Regneøvelse 22/5, 217 Arne Bang Huseby Eksamen STK11 212: oppgave 1 og 2 Eksamen STK11 28: oppgave 1) og 2
Eksamen 212, oppgave 1 Ved en bestemt butikk i en større dagligvarekjede viser langvarige data at: 3% av kundene handler for mindre enn kr. 5, 4% av kundene handler for kr. 5 eller mer men mindre enn kr. 1, mens de resterende 3% av kundene handler for kr. 1 eller mer. Videre viser dataene at henholdsvis 4%, 7% og 9% av kundene i de tre gruppene kommer i bil.
a) Innfør en passende notasjon for de fire begivenhetene over og uttrykk prosenttallene som passende tilhørende sannsynligheter. A 1 = Kunden handler for mindre enn kr. 5. A 2 =Kundenhandlerforkr. 5ellermermenmindreennkr. 1. A 3 =Kundenhandlerforkr. 1ellermer. B =Kundenkommeribil. P A 1 )=.3,PA 2 )=.4,PA 3 )=.3 P B A 1 )=.4,PB A 2 )=.7,PB A 3 )=.9
b) Hva er sannsynligheten for at neste kunde handler for mindre enn kr. 5 og kommer i bil? A 1 = Kunden handler for mindre enn kr 5 B = Kunden kommer i bil P A 1 \ B) =P B A 1 )P A 1 )=.4.3 =.12
c) Hva er sannsynligheten for at neste kunde kommer i bil? \ Ut fra setningen om total sannsynlighet har vi: P B) =P B A 1 )P A 1 )+PB A 2 )P A 2 )+PB A 3 )P A 3 ) =.4.3+.7.4+.9.3 =.67
d) Anta vi ser at neste kunde kommer i bil. Hva er sannsynlighetene for at vedkommende handler for henholdsvis mindre enn kr. 5, kr. 5 eller mer men mindre enn kr. 1, kr. 1 eller mer? Ut fra Bayes setning har vi: P A 1 B) =[P B A 1 )P A 1 )]/P B) =.12/.67 = 12/67 =.179 P A 2 B) =[P B A 2 )P A 2 )]/P B) =.7.4)/.67 = 28/67 =.418 P A 3 B) =[P B A 3 )P A 3 )]/P B) =.9.3)/.67 = 27/67 =.43
Eksamen 212, oppgave 2 Lederen for butikken er interessert i hvor lenge den enkelte kunde er der. Innfør følgende tilfeldige variabel: X = Antall minutter en tilfeldig valgt kunde oppholder seg i butikken. Ut fra noen data har en kommet frem til at X er uniformt [, ] fordelt, der er en ukjent parameter. Sannsynlighetstettheten til X er da gitt ved: f X x) = 1 apple x apple ellers 1) a) Vis at og.
a) Vis at EX = /2 og V X) = 2 /12. EX = R x/ )dx =[x2 /2] / = /2 EX 2 = x 2 / )dx =[x 3 /3] / = 2 /3 V X) =EX 2 EX) 2 = 2 /3 2 /4= 2 /12
b) Anta at X 1,...,X n er n uavhengige tilfeldige variable, svarende til n kunder som oppholder seg i butikken, hver med samme sannsynlighetstetthet som X. La X np = 1 X n i. Beregn E X og V X). i=1 E X = 1 n nx EX i = 1 n nx /2 = /2 i=1 i=1 Siden X 1,...,X n er uavhengige tilfeldige variable, er: V X) = 1 n 2 nx V X i )= 1 n 2 nx 2 /12 = 2 /12n) i=1 i=1
c) Foreslå en forventningsrett estimator for. Begrunnsvaret.Hvaer estimatorens X varians? X Foreslår estimatoren ˆ =2 X for. Den er forventningsrett siden: E ˆ = E2 X) =2 /2 = V ˆ ) =V 2 X) =4V X) =4 2 /12n) = 2 /3n)
d) Anta n =192. Bruk sentralgrenseteoremet til å bestemme en tilnærmet verdi for sannsynligheten P X apple 2) uttrykt ved. Kommenter resultatet for =4. P P X X /2 apple 2) = P / p 12 192 apple 2 /2 /48 ) 96/ 24) For =4redusererdettesegtil ) =.5. Dette skyldes at normalfordelingen er symmetrisk om sin forventningsverdi og dermed blir sannsynligheten lik.5 for at en normalfordelt tilfeldig variabel antar verdier mindre enn denne forventningsverdien. Faktisk gir normaltilnærmingen eksakt svar i dette tilfellet fordi det kan vises at gjennomsnittet av X-ene uansett vil ha en fordeling som er symmetrisk om sin forventningsverdi i dette tilfellet.
e) Anta fortsatt at n =192og at x = 1 192 192 P i=1 x i =2der x 1,...,x 192 er de observerte verdiene av X 1,...,X 192. Finn et tilnærmet 95% konfidensintervall for. Brukatfor N, 1) er P [ apple 1.96] =.25. Vi har: P 1.96 apple X /2 /48 apple 1.96).95 Dette er ekvivalent med at: P 2 X 1.96 /24 apple apple 2 X +1.96 /24).95 Dette gir følgende tilnærmete 95% konfidensintervall for : 2 x±1.96 ˆ /24 = 2 x±1.96 2 x/24 = 2 2±1.96 2 2/24 = 36.73, 43.27) 6
f) Vis at den momentgenererende funksjonen til X er gitt ved: M X t) =Ee tx = e t 1 t t 6= 1 t= 2) g) Anta at og er 2 uavhengige tilfeldige variable, svarende ± ± ± Anta t 6=. M X t) =Ee tx = M X ) = E[e X ] = E[e ] = E[1] = 1 e tx / )dx =[e tx /t] / = e t 1 t Det kan forøvrig vises at den momentgenererende funksjonen blir kontinuerlig i.
g) Anta at X 1 og X 2 er 2 uavhengige tilfeldige variable, svarende til 2 kunder som oppholder seg i butikken, hver med samme sannsynlighetstetthet som X. LaV = X 1 + X 2.Butikksjefenlurerpå hva sannsynlighetstettheten til V er og spør en student i STK11 om åberegnedenne.nestedagkommerstudentenmedfølgendeforslag: v apple v apple f V v) = 2 3) 2 v apple v apple 2 2 Beregn EV ved å benytte uttrykket for f V v). Tydersvaretpåat studenten har regnet riktig? Begrunn svaret. EV =[ v 2 dv + 2 2v v 2 )dv]/ 2 =[ 3 /3+ [v 2 ] 2 =[ 3 /3+4 3 3 8 3 /3+ 3 /3]/ 2 =[3 3 2 3 ]/ 2 = [v 3 /3] 2 ]/ 2 Dette stemmer siden EV = EX 1 +X 2 )=EX 1 +EX 2 = /2+ /2 =. 6
h) Beregn den momentgenererende funksjonen M V t) ved å benytte uttrykket for f V v). Kommenterresultatet. Anta t 6=. SLUTT M V t) =Ee tv =[ =[ =[[e tv v] /t e tv vdv + e 2t e tv dv/t e tv vdv + 2 e tu udu]/ 2 e tv 2 v)dv]/ 2 e 2t [e tu u] /t + e 2t =[e t /t [e tv ] /t 2 e 2t e t /t + e 2t [ e tu ] /t 2 ]/ 2 =[ e t +1+e 2t 1 e t )]/ 2 t 2 ) =[e 2t 2e t +1]/ 2 t 2 )=e t 1) 2 / 2 t 2 ) M V ) = E[e V ] = E[e ] = E[1] = 1 e tu du/t]/ 2 u =2 v =2 v u Dermed har vi for alle t at M V t) =M X1 t)m X2 t). Fordi den momentgenererende funksjonen entydig definerer sannsynlighetsfordelingen, må uttrykket for f V v) værekorrekt.
Eksamen 28, oppgave 1 La T være tiden det tar i minutter) å betjene en kunde i kassakøen i en butikk. T har kumulativ fordeling F t) = 1 e t 2 for t> for t apple apple
apple a) Bestem P T apple 1), dvs. sannsynligheten for at det tar høyst ett minutt å betjene en kunde. Hva er sannsynligheten for at det tar mellom ett og to minutter å betjene en kunde? Vi har at P T 1) = F 1) = 1 e 12 =1 e 1 =.632 Videre er P 1 T 2) = F 2) F 1) = 1 e 22 1 e 12 ) = e 1 e 4 =.35
b) Bestem median betjeningstid. Median betjeningstid t.5 er gitt ved at F t.5 )=1/2. Det gir 1 e t2.5 = 1/2 e t2.5 = 1/2 t 2.5 = log 2 p t.5 = p log 2 p Median betjeningstid er p log 2 =.833 minutter, dvs. 6.833 = 5 sekunder.
c) Finn sannsynlighetstettheten til U = T 2. p Hvilken kjent fordeling har U? For u> er den kumulative fordelingen til U gitt ved F U u) = P U u) =P T 2 u) =P T p u) = F p u)=1 e p u) 2 =1 e u For u erf U u) =. Sannsynlighetstettheten til U er derfor gitt ved f U u) =F Uu) = e u for u> for u U er eksponentialt fordelt med parameter = 1.
Eksamen 28, oppgave 2 De stokastiske variablene X og Y har simultan sannsynlighetstetthet f XY x, y) = kxy for <x<y<1 ellers der k er en konstant.
a) Vis at k = 8. Vi har at 1 1 f XY x, y) dxdy = y kxy dxdy = k y µ y xdx dy = k y y2 2 dy = k 2 y 3 dy = k 2 1 4 = k 8 Vi skal ha R 1 1 R 1 1 f XY x, y) dxdy =1. Derforerk =8.
b) Vis at den marginale sannsynlighetstettheten til Y er gitt ved R 1 R R 1 R f Y y) = 4 y 3 for <y<1 ellers For <y<1 er den marginale sannsynlighetstettheten til Y gitt ved f Y y) = 1 f XY x, y) dx = y 8xy dx = 8y y xdx=8y y2 2 =4y3 Ellers er den marginale tettheten lik null. Vi har altså at f Y y) = 4 y 3 for <y<1 ellers
c) Finn EY ) og VarY ). Vi har at Videre er EY ) = = 4 EY 2 ) = 1 1 yf Y y) dy = y 4y 3 dy y 4 dy =4 1 5 = 4 5 =.8 y 2 f Y y) dy = y 2 4y 3 dy = 4 y 5 dy =4 1 6 = 4 6 slik at VarY )=EY 2 ) EY ) 2 = 4 6 µ 4 5 2 =.267
d) Finn den marginale sannsynlighetstettheten til X. Er X og Y uavhengige? µ For < x < 1 er den marginale sannsynlighetstettheten til X gitt ved f X x) = = 8x 1 f XY x, y) dy = x x 8xy dy ydy=8x 1 2 1 x2 )=4x1 x 2 ) Ellers er den marginale tettheten lik null. Vi har altså at f X x) = 4x1 x 2 ) for <x<1 ellers Vi ser at f XY x, y) 6= f X x)f Y y). Derfor er X og Y ikke uavhangige.
e) Finn sannsynlighetstettheten til V = X/Y. For <v<1 er den kumulative fordelingen til V = X/Y gitt ved µ F V v) = P V v) =P X/Y v) =P X vy ) vy µ vy = 8xy dxdy =8 y xdx dy =8 y v2 y 2 2 dy = 4v 2 y 3 dy =4v 2 1 4 = v2 For v erf V v) =,ogforv>1erf V v) = 1. Sannsynlighetstettheten til V er derfor gitt ved f V v) =F V v) = 2v for <v<1 ellers