INF3170 { Logikk. Forelesning 5: Automatisk bevissk. Arild Waaler. 29. oktober Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

INF3170 { Logikk Forelesning 5: Automatisk bevissk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 29. oktober 2013

Dagens plan 1 Automatisk bevissk 2 Automatisk bevissk II 3 Kompletthet av fri-variabel LK 4 Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 2 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon Automatisk bevissk i frsteordens logikk Sekventkalkylen LK tilbyr et sett med regler for a bygge opp utledninger, og en egenskap som skiller bevis fra utledninger. Sunnhet sikrer oss at enhver bevisbar sekvent er gyldig. Kompletthet sikrer oss at det nnes et bevis for enhver gyldig sekvent. Kalkylen sier imidlertid ingenting om hvordan man nner bevis for gyldige sekventer! Kompletthetsbeviset for LK gir hint om hvordan vi kan lage en skealgoritme. La oss forske! Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 3 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon Noen begreper En utledning er lukket hvis alle grenene er lukket. En utledning er utvidbar hvis det er mulig a anvende en regel pa en formel i en lvsekvent i utledningen. En skealgoritme er komplett hvis den nner et bevis for enhver gyldig sekvent. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 4 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon Algoritme: gyldig?( ` ) := ` ; while ( ikke er lukket) do if ( ikke er utvidbar) then return \ikke gyldig"; else end if ' := ikke-atomr formel i lvsekvent i ; utvid ved a anvende riktig LK-regel pa '; end while return \gyldig"; Algoritmen er komplett hvis utvelgelsen av ' er rettferdig. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 5 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon Eektivitet Eektiviteten til algoritmen avhenger av tre ting: 1 Hvor eektivt er det a sjekke om utledningen er lukket? 2 Strategi for valg av utvidelse av utledningen. 3 Hvor eektiv er selve utvidelsen, dvs. regelanvendelsen? I frste runde ser vi pa punkt 1 og 3. Senere introduseres koblingskalkylen, som gir oppgav til en strategi for valg av utvidelser av utledningene. La oss starte med punkt 3 { eektiviteten til regelanvendelsene. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 6 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon Hvor kostbare er regelanvendelsene? - og -reglene henter ut delformler fra en sammensatt formel: ; A ; B ` ; A ^ B ` L^ ` A; ` B ; R^ ` A ^ B ; All ndvendig informasjon tilgjengelig i hovedformelen: kan utfres i konstant tid. Riktignok far vi en del formelkopiering i -regelen, men dette kan optimaliseres med f.eks. pekere i en objektorientert implementasjon. -regelen setter inn en ny parameter for den bundne variabelen: ; '[a=x] ` L9 ; 9x ' ` Parametrene kan nummereres: utfres i konstant tid. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 7 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon -reglene La oss se pa -reglene: ; 8x '; '[t=x] ` ` ; 9x '; '[t=x] ; 8x ' ` L8 ` R9 ; 9x ' Vi kan sette inn en vilkarlig lukket term t for x. For a fa en komplett algoritme, ma vi (fr eller senere) instansiere hver -formel med alle termene i Herbranduniverset. Vi kan nummerere termene i Herbranduniverset og instansiere -formlene i denne rekkeflgen. Hvilken rekkeflge er gunstig med tanke pa a nne bevis sa tidlig som mulig? 8xPx ; Pa; : : : ; Pfa ` Pfa; Qga. 8xPx ; Pa ` Pfa; Qga 8xPx ` Pfa; Qga a 1 ; fa; ga; a; fga 2 3 4 5 ; : : : ; fa; : : : i Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 8 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon Utsette valg av -term En bedre ide: Utsette valg av term i -reglene til et senere tidspunkt. La -reglene sette inn frie variable: a=u 8xPx ; Pu ` Pa 8xPx ` Pa b=v 8xPx ; Pv ` Pb 8xPx ` Pb 8xPx ` Pa ^ Pb Substituere termer for variable slik at lvnodene blir aksiomer. Hvilke substitusjoner vi kan anvende pa lvnoder med frie variable slik at de blir aksiomer? Problemet kan lses med uniseringsalgoritmer. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 9 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon -reglene Nar vi setter inn variable i -reglene far vi imidlertid problemer med -reglene. Hvordan sikre at parameteren vi setter inn er ny nar vi enna ikke har satt inn termer for de frie variablene? b=u; a=v Lua ` Lbv 9yLuy ` 8yLyv 8x9yLxy ` 9x8yLyx Vi lar -reglene introdusere en Skolemterm: f (u 1 ; : : : ; u n ); kan ikke lukkes Luf (u) ` Lg(v)v 9yLuy ` 8yLyv 8x9yLxy ` 9x8yLyx der f er et nytt funksjonssymbol, kalt en Skolemfunksjon, og u 1 ; : : : ; u n er alle variablene som forekommer fritt i -formelen. Pa den maten sikrer vi at termen introdusert av -regelen er ny uansett hva slags verdi vi velger a instansiere de frie variablene med. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 10 / 95

Automatisk bevissk Introduksjon Oppsummering Vi skal introdusere en fri-variabel sekventkalkyle og vise at den er sunn og komplett. -reglene introduserer nye frie variable og -reglene introduserer Skolemtermer. Ved hjelp av uniseringsalgoritmer nner vi substitusjoner som lukker utledningen. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 11 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner 1 Automatisk bevissk Introduksjon Substitusjoner Unisering 2 Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Semantikk Sunnhet 3 Kompletthet av fri-variabel LK 4 Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 12 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner Substitusjoner Vi har tidligere denert '[s=x] som formelen vi far ved a erstatte alle frie forekomster av x i ' med s. I fri-variabel sekventkalkyle har vi behov for a erstatte ere forskjellige variable med termer samtidig. Vi skal na denere en bestemt type funksjoner { substitusjoner { som generaliserer en-variabel substitusjon til ere variable. Notasjon: Nar vi anvender en substitusjon pa en formel ' eller en term t skriver vi ' eller t istedenfor (')/(t). Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 13 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner Denisjon (Substitusjon) En substitusjon er en funksjon fra mengden variable V til mengden av termer T i et gitt frsteordens sprak. Sttten (support) eller stttemengden (support set) til er mengden av variable x slik at x 6= x. er grunn dersom x er en lukket term for alle variable x i stttemengden til. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 14 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner Notasjon En substitusjon med endelig sttte fx 1 ; : : : ; x n g slik at x 1 = t 1 ; : : : ; x n = t n skriver vi ofte slik: = ft 1 =x 1 ; : : : ; t n =x n g Substitusjonen slik at x = x for alle variable x kalles identitetssubstitusjonen. Identitetssubstitusjonen kan skrives fg siden den har tom stttemengde. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 15 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner = fa=x ; fa=yg er en substitusjon slik at x = a y = fa z = z for alle andre variable er en grunn substitusjon = fa=y ; fx =zg er en substitusjon slik at y = a z = fx v = v for alle andre variable er ikke en grunn substitusjon Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 16 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner Substitusjon pa termer Vi denerer substitusjon pa termer som tidligere. Denisjon (Substitusjon pa termer) Vi denerer resultatet av a anvende en substitusjon pa vilkarlige termer rekursivt ved: c = c for et konstantsymbol c. f (t 1 ; : : : ; t n ) = f (t 1 ; : : : ; t n ) for en funksjonsterm f (t 1 ; : : : ; t n ). La = fgy =x ; y =zg. f (x ; a) = f (gy ; a) h(y ; z) = h(y ; y) x = gy La = fy =x ; x =yg. x = y f (x ; y) = f (y ; x) Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 17 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner Substitusjon pa formler Som tidligere, nsker vi at substitusjoner ikke skal endre bundne variable. Eksempel: for = fa=x ; b=yg sa vil 8x(Px! Qy) = 8xPx! Qb. Vi begrenser substitusjonen pa den bundne variabelen: Denisjon (Begrenset substitusjon) La vre en substitusjon. Substitusjonen begrenset pa x, skrevet x, er denert slik at ( y hvis y = x y x = y ellers for enhver variabel y. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 18 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner Denisjon (Substitusjon pa formler) ' er denert rekursivt ved: 1 R(t 1 ; : : : ; t n ) = R(t 1 ; : : : ; t n ) 2 : = :( ) 3 (' 1 ' 2 ) = (' 1 ' 2 ), hvor 2 f^; _;!g 4 (Qx ) = Qx( x ), hvor Q 2 f8; 9g Vi antar, som tidligere, at ingen variable blir bundet som resultat av a anvende en substitusjon. Dette kan vi unnga ved a omdpe bundne variable. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 19 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner La = ffx =x ; a=y ; y =zg x = f fx =x ; a=y ; y =zg y = ffx =x ; a=y ; y =zg z = ffx =x ; a=y ; y =z g P(x ; y) = P(fx ; a) 8xP(x ; y) = 8x(P(x ; y) x ) = 8xP(x ; a) 9z(Px! Qz) = 9z((Px! Qz) z ) = 9z(Pfx! Qz) Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 20 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner Komposisjon av substitusjoner La og vre substitusjoner. Anta at vi frst anvender og sa pa en formel ': ('). Vi har av og til bruk for a snakke om den substitusjonen som tilsvarer a anvende etterfulgt av. Denisjon (Komposisjon av substitusjoner) La og vre substitusjoner. Komposisjonen av og er en substitusjon skrevet slik at x() = (x ) for hver variabel x. Oppgave: vis at '() = (') for alle formler ' og alle substitusjoner og. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 21 / 95

Automatisk bevissk Substitusjoner Komposisjon av substitusjoner med endelig sttte Pastand La 1 = fs 1 =x 1 ; : : : ; s n =x n g og 2 = ft 1 =y 1 ; : : : ; t k =y k g. Da er 1 2 = f(s 1 2 )=x 1 ; : : : ; (s n 2 )=x n ; (z 1 2 )=z 1 ; : : : ; (z m 2 )=z m g der z 1 ; : : : ; z m er de variablene blant y 1 ; : : : ; y k som ikke er blant x 1 ; : : : ; x n. La = fz =x ; a=yg og = fb=y ; a=zg. Da er = f(z )=x ; (a)=y ; (z )=zg = fa=x ; a=y ; a=zg. La = fy =xg og = fx =yg. Da er = f(y )=x ; (y )=yg = fx =x ; x =yg = fx =yg. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 22 / 95

Automatisk bevissk Unisering 1 Automatisk bevissk Introduksjon Substitusjoner Unisering 2 Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Semantikk Sunnhet 3 Kompletthet av fri-variabel LK 4 Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 23 / 95

Automatisk bevissk Unisering Unisering I fri-variabel sekventkalkyle kan vi ha lvsekventer pa formen ; P(s 1 ; : : : ; s n ) ` P(t 1 ; : : : ; t n ); der hver s i og t i er termer som kan inneholde variable. For a lukke lvsekventen ma vi nne en substitusjon slik at s i = t i for hver i. Det er ikke sikkert at noen slik substitusjon nnes! Uniseringsproblemet La s og t vre termer. Finn alle substitusjoner som gjr s og t syntaktisk like, dvs. alle slik at s = t. En substitusjon som gjr termene s og t syntaktisk like, kalles en unikator for s og t. To termer er uniserbare hvis de har en unikator. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 24 / 95

Automatisk bevissk Unisering Er f (x) og f (a) uniserbare? Ja. Vi ser at = fa=xg er en unikator: f (x) = f (a) Er f (x ; b) og f (a; y ) uniserbare? Kan vre lettere a se hvis vi skriver termene som trr: x b a y f f Symbolene i posisjon 0 (rotposisjonen) er like. Symbolene i venstre barn er ulike, men kan uniseres med fa=xg. Symbolene i hyre barn er ulike, men kan uniseres med fb=yg. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 25 / 95

Automatisk bevissk Unisering Er f (a; b) og g (a; b) uniserbare? a b a b f g Symbolene i posisjon 0 er ulike, og kan ikke uniseres! Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 26 / 95

Automatisk bevissk Unisering Er f (x ; x) og f (a; b) uniserbare? x x a b f f Symbolene i posisjon 0 er like. Symbolene i venstre barn er ulike, men kan uniseres med fa=xg. Vi ma anvende fa=xg pa x i bade venstre og hyre barn. Symbolene i hyre barn er na ulike, og kan ikke uniseres! Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 27 / 95

Automatisk bevissk Unisering Er x og f (x) uniserbare? x x f Symbolene i posisjon 0 er ulike, men kan uniseres med ff (x)=xg. Vi ma samtidig anvende ff (x)=xg pa x i hyre tre. Pa posisjon 1 ser vi na at symbolene x og f er ulike. Hvis vi uniserer med ff (x)=xg, ma vi igjen erstatte x i hyre tre. Sann kan vi holde pa en stund... Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 28 / 95

Automatisk bevissk Unisering Generelt har vi: To ulike konstantsymboler eller funksjonssymboler er ikke uniserbare. En variabel x er ikke uniserbar med en term som inneholder x. Vi skal lage en uniseringsalgoritme, som nner alle unikatorer for to termer. Problem: To termer har potensielt uendelig mange unikatorer! Vi kan ikke returnere alle... Lsning: Finne en representant for mengden av unikatorer slik at alle andre unikatorer kan konstrueres fra. En slik unikator kalles en mest generell unikator. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 29 / 95

Automatisk bevissk Unisering Denisjon (Mer generell substitusjon) La 1 og 2 vre substitusjoner. Vi sier at 2 er mer generell enn 1 hvis det nnes en substitusjon slik at 1 = 2. Er ff (y )=xg mer generell enn ff (a)=xg? Ja, siden ff (a)=xg = ff (y)=xgfa=yg. Er ff (a)=xg mer generell enn ff (y )=xg? Nei, for det nnes ingen substitusjon slik at ff (y)=xg = ff (a)=xg. Er ff (y )=xg mer generell enn ff (y )=xg? Ja, siden ff (y)=x g = ff (y)=x g. (Husk: er identitetssubstitusjonen.) Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 30 / 95

Automatisk bevissk Unisering Denisjon (Unikator) La s og t vre termer. En substitusjon er en unikator for s og t hvis s = t. en mest generell unikator (mgu) for s og t hvis den er en unikator for s og t, og den er mer generell enn alle andre unikatorer for s og t. Vi sier at s og t er uniserbare hvis de har en unikator. La s = f (x) og t = f (y ). 1 = fa=x ; a=yg er en unikator for s og t 2 = fy =xg og 3 = fx =yg er ogsa unikatorer for s og t 2 og 3 er de mest generelle unikatorene for s og t Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 31 / 95

Automatisk bevissk Unisering Variabelomdping Fra det foregaende eksempelet ser vi at to termer kan ha ere forskjellige mest generelle unikatorer. Disse mgu-ene er imidlertid like opp til omdping av variable. Denisjon (Variabelomdping) En substitusjon er en variabelomdping hvis 1 x er en variabel for alle x 2 V, og 2 x 6= y for alle x ; y 2 V slik at x 6= y. Er disse substitusjonene variabelomdpinger? 1 = fz =x ; x =y ; y =zg Ja. 2 = fz =x ; y =zg Nei, siden y 2 = z 2. 3 = fz =x ; x =y ; y =z ; a=ug Nei, siden u 3 ikke er en variabel. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 32 / 95

Automatisk bevissk Unisering Unikhet \opp til omdping av variable" Pastand Hvis 1 og 2 er mest generelle unikatorer for to termer s og t, sa nnes en variableomdping slik at 1 = 2. Bevis som oppgave? Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 33 / 95

Automatisk bevissk Unisering Deltermer Denisjon (Deltermer) Mengden av deltermer av en term t er den minste mengden T slik at t 2 T, og hvis f (t 1 ; : : : ; t n ) 2 T, sa er hver t i 2 T. Alle termer i T utenom t er ekte deltermer av t. La s = gx. Deltermer er: x, gx Ekte deltermer er: x La t = f (x ; a). Deltermer er: x, a, f (x ; a) Ekte deltermer er: x, a En term er altsa en delterm av seg selv. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 34 / 95

Automatisk bevissk Unisering Nummererte termtrr Vi har sett at termer kan representeres med trr. Nar vi uniserer er det gunstig a nummerere barna til noder i termtreet: a x c a; 1 x ; 2 c ; 1 g h g ; 1 h; 2 f f ; 0 Slike trr kalles nummererte termtrr. Vi referer til roten til det nummererte termtreet til en term t som rot(t). Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 35 / 95

Automatisk bevissk Unisering Kritisk par Nar vi skal unisere to termer t 1 og t 2 er vi interessert i a nne par av deltermer som er ulike. Samtidig er det nskelig a se pa ulike deltermer sa nrme roten som mulig. Denisjon (Kritisk par) Et kritisk par for to termer t 1 og t 2 er et par hk 1 ; k 2 i slik at k 1 er en delterm av t 1 k 2 er en delterm av t 2 nar vi tenker pa termer som nummererte termtrr sa er rot(k 1 ) forskjellig fra rot(k 2 ) stien fra rot(t 1 ) til rot(k 1 ) er lik stien fra rot(t 2 ) til rot(k 2 ) Merk: stiene kan vre tomme, dvs. at termene er ulike allerede i rotsymbolet. Tomme stier er trivielt like... Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 36 / 95

Automatisk bevissk Unisering Eksempel La s = f (x ; gb) og t = f (a; hc). Vi far flgende nummererte termtrr: b; 1 c ; 1 x ; 1 g ; 2 a; 1 h; 2 f ; 0 f ; 0 Er hb; ci kritisk par for s og t? Nei, stien fra rot(s) til rot(b) er ulik stien fra rot(t) til rot(c). Er hx ; ai kritisk par for s og t? Ja. Er hgb; hci kritisk par for s og t? Ja. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 37 / 95

Automatisk bevissk Unisering Algoritme: uniser(t 1, t 2 ) := ; while (t 1 6= t 2 ) do velg et kritisk par hk 1 ; k 2 i for t 1 ; t 2 ; if (hverken k 1 eller k 2 er en variabel) then return \ikke uniserbare"; end if x := den av k 1 ; k 2 som er variabel (hvis begge er, sa velg en); t := den av k 1 ; k 2 som ikke er x; if (x forekommer i t) then return \ikke uniserbare"; end if := ft=xg; end while return ; Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 38 / 95

Automatisk bevissk Unisering Egenskaper ved uniseringsalgoritmen Hvis termene t 1 og t 2 er uniserbare, sa returnerer algoritmen en mest generell unikator for t 1 og t 2. Denne mgu-en er en representant for alle andre unikatorer for t 1 og t 2. Hvis t 1 og t 2 ikke er uniserbare, sa returnerer algoritmen \ikke uniserbare". Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 39 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Fri-variabel sekventkalkyle Valg av term i -slutninger utsettes ved a sette inn en fri variabel. Introduksjon av frie variable i -slutninger gjr at vi ma la -slutninger introdusere Skolemtermer. Ved unisering nner vi en substitusjon som erstatter frie variable med termer slik at utledningen lukkes. u=a; v =fa Lufu ` Lav 9yLuy ` Lav 8x 9yLxy ` 9xLax Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 40 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Utvidet sprak -slutningene introduserer Skolemkonstanter og Skolemfunksjoner. Disse symbolene er nye symboler som ikke forekommer i det spraket som deneres av rotsekventen i en utledning. Spraket som brukes i utledningene er utvidet med slike Skolemsymboler. Denisjon (Utvidet sprak) La L vre et frsteordens sprak. La S vre en mengde som bestar av tellbart uendelig mange Skolemkonstanter, og tellbart uendelig mange Skolemfunksjoner av hver aritet, slik at symbolene i S er forskjellig fra symbolene i L. La L sko vre spraket vi far ved a utvide L med konstant- og funksjonssymbolene i S. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 41 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Sekventer Denisjon (Sekvent) La L vre et frsteordens sprak. En sekvent er et objekt pa formen ` slik at og er multimengder av frsteordens formler i L sko. En sekvent ` er lukket hvis formlene i og er lukkede. Sekventer 1 8xPx ` Pa 2 8x9yLxy ` 9x8yLyx 3 8xPxy ` Pufu 4 Pu ` Pa Lukkede sekventer Nr. 1 og 2 er lukkede sekventer. 5 Pu ` Pu; 9xPx Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 42 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle -reglene Denisjon (-regler i fri-variabel LK) -reglene i fri-variabel LK er: u er en ny fri variabel ; 8x '; '[u=x] ` L8 ; 8x ' ` ` ; 9x '; '[u=x] ` ; 9x ' R9 Med ny mener vi her at u ikke ma forekomme fritt i utledningen fra fr. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 43 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle -reglene Denisjon (-regler i fri-variabel LK) -reglene i fri-variabel LK er: ; '[f (~u)=x] ` L9 ; 9x ' ` ` ; '[f (~u)=x] ` ; 8x ' R8 f er en ny Skolemfunksjon ~u = u 1 ; : : : ; u n er de frie variablene i hovedformelen Med ny mener vi her at f ikke ma forekomme i utledningen fra fr. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 44 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Slutningsregler og utledninger Denisjon (Slutningsreglene i fri-variabel LK) Slutningsreglene i fri-variabel LK er - og -reglene for frie variable, og - og -reglene fra utsagnslogisk LK. Mengden av fri-variabel utledninger deneres induktivt: Basismengden er mengden av lukkede sekventer. Mengden er lukket under slutningsreglene i fri-variabel LK. Vi krever altsa at rotsekventen i en utledning kun inneholder lukkede formler! Formlene i de andre sekventene i en utledning behver imidlertid ikke vre lukkede. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 45 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Eksempler pa fri-variabel utledninger 8xPx ;Pu ` 9xPx ;Pv 8xPx ;Pu ` 9xPx 8xPx ` 9xPx L8 R9 R9 kan ikke introdusere u, siden denne allerede forekommer fri i utledningen. 8xPx ;Pu ` Pa L8 8xPx ` Pa 8xPx ` Pa ^ Pb 8xPx ;Pv ` Pb 8xPx ` Pb L8 R^ L8 i hyre og venstre gren kan ikke introdusere den samme variabelen, av samme grunn som over. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 46 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Eksempler pa fri-variabel utledninger 8x(Px _ Qx);Pu ` Pa; 8xQx 8x(Px _ Qx);Qu ` 8xPx ; Qb R8 8x(Px _ Qx);Pu ` 8xPx ; 8xQx 8x(Px _ Qx);Qu ` 8xPx ; 8xQx 8x(Px _ Qx);Pu _ Qu ` 8xPx ; 8xQx L8 8x(Px _ Qx) ` 8xPx ; 8xQx R8 L_ Vi krever at hver -slutning introduserer et nytt Skolemsymbol, dvs. et som ikke forekommer i utledningen fra fr. Derfor kan R8 i hyre gren ikke introdusere den samme Skolemkonstanten som R8 i venstre gren. Dette er et strengere krav enn for -reglene i LK uten frie variable, der den introduserte parameteren ikke ma forekomme i konklusjonen. I utledningen over vet vi ikke hvilke symboler som forekommer i konklusjonen fr vi har instansiert u! Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 47 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Eksempel pa objekter som ikke er utledninger Px ` Pa Px ` 8xPx R8 ` Px! 8xPx R! Rotsekventen er ikke lukket. 8x9yPxy ;Puf (u) ` Pf (v)v ; 9x8yPyx 8x9yPxy ;Puf (u) ` 8yPyv ; 9x8yPyx 8x9yPxy ;Puf (u) ` 9x8yPyx 8x9yPxy ;9yPuy ` 9x8yPyx 8x9yPxy ` 9x8yPyx L9 L8 R8 R9 De to -slutningene introduserer det samme Skolemfunksjonssymbolet. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 48 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Lukkede utledninger For at en fri-variabel LK-utledning skal vre et bevis, ma vi instansiere de frie variablene i utledningen slik at lvsekventene blir aksiomer. Dette kalles a lukke en utledning. Denisjon (Lukking) La vre en fri-variabel utledning, og la vre en substitusjon. lukker en lvsekvent ` i hvis det nnes atomre formler ' 2 og 2 slik at ' =. lukker hvis lukker alle lvsekventene i. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 49 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Bevis Denisjon (Bevis) Et fri-variabel LK-bevis for en sekvent ` er par h; i der er en utledning med ` som rotsekvent, og er en grunn substitusjon som lukker. Vi krever at den lukkende substitusjonen skal vre grunn, siden dette gjr sunnhetsbeviset litt lettere. Senere skal vi se at vi kan lempe pa dette kravet og tillate lukkende substitusjoner som ikke er grunne. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 50 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Eksempel (1) La vre utledningen 8xPx ;Pu ` 9xPx ;Pv 8xPx ;Pu ` 9xPx 8xPx ` 9xPx L8 R9 og la = fa=u; a=vg. lukker lvsekventen: (Pu) = Pa = (Pv). lukker, siden den lukker den eneste lvsekventen. Da er h; i et bevis for sekventen 8xPx ` 9xPx. Merk: Slik vi har denert fri-variabel LK vil f.eks. h; 0 i der 0 = fv =ug ikke vre et bevis, siden 0 ikke er grunn. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 51 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Eksempel (2) La vre utledningen 8xPx ;Pu ` Pa L8 8xPx ` Pa 8xPx ` Pa ^ Pb 8xPx ;Pv ` Pb 8xPx ` Pb og la = fa=u; b=vg. lukker venstre lvsekvent: (Pu) = Pa. lukker hyre lvsekvent: (Pv) = Pb. lukker, siden den lukker begge lvsekventene. Da er h; i et bevis for sekventen 8xPx ` Pa ^ Pb. L8 R^ Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 52 / 95

Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Eksempel (3) La vre utledningen 8x(Px _ Qx);Pu ` Pa; 8xQx 8x(Px _ Qx);Qu ` 8xPx ; Qb R8 8x(Px _ Qx);Pu ` 8xPx ; 8xQx 8x(Px _ Qx);Qu ` 8xPx ; 8xQx 8x(Px _ Qx);Pu _ Qu ` 8xPx ; 8xQx L8 8x(Px _ Qx) ` 8xPx ; 8xQx R8 L_ Det nnes ingen substitusjon som lukker begge lvsekventene, siden u ikke kan instansieres med bade a og b samtidig. Derfor nnes ikke noe bevis for sekventen 8x(Px _ Qx) ` 8xPx ; 8xQx basert pa utledningen. Er rotsekventen gyldig...? Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 53 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk 1 Automatisk bevissk Introduksjon Substitusjoner Unisering 2 Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Semantikk Sunnhet 3 Kompletthet av fri-variabel LK 4 Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 54 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Semantikk For a kunne vise at kalkylen er sunn ma vi ha klart for oss hvordan vi tolker formlene i utledningene. Vi har tidligere denert hvordan vi bruker modeller for a tilordne sannhetsverdier til lukkede frsteordens formler. Men hvordan skal vi tolke formler med frie variable? Vi kan bruke variabeltilordninger for a tolke frie variable som elementer i domenet til en gitt modell. Vi denerer sa rekursivt hvordan vi kan tolke en vilkarlig frsteordens formel i en modell under en gitt variabeltilordning. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 55 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Variabeltilordninger Denisjon (Variabeltilordning) La M vre en modell. En variabeltilordning for M er en funksjon fra mengen av variable til jmj. En variabeltilordning er alltid gitt relativ til en modell M siden den tolker variable som elementer i domenet til M. For en gitt modell kan vi ha mange variabeltilordninger. Hvis jmj = f1; 2; 3g, sa kan vi ha 1 slik at 1 (x 1 ) = 1, 1 (x 2 ) = 1, 1 (x 3 ) = 1, : : : 2 slik at 2 (x 1 ) = 2, 2 (x 2 ) = 2, 2 (x 3 ) = 2, : : : 3 slik at 3 (x 1 ) = 1, 3 (x 2 ) = 2, 3 (x 3 ) = 3, : : :... Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 56 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Tolkning av termer med frie variable Vi bruker tolkningsfunksjonen i modellen til a tolke konstant- og funksjonssymboler pa samme mate som i semantikken for lukkede formler. Tolkningen av frie variable overlates til variabeltilordningen. Denisjon (Tolkning av termer med frie variable) La L vre et frsteordens sprak og M en modell for L. Anta at M er en L(M)-modell. La vre en variabeltilordning for M. Tolkningen av en term t i M under, skrevet tm;, deneres rekursivt. xm; = (x) for en variabel x cm; = cm for et konstantsymbol c f (t 1 ; : : : ; t n )M; = f M (t M; 1 ; : : : ; t M; n ) for en funksjonsterm Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 57 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Tolkning av formler med frie variable Denisjon (Tolkning av formler med frie variable) La L vre et frsteordens sprak og M en modell for L. Anta at M er en L(M)-modell. La vre en variabeltilordning for M. Vi denerer ved rekursjon hva det vil si at en formel ' er sann i M under ; vi skriver M; j= ' nar ' er sann i M under. Atomre fml: M; j= R(t 1 ; : : : ; t n ) hvis ht M; 1 ; : : : ; t M; n i 2 RM. M; j= :' hvis det ikke er tilfelle at M; j= '. M; j= ' ^ hvis M; j= ' og M; j=. M; j= ' _ hvis M; j= ' eller M; j=. M; j= '! hvis M; j= ' impliserer M; j=. M; j= 8x ' hvis M; j= '[a=x] for alle a i jmj. M; j= 9x ' hvis M; j= '[a=x] for minst en a i jmj. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 58 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Eksempel I Modellen M jmj = f ; ; g Liker M = fh ; i; h ; i; h ; i; h ; ig Variabeltilordningen 1 1 (x) = Er det slik at M; 1 j= 9yLiker(y ; x)? Fra fri-variabel semantikken: M; 1 j= 9y Liker(y ; x) m nnes e 2 jmj slik at M; 1 j= Liker(e; x) m nnes e 2 jmj slik at hem; 2 ; xm; 1 i 2 Liker M m nnes e 2 jmj slik at hem ; 1 (x)i 2 Liker M m nnes e 2 jmj slik at he; Ja, bade e = og e =. i 2 Liker M Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 59 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Eksempel II Modellen M jmj = f ; ; g Liker M = fh ; i; h ; i; h ; i; h ; ig Variabeltilordningen 2 2 (x) = Er det slik at M; 2 j= 9yLiker(y ; x)? Fra fri-variabel semantikken: M; 2 j= 9y Liker(y ; x) m nnes e 2 jmj slik at M; 2 j= Liker(e; x) m nnes e 2 jmj slik at hem; 2 ; xm; 2 i 2 Liker M m nnes e 2 jmj slik at hem ; 2 (x)i 2 Liker M m nnes e 2 jmj slik at he; Nei, ingen slik e 2 jmj nnes. i 2 Liker M Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 60 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Falsiserbarhet Vi har tidligere denert gyldighet av en lukket sekvent ` slik: Enhver modell som oppfyller alle formlene i ma oppfylle minst en formel i. Vi kan ogsa denere en gyldig sekvent som en sekvent som ikke er falsiserbar. En sekvent ` er falsiserbar hvis den har en motmodell, dvs. en modell som oppfyller alle formlene i og gjr alle formlene i usanne. I fri-variabel LK kan og inneholde formler som ikke er lukket. Vi nsker at en motmodell til en sekvent skal vre en motmodell uavhengig av hvordan vi tolker de frie variablene. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 61 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Falsiserbarhet II Se pa sekventen Qx ` Px En motmodell vil f.eks. vre modellen M slik at jmj = fa; bg, QM = fa; bg og PM = ;. Her nnes to aktuelle variabeltilordninger: 1 (x) = a og 2 (x) = b. Uansett hvilken av disse vi bruker til a tolke de frie variablene, sa vil M vre en motmodell til sekventen. Se pa sekventen Px ` Pa Et forsk pa lage en motmodell kan vre M0 slik at jm 0 j = fa; bg og PM0 = fbg. Hvis vi tolker x som b, ser vi at M0 oppfyller Px og falsiserer Pa. Men hvis vi tolker x som a, ser vi at M0 ikke lenger er en motmodell. Her nnes en variabeltilordning som gjr at M0 ikke er en motmodell til sekventen. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 62 / 95

Automatisk bevissk II Semantikk Falsiserbarhet III Hvorvidt en modell M er en motmodell til en sekvent ` avhenger altsa av hvilke sannhetsverdier formlene i og far for hver enkelt variabeltilordning for M. Det leder til flgende denisjon. Denisjon (Falsiserbar sekvent) En modell M er en motmodell til en sekvent ` hvis flgende holder for alle variabeltilordninger for M: M; gjr alle formlene i sanne, og M; gjr alle formlene i usanne. En sekvent er falsiserbar hvis den har en motmodell gyldig hvis den ikke er falsiserbar Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 63 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet 1 Automatisk bevissk Introduksjon Substitusjoner Unisering 2 Automatisk bevissk II Fri-variabel sekventkalkyle Semantikk Sunnhet 3 Kompletthet av fri-variabel LK 4 Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 64 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Sunnhet Denisjon (Sunnhet) En sekventkalkyle er sunn dersom enhver bevisbar sekvent er gyldig. Kjernen i sunnhetsbeviset for utsagnslogisk LK og grunn LK er at slutningsreglene bevarer falsiserbarhet oppover. Reglene i fri-variabel LK har ikke denne egenskapen! Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 65 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet -regelen bevarer ikke falsiserbarhet oppover Se pa slutningen Pu ` Pa; Qb Qu ` Pa; Qb Pu _ Qu ` Pa; Qb La M vre en modell slik at jmj = fa; bg, am = a, b M = b, PM = fbg og QM = fag. Vi har to aktuelle variabeltilordninger for M: 1 (u) = a og 2 (u) = b. M falsiserer konklusjonen: M falsiserer begge formlene i succedenten. M; 1 j= Qu og M; 2 j= Pu, sa M gjr formelen i antecedenten sann uavhengig av variabeltilordning. Premissene er ikke falsiserbare. (Prv!) Konklusjonen er falsiserbar, mens premissene ikke er det! Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 66 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Sunnhet { alternativ framgangsmate Pa grunn av -slutningene vil en fri variabel kunne forekomme i ere forskjellige grener i en utledning. De forskjellige forekomstene er avhengige av hverandre i den forstand at de ma tildeles den samme verdien av en variabeltilordning. Vi skal denere hva det vil si at en utledning er falsiserbar. Vi skal sa vise at alle utledninger med falsiserbar rotsekvent er falsiserbare. Nar vi har denne egenskapen, er resten av sunnhetsbeviset for fri-variabel LK tilsvarende beviset for den grunne kalkylen. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 67 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Falsiserbarhet Husk at hvis G er en gren i en utledning, sa er G> alle formler som forekommer i en antecedent pa G, og G? alle formler som forekommer i en succedent pa G. Denisjon (Falsiserbarhet) La vre en fri-variabel utledning, og la M vre en modell. Anta at er en variabeltilordning for M. En gren G i er falsisert av M under hvis M; gjr alle formlene i G> sanne, og M; gjr alle formlene i G? usanne. M falsiserer hvis for alle variabeltilordninger for M sa nnes en gren i som er falsisert av M under. En utledning er falsiserbar hvis det nnes en modell som falsiserer den. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 68 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Falsisert gren avhenger av variabeltilordningen La vre flgende utledning (der -kopiene ikke vises): Pu ` Pa; Qb Qu ` Pa; Qb Pu _ Qu ` Pa; Qb 8x(Px _ Qx) ` Pa; Qb La M vre en modell slik at jmj = fa; bg, am = a, b M = b, PM = fbg og QM = fag. M falsiserer : Hvis 1 (u) = a, sa har vi at den hyre grenen er falsisert av M under 1. Hvis 2 (u) = b, sa har vi at den venstre grenen er falsisert av M under 2. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 69 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Lemma Hvis en slutningsregel fra fri-variabel LK anvendes pa en falsiserbar utledning, sa far vi en ny falsiserbar utledning. Vi skal med andre ord vise at reglene bevarer falsiserbarhet. Vi far ett tilfelle for hver regel. Alle tilfellene bortsett fra -reglene (L9 og R8) gar pa samme mate. Vi viser frst hvordan beviset gar for disse og tar -reglene til slutt. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 70 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Bevis. Overblikk: : G ` 0 : G0 0 ` 0 G00 00 ` 00 ` Anta at er falsiserbar. Skal vise at 0 er falsiserbar. La M vre en modell som falsiserer. Velg en vilkarlig variabeltilordning for M. Vi far to tilfeller: 1 Den grenen i som er falsisert av M under er en annen enn G. 2 Den falsiserte grenen er G. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 71 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Bevis (tilfelle 1). : G ` 0 : G0 0 ` 0 G00 00 ` 00 ` Har antatt at er falsiserbar. Har valgt en modell M som falsiserer og en variabeltilordning for M. Har antatt at grenen i som er falsisert av M under ikke er G. Da er den falsiserte grenen i ogsa en gren i 0. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 72 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Bevis (tilfelle 2). : G ` 0 : G0 0 ` 0 G00 00 ` 00 ` Har antatt at er falsiserbar. Har en modell M som falsiserer og en variabeltilordning for M. Har antatt at G i er falsisert av M under. Ma vise at enten G0 eller G 00 er falsisert i 0. Vi far ett tilfelle for hver LK-regel. Vi viser argumentet for L_ og L8. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 73 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Bevis (tilfelle 2 { L_). G0 ; A ` G00 ; B ` ; A _ B ` L_ G Siden konklusjonen er pa G og G er falsisert av M under, sa har vi at M; j= [ fa _ Bg og at M; gjr alle i usanne. Fra fri-variabel semantikken har vi at M; j= A eller M; j= B. Hvis M; j= A, sa er G0 falsisert av M under. Hvis M; j= B, sa er G00 falsisert av M under. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 74 / 95

Bevis (tilfelle 2 { L8). Automatisk bevissk II G0 Sunnhet ; 8x '; '[u=x] ` L8 ; 8x ' ` G Siden konklusjonen er pa G og G er falsisert av M under, sa har vi at M; j= [ f8x 'g og at M; gjr alle i usanne. Anta at (u) = e (der e 2 jmj). Siden M; j= 8x ' har vi fra fri-variabel semantikken at M; j= '[a=x] for alle a 2 jmj. Spesielt vil M; j= '[e=x], men da vil M; j= '[u=x]. Da er G0 falsisert av M under. Steget fra M; j= '[e=x] til M; j= '[u=x] kan vises ved strukturell induksjon pa formler. Mulig ukeoppgave... Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 75 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Bevis (-regler). Nar en -regel anvendes, ma vi vise lemmaet pa en annen mate. Vi gjr tilfellet for L9. G0 ; '[f (u 1 ; : : : ; u n )=x] ` L9 ; 9x ' ` G La M0 vre en modell som er lik M bortsett fra tolkningen av f, som deneres som flger: La a 1 ; : : : ; a n 2 jm0 j og la 0 vre en variabeltilordning slik at 0 (ui ) = a i for 1 i n. Hvis M; 0 j= 9x ', sa nnes e 2 jmj slik at M; 0 j= '[e=x]. La f M0(a 1 ; : : : ; a n ) = e. Hvis M; 0 6j= 9x ', sa la f M0(a 1 ; : : : ; a n ) vre et vilkarlig element i jm0 j. Pastand: M0 falsiserer 0. Oppgave! Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 76 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Lemma Enhver utledning med falsiserbar rotsekvent er falsiserbar. Bevis. Ved strukturell induksjon pa utledninger. Basistilfellet: rotsekventen er falsiserbar. Induksjonssteget: flger fra Lemma. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 77 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Lemma La M vre en modell, og la vre en grunn substitusjon. La vre en variabeltilordning slik at (x) = (x )M for hver variabel x i sttten til. Hvis ' er en formel slik at de frie variablene i ' er med i sttten til, sa holder M; j= ' hvis og bare hvis M j= '. Bevis. Ukeoppgave. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 78 / 95

Automatisk bevissk II Sunnhet Teorem (Sunnhet) Sekventkalkylen fri-variabel LK er sunn. Bevis. Anta at h; i er et bevis for `. Anta for motsigelse at ` ikke er gyldig, men er falsiserbar. Ved Lemma nnes en modell M som falsiserer. La vre en variabeltilordning slik at (x) = (x )M for hver variabel x i sttten til. Da nnes en gren G i som er falsisert av M under. Siden lukker lvsekventen pa G, sa nnes atomre formler ' 2 G> og 2 G? slik at ' =. Siden G er falsisert av M under, sa M; j= ' og M; 6j=. Fra Lemma har vi M j= ' og M 6j=. Men ' =, motsigelse. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 79 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Kompletthet av fri-variabel LK Teorem (Kompletthet) Hvis ` er gyldig, sa er den bevisbar i fri-variabel LK. For a vise kompletthet, viser vi den ekvivalente pastanden: Lemma (Modelleksistens) Hvis ` ikke er bevisbar i LK, sa er den falsiserbar. Husk: En modell M falsiserer ` hvis ethvert valg av variabeltilordning for M gjr alle formler i sanne og alle formler i usanne. Hvis formlene i og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M vre uavhengig av variabeltilordning. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 80 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Modelleksistens for grunn LK { repetisjon Beviset for modelleksistens for fri-variabel LK bygger pa beviset for grunn LK. Hovedtrekkene i beviset for grunn LK: Vi antar at en sekvent ` ikke er bevisbar i grunn LK. Det betyr at alle utledninger med rotsekvent ` har en apen gren. Vi bruker en rettferdig strategi til a konstruere en grenseutledning for ` der hver apen gren G har flgende egenskaper: enhver -, - og -formel pa G er hovedformel i en slutning pa G, og hvis G inneholder en -formel pa formen Qx ', sa er '[t=x] aktiv formel i en slutning pa G for hver term t i Herbrand-universet til G. \Alle mulige regelanvendelser er forskt pa alle apne grener." Siden ` ikke er bevisbar, sa ma grenseutledningen inneholde en apen gren G (ved Konigs lemma). Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 81 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Modelleksistens for grunn LK { repetisjon II Vi benytter informasjonen i G til a konstruere en Herbrand-modell M pa flgende mate: Domenet til M er Herbrand-universet til G. For lukkede termer t pa G: tm = t For n-re relasjonssymboler P pa G: ht 1 ; : : : ; t n i 2 PM, P(t1 ; : : : ; t n ) 2 G> Husk: Herbrand-universet til en gren er mengden av alle grunne termer som kan konstrueres fra konstant- og funksjonssymboler pa grenen. Vi viser sa ved strukturell induksjon pa formler i G at M oppfyller alle formler i G> og falsiserer alle formler i G?. Basissteget har to tilfeller: P(t 1 ; : : : ; t n ) 2 G> og P(t1 ; : : : ; t n ) 2 G?. I induksjonssteget far vi ett hovedtilfelle for hvert konnektiv. I hvert hovedtilfelle ma vi se pa om formelen forekommer i G> eller G?. Det flger at M falsiserer `, siden G> og G?. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 82 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Modelleksistens for grunn LK { repetisjon III I argumentet for at M oppfyller alle formler i G> og falsiserer alle formler i G? gjr vi strukturell induksjon pa formlene i G. Basissteget flger pr. denisjon av Herbrand-modellen M. I induksjonssteget antar vi at en formel ' forekommer pa den apne grenen G og benytter oss av at grenseutledningen er konstruert med en rettferdig strategi: For -, - og -formler bruker vi at ' er hovedformel i en slutning pa G, og at de umiddelbare delformlene til ' derfor ma vre i G. For -formler bruker vi at den umiddelbare delformelen til ' er instansiert med alle termer i Herbrand-universet til G. Siden delformlene er av enklere struktur enn ', kan vi anta at pastanden holder for disse, og bruke semantikken til a slutte at pastanden holder for '. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 83 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Modelleksistens for fri-variabel LK I beviset for modelleksistens for fri-variabel LK skal vi bruke en rettferdig strategi til a konstruere en grenseutledning med en apen gren for en ikke-bevisbar sekvent, og anvende en grunn substitusjon pa alle formlene i den apne grenen slik at alle frie variable blir instansiert med grunne termer. Vi kan sa konstruere en Herbrand-modell fra den grunnede apne grenen pa samme mate som for grunn LK, og bruke det samme induksjonsargumentet. I fri-variabel LK introduserer -reglene imidlertid frie variable istedenfor termer, sa vi trenger en ny denisjon av rettferdig strategi. Vi ma ogsa velge den grunnende substitusjonen slik at den grunnede apne grenen far samme egenskaper m.h.p. -formler som i grenseutledningen i grunn LK. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 84 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Rettferdig strategi for fri-variabel LK En rettferdig strategi vil fr eller senere anvende en regel pa enhver ikke-atomr formel i en lvsekvent i utledningen. Siden hovedformelen i en -slutning kopieres, vil vi (hvis vi fortsetter a anvende regler i det uendelige) matte introdusere uendelig mange frie variable for hver -formel pa en gren. Denisjon (Rettferdig strategi) En strategi er rettferdig hvis enhver grenseutledning som fas ved a flge strategien har flgende egenskaper: 1 Hvis ' er en -, - eller -formel i en gren, sa er ' hovedformel i en slutning i grenen. 2 Hvis ' er en -formel pa formen Qx i en gren, sa er [u=x] aktiv formel i en slutning i grenen, for uendelig mange variable u. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 85 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Rettferdig substitusjon Grenseutledningen til hyre er generert med en rettferdig strategi. Formelen 8xPx introduserer uendelig mange frie variable u i. La substitusjonen vre slik at (u i ) = a for alle u i.. 8xPx ; Pu 1 ; Pu 2 ; Pu 3 ` Qfa 8xPx ; Pu 1 ; Pu 2 ` Qfa 8xPx ; Pu 1 ` Qfa 8xPx ` Qfa Utledningen har kun en gren, kall den G. Hvis vi anvender pa formlene i G, sa vil alle Pu i -formlene bli til Pa. Vi ser at Herbrand-universet til G er a; fa; a; fa; : : : Det nnes na termer t i Herbrand-universet slik at Pt ikke er i G, f.eks. t = fa. Herbrand-modellen generert fra G vil derfor ikke gjre 8xPx sann. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 86 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Rettferdig substitusjon II La substitusjonen vre denert rekursivt slik at (u 1 ) = a, og (u i+1 ) = f (u i ). Vi anvender pa formlene i grenen G.. 8xPx ; Pu 1 ; Pu 2 ; Pu 3 ` Qfa 8xPx ; Pu 1 ; Pu 2 ` Qfa 8xPx ; Pu 1 ` Qfa 8xPx ` Qfa Vi har na at Pt 2 G for alle termer t i Herbrand-universet til G. Derfor vil Herbrand-modellen generert fra G oppfylle 8xPx. Vi kaller en rettferdig substitusjon. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 87 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Rettferdig substitusjon III Denisjon (Rettferdig substitusjon) La vre en grenseutledning generert med en rettferdig strategi, og la G vre en gren i. La vre en substitusjon. er rettferdig m.h.p. en -formel Qx ' i G hvis for alle termer t i Herbrand-universet til G sa nnes en formel '[u=x] aktiv i en -slutning i G slik at (u) = t. er rettferdig m.h.p. grenen G hvis er rettferdig m.h.p. alle -formlene i G. er rettferdig m.h.p. utledningen hvis er rettferdig m.h.p. hver gren i. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 88 / 95

Kompletthet av fri-variabel LK Modelleksistens for fri-variabel LK { bevis Anta at sekventen ` ikke er bevisbar i fri-variabel LK. Det betyr at for alle utledninger med ` som rotsekvent, sa nnes ingen substitusjon som lukker utledningen. Vi bruker en rettferdig strategi til a lage en grenseutledning med ` som rotsekvent. Vi velger en substitusjon som er rettferdig m.h.p. grenseutledningen og som instansierer alle frie variable i utledningen med grunne termer. Siden ikke lukker grenseutledningen, sa vil det nnes en gren G i grenseutledningen som ikke er lukket av (ved Konigs lemma). Vi anvender pa alle formlene i G. Merk at G kun inneholder lukkede formler. Vi kan derfor gjre resten av beviset pa samme mate som for grunn LK. Merk at ` er lukket. Herbrand-modellen generert fra G vil derfor falsisere ` uavhengig av variabeltilordning. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 89 / 95

Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Sunnhet Vi viste forrige gang at sekventkalkylen fri-variabel LK er sunn. Teorem (Sunnhet) Hvis en sekvent er bevisbar i fri-variabel LK, sa er den gyldig. Sentralt i beviset star argumentet for at det a anvende en LK-regel pa en falsiserbar utledning gir en falsiserbar utledning. Lemma Enhver utledning med falsiserbar rotsekvent er falsiserbar. Vi skal ta en kort repetisjon av sunnhetsargumentet. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 90 / 95

Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Falsiserbarhet I sunnhetsbeviset for grunn LK viste vi at alle reglene bevarer falsiserbarhet oppover. I fri-variabel LK utvidet vi semantikken med variabeltilordninger for a tolke formler med frie variable. Vi matte ogsa innfre et nytt falsiseringsbegrep for sekventer med frie variable. -reglene i fri-variabel LK bevarer ikke falsiserbarhet oppover. Vi innfrte derfor falsiserbarhet for utledninger. En modell falsiserer en utledning hvis ethvert valg av variabeltilordning for modellen gir en falsisert gren. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 91 / 95

Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK -regelen bevarer ikke falsiserbarhet oppover Se pa slutningen Pu ` Pa; Qb Qu ` Pa; Qb Pu _ Qu ` Pa; Qb La M vre en modell slik at jmj = fa; bg, am = a, b M = b, PM = fbg og QM = fag. Vi har to aktuelle variabeltilordninger for M: 1 (u) = a og 2 (u) = b. M falsiserer konklusjonen: M falsiserer begge formlene i succedenten. M; 1 j= Qu og M; 2 j= Pu, sa M gjr formelen i antecedenten sann uavhengig av variabeltilordning. Premissene er ikke falsiserbare. (Prv!) Konklusjonen er falsiserbar, mens premissene ikke er det! Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 92 / 95

Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Beviset for falsiserbarhetslemmaet Beviset for falsiserbarhetslemmaet gar ved strukturell induksjon pa utledninger. I induksjonssteget antar vi at en utledning er falsiserbar, og viser at utledningen vi far nar vi utvider med en fri-variabel LK-regel ogsa er falsiserbar. Vi far ett tilfelle for hver LK-regel. Antagelsen om at er falsiserbar gir oss en falsiserende modell M. For -, - og -reglene kan vi vise at M ogsa falsiserer den utvidete utledningen. Det holder ikke for -reglene. Her konstruerer vi en ny modell (basert pa M) som falsiserer den utvidete utledningen. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 93 / 95

Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Beviset for falsiserbarhetslemmaet { -regelen ; '[f (u 1 ; : : : ; u n )=x] ` L9 ; 9x ' ` Hvis vi utvider med en -slutning, sa vil den nye lvsekventen inneholder Skolemtermen f (u 1 ; : : : ; u n ). Vi lager en ny modell M0 som er lik M bortsett fra tolkningen av f. For hver variabeltilordning for M0 spesiserer vi M 0 ; sin tolkning av den introduserte Skolemtermen slik at M0 ; gjr '[f (u 1 ; : : : ; u n )=x] sann dersom M; gjr 9x ' sann. Siden f ikke forekommer i og M er lik M0 utenom f, sa er falsisert av M0. Ved a bruke de semantiske denisjonene, viser vi sa at M0 falsiserer den utvidete utledningen. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 94 / 95

Teorem (Sunnhet) Repetisjon: sunnhet av fri-variabel LK Hvis ` er bevisbar i fri-variabel LK, sa er ` gyldig. Bevis. Anta at h; i er et bevis for `. Anta for motsigelse at ` ikke er gyldig, men er falsiserbar. Ved Lemma nnes en modell M som falsiserer. La vre en variabeltilordning slik at (x) = (x )M for hver variabel x i sttten til. Da nnes en gren G i som er falsisert av M under. Siden lukker lvsekventen pa G, sa nnes atomre formler ' 2 G> og 2 G? slik at ' =. Siden G er falsisert av M under, sa M; j= ' og M; 6j=. Fra Lemma har vi M j= ' og M 6j=. Men ' =, motsigelse. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 { Logikk 29.10.2013 95 / 95