылған шарттардан 4.3.. теорема тұжырымы бойынша оларды барлық сан өсінің бойына тақ периодты қылып жалғастыруға болады және A B қатарлары жинақталатын болады. Сондықтан A B қатары 9.6.4 қатары мен осы қатарды аргументі бойынша формальді мүшелеп дифференциалдаудан шыққан A s B cos s 9.6.7

қатары үшін мажорлаушы қатар болады. Сондықтан Вейерштрасс белгісі бойынша 9.6.4 және 9.6.7 қатарлары Q облысында абсолютті және бірқалыпты жинақталатын болады. Олай болса және функциялары Q облысында үзіліссіз болады өйткені олар сәйкесінше 9.6.4 және 9.6.7 бірқалыпты жинақталатын қатарлардың қосындысы. Сонымен C Q. Енді 9.6.4 қатарын және аргументтері бойынша екі рет мүшелеп диференциалдауға болатындығын көрсетейік. Ол үшін 9.6.4 қатарын A cos s B s s A s s B cos cos 9.6.8 түрінде жазамыз. Сосын функцияларын бүкіл сан өсінің бойына тақ периодты етіп созып 9.6.4-9.6.5 формуларынан A s s 9.6.9 және d B s d B cos B cos cos B cos cos 9.6. теңдіктерін аламыз. Осы теңдіктерді ескеріп 9.6.8 формуласын sds 9.6. түрінде жазамыз. функциясы Д'аламбер формуласы арқылы өрнектеліп тұр. C C болғандықтан тікелей тексеру арқылы функциясының 9.6. теңдеуімен 9.6. бастапқы шарттарды қанағаттандыратынын оп-оңай көрсетуге болады. 9.6.4 қатарының әрбір қосылғышы шекаралық шарттарды қанағаттандыратын болғандықтан функциясы да бұл шарттарды қанағаттандыратын болады. функциясының 9.6. түрінен болған кезде 9.6.-9.6.3 есебінің шешімінің жалғыздығы мен орнықтылығы шығады. Теорема толығымен дәлелденді.

Жалпылама шешім. Егер бастапқы функциялар және 9.6. теорема шарттарын қанағаттандырмайтын болса онда бастапқы-бірінші шекаралық есептің екі рет үзіліссіз дифференциалданатын шешімі болмауы мүмкін. Бірақ егер кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданса және кесіндісінде үзіліссіз болса онда 9.6.4 қатары Q облысында бірқалыпты жинақталады және оның қосындысы үзіліссіз функцияны анықтайды. Мұндай бастапқы шарттар кезінде математикалық тұрғыдан есептің классикалық шешімі болмағанымен физикалық тұрғыдан ішек тербелісіне сәйкес келетін есептің қандай да бір «жалпылама шешімі» бар болуы керек. 9.6.- теорема шарттарын қанағатандыратын функциялар ал -9.6. теңдеуінің бастапқы шарттарын және 9.6.3 шекаралық шарттарын қанағаттандыратын классикалық шешімі болсын. Егер кесіндісінде функциясы ке функциясы ке бірқалыпты жинақталатын болса онда Q облысында классикалық шешімі бірқалыпты жинақталатын функциясын мұндай функция бар болса 9.6. 9.6.3 бастапқы бірінші шекаралық есептің жалпылама шешімі деп атаймыз. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін қарастырылатын шекаралық есептердің шешімінің мағынасы өте зор. Практикада есептің жалпылама шешімін тапқан жеткілікті өйткені физикалық есептерде бізге бастапқы немесе шекаралық деректердің мәндері дәл емес олар дәл мәндерден өте аз айырмашылықтары бар мәндер. Сондықтан жалпылама шешім есептің классикалық шешімі болмаса да ол одан өте аз айырылатын болады. C C және шарты орындалған кезде 9.6.- 9.6.3 бастапқы бірінші шекаралық есебінің жалғыз жалпылама шешімі бар болатындығын дәлелдеу қиын емес оны ізденушілердің өздеріне қалдырамыз. Бастапқы бірінші шекаралық есебінің шешімінің физикалық интерпретациясы. 9.6. 9.6.3 есебінің 9.6.4 шешімі ішектің өзіндік тербелістерінің қосындысы түрінде табылғандықтан оның физикалық интерпретациясы ішектің өзіндік тербелістеріне тікелей байланысты болады. Сондықтан ішектің A cos B ss 9.6. өзіндік тербелістерін қарастырамыз. A s B cos A B g A B

деп белгілеу енгізу арқылы 9.6. дербес шешімін s s 9.6.3 түрінде жазайық. Бұдан ішектің абсциссасы болатын әр бір нүктесі осы нүктенің орнына байланысты s амплитудасы және ішектің барлық нүктелеріне бірдей болатын жиілігі мен фазасы арқылы гармониялық тербеліс жасайтындығын көреміз. 9.6.3 гармониялық тербелістің заңдылығы арқылы тербелетін ішектің қозғалысын тұратын толқын деп атайды. Онда 9.6.4 қатарымен анықталатын шешім тұратын толқындардың ақырсыз қосындысын береді. жиілігін ішек тербелісінің өзіндік жиілігі деп атайды. Ішек тербелген кезде дыбыс шығарады. Дыбысты музыкалды және музыкалды емес деп бөлуге болады. Біріншісін нота ал екіншісін шу деп атайды. Дыбыс толқындарының табиғи қабылдағышы құлақ болып саналады. Құлақ - өте сезімтал мүше. Адамның дыбысты қабылдауы субьективті болып есептеледі. Дыбысты сипаттау үшін дыбыстың қаттылық биіктік және тембр тәрізді субьективтік сипаттамалары пайдаланылады. Биіктігін құлақ ажырата алмайтын ноталарды тембр деп атайды. Дыбыстың биіктігі тербелістің a жиілігіне байланысты. Тембрдің негізгі жилігі формуласымен анықталады. Мұндағы -ішектің керілуі ал -ішектің сызықты тығыздығы. Біздің жағдайымызда a. Өте үлкен жиілігіне еселі болатын тембрлерді обертон деп атайды. Жиілігі негізгі жилігіне еселі болатын обертондарды гармоникалар деп атайды. Негізгі тембрді бірінші гармоника деп жиілігі болатын тембрді екінші гармоника деп т.с.с атайды. Сондықтан 9.6.4 шешімі гармоника нөмірі өскен сайын амплитудасы нөлге ұмытылатын өйткені A B гармоникалардың қосындысынан тұрады. Осы себепті ішектің шығаратын дыбысына гармоникалардың әсері гармоникалардың нөмірі өскен сайын тез кеми бастайды және олардың барлық әсері дыбыстың тембрін құруға әкеледі. Ішектің абцисалары... болатын нүктелердегі ші гармониканың амплитудасы нөлге айналады өйткені бұл нүктелерде s. Ішектің мұндай нүктелерін гармониканың түйіндері деп атайды. Тербеліс кезінде түйіндер орнынан қозғалмайды. Ішектің абсциссалары s теңдеуінің шешімдерінен тұратын яғни 3... болатын нүктелердегі гармониканың амплитудасы ең үлкен мәнге ие болады. Ішектің мұндай нүктелерін гармониканың немесе тұрғын толқынның шоғырлары деп атайды. Егер тербеліп тұрған ішектің дәл ортасынан қыссақ онда осы нүктеде шоғырлар болатын барлық нөмірлері тақ гармоникалардың 3

амплитудасы нөлге айналады. Қысылған нүктеде түйіндері болатын нөмірлері жұп гармоникаларға қысудың әсері болмайды. Сондықтан қысу кезінде өте төмен жиілігі болатын нөмірлері жұп гармоникалар қалатын болады. Бұл жағдайда ішек секундына екі есе тербеліс жасайтын дыбыс шығарады. Мұндай тембрді өзгерту әдісі скрипкада гитарада және домбырада ойнаған кезде жиі қолданылады. Егер ішекті абсциссасы 3 болатын нүктеде қыссақ онда негізгі тембрдің биіктігі үш есеге өседі өйткені осы нүктеде түйіндері болатын гармоникалар ғана сақталынатын болады. Негізгі тембрдің сәйкесінше жиілігі мен периодын анықтайтын a S формулалары Мерсен эксперимент арқылы анықтаған ішек тербелісінің келесі заңдылықтарын түсіндіруге мүмкіндік береді:.тығыздығы мен керілуі бірдей ішек үшін ішектің тербелу периоды оның ұзындығына пропорционал болады.. Ішектің ұзындығы берілген кезде оның периоды керілуінің квадраттық түбіріне кері пропорционал өзгереді. 3. Ішектің ұзындығы мен керілуі берілген кезде оның периоды тығыздығының квадраттық түбіріне пропорционал өзгереді. 9.7. Ұштары қатты бекітілген еркін емес ішек тербелісіне қойылған бастапқы бірінші шекаралық есепті шешу. Ұштары қатты бекітілген еркін емес ішек тербелісіне қойылған бастапқы бірінші шекаралық есебін қарастырайық: теңдеуінің бастапқы шарттарын Q f R : 4 9.7. 9.7. 9.7.3 шекаралық шарттарын қанағаттандыратын C Q C Q класында жататын классикалық шешімін табу керек. 9.7.-9.7.3 есебінің шешімін түрінде іздестіреміз. Мұндағы функциясы 9.7.4

9.7.5 9.7.6 теңдеу біртекті бастапқы шарттар біртекті емес болатын есептің шешімі ал функциясы f 9.7.7 9.7.8 9.7.9 теңдеу біртекті емес бастапқы шарттар біртекті болатын есептің шешімі. Егер және функциялар табылған болса онда олардың қосындысы берілген 9.7.-9.7.3 есебінің шешімі болатындығын тікелей қою арқылы оп-оңай көрсетуге болады. Сондықтан бізге мен функцияларын тапқан жеткілікті. Бірінші 9.7.4-9.7.6 есебінің шешімін табайық. Бұл есепті 9.6 пунктінде қарастырған болатынбыз. Оның классикалық шешімі 3 C C және шарттары орындалған кезде 9.6.. теорема тұжырымы бойынша A cos B s s 9.7. формуласы арқылы табылады. Мұндағы A s d B s d... Енді 9.7.7-9.7.9 есебінің шешімін табуға кірісейік. Бұл есептің шешімін Дюамель белгісін пайдаланып табамыз. Ол үшін әуелі тағы бір қосымша 9.7. ; ; f 9.7. есебін қарастырамыз. Бұл есептің классикалық шешімін f C Q және f f шарттарын қанағаттандырған кезде 9.6.- теорема тұжырымы бойынша 5

B s s 9.7.3 формуласы арқылы табамыз. Мұндағы B f s d... формуласы арқылы табылады. Сондықтан Дюамель белгісі бойынша ; d 9.5.4 функциясы 9.7.7-9.7.9 есебінің классикалық шешімін анықтайтын болады. 9.7.3 формуланың оң жағында тұрған қатар Q облысында бірқалыпты жинақталатын болғандықтан оны аргументі бойынша мүшелеп интегралдауға болатындығын ескеріп 9.7.3 формуласын B s d s 9.7.5 түрінде жазуға болады. Сонымен біз келесі теорема тұжырымы орындалатындығын дәлелдедік. 9.7.-теорема. Егер және функциялары 9.6.- теорема шарттарын ал f C Q f f шарттарын қанағаттандыратын болса онда 9.6.-9.6.3 есебінің жалғыз классикалық шешімі бар болады және ол және функцияларының қосындысы арқылы табылады яғни мұндағы A cos B s s B s d s A d s d B s f B sd... 9.8. Ұштары жылжып отыратын еркін ішек тербелісіне қойылатын бастапқы-бірінші шекаралық есепті шешу. Есептің қойылымы: f Q 9.8. 6

теңдеуінің 9.8. бастапқы шарттарын 9.8.3 шекаралық шарттарын қанағаттандыратын C Q C Q класында жататын классикалық шешімін табу керек. Бұл есепке бірден Фурье айнымалыларға жіктеу тәсілін қолдануға болмайды өйткені есептің шекаралық шарттары біртекті емес. Сондықтан есептің шешімін W түрінде іздейміз. Мұнда W функцияны шекаралық шарттар біртекті нөлге айналатын болатындай яғни W W шарттарды қанағаттандыратындай таңдап аламыз. W функциясын әр уақытта айнымалысына байланысты квадраттық үшмүшелік ретінде яғни W A B C 9.8.4 түрінде құруға болады. Мұндағы A B және C функциялары белгісіз. Оларды 9.8.3 шекаралық шарттарды қанағаттандыратындай етіп таңдап аламыз: W W A B C A B C Осы екі теңдеуден бір белгісізді есептеуге ыңғайлы етіп мысалы C деп таңдап қалған A және B белгісіздерін A B формулалары арқылы табамыз. Сонымен 9.8.4 W Енді 9.8.4 теңдігін ескеріп 9.8.- 9.8.3 есебін жаңа белгісіз функциясына көшіреміз: ~ f f ~ 7

~ Сонымен белгісіз функциясына байланысты келесі есепке келеміз: ~ f Q 9.8.5 теңдеуінің ~ ~ 9.8.6 бастапқы шарттарын 9.8.7 шекаралық шарттарын қанағаттандыратын C Q C Q класында жататын классикалық шешімін табу керек. Егер ~ ~ және ~ f функцияларына 9.7.- теорема шарттарын қанағаттандыратын болса онда 9.6.5-9.6.7 есебінің жалғыз классикалық шешімі бар болады. Сонымен келесі теорема тұжырымы орынды болады. 9.8.-теорема. Егер 3 C C ; C ; f f f CQ және f f шарттары орындалатын болса онда 9.8.-9.8.3 есебінің жалғыз классикалық шешімі бар болады. 9.8.-ескерту. Жоғарыда пайдаланған тәсілді қолданып гиперболалық типті теңдеулерге қойылатын бастапқы-екінші шекаралық және аралас шекаралық есептердің шешімін оңай табуға болады. 9.8.-мысал. 8

s аралас есебінің шешімін табу керек. Шешуі. Есептің шешімін W түрінде іздейміз. Мұндағы W функциясын W W болатындай етіп таңдап аламыз ол W болады. Бұл жағдайда жаңа белгісіз функциясы үшін 9.8.8 s 9.8.9 9.8. теңдеу біртекті емес шекаралық шарттары біртекті болатын аралас шекаралық есеп аламыз. Бұл есептің шешімін түрінде іздейміз мұндағы функциясы 9.8. s 9.8. 9.8.3 теңдеу біртекті бастапқы шарттар біртекті емес аралас шекаралық есептің шешімі ал функциясы 9.8.4 9.8.5 9.8.6 теңдеу біртекті емес бастапқы және шекаралық шарттар біртекті аралас шекаралық есептің шешімі. 9.8.-9.8.3 есебінің шешімін Фурье әдісін пайдаланып табамыз: 9

3 X X X Мұның бірінші теңдеуін X X шартпен яғни Штурм-Лиувилль есебін шешсек онда... s X Олай болса s s cos s cos B A B A мұндағы B A белгісіздерін бастапқы шарттарды пайдаланып табамыз яғни 3 6 s s s s d A A s B... s 4 d B Сонымен cos s 6 cos s 3. 9.8.4-9.8.6 есебінің шешімін s B түрінде іздейміз 4 cos s s d a a болатынын ескеріп бұларды 9.8.4-9.8.6 есебіне апарып қойсақ 4 B B B B есебін аламыз. Оның шешімі

3 d B cos 6 6 cos 6 s 4 3 3 3 болады. Демек 3 3 s 6 s cos 6 ал берілген есептің шешімі былай өрнектеледі:. 9.9. Декарттық координата жүйесіндегі тік төртбұрышты мембрананың тербеліс теңдеуі үшін Фурьенің айнымалыларға жіктеу әдісі. Жазықтықта жан-жағынан бекітілген қабырғалары b және b болатын тік төртбұрышты мембрана бастапқы ауытқу мен бастапқы жылдамдық арқылы тербеліске түсетін болсын. Мембрананың тепе-теңдік жағдайынан ауытқуын сипаттайтын y функциясын табу үшін } ; { 3 b y b R y Q y а yy 9.9. тербеліс теңдеуінің y y y y 9.9. бастапқы шарттарын y b y 9.9.3 b 9.9.4 шекаралық шарттарды қанағаттандыратын Q C Q C класында жататын классикалық шешімін табу керек. -қадам. 9.9. теңдеуінің шешімін y және функцияларының көбейтіндісі түрінде іздестіреміз яғни y v y. y және функцияларын табу үшін y функциясының дербес туындыларын табып 9.9. теңдеуіне қойып айнымалыларын ажыратып функциясы үшін

теңдеуін ал vy функциясы үшін a 9.9.5 v vyy v 9.9.6 v y v b y 9.9.7 v v b 9.9.8 шекаралық есебін аламыз. қадам. 9.9.6 9.9.8 есебін Фурье әдісін қолданып шешеміз яғни шешімін y X Y y түрінде іздестіреміз. Айнымалыларды ажыратып X және Y y функцияларына байланысты X" X X X b 9.9.9 9.9. Y " Y Y Y b 9.9. 9.9. мұндағы шамалары теңдігімен байланысты тұрақтылар меншікті мән туралы бір өлшемді есептерді аламыз. 9.9.9-9.9. мен 9.9.- 9.9. есептерінің сәйкесінше шешімдері X s b... b Y s y b b... формулалары арқылы өрнектеледі. Сондықтан 9.9.6-9.9.8 есебінің... b b 3

33 меншікті мәндеріне... s s y b b C өзіндік функциялары сәйкес келеді. Мұндағы C - қандай да бір тұрақты көбейткіш. Осы көбейткішті функцияларының нормасы s s b b b b ydy b d b C ddy болатындай етіп таңдап аламыз. Бұдан b b C - жүйесінің ортогональді жүйе құрайтыны айқын. Сондықтан y b b b b s s 9.9.3 функциялары 9.9.6-9.9.8 тікбұрышты мембрананың ортонормаланған өзіндік функциялар жүйесін құрайды. 3 қадам. - параметрінің табылған b b мәндерін 9.9.5 теңдеуіне қойып оны шешеміз: " b b a b b a b b a a... s cos a B a A 4 қадам. -3 қадамдарының нәтижелерін пайдаланып 9.9. теңдеуінің дербес шешімдерін жазамыз:

A cos a B s a y y 9.9. теңдеуі біртекті және сызықты болғандықтан оның дербес шешімдерінің сызықтық комбинациясынан тұратын y A cos a B s a y 9.9.4 мұндағы функциясы 9.9.3 формуласымен анықталады функциясы да оның шешімі болады және ол 9.9.3-9.9.4 шекаралық шарттарын қанағаттандырады. 5 қадам. Бастапқы шарттарды пайдаланып 9.9.4 теңдігіндегі A және B коэффициенттерін анықтаймыз. Ол үшін ең бірінші 9.9.4 қатарын формальді аргументі бойынша дифференциалдаймыз: A a B cos a a s y 9.9.5 9.9.4 және 9.9.5 қатарларындағы -нің орнына қойып бастапқы шарттарды ескеріп A y y 9.9.6 ab y y 9.9.7 теңдіктерін аламыз. Фурье қатарлар теориясынан белгілі 9.9.6 9.9.7 қатарлары берілген y және y функцияларын 9.9.6-9.9.8 есебінің y өзіндік функциялары арқылы Фурье қатарына жіктеліп тұрғанын көрсетеді онда оған сәйкес келетін Фурье қатарының коэффициенттерін A b b y ddy b b b b y y ddy ys s y B ys s ddy a b b b b b b b b формулалары арқылы табамыз. Осы коэффициенттерді нақты бастапқы y және y функциялары үшін есептеп және олардың табылған мәндерін 34

9.9.4 теңдігіне апарып қойып берілген 9.9.-9.9.4 есебінің шешімін табамыз. Фурье еселі қатарлар теориясын қолданып 9.9.4 қатарының жинақталатындығын және оны мүшелеп дифференциалдауға болатындығын негіздеуге болады. 9.. Жазықтықтағы берілген толқындық теңдеулер үшін қойылатын бастапқы және шекаралық есептің шешімін табу S R деп центрі нүктесінде орналасқан радиусы санына тең болатын ашық дөңгелекті белгілейік. Жазықтықта берілген y толқындық теңдеуін цилиндрлік координаталар арқылы өрнектейік. теңдеуінің бастапқы шарттарын 9.. 9.. 9..3 шекаралық шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебін қарастырамыз. -қадам. 9.. теңдеуінің шешімін 9..4 теңдігі түрінде іздестіреміз. мен белгісіз функцияларын табу үшін функциясының дербес туындыларын тауып 9.. теңдеуіне қоямыз: // Сосын соңғы теңдіктегі айнымаларды ажыратып 35

// теңдігіне келеміз. Бұдан // а 9..5 ә 9..6 түрінде анықталатын дифференциалдық теңдеулерге келеміз. 9..3 шекаралық шартын пайдаланып 9..7 шартын аламыз. -қадам. 9..6 теңдеуін Гельмгольц теңдеуі деп атайды. Бұл теңдеудің кезде ғана нөлге тең емес шешімдері болады. Гельмгольц теңдеуінің шешімі түсінікті қарапайым болу үшін және функциялары тек аргументіне байланысты функциялар болсын деп ұйғарайық. Сосын осы теңдеудің және аргументіне байланысты шешімін іздестіреміз. Онда 9..6 және 9..7 есебі / / 9..8 9..9 түрінде анықталады. 9..8. теңдеуі Бессель теңдеуін анықтайды және болған кезде 4..8. теңдеуі 9..8. теңдеумен ал 9..8.-9..9 шекаралық есебі 4..8-4..9 есебімен беттеседі. Алғашқы есептің шешімі дөңгелектің центрінде шенелген функция болғандықтан 9..8.-9..9 есебінің шешімі нөлге ұмтылған кезде шенелген болады. 9..8-9..9 есебінің меншікті мәндері мен өзіндік функцияларын 4-тараудың -ші пунктінде тапқан болатынбыз. Олар және...... J 36

формулалары арқылы табылады. Мұндағы нөлінші ретті Бессель функциясының нөлдері. 3-қадам. 9..5 жай дифференциалдық теңдеуінің болған кезде оның шешімі A cos B s формуласы арқылы табылады. 4-қадам. 9.. теңдеуінің дербес шешімдерін J A cos B s формуласы арқылы жазып олардың сызықтық комбинациясын құрамыз: J A cos B s 5-қадам. 9.. бастапқы шартты қанағаттандыратын коэффициенттерін табамыз. Бірінші бастапқы шарттан A және B A J 9.. теңдігін аламыз. 9.. теңдігі функциясының J Бессель функциялары арқылы Фурье қатарына жіктеліп тұрғанын білдіреді. Сондықтан A J J d болу керек. Екінші бастапқы шартты пайдалана отырып J A s B cos B J теңдігін аламыз. Бұдан B J J d 37

Бұл жерде айта кететін жағдай J Бессель функциясының нормасы арнайы функцияларға арналған кітаптарда кездеседі. Дербес жағдайда J J. Табылған A және B коэффициенттерінің мәндерін 9.5. теңдігіне апарып қойып берілген 9.5.-9.5.3 шекаралық есебінің шешіміне келеміз. 9.. Дөңгелекте берілген эллиптикалық теңдеу үшін қойылатын бірінші шекаралық есептің шешімін табу І. Ішкі Дирихле есебі: теңдеуінің 9.. g 9.. шекаралық шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебін қарастырайық. -қадам. Лаплас теңдеуін - полярлық координаталар арқылы өрнектейміз: 9..3 теңдеудің шешімін түрінде іздестіреміз. белгісіз функцияларын табу үшін функциясының дербес туындыларын тауып 9..3 теңдеуіне апарып қоямыз: ' " " " ' " Теңдеудегі айнымалыларды ажыратамыз: " ' " Бұдан а " ' ; ә ". қадам. ә жай дифференциалдық теңдеуді шешеміз. Айта кететін жай айнымалысын -ге дейін өсірген кезде жазықтықта координаталары тең болатын нүктеге қайтып келеміз. Демек функциясы периодты болу 38

керек =. Сондықтан -параметрінің мәні нөлден кіші болуы мүмкін емес өйткені бұл жағдайда ә жай дифференциалдық теңдеудің периодты емес шешімі болады. Енді болған жағдайды қарастырайық. Онда ә теңдеуінің жалпы шешімі: с cos c s теңдігі арқылы жазылады. функциясы периодты болу үшін с cos c s с cos c s теңдігі орындалу керек. Егер де шамасының мәні бүтін болса бұл теңдік орындалады яғни... болған кезде. Сондықтан ә жай дифференциалдық теңдеудің шешімі с 'cos c s 9..4 түрінде анықталады. 3 қадам. -параметрінің табылған мәндерін а теңдеуіне апарып қоямыз: " ' 9..5 9..5 теңдеуін Эйлер теңдеуі деп атайды. Бұл теңдеуді шешу үшін екі жағдайды қарастырамыз.. болсын. Эйлер теңдеуінің дербес шешімін түрінде іздестіреміз. -белгісізін табу үшін осы функцияның туындыларын тауып 9..5 теңдеуіне апарып қоямыз: 39 Олай болса және функциялары 9..5 теңдеуінің дербес шешімдерін анықтайды. Бұл шешімдер сызықты тәуелсіз шешімдер болғандықтан олардың сызықтық комбинациясы яғни A B функциясы Эйлер теңдеуінің жалпы шешімін анықтайды.. болған кезде 9..5 теңдеуі ' ' " ' " ' теңдеуіне келеді. Бұл теңдеудің жалпы шешімі A B

теңдігі арқылы анықталады. Алғашқы берілген есептің шешімі дөңгелекте шенелген болғандықтан функциялары кезде шенелген болуы қажет. Сондықтан Эйлер теңдеуінің кезде шенелген болатын A және A дербес шешімдерін алуымыз керек. Сонымен Эйлер теңдеуінің дербес шешімдерін A... формуласы арқылы жазуға болады. 4 қадам. Лаплас теңдеуінің дербес шешімдерін жазамыз a cos b s мұндағы a Ac b Ac - кез келген тұрақтылар. Лаплас теңдеуі біртекті сызықты болғандықтан оның дербес шешімдерінің сызықты комбинациясынан құралған a cos b s 9..6 функциясы да оның шешімі болып табылады. 5 қадам. 9..-шекаралық шартын пайдаланып a және коэффициенттерін табайық: b a cos b s a cos b s g Алынған теңдік кесіндісінде g функциясы тригонометриялық Фурье қатарына жіктелу керек екендігін білдіреді. Бұл жағдайда Фурье қатарының коэффициенттері a g d a g cos d b g s d... формулалары арқылы анықталады. Осылай табылған коэффициенттерді 9..6 қатарына апарып қойып алғашқы берілген есептің шешімін аламыз яғни g d g cos d cos g s d s cos cos s s g d 4

4 cos d g 9..7 Алынған шешімді ықшамдап жазу үшін интегралдың астындағы өрнекті Эйлер формуласын пайдаланып түрлендірейік: cos 9..8 9..8 өрнегіндегі мен қатарларының мүшелері кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелері болғандықтан кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу формуласын пайдаланып жоғарыда көрсетілген қатарлардың қосындысын табамыз: Осы табылған қатарлардың қосындысын 9..8 өрнекке апарып қойып cos 9..9 өрнегін аламыз. 9..9 өрнегін 9..7 формуласына апарып қойып cos d g 9... формуласын аламыз. 9.. формуласын дөңгелек үшін Пуассон интегралдық формуласы деп атайды. Сонымен алғашқы дөңгелекте берілген Лаплас теңдеуінің шешімі 9.. Пуассон формуласымен табылатын болады. ІІ. Сыртқы Дирихле есебі: 9..

теңдеуінің g 9.. шекаралық шартты және кезде шенелген болатын шешімін табу есебін қарастырайық. - қадам сыртқы Дирихле есебі үшін де өзгермейді. Ал үшінші қадамда Эйлер теңдеуінің дербес шешімдерін таңдаған кезде A және B функцияларын алып тастау керек өйткені олар кезде шенелмеген. Сондықтан Эйлер теңдеуінің дербес шешімдерінің ішінен кезде шенелген болатын B... шешімдерін алу керек. Демек Лаплас теңдеуінің дербес шешімдері a cos b s 9..3 формуласы арқылы беріледі. Мұндағы a Bc b Bc - кез келген тұрақтылар. Сонымен қорыта келгенде жоғарыдағы сыртқы Дирихле есебінің сыртқы облысы үшін шешімі a cos b s 9..4 мұндағы белгісіз a b еселіктер шекараның 9.. шарт орындалатын жағдайдан анықталады: a g d a g cos d b g s d 9..5 Бұл 9..5 еселіктерді 9..4 есептің шешіміне қойып түрлендіргеннен соң ол шешім мынандай түрде жазылады: g d cos Есептің шешімінің бұл формадағы түрін сыртқы дөңгелек үшін Пуассон интегралы деп атайды. Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар.фурье әдісінің негізгі идеясы. 4

.Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін бастапқы бірінші шекаралық есептің қойылуы және оның физикалық мағынасы. 3. Толқындық теңдеуі үшін бастапқы бірінші шекаралық есептің қойылуы және физикалық мағынасы. 4. Келісім шарттары не үшін керек? Жылуөткізгіштік және толқындық теңдеуі үшін қойылатын бастапқы екінші шекаралық есептердегі келісім шарттарын жазыңыздар. 5.Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын бастапқы екінші шекаралық есептің шешімін табу кезінде қандай қосымша есептер қарастыралады? 6. Біртекті емес толқындық теңдеуі үшін қойылатын бастапқы үшінші шекаралық есептің классикалық шешімі қандай класка жатуы керек? 7. Толқындық теңдеуі үшін қойылатын бастапқы бірінші шекаралық есептің формальді шешімі оның классикалық шешімі болатындығын дәлелдеу кезінде пайдаланатын теоремалар. 8. Толқындық теңдеуін цилиндрлік координаталар арқылы өрнектеу керек. 9.Лаплас теңдеуі үшін ішкі және сыртқы Дирихле есептерінің қойылуы.. Лаплас теңдеуі үшін қойылатын ішкі және сыртқы Дирихле есептерін Фурье әдісімен шешу кезінде Эйлер теңдеуінің дербес шешімдерін қалай таңдап аламыз?. Ішкі және сыртқы Дирихле есептерінің шешімдерін табуға пайдаланатын Пуассон интегралдық формулаларын келтіріңіздер.. Сақина және дөңгелек сектор үшін Дирихле есебінің қойылуы. 3.Фурье әдісін пайдаланып төменде келтірілген есептердің шешімдерін табыңыздар: а ә б y 3s s y y y 5s 3s 4y y в г cos cos 3 ғ 3 43

д 4 y y 4 y 9 9 y е 3 3 5 4. R дөңгелек секторда R шарттарды қанағаттандыратын гармониялық функцияны табу керек. 5. Бірлік дөңгелектің ішінде гармониялық болатын және f шартын қанағаттандыратын функцияны табу керек. Мұндағы 3 4 6 6 а f cos ; ә f s ; б f cos ; в f cos s 6. Центрі бас нүктеде орналасқан радиусы R санына тең болатын дөңгелектің ішінде гармониялық болатын және функцияны табу керек. Мұндағы R f шартын қанағаттандыратын 3 а f Acos ; ә f s ; б f Acos ; в As f. 44

-ТАРАУ Интегралдық түрлендірулер әдісі Шешімі элементарлық функциялар арқылы өрнектелетін дифференциалдық теңдеулер класы көп емес. Алдыңғы тарауда айнымалыларды ажырату әдісін Фурье әдісін қолданып дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер шешімін қатарлардың қосындысы түрінде құруға тырысқан болатынбыз. Кейбір жағдайларда қарастырылып отырған дифференциалдық теңдеулердің шешімін белгілі функцияларды қамтитын интеграл түрінде қарастырған өте ыңғайлы... Лаплас Фурье және Меллин түрлендірулері. аралығында анықталған нақты немесе комплекс мәнді f функциясы келесі:. аралығында үзіліссіз немесе осы аралықта саны ақырлы бірінші ретті үзіліс нүктелері бар;. M және тұрақтылары табылып аралығындағы барлық -лар үшін f M шарттарын қанағаттандыратын болсын. f функциясы және шарттарын қанағаттандырған кезде R теңсіздігін қанағаттандыратын барлық y комплекс айнымалысы үшін F f d.. интегралы бар болады және ол R жарты жазықтығында аналитикалық функцияны анықтайды... формуласымен анықталатын F функциясын f функциясының бейнесі немесе Лаплас түрлендіруі деп ал f функциясының өзін түпнұсқа функция деп атайды. Практикада көп жағдайда f түпнұсқа функцияны F бейнесі арқылы өрнектеуге тура келеді. Сондықтан дәлелдеусіз осыған байланысты тұжырымды келтіріп кетейік... теорема. Егер F функциясы келесі: R жарты жазықтығында аналитикалық функция; кез келген R a теңсіздігін қанағаттандыратын a үшін ag байланысты бірқалыпты F ; 45

3 интеграл F a y dy абсолютті жинақталады; шарттарын қанағаттандыратын болса онда.. түрлендіруіне кері түрлендіру бар болады және ол f ay F a y dy.. формуласы арқылы анықталады. Мұндағы интегралды бас мән мағынасында түсіну керек. g a f Gy Fa y болсын. Осы белгілеулерді пайдаланып.. және.. формулаларын сәйкесінше G y y g d..3 g y G ydy..4 түрінде жазуға болады...3 формуласымен анықталған G y функциясын g функциясының Фурье түрлендіруі деп атайды. Егер аралығында g болса онда..3 теңдіктің оң жағындағы интегралдың төменгі шегі ретінде ті алуға болады. g функциясы аралығында жатқан барлық үшін анықталып бірақ аралығында нөлге тең болуы міндетті болмаған жағдайда бұл функцияның Фурье түрлендіру ретінде G y y g d..5 функциясын алады...5 Фурье түрлендіруі бар болуы үшін: 46

а g функциясының аралығында саны арқылы экстремум нүктелері болуы; ә g функциясы үзіліссіз немесе осы аралықта саны арқылы бірінші ретті үзіліс нүктелері болуы; б интеграл g d абсолютті жинақталуы жеткілікті. y интегралдау айнымалысын y -ке алмастыру арқылы..4 формуламен анықталатын түрлендіруді Фурьенің тура түрлендіруі ретінде алуға болатындығын көреміз. Сондықтан..5 формуласымен анықталатын түрлендіруді оған кері түрлендіру ретінде қабылдаймыз. F f d..6 интегралын аралығында берілген f функциясының Меллин түрлендіруі деп атайды. Мұндағы - комплекс айнымалы функциясы ретінде og бірмәнді функциясы алынған. Мұндағы og - функцияның бас тармағы. a болған кезде алмастыруы арқылы..6 формуласын a түрінде жазуға болады. f F a a f d..7 функциясы Фурье түрлендіруі бар болатындай шарттарды қанағаттандырады деп ұйғарып..7 формуладан a f Fa d..8 формуласына келеміз. Бұдан қайтадан айнымалысына көшіп f a ay Fa d Fa y dy..9 47

формуласын аламыз. Сондықтан..6 түрлендіруіне кері түрлендіру..9 формуласы арқылы беріледі...9 формуласын кейбір жағдайларда f a a F d.. түрінде жазады. Лаплас Фурье Меллин интегралдық түрлендірулер теориясы «Амалдық қисап» деп аталатын қолданбалы математиканың бір бөлімін құрайды... Дербес туындылы дифференциалдық теңдеу үшін қойылатын есептерге интегралдық түрлендірулерді қолдану. теңдеуінің a b c d c.. бастапқы шарттарды және.. f f..3 шекаралық шарттарын қанағаттандыратын C Q C Q класында жататын классикалық шешімін табу керек... теңдеуінің классикалық шешімдер класы және комплекс параметрі v d..4 F d F d..5 интегралдары бар болатындай және dv d d..6 48

d v d d..7 d d v..8 d v..9 амалдары орындалатындай таңдап алынған деп ұйғарайық. Онда..4-..9 теңдіктерін ескеріп.. теңдеуінің.. бастапқы шарттардың және..3 шекаралық шарттардың екі жағын көбейтіп содан кейін аргументі бойынша аралығында интегралдау арқылы av d b v b b d cv F F v v.... екінші ретті жай дифференциалдық теңдеуіне қойылған шекаралық есепке келеміз. Сонымен....3 есебінің шешімін табу Лаплас түрлендіру көмегімен.. -.. жай дифференциалдық теңдеуге қойылған шекаралық есептің шешімін табуға әкелінді...-.. есебінің шешімінің бар болуы әр уақытта..4 түрлендіруіне кері түрлендірудің барлығын қамтамасыз етпеуі мүмкін. Егер..-.. есебінің жалғыз v шешімі бар болып және..4 түрлендіруіне кері ay v a y dy.. түрлендіруі бар болса онда..-..3 есебі бірден көп шешімге ие болуы мүмкін емес. Егер.. формуласымен анықталатын функциясының екінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болса онда ол..-..3 есебінің классикалық шешімін анықтайтын болады. функциясын.. формуласы арқылы табу өте көп есептеуді қажет ететін болғандықтан физикада нақты дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерге қойылатын есептерді шығару кезінде көбінесе Фурье түрлендіруін қолданады. 49

.3. Ішек тербелісіне қойылатын Коши есебінің шешімін Фурье түрлендіруі арқылы құру. Q :.3. теңдеуінің бастапқы шарттарын қанағаттандыратын C Q C Q.3. класында жататын классикалық шешімін табу керек. Мұндағы және өте тегіс берілген функциялар. және оның екінші ретке дейінгі дербес туындылары үзіліссіз және кезде нөлге ұмтылады деп ұйғарайық. Бұл жағдайда v d.3.3 Фурье түрлендіруінің мағнасы бар болады және келесі амалдар: d d v.3.4 v d d.3.5 dv d d d.3.6 және сәйкесінше заңды түрде орындалатын болады. Мұндағы және функцияларының Фурье түрлендірулері..3.4.3.6 теңдіктерін ескеріп.3. теңдеуінің екі жағын -ке көбейтіп аргументі бойынша аралығында интегралдау арқылы v v.3.7 5

v v.3.8 жай дифференциалдық теңдеуге қойылған Коши есебіне келеміз..3.7 жай дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін c c v.3.9 түрінде аламыз. Мұндағы c және c параметріне байланысты тұрақтылар..3.8 пайдаланып.3.9 теңдігінен жүйені шығарып аламыз: c c. Табылған c және c тұрақтыларын.3.9 апарып қойып.3.7-.3.8 жай дифференциалдық теңдеуге қойылған Коши есебінің шешімін табамыз: v.3..3.3- Фурье түрлендіруіне кері Фурье түрлендіруін пайдаланып v d d d.3. теңдігін аламыз..3.5-.3.6 Фурье түрлендіруіне сәйкесінше кері Фурье түрлендірулері d d болатындығын ескеріп.3. теңдігінен 5

d d d d d d бұрыннан белгілі Д'аламбер формуласын аламыз..4.функциялар үйірткісі ұйыспасы.4. анықтама f d f d.4. интегралын аралығында берілген f және функцияларының үйірткісі деп атайды және оны f деп белгілейді..4. теорема. Егер F f d тура Фурье түрлендірулері және f F d d d.4..4.3 кері Фурье түрлендірулері бар болса онда аралығында берілген f және функцияларының үйірткісін түрінде жазуға болады. d f g F.4.4 5