Predikatlogikk Syntaks Semantikk INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Syntaks og semantikk. Andreas Nakkerud. 1. september 2015
|
|
- Sigrid Sivertsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Syntaks og semantikk Andreas Nakkerud 1. september 2015
2 Predikatlogikk Utsagnslogikk: p 0, p 1, p 1 p 6, p 2 p 1 Predikatlogikk: (( x)p 1 (x)), (( x)(( y)p 4 (x, y)))
3 Predikatlogikk (( x)( y)x y) Sant for de naturlige tallene (x = 0). Usant for heltallene (uansett hva x er, så er x 1 mindre). (( z)( w)w < x) Sant for heltallene (w = z 1). Usant for de naturlige tallene (z = 0).
4 Strukturer En struktur (eng: structure) er en ordnet sekvens A, R 1,..., R n, F 1,..., F m, {c i i I }, hvor A er en ikke-tom mengde, R 1,..., R n er relasjoner på A, F 1,..., F m er (totale) funksjoner fra A k til A, og c i (i I ) er elementer i A (konstanter). Den ordnede mengden av naturlige tall med addisjon og med konstantene 0 og 1 er strukturen N, <, +, {0, 1}
5 Similaritetstyper Similaritetstypen (eng: similarity type) til en struktur A, R 1,..., R n, F 1,..., F m, {c i i I } er en ordnet sekvens r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; κ, hvor R i A r i, Fj : A a j A og κ = {c i i I }. Similaritetstypen til N, <, S, +, {0, 1} er 2; 1, 2; 2.
6 Alfabet for predikatlogikk Vi antar similaritetstype r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; κ. Alfabetet for predikatlogikk består av følgende: 1. Predikatsymboler: P 1,..., P n 2. Funksjonssymboler: f 1,..., f m 3. Konstantsymboler: c i for hver i I 4. Variabler: x 0, x 1, x 2,... (tellbart mange) 5. Konnektiver:,,,,,,, 6. Hjelpesymboler: (, ).
7 Termer Mendgen av termer (eng: terms) TERM er den minste mengden X slik at (i) c i X (i I ) og x i X (i N), (ii) t 1,..., t ai X f i (t 1,... t ai ) X, for 1 i m. En term som ikke innholder variabler kalles en lukket (eng: closed) term. Eksempler: x 0, f 2 (x 0 ), f 0 (x 0, f 2 (x 0 )). Fra eksemplet ser vi at a 2 = 1 og at a 0 = 2.
8 Formler Mendgen av formler (eng: formulas) FORM er den minste mengden X slik at (i) X, hvis r i = 0 så P i X, og hvis t 1,..., t ri TERM så P i (t 1,..., t ri ) X, (ii) F, G X (F G) X, (iii) F X ( F ) X, (iv) F X (( x i )F ), (( x i )F ) X, for all i N. Dersom vi ønsker å droppe parenteser bruker vi at og binder like sterkt som.
9 Frie variabler Mendgen FV (t) av frie variabler i termen t er definert ved at (i) FV (x i ) = {x i } og FV (c i ) =, (ii) FV (f (t 1,..., t n )) = FV (t 1 )... FV (t n ). I (ii) har vi droppet indeksen på f og antar at vi oppgir rett antall termer.
10 Frie variabler Mengden FV (G) av frie variabler i formelen G er definert ved at (i) FV (P(t 1,..., t n )) = FV (t 1 )... FV (t n ) og FV ( ) = FV (Q) = (hvor Q er 0-ær). (ii) FV (F G) = FV (F ) FV (G) og FV ( G) = FV (G). (iii) FV ( xg) = FV ( xg) = FV (G) \ {x}. t (hhv. G) kalles lukket dersom FV (t) = (hhv. FV (G) = ). En lukket formlen kalles en setning. En formel uten kvantorer kalles åpen. TERM c er mengden av lukkede termer, SENT er mengden av setninger.
11 Substitusjon La s og t være termer. Da er s[t/x] definert ved at { y, hvis y x y[t/x] = t, hvis y x c[t/x] = c f (t 1,..., t n )[t/x] = f (t 1 [t/x],..., t n [t/x]) Med x y mener vi at x og y er samme variabelsymbol.
12 Substitusjon F [t/x] er definert ved at [t/x] = P[t/x] = P P(t 1,..., t n )[t/x] = P(t 1 [t/x],..., t n [t/x]) (F G)[t/x] = F [t/x] G[t/x] ( F )[t/x] = F [t/x] { y.f [t/x], ( y.f )[t/x] = y.f, { y.f [t/x], ( y.f )[t/x] = y.f, hvis x y hvis x y hvis x y hvis x y
13 Substitusjon F [G/$] er definert ved at p i [G/$] = { p i, hvis p i $ G, hvis p i $ (F 1 F 2 )[G/$] = F 1 [G/$] F 2 [G/$] ( F 1 )[G/$] = F 1 [G/$] ( yf )[G/$] = y.f [G/$] ( yf )[G/$] = y.f [G/$]
14 Fri substitution t er fri for x i F hvis (i) F er atomær, (ii) F = F 1 F 2 (hhv. F = F 1 ) og t er fri for x i F 1 og F 2 (hhv. F 1 ), (iii) F = yg (hhv. F = yg), t er fri for x i G, og hvis x FV (F ) så er y FV (t). Lemma t er fri for x i F variablene fra t blir i F [t/x] ikke bundet av en kvantor.
15 Fri substitusjon F er fri for $ i G hvis (i) G er atomær, (ii) G = G 1 G 2 (hhv. G = G 1 ) og F er fri for $ i G 1 og G 2 (hhv. i G 1 ), (iii) G = yh (hhv. yh), F er fri for $ i H, og hvis $ forekommer i G, så er y FV (F ). Lemma F er fri for $ i G de frie variablene i F blir i G[F /$] ikke bundet av en kvantor.
16 Utvidet språk Det utvidede språket, L(A), for A fåes fra språket L, av type A, ved at vi legger til konstantsymboler for alle elementer i A. Vi lar a være symbolet for a A. Vi bruker vanligvis gotiske bokstaver (L A TEX: \mathfrak{}) A, B, C,... til å representere strukturer. A er mengden av konstanter i A.
17 Tolking av termer En tolkning (eng: interpretation) av de lukkede termene fra L(A) over A, er en mapping (.) A : TERM c A som tilfredsstiller (i) (c i ) A = c i (= [[c i ]] A ) og (a) A = a(= [[a]] A ), (ii) (f i (t 1,..., t n )) A = F i (t A 1,..., t A n ). Symboler for elementer i A tolkes som elementene selv. Konstantsymboler tolkes som de konstantene de representerer. Funksjonssymboler tolkes som de funksjonene de representerer.
18 Tolkning av setninger (lukkede formler) En tolkning av setningene F fra L(A) over A er en mapping [[.]] A : SENT {0, 1} som tilfredsstiller [[ ]] A = 0 [[P]] A = P (i.e. 0 eller 1) { 1, hvis t1 A,..., tn A P i [[P i (t 1,... t n )]] A = 0, ellers [[ xf ]] A = max{[[f [a/x]]] A a A } [[ xf ]] A = min{[[f [a/x]]] A a A } For,,, er [[.]] A definert som for utsagnslogiske formler.
19 Oppfyllbarhetsrelasjonen = Vi lar A = F stå for [[F ]] A = 1. Vi sier at F er sann i A, at F er en semantisk konsekvens (logisk konsekvens) av A og at A er en modell for F. Hvis F er en formel med frie variabler FV (F ) = {x 1,..., x n }, så sier vi at F oppfylles av a 1,..., a n A dersom A = F [a 1,..., a n /x 1,..., x n ]. F er oppfyllbar i A dersom den oppfylles av elementer i A. F er oppfyllbar hviss A = x 1... x n F.
20 Universell tillukning La FV (G) = {z 1,..., z n }, da er den universelle tillukningen (eng: universal closure) av G gitt ved Cl(G) = z 1... z n G. Videre har vi at (i) A = G hviss A = Cl(G), (ii) = G hviss A = G for alle A av rett type, (iii) A = Γ hviss A = F for alle F Γ, (iv) La Γ {G} SENT. Γ = G hviss (A = Γ A = G).
21 Semantisk konsekvens Lemma Dersom vi begrenser oss til setninger har vi at (i) A = F G A = F og A = G, (ii) A = F G A = F eller A = G, (iii) A = F A = F, (iv) A = F G (A = F A = G), (v) A = F G (A = F A = G), (vi) A = xf A = F [a/x] for alle a A, (vii) A = xf A = F [a/x] for minst én a A.
Semantikk Egenskaper ved predikatlogikk Naturlig deduksjon INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon Andreas Nakkerud 3. september 2015 Eksempel Gitt en similaritetstype 0, 2; 1; 2 bygger vi en struktur (modell) hvor A = {c 1, c 2, a, b},
DetaljerFOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning
FOL: syntaks og representasjon 15. og 16. forelesning Førsteordens logikk Førsteordens logikk: et formelt system som man bruker til å representere og studere argumenter. Som utsagnslogikk, men mer uttrykkskraftig,
DetaljerINF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Skolemfunksjoner; Andreordens logikk. Andreas Nakkerud. 10. september 2015
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Skolemfunksjoner; Andreas Nakkerud 10. september 2015 Henkin-vitner Theorem La T være en teori med språk L, slik at T xφ(x), hvor FV (φ) = {x}. La c være en konstant som
DetaljerHvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170, og Ole følger ikke inf3170. Ole følger inf3170, eller Ole følger ikke inf3170.
Forelesning 4: Repetisjon og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen - 12. februar 2007 1 Repetisjon Motivasjon Er utsagnene sanne? Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170,
DetaljerRepetisjonsforelesning
Repetisjonsforelesning INF3170 Andreas Nakkerud Institutt for informatikk 24. november 2014 Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Repetisjon 24. november 2014 1 / 39 Utsagnslogikk Utsagnslogikk
DetaljerForberedelse Kompletthet Kompakthet INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet. Andreas Nakkerud. 8.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet Andreas Nakkerud 8. september 2015 Forberedelse Theorem La x være en variabel som ikke forekommer i Γ eller i φ. (i) Γ φ Γ[x/c] Γ[x/c]. (ii) Hvis
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 4: og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 12. februar 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk
DetaljerINF1800 Forelesning 18
INF1800 Forelesning 18 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse tråder Førsteordens språk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske
DetaljerForelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Christian Mahesh Hansen februar 2007
Forelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Christian Mahesh Hansen - 19. februar 2007 1 Førsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler
DetaljerINF3170 / INF4171. Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet. Andreas Nakkerud. 15. september 2015
INF3170 / INF4171 Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet Andreas Nakkerud 15. september 2015 Kripke-modeller Vi ser på modeller for et språk L. Definisjon En Kripke-modell er et
DetaljerForelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen februar 2006
Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen - 27. februar 2006 1 Frsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon og presiseringer Et frsteordens sprak L bestar av: 1. Logiske symboler
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse
DetaljerRepetisjon og noen løse tråder
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Repetisjon og noen løse tråder Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15
DetaljerDefinisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.
Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar
DetaljerForelesning 6: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Martin Giese februar 2008
Forelesning 6: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Martin Giese - 25. februar 2008 1 Innledning til førsteordens logikk 1.1 Introduksjon I utsagnslogikk kan vi analysere de logiske konnektivene,,
DetaljerFørsteordens logikk - syntaks
INF3170 Logikk Forelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Førsteordens logikk - syntaks 23. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:42) INF3170
DetaljerINF1800 Forelesning 17
INF1800 Forelesning 17 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon og kommentarer Vi skal nå kunne Utsagnslogikk: syntaks og semantikk
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 17: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 6: Førsteordens logikk syntaks og semantikk. Martin Giese. 25. februar 2008.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 6: og semantikk Martin Giese Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 1 Innledning til førsteordens logikk 2 25. februar 2008 3 Institutt for informatikk (UiO)
DetaljerINF1800 Forelesning 4
INF1800 Forelesning 4 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 27. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:39) Før vi begynner Praktiske opplysninger Kursets hjemmeside blir stadig oppdatert: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/inf1800/
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 4: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 27. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:39) Før vi begynner Praktiske opplysninger
DetaljerForelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler
DetaljerINF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk
DetaljerVelkommen! Utsagnslogikk. Andreas Nakkerud. 20. august 2015 INF3170 / INF4171. Andreas Nakkerud. Syntaks og semantikk. Utsagnslogikk.
Velkommen! 20. august 2015 Velkommen til 2 forelesninger per uke (tirsdag og torsdag) 1 gruppetime per uke (mandag) Valgfritt (nesten) fordypningspensum for Artikkelseminar 2 eller 3 obligatoriske innleveringer
DetaljerINF3170 Forelesning 4
INF3170 Forelesning 4 Sunnhet og kompletthet - 16. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:43) Dagens plan Innhold Sunnhet 1 Introduksjon.......................................... 1 Bevaring av falsifiserbarhet..................................
DetaljerRepetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk. 2 Førsteordens sekventkalkyle. 3 Sunnhet av førsteordens sekventkalkyle. 1 Mengden T av termer i L:
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF1080
DetaljerBeregn minutter til å se gjennom og fullføre ubesvarte oppgaver på slutten av eksamenstiden.
Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen - 21. mai 2007 1 Generelle eksamenstips 1.1 Disponér tiden! Sett opp et grovt tidsbudsjett. En tre timers eksamen har 3 * 60 = 180 minutter. Oppgavene
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerForelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å
DetaljerINF3170 / INF4171. Normalisering. Andreas Nakkerud. 24. september 2015
INF3170 / INF4171 Andreas Nakkerud 24. september 2015 [σ ] 2 E [σ ] 2 [ ψ] 1 σ E E I ψ ψ σ σ E I 1 ( ψ) σ I 2 (σ ) (( ψ) σ) [σ ] 1 σ E I ( ψ) σ (σ ) (( ψ) σ) I 1 Forberedelse efinisjon Formelene rett over
DetaljerEn formel er gyldig hviss den sann i alle tolkninger. Kan dette sjekkes automatisk?
Utsagnslogikk En formel er gyldig hviss den sann i alle tolkninger Tolkning = linje i sannhetsverditabell Altså: En formel er gyldig hviss den har T i alle linjene i sin sannhetsverditabell. Dette kan
DetaljerSekventkalkyle for første ordens predikatlogikk uten likhet
Sekventkalkyle for første ordens predikatlogikk uten likhet Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 29/9 07 Vi definerer sekventer for predikatlogikk på samme måte som i utsagnslogikk. En sekvent består
DetaljerLogiske symboler. Ikke-logiske symboler. Konnektiver Kvantorer Har fast tolking
Inf 3170 Logiske symboler Konnektiver Kvantorer Har fast tolking Ikke-logiske symboler Relasjonssymboler Funksjonssymboler Ariteten er alltid gitt Tolkningen kan variere Vi får formelspråket Start med
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Forstå teksten og begrepene! Disponér tiden! Forelesning 15: Oppgaveløsing. Christian Mahesh Hansen. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen 1 Generelle eksamenstips Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 21. mai 2007 Institutt for informatikk (UiO)
Detaljer1 Utsagnslogikk (10 %)
1 Utsagnslogikk (10 %) a1) A A, C A A C A B A B (A C) B, C B B C B B, C A, C B, C A C B C A C B C B (A C) A (B C) B (A C) Utledningen lukkes ikke og vi får følgende valuasjon v som falsifiserer formelen:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. november 2012 Tid for eksamen: 13:00 16:00 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Fri-variabel sekventkalkyle. Forelesning 10: Automatisk bevissøk II fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet.
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 10: fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet Martin iese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. april 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 Logikk
DetaljerINF3170 Forelesning 2
INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt
DetaljerLitt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel
INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02
DetaljerDagens plan INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk. Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen
Dagens plan INF3170 Logikk Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 23.
DetaljerSunnhet og kompletthet av sekventkalkyle for utsagnslogikk
Sunnhet og kompletthet av sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle System for å bevise sekventer fra aksiomer ved hjelp av regler Bevis er oppstilling som viser hvordan nye sekventer kan avledes
DetaljerINF4170 { Logikk. Forelesning 1: Utsagnslogikk. Arild Waaler. 20. august Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF4170 { Logikk Forelesning 1: Utsagnslogikk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 20. august 2013 Dagens plan 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Institutt
DetaljerMerk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!
Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:
DetaljerINF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 6
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 6 Normalformer Negasjons normalform I dette oppgavesettet skal vi se nærmere på normalformer. Formelen (P Q) kan også skrives som P Q. Formlene er ekvivalente, dvs.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerForelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen mars 2006
Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen - 27. mars 2006 1 Kompletthet av LK 1.1 Overblikk Vi skal na bevise at LK er komplett. Ikke bare er LK sunn, den kan ogsa vise alle gyldige
DetaljerHvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning.
Forelesning 12: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Christian Mahesh Hansen - 30. april 2007 1 Kompletthet av fri-variabel LK Teorem 1.1 (Kompletthet). Hvis Γ er gyldig,
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle. Arild Waaler. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 1: Introduksjon. og sekventkalkyle Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 21. januar 2008 3 Institutt for informatikk
DetaljerDatabaser fra et logikkperspektiv
Databaser fra et logikkperspektiv Evgenij Thorstensen IFI, UiO Høst 2013 Evgenij Thorstensen (IFI, UiO) Databaser fra et logikkperspektiv Høst 2013 1 / 31 Outline 1 Logikk som verktøy 2 Relasjonsdatabaser
DetaljerLØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle. Roger Antonsen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 15:10) Utsagnslogikk INF3170
DetaljerKompletthet av LK. INF3170 Logikk. Overblikk. Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet. Roger Antonsen
INF370 Logikk Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kompletthet av LK 3. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-3 2:04) INF370 Logikk
DetaljerForelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler januar 2008
Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler - 21. januar 2008 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: Martin Giese (martingi@ifi.uio.no) Arild Waaler
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerINF1800 Forelesning 6
INF1800 Forelesning 6 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk Hvordan fange inn utsagn? Jeg spiser det hvis det er godt. Jeg spiser
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 6: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk
DetaljerINF3140 Modeller for parallellitet INF3140/4140: Programanalyse
INF3140/4140: Programanalyse Uke 4, side 1. Hvordan sjekke egenskaper ved programmer? Testing eller debugging øker tilliten til programmet ved prøving, men gir ingen garanti for korrekthet Operasjonell
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11 01:52) Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)
DetaljerFørsteordens sekventkalkyle
INF3170 Logikk Forelesning 7: Sekventkalkyle for førsteordens logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Førsteordens sekventkalkyle 16. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 2. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-04 17:26) Praktisk informasjon Endringer
DetaljerPraktisk informasjon INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK. Endringer i undervisningen. Spørreskjemaet.
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Praktisk informasjon Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 2. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-04 17:26) Endringer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet. Christian Mahesh Hansen. 5.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 5. mars 2007 Institutt for informatikk
DetaljerINF1800 Forelesning 20
INF1800 Forelesning 20 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:51) Mer om førsteordens logikk Tillukninger Vi har definert semantikk kun for lukkede formler.
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Kompletthet følger fra modelleksistens. Kompletthet. Definisjon (Kompletthet) Teorem (Modelleksistens)
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 4. juni 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 04.06.2007
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:50) Mer om førsteordens
DetaljerMer om førsteordens logikk
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Mer om førsteordens logikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22
DetaljerForelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007 1 Førsteordens sekventkalkyle 1.1 Introduksjon Vi har til nå sett sekventkalkyle for utsagnslogikk. Vi
DetaljerIntuisjonistisk logikk
INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Intuisjonistisk logikk 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) INF3170 Logikk
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk. Roger Antonsen. 27. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) Intuisjonistisk logikk INF3170 Logikk
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Negasjon som bakgrunn for intuisjonistisk logikk. Til nå i kurset. Forelesning 9: Intuisjonistisk logikk.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 9: Arild Waaler 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 Konsistens 19. mars 2007 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 19.03.2007 2 / 28 Innledning
DetaljerINF3170 Forelesning 11
INF3170 Forelesning 11 Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) Innhold Intuisjonistisk logikk 1 Innledning........................................... 1
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Resolusjon: regel og utledninger. Overblikk. Definisjon. Forelesning 14: Avanserte emner. Christian Mahesh Hansen
INF3170 Logikk Forelesning 14: Avanserte emner Dagens plan 1 Christian Mahesh Hansen 2 Dualiteter Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 14. mai 2007 4 5 Teorier, aksiomer og ufullstendighet
DetaljerBevis for sunnhet (og kompletthet) av bevissystemet med hensyn på semantikken
Forelesning 4: Intuisjonistisk logikk Arild Waaler - 11. februar 2008 1 Intuisjonistisk logikk 1.1 Innledning Til nå i kurset Det utsagnslogiske språket: konnektiver og formler Bevissystem:LK og DPLL for
DetaljerDefinisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen - 4. juni 2007 1 Kompletthet 1.1 Introduksjon Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 7: Predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. februar 2008 Oppsummering Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel ((p q) r) Eksempel (p (q r))
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 7: Predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. februar 2008 Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære
DetaljerLøsningsforslag oblig. innlevering 1
Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,
DetaljerDet betyr igjen at det får verdien F nøyaktig når p = T, q = T og r = F.
Forelesning 7 Dag Normann - 4. februar 2008 Oppsummering Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel og de utsagnslogiske bindeordene,,, og. Vi har sett hvordan vi kan undersøke egenskapene
DetaljerForelesning januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk
Forelesning 2-30. januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon INF5170 { Logikkseminar Tirsdager 14:15-16:00 pa Buerommet (3. etg, I). Flg med pa forskning og aktuelle temaer
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet 1 Sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen 2 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 5. februar 2007
DetaljerOversettelse / Formalisering
Oversettelse / Formalisering P K + x (P(x) K(x)) Noen politikere er korrupte. Det fins en korrupt politiker. En politiker er korrupt. P - K x (P(x) K(x)) x (P(x) K(x)) x ( P(x) K(x)) x (P(x) K(x)) P K
DetaljerINF1800 Forelesning 15
INF1800 Forelesning 15 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59) Sekventkalkyle for utsagnslogikk Introduksjonseksempel Hvordan finne ut om en gitt formel er en
DetaljerKapittel 4: Logikk (predikatlogikk)
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11
Detaljerv : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til
DetaljerForelesning januar 2006 Introduksjon, mengdelre og utsagnslogikk. 1 Praktisk informasjon. 1.1 Forelesere og tid/sted. 1.2 Obliger og eksamen
Forelesning 1-23. januar 2006 Introduksjon, mengdelre og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: { Christian Mahesh Hansen (chrisha@ifi.uio.no) { Roger Antonsen (rantonse@ifi.uio.no)
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 15: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59) Sekventkalkyle for utsagnslogikk
DetaljerSekventkalkyle for utsagnslogikk
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 15: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Sekventkalkyle for utsagnslogikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59)
DetaljerFørsteordens sekventkalkyle
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Førsteordens sekventkalkyle Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28 16:50) Førsteordens sekventkalkyle
DetaljerEn repetisjon hrj høst 2009
En repetisjon hrj høst 2009 Data Maskin Data Syntaktiske objekter - endelige Mengde { } Multimengde [ ] Liste < > Symbol String = Liste av symboler Vi kan alltid finne ut om to syntaktiske objekter er
DetaljerForelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007
Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007 1 Sekventkalkyle 1.1 Semantikk for sekventer Semantikk for sekventer Definisjon 1.1 (Gyldig
DetaljerKapittel 4: Logikk (predikatlogikk)
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 14:22)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave
Detaljer