Karl Erik Sandvoll m.fl. Sigma1 Helse- og sosialfag Gyldendal undervisning
# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2006 1. utgave, 1. opplag Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det yrkesfaglige utdanningsprogrammet medier og kommunikasjon. Printed in Norway by PDC Tangen, 2006 ISBN 13: 978-82-05-34930-8 ISBN 10: 82-05-34930-4 Redaktør: Ellen Semb Bilderedaktør: Sissel Falck Design: Gamma grafisk Vegard Brekke og Hild Mowinckel Sats og layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne Omslagsdesign: Hild Mowinkel Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Getty Images Illustratør: Anja Ruud Bilder, illustrasjoner: Side 8: Peter Till/Getty Images, s. 12: Scanpix, s. 13: Corbis/Scanpix, s. 16: ø. Ole Moksnes AS, n. George Widman/Scanpix, s. 17: Jason Reed/Scanpix, s. 18: Terje Mortensen/Scanpix, s. 20: Ørn E.Borgen/Scanpix, s. 22: Lawrence Lawry/Science Photo Library/GV-Press, s. 23: Jean- Yves Bruel/Masterfile/Scanpix, s. 29: t.v. CERN/Science Photo Library/GV-Press, t.h. Dylan Martinez/Scanpix, s. 32: t.v. GBA/Photodisc, s. 41: t.v. Ulf Carlsson, s. 42: t.v.ø. GBA/Corel, s. 44: Sverre A.Børretzen/Scanpix, s. 50: Jon Asgeir Lystad/ Scanpix, s. 51: Stanley Brown/Getty Images, s. 59: Scanpix, s. 63: Ole Moksnes AS, s. 65: GBA/Photodisc, s. 69: Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s. 75: John Lund/Getty Images, s. 76: Hugh Sitton/Getty Images, s. 88, s 97, s 98: Wenche Dypbukt,, s. 93: Ole Moksnes AS, s. 99: Anne Langdalen, s. 102: Daly & Newton/ Getty Images, s. 106 t.v., s. 110 n., s. 111 t.v.ø., s. 119: Ulf Carlsson, s. 120: t.h.ø. og s. 123 t.v.ø.: John Arne Eidsmo, s. 128: Jason Reed/Scanpix, s.136: #Trondheim kommune, Kart-og oppmålingskontoret, s. 137: Ole Moksnes AS, s. 138, s. 139: GBA, s. 143: Ole Moksnes AS, s. 148 og s. 162: M.C.Escher s Symmetry Drawing E18 #2006 The M.C.Escher Company-Holland. All rights reserved.www.mcescher.com, s.158: GBA, s. 159: t.v.m og n.: # Casterman/Distr. by PIB Copenhagen 2006, s. 163: t.v.m.unni Brakestad, t.h. GBA, s. 165 t.h. og s. 166: GBA, s. 168: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes, 1912. New York Museum of Modern Art (MoMA). Olje på lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy Bequest.32.1960. #Foto SCALA, Firenze, s. 171: Knut Falch/Scanpix, s. 172, s 173, s 174 ø.: Ole Moksnes AS, s. 174 n.: E.H.Shepard Copyright under the Berne Convention.# by Reed International Books Ltd., s. 175: GBA/Photodisc, s. 176: Liv Hegna/Scanpix, 178: Ole Moksnes AS, 179: Ragnar Axelsson/Scanpix, s. 186, s 190: Ole Moksnes AS, s. 194: Adam Gault/Getty Images, s. 196: Ole Moksnes AS, s. 204: Trygve Indrelid/Scanpix, s.207: GBA/Photodisc, s.214: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 226 og s 227: : Diplom-is. Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no
3 Til deg som skal bruke læreverket Dette læreverket dekker kompetansemålene Forskerspiren og Stråling og radioaktivitet i læreplanen i naturfag for Vg1. Alt fagstoff, oppgaver og forslag til aktiviteter er samlet i denne boka. Det er utviklet et eget nettsted til læreverket med utfyllende stoff, oversikt over egnede nettsteder, forslag til feltarbeid og andre elevaktiviteter. Nettstedadressen er: http://www.gyldendal.no/senit. I starten av hvert kapittel finner du en kort innledning og en oversikt over hva du skal jobbe med i dette kapitlet. Læreplanen står samlet bak i boka. Kompetansemålene denne boka er skrevet etter, er markert med rød skrift. Det er skrevet tilsvarende bøker for de andre kompetansemålene i læreplanen. Kapitlene veksler mellom to typer tekst. Hovedteksten presenterer og forklarer det naturfaglige lærestoffet. «Blåteksten» tar opp ulike problemstillinger, eksempler og annet aktuelt stoff med tilknytning til innholdet i hovedteksten. De vekker nysgjerrighet og knytter faget til hverdagsopplevelser. Mange av momentene i læreplanen er tatt opp i «blåteksten». For å gjøre arbeidet med stoffet lettere har vi tatt med noe repetisjonsstoff fra grunnskolen der du kan ha bruk for det. Dette stoffet er markert i teksten som repetisjonsstoff og på grønn bakgrunn. Hvert kapittel avsluttes med et sammendrag. Kontrolloppgavene er plassert der det er naturlig å stoppe opp og oppsummere hva du har fått med deg så langt i kapittelet. Bakerst finner du oppgaver som er tydelig merket med fargekode for vanskelighetsgrad. Oppgaver med rødt nummer er vanskeligere enn de andre. Gruppe- og nettoppgaver stimulerer til både muntlig og skriftlig aktivitet. En oppgave med overskriften «Utfordring» er en større oppgave som tester naturfaglig tekstforståelse. Til slutt kommer forslag til elevforsøk. Arbeidet med naturfag vil gi deg grunnleggende kunnskaper som skal hjelpe deg til å forstå erfaringer du selv gjør, og informasjon du tar imot om kropp og helse, om teknologi og naturvitenskap og om naturen omkring deg. De grunnleggende kunnskapene skal også sette deg i stand til å erobre ny kunnskap, enten det er i programfagene innenfor utdanningsprogrammet ditt, i arbeidslivet eller i senere studier. Arbeidet med naturfag skal dessuten gi deg et kunnskapsgrunnlag for å kunne vurdere informasjon, være med i diskusjoner og ta stilling til viktige samfunnsspørsmål. Det er vårt ønske at dette naturfagverket vil hjelpe deg i læringsarbeidet, og at det bidrar til å vekke interesse og glede mens du arbeider med faget. Trondheim og Stjørdal, februar 2006 Peter van Marion Hilde Hov Tone Thyrhaug Øyvind Trongmo
4
5
INNHOLD Kapittel 1 M LING OG BEREGNINGER 1 Sånn cirka avrunding og overslag... 10 2 Målenheter for lengde... 12 3 Omkrets hele veien rundt... 14 4 Flatemål... 16 5 Areal av enkle figurer... 18 6 Areal av sammensatte figurer... 20 7 Målenheter for vekt og volum... 22 8 Når 10 betyr 2... 24 9 Megastore tall... 26 10 Sammensatt eksempel... 28 SAMMENDRAG... 30 TEST DEG SELV... 31 Òvingsoppgaver... 32 Kapittel 2 REGNING OG FORMLER 1 Problemløsing husk å være lur... 46 2 Regnerekkefølge... 48 3 Alle de små reglene formelregning... 50 4 Lag dine egne formler... 52 5 Forholdstall og brøker... 54 6 Veien om 1.... 56 7 Sammensatte eksempler... 58 SAMMENDRAG... 60 TEST DEG SELV... 61 Òvingsoppgaver... 62 Kapittel 3 PROSENT 1 Hvor mange prosent er dette?... 78 2 Prosentfaktor hva er det?... 80 3 Vekstfaktor sparer deg for arbeid... 82 4 Når grunnlaget er ukjent... 84 5 Prosentpoeng ikke det samme som vanlig prosentregning... 86 6 Sammensatt eksempel... 88 SAMMENDRAG... 90 TEST DEG SELV... 91 Òvingsoppgaver... 92 Kapittel 4 GRAFISKE FRAMSTILLINGER OG PROPORSJONALITET 1 Grafisk presentasjon... 104 2 Bruk av figurer for å sammenlikne data... 106 3 Noen spesialtilfeller... 108 4 Kan du stole på grafiske framstillinger?... 110 5 Proporsjonale størrelser... 112 6 Omvendt proporsjonale størrelser... 114 7 Sammensatt eksempel... 116 SAMMENDRAG... 118 TEST DEG SELV... 119 Òvingsoppgaver... 120 6 INNHOLD
Kapittel 5 MER OM M LING OG AREAL 1 Pytagoras og sidelengder... 130 2 Omkrets og areal ved hjelp av Pytagoras setning... 132 3 Formlikhet... 134 4 Målestokk... 136 5 Det gylne snitt... 138 6 Perspektivtegning... 140 7 Arbeidstegninger... 142 8 Mangekanter... 144 9 Tesselering med regulære mangekanter... 146 10 Tesselering med andre grunnfigurer... 148 11 Sammensatt eksempel... 150 SAMMENDRAG... 152 TEST DEG SELV... 153 Òvingsoppgaver... 154 Kapittel 6 VOLUM OG OVERFLATE 1 Rommål hvor stort er innholdet?... 170 2 Volum av prismer og sylindrer... 172 3 Volum av kjegler, kuler og pyramider... 174 4 Volum av sammensatte figurer... 176 5 Overflata av enkle og sammensatte figurer... 178 6 Sammensatt eksempel... 180 SAMMENDRAG... 182 TEST DEG SELV... 183 Òvingsoppgaver... 184 Kapittel 7 ÒKONOMI 1 Indekser da kroneisen kostet en krone.. 196 2 Indeksformelen leses like godt bak fram... 198 3 Gir mer penger alltid bedre råd? Reallønn og kroneverdi... 200 4 Lønn som fortjent timelønn og akkord.. 202 5 Provisjon, bonusordninger og frynsegoder... 204 6 Hva har vi å rutte med? Lønn, feriepenger og skatt... 206 7 Vi spleiser på godene skatter og avgifter... 208 8 Hva bestemmer prisen på varer? Selvkostmetoden.... 210 9 Hva bestemmer prisen på varer? Bidragsmetoden... 212 10 Sparing forsiktig eller vågal?... 214 11 Lån røverkjøp eller landeveisrøveri?... 216 12 Forbruksmuligheter kjøp nå, betal etter hvert!... 218 13 Budsjett og regnskap viktige redskap i planlegging... 220 14 Sammensatt eksempel... 222 SAMMENDRAG... 224 TEST DEG SELV... 225 Òvingsoppgaver... 226 Fasit... 241 Stikkord... 267 L replan i matematikk... 268 INNHOLD 7
1 M LING OG BEREGNINGER
1.1 SÔnn cirka ^ avrunding og overslag Du skal l re ^ Ô avgjöre nôr det er behov for nöyaktighet i matematiske beregninger, og nôr vi kan gjöre overslag ^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nöyaktighet Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de 42 000 første desimalene utenat! Men trenger vi alltid å være så nøyaktige? Tenk deg at du er på IKEA og kjøper bilder. Du har dette i handlekurven: «Rød rose»: «Epler»: «Solsikke»: kr 167;50=kg kr 218;50=kg kr 107;50=kg Du har en femhundrelapp på deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet om du har nok penger? Knepet er å gjøre et overslag, det vil si at du runder av tallene. Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi på første desimal. Er denne desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi på andre desimal på samme måte, og så videre. TALLET er definert som omkretsen av en sirkel dividert med diameteren ¼ O=d.Vanligvis nöyer vi oss med to desimaler og skriver 3,14. Avrunding av 7,2356 nærmeste titall 10 nærmeste heltall 7 1 desimal 7,2 2 desimaler 7,24 3 desimaler 7,236 EKSEMPEL 1 a) Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for å finne ut om bildene i eksemplet ovenfor koster mer enn 500 kroner? b) Du ønsker å ramme inn «Solsikke» på nytt. Bildet har form som et rektangel med bredden b ¼ 37;43 cm og høyden h ¼ 62; 56 cm. Hvor mange centimeter rammeverk bør du bestille? Løsning: a) Vi runder av oppover til nærmeste titall og legger sammen: 167;50 170 og 218;50 220 og 107;50 110 kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500 Siden vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok! b) Vi runder av til én desimal og legger sammen: 37;43 cm 37;4 cm og 62;56 cm 62;6 cm 2 b þ 2 h ¼ 2 37;4 cmþ 2 62;6 cm¼ 200;0 cm Er 200 cm nok? Burde vi runde av annerledes? 10 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 2 Ella arbeider i reklamebyrået Svada og skal designe en reklameplakat for et matvarefirma. Hun skal bruke et bilde med bredde b ¼ 3;6 cm og høyde h ¼ 5;4 cm. For at bildet skal passe på plakaten, må det forstørres 500 ganger. Ella vurderer å runde av verdien av bredden og høyden til hele tall før hun forstørrer. Kan hun trygt gjøre det? Løsning: Vi runder av til hele tall for bredden og høyden: b 4;0 cm og h 5;0 cm Så forstørrer vi: B ¼ 4;0 cm 500 ¼ 2000;0 cm¼ 20;0 m H ¼ 5;0 cm 500 ¼ 2500;0 cm¼ 25;0 m Vil dette bildet passe på plakaten? Vi forstørrer uten å runde av: B ¼ 3;6 cm 500 ¼ 1800;0 cm¼ 18;0 m H ¼ 5;4 cm 500 ¼ 2700;0 cm¼ 27;0 m Ella får 2 m i avvik både for bredden og høyden! Avrundinger kan gi store avvik når vi forstørrer. AKTIVITETER Oppgave 1.1 Rund av til én desimal: a) 1,23 b) 1,46 c) 6,96 d) 19,07 e) 4,555 f) 3,849 Oppgave 1.2 Rund av til to desimaler: a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968 d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445 Oppgave 1.3 Du er i dagligvarebutikken og handler mat. I handlekurven har du 1 purreløk: kr 9,50 3 liter melk à kr 9,00 per liter 1 brød: kr 14,50 500 g kjøttdeig: kr 40,50 Du står ved kassa og har en hundrelapp i lomma. Gjør overslag og bruk hoderegning for å finne ut om du unngår en pinlig situasjon. Oppgave 1.4 Klara skal regne ut jordas omkrets rundt ekvator. Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Klara runder av til 6400 km før hun regner ut omkretsen. Hvor stort avvik fra det korrekte svaret, målt i kilometer, får hun på grunn av avrundingen? Utfordring 1.5 Du er ansatt av Svada og skal lage en valgkampplakat for en kjent politiker. Som utgangspunkt har du et portrett med bredden 10,55 cm og høyden 18,48 cm. Bildet skal forstørres 200 ganger. a) Hvor store avvik får du dersom du runder av til hele tall før du forstørrer? b) Hvor mange ganger kan bildet forstørres dersom det skal passe til en plakat med bredden 9 m og høyden 15 m? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 11
1.2 MÔlenheter for lengde Du skal l re ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for lengde Den kinesiske mur ble påbegynt rundt 300 f.kr. Muren er om lag 6 000 000 m lang og ca. 1500 cm høy på sitt høyeste. Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer og høyden til meter? PREFIKSER kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10 desi ¼ 1 10 centi ¼ 1 100 milli ¼ 1 1000 Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste målenhetene for lengde: mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter mil km m dm cm mm 10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Vi gjør om fra centimeter til meter ved å dele med 100. Det er det samme som å flytte kommaet to plasser mot venstre. Den kinesiske mur er altså rundt 1500 cm ¼ 1500 m ¼ 15 m høy. 100 Vi gjør om fra meter til kilometer ved å dele med 1000. Det er det samme som å flytte kommaet tre plasser mot venstre. LENGDEMÅL Meter er grunnenheten for lengde. Hektometer og dekameter er sv rt lite brukt. 1mil svarer til10 km. Den kinesiske mur er 6 000 000 m ¼ 6000 km lang. EKSEMPEL 3 a) Hvor mange meter er 120 cm? b) Hvor mange meter er 2,7 km? Løsning: a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100: 120 cm ¼ 1;2 m 120 cm ¼ 120 100 m ¼ 1;2 m b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000: 2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m 2;7 km¼ 2;7 1000 m 2700 m OMGJØRING AV ENHETER NÔr vi regner om fra större til mindre môlenheter, bruker vi ofte -tegnet. Det gjör vi fordi större enheter gjerne inneholder usikkerhet. 12 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 4 Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen Paris Moskva på 14 dager. I luftlinje måler denne distansen om lag 2500 km. a) Hvor mange meter svarer det til? b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst? c) En engelsk mile er 1609 m. Hvor lang er distansen Paris Moskva i miles? Løsning: a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde: 2500 km ¼ 2500 1000 meter 2 500 000 meter b) En mil svarer til 10 km: 2500 km ¼ 2500 mil ¼ 250 mil 10 LØPERKONGEN Mensen Ernst ble födt i Sogn og Fjordane i1795 og döde i Egypt i1843. PÔ1800-tallet ble han beundret for sine löperprestasjoner over hele Europa. Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland og Russland til sammen! c) Vi gjør om fra meter til miles: 2 500 000 2 500 000 m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles 1609 AKTIVITETER Oppgave 1.6 Gjør om til meter: a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles Oppgave 1.10 Obelisken på Petersplassen i Vatikanet er om lag 25 m høy. Oppgave 1.7 Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er omtrent 17 m høy. a) Hvor høy er Monolitten i centimeter? b) Tommer er en annen målenhet. En tomme svarer til 2,54 cm. Hvor høy er Monolitten målt i tommer? Oppgave 1.8 Gjør om alle mål til centimeter og regn ut: a) 1;2 mþ 2;7 dmþ 320 cm þ 30 mm b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm c) 3;5 tommer þ 2dmþ 40 mm Oppgave 1.9 Gjør om alle mål til meter og regn ut: a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm b) 3 dm 4;5 tommer þ 12 cm þ 30 mm c) 4 km þ 1;243 miles 990 tommer a) Hvor høy er obelisken målt i fot? ð1 fot ¼ 0;3048 mþ b) Hvor høyt er dette kunstverket målt i tommer? c) Hvor mange tommer er det i en fot? Utfordring 1.11 Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst i gjennomsnitt per dag på turen Paris Moskva? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 13
1.3 Omkrets ^ hele veien rundt Du skal l re ^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets mest spektakulære pariserhjul, med en radius på 21 meter. Rektangel b l O = 2l + 2b Kvadrat s s O = 4s Parallellogram s g Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette pariserhjulet? Enn etter tolv runder? For å regne ut det må vi finne omkretsen av hjulet. Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle geometriske figurer. Siden et pariserhjul alltid har form som en sirkel, blir omkretsen O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 132 m Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du? Etter tolv runder med dette hjulet har du beveget deg 12 O ¼ 12 132 m ¼ 1584 m 1;6 km O = 2s + 2g Trapes c d b a O = a + b + c + d Trekant c b a O = a + b + c Sirkel r O = 2pr Vi gjør om til kilometer og runder av grovere enn ovenfor. Tenk gjennom hvorfor. EKSEMPEL 5 Et rektangel har lengden 40 cm og bredden 2,2 dm. Hvor mange centimeter er omkretsen? Løsning: Vi gjør om bredden fra desimeter til centimeter: 2;2 dm¼ 22 cm HUSK NÔr du skal regne ut omkretsen av en geometrisk figur, mô alle lengdene ha samme enhet! Omkretsen blir da O ¼ 2 l þ 2 b ¼ 2 40 cm þ 2 22 cm ¼ 124 cm 14 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 6 Karin skal sy et bånd langs kanten av en kjøkkenduk med form som vist på figuren. Hvor mange desimeter kantebånd trenger hun? Løsning: Duken består av et rektangel med en halvsirkel i hver ende. Til sammen utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Dukens omkrets blir derfor summen av omkretsen av en sirkel og omkretsen av rektanglets to langsider: O ¼ 2 l þ 2 r ¼ 2 26 dm þ 2 9dm¼ 108;549 dm 109 dm Her runder vi av oppover. Hvorfor? 18 dm Legg merke til at radien er lik halve diameteren: ¼ 9 dm. 2 Vi tar ikke med kortsidene på rektanglet i dukens omkrets. Studer figuren og finn ut hvorfor! 18 dm 26 dm AKTIVITETER Oppgave 1.12 Regn ut omkretsen i meter av en sirkel der a) r ¼ 2,18 cm b) r ¼ 18 dm c) d ¼ 0,637 km Oppgave 1.13 Finn omkretsen i centimeter av et rektangel der a) b ¼ 20 cm og l ¼ 40 cm b) b ¼ 30 cm og l ¼ 17 dm c) b ¼ 4 fot og l ¼ 2 tommer Oppgave 1.14 Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Hvor stor er avstanden i mil mellom to punkter på ekvator som ligger på nøyaktig motsatt side av jordkloden? Oppgave 1.15 Ernst er nesten ferdig med oppussingen og skal legge gulvlister i stua. Rommet har form som et rektangel med lengden 6 m og bredden 4 m. En 70 cm bred dør på den ene kortveggen går inn til kjøkkenet. På den ene langveggen finnes en tilsvarende dør ut mot gangen. Hvor mange meter listverk bør Ernst kjøpe inn? Oppgave 1.16 Regn ut omkretsen av figuren nedenfor: 13 cm Utfordring 1.17 Klaus har kjøpt en rull med julegavepapir. Papiret er rullet på en pappsylinder med lengden 80 cm og diameter lik 5 cm. a) Hvor stor er omkretsen av sylinderen? b) Det er 10 m gavepapir på rullen. Omtrent hvor mange runder er papiret tvinnet rundt pappsylinderen? c) Tenk gjennom hvilke feilkilder det er i svaret du fikk i b. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 15
1.4 FlatemÔl Du skal l re ^ at areal er et môl for störrelsen av en flate ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for areal En flate er todimensjonal og har ingen tykkelse. En firkantet flate er bare representert ved lengden og bredden. Til å oppgi størrelsen av en flate bruker vi betegnelsen areal. Tabellen viser sammenhengen mellom ulike målenheter for areal. kvadratkilometer kvadrathektometer kvadratdekameter kvadratmeter kvadratdesimeter kvadratcentimeter kvadratmillimeter km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001 Når vi skal gjøre om fra m 2 til dm 2,måvi gange med 100. Det er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre. For hver kolonne vi flytter oss i tabellen, må vi altså flytte kommaet to plasser. 14;25 m 2 ¼ 14;25 100 dm 2 ¼ 1425 dm 2 Vi gjør om fra m 2 til km 2 ved å dele med 1 000 000. Det er det samme som å flytte kommaet seks plasser mot venstre: 70 000 1 000 000 km2 ¼ 0;07 km 2 EUKLIDS DEFINISJONER ^ Et punkt er noe som ikke kan deles. ^ Ei linje er en lengde uten bredde. ^ En ate er noe som bare har lengde og bredde. ENHETER FOR AREAL Kvadratmeter, m 2,er grunnenheten for areal. Kvadratdekameter og kvadrathektometer brukes sv rt sjelden. EKSEMPEL 7 a) Hvor mange kvadratmeter er 17 400 cm 2? b) Hvor mange kvadratmeter er 564 000 mm 2? b) En serviett har et areal på 4dm 2. Hvor mange kvadratmeter utgjør det? d) New York by har et areal på 787 km 2. Gjør om til kvadratmeter. Løsning: a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre: 17 400 cm 2 ¼ 1;74 m 2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre: 560 000 mm 2 ¼ 0;56 m 2 c) Vi deler på 100: 4dm 2 ¼ 4 100 m2 ¼ 0;04 m 2 d) Vi ganger med 1 000 000: 787 km 2 ¼ 787 1 000 000 m 2 787 000 000 m 2 16 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 8 Pentagonbygningen i Arlington i USA er en av verdens største kontorbygninger. Den dekker 117 000 m 2 og har et bruksareal på 3 700 000 fot 2. Parken i midten er ca. 20;2 mål. a) Hvor mange mål dekker Pentagon? b) Hvor mange kvadratkilometer er parken i midten? c) Hvor mange hektar er bruksarealet? ð1 fot ¼ 0;3048 mþ STORE FLATER 1mål ¼ 1000 m 2 1hektar¼ 10 000 m 2 Løsning: a) Vi gjør om fra kvadratmeter til mål: 117 000 m 2 ¼ 117 000 m 2 : 1000 ¼ 117 mål b) Først gjør vi om fra mål til kvadratmeter: 20;2 mål ¼ 20;2 1000 m 2 ¼ 20 200 m 2 Deretter gjør vi om til kvadratkilometer: 20 200 m 2 ¼ 0;202 00 km 2 0;2 km 2 c) Vi gjør om fra kvadratfot til kvadratmeter: 1 fot 2 ¼ 0;3048 m 0;3048 m ¼ 0;0929 m 2 3 700 000 fot 2 ¼ 3 700 000 0;0929 m 2 ¼ 343 741 m 2 Så gjør vi om til hektar: 343 741 m 2 ¼ 343 741 m 2 : 10 000 34;3 hektar AKTIVITETER Oppgave 1.18 Gjør om til kvadratmeter: a) 180 cm 2 b) 2500 mm 2 c) 132 dm 2 d) 3;04 km 2 e) 0;2 mål f) 250 000 cm 2 Oppgave 1.19 Arealet av et A4-ark er 625 cm 2. Hvor stort blir arealet målt i kvadratmeter? Oppgave 1.20 Når vi skal oppgi arealet av et landområde, for eksempel en hustomt, bruker vi ofte enheten mål. a) Hvor mange kvadratmeter utgjør en tomt på 4,5 mål? b) Hvor mange mål er en tomt på 0;63 km 2? Oppgave 1.21 Kunstneren David Åberg fra Helsingborg har laget et maleri på hele 4000 m 2. Det er verdens største maleri malt på lerret. Hvor mange mål dekker maleriet? Oppgave 1.22 Dpi er en målenhet som viser hvor finkornet et bilde er. Dpi står for «dots per inch», som betyr piksler per tomme. En tomme er 2;54 cm. Et bilde har 1024 768 piksler. Hvor mange kvadratcentimeter måler bildet når oppløsningen er a) 300 dpi b) 150 dpi c) 75 dpi Utfordring 1.23 Du skal skanne et bilde på 10 cm 15 cm på 70 dpi. Hvor mange piksler består bildet av? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 17
1.5 Areal av enkle figurer Du skal l re ^ Ô regne ut arealet av enkle geometriske figurer Trekanter, firkanter og sirkler er eksempler på enkle geometriske figurer. Bildet nedenfor viser Ishavskatedralen i Tromsø, ferdigstilt i 1965. Rektangel b l A = l b Kvadrat Tabellen i margen viser formler for arealet av noen enkle geometriske figurer. For et kvadrat med sidelengde lik 5 cm blir arealet A ¼ s s ¼ s 2 ¼ 5cm 5cm¼ 25 cm 2 For et trapes der a ¼ 4cm,b ¼ 5cm og h ¼ 3 cm, blir arealet A ¼ EKSEMPEL 9 ða þ bþh 2 ¼ ð4cmþ 5cmÞ3cm 2 ¼ 13;5 cm 2 Et spisebord er formet som et rektangel med lengde 2;4 m og bredde 130 cm. a) Hvor stort er arealet av bordet? b) Vi dekker bordet med en duk, slik at duken henger 20 cm ned fra bordkantene på hver side. Hvor stort er arealet av duken? Løsning: a) For å få like enheter på lengden og bredden av bordet gjør vi om bredden fra centimeter til meter: 130 cm ¼ 1;3 m A ¼ l b ¼ 2;4 m 1;3 m¼ 3;12 m 2 b) Vi gjør om fra centimeter til meter: 20 cm ¼ 0;2 m Lengden av duken: l ¼ 2;4 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 2;8 m Bredden av duken: b ¼ 1;3 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 1;7 m Arealet av duken: A ¼ 2;8 m 1;7 m¼ 4;76 m 2 s s A = s s = s 2 Parallellogram h g A = g h Trapes b h a (a + b) h A = 2 Trekant h g g h A = 2 Sirkel r A = π r 2 HUSK NÔr du skal regne ut arealet av en geometrisk figur, mô alle lengdene ha samme enhet! 18 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 10 a) En trekant har grunnlinje 1 dm og høyde 6 cm. Hvor stort blir arealet av trekanten? b) I en sirkel er diameteren 1; 4 dm. Hva blir arealet av sirkelen? Løsning: a) Vi gjør om fra desimeter til centimeter for grunnlinja: 1dm¼ 10 cm. Vi bruker formelen for arealet av en trekant: A ¼ g h 2 ¼ 10 cm 6cm 2 ¼ 30 cm 2 6 cm 1 dm b) Radien i en sirkel er halvparten av diameteren: 1;4 dm 2 ¼ 0;7 dm 1,4 dm Vi bruker formelen for arealet av en sirkel: A ¼ r 2 ¼ ð0;7 dmþ 2 ¼ 1;5394 dm 2 1;5 dm 2 AKTIVITETER Oppgave 1.24 Regn ut arealet av figurene nedenfor: a) d) 26 cm r = 15 cm 13 cm 26 cm b) 13 cm d = 2 dm e) c) 48 cm Oppgave 1.25 «Mona Lisa», malt av Leonardo da Vinci, er 77 cm høyt og 53 cm bredt. Hvor stort er arealet? 17 m Oppgave 1.26 Et parallellogram er 15 cm langt og 1;2 dm høyt. Finn arealet. 17 m 23 cm Oppgave 1.27 Et A4-ark har arealet 625 cm 2 og kan maksimalt brettes seks ganger. (Bare prøv!) Regn ut arealet av et A4-ark som er brettet seks ganger. Oppgave 1.28 Ernst skal kjøpe duk til stuebordet sitt. Bordet har form som et kvadrat med side lik 1;3 m. Hvor stort blir arealet av duken dersom den skal henge 15 cm ned fra bordet på hver side? Oppgave 1.29 Et lerret har form som et trapes med mål som vist på figuren. Hvor mange kvadratmeter er arealet av lerretet? 6 dm 55 cm 120 cm KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 19
1.6 Areal av sammensatte figurer Du skal l re ^ regne ut arealet av sammensatte geometriske figurer Nye Bislett Stadion er et eksempel pa en sammensatt geometrisk figur. REGNING Na r vi skal regne ut arealet av en sammensatt geometrisk figur, ma vi først finne ut hvilke delfigurer den er satt sammen av. Sa regner vi ut arealene av delfigurene hver for seg. Deretter ma vi studere figuren nøye. Noen ganger ma vi legge sammen arealene, andre ganger kan det være lurt a trekke fra. UTEN ENHETER N r du arbeider med litt st rre regnestykker, kan det ofte v re greit sl yfe enhetene underveis, som i eksempel 11. Men det er viktig at du vet hvilken enhet svaret skal ha! EKSEMPEL 11 Svært forenklet kan vi si at arenaen pa Bislett Stadion omfatter et rektangel med lengden 105 m og bredden 90 m pluss en halvsirkel med radien 45 m i hver ende. Hvor stort er arealet av arenaen? 45 m 90 m Løsning: Formelen for arealet av arenaen blir A ¼ Arektangel þ Ahalvsirkel þ Ahalvsirkel 105 m 105 m ¼ Arektangel þ Asirkel ¼ l b þ r 2 Vi setter inn i formelen ovenfor: 90 m A ¼ l b þ r 2 ¼ 105 90 þ 452 ¼ 15 811;725 Arealet av arenaen er om lag 15 800 m2. Her runder vi av mye i svaret. Kan du tenke deg hvorfor? 20 45 m KAPITTEL 1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 12 Det er strenge regler for hvordan nasjonalflagg skal se ut. Figuren viser hvordan forholdene skal være i det japanske flagget. Diameteren til sola i midten er 24 cm. Hvor stort areal dekker det hvite området i det japanske flagget? 40 cm Løsning: Vi finner først det totale arealet av flagget: A ¼ l b ¼ 60 cm 40 cm ¼ 2400 cm 2 Så finner vi arealet av sola i midten: 2 24 A ¼ r 2 ¼ 2 cm ¼ ð12 cmþ 2 452;389 cm 2 452;4 cm 2 Arealet av det hvite området i det japanske flagget blir A ¼ 2400 cm 2 452;4 cm 2 ¼ 1947;6 cm 2 1948 cm 2 60 cm AKTIVITETER Oppgave 1.30 Regn ut arealet av disse flatene: a) b) 0,8 dm 7 cm 10 cm 3 dm 3 dm 2,6 dm Oppgave 1.32 Et bord har form som et rektangel med lengde 2 m og bredde 120 cm. På bordet er det dekket på seks runde bordbrikker. Hver brikke har diameter 40 cm. Hvor mange kvadratcentimeter av bordflata er ikke dekket med bordbrikker? c) 6 cm Oppgave 1.33 Lengdeforholdene i det norske flagget er som vist på figuren. Finn det samlede arealet av de hvite og de blå områdene i flagget når alle mål er i desimeter. 6 1 2 1 12 6 cm 3 cm Oppgave 1.31 En duk har mål og form som vist på figuren. Regn ut arealet av duken. 90 cm 200 cm 18 dm 6 1 2 1 6 Utfordring 1.34 I en regulær sekskant er alle sidene 8 cm lange. Tegn figur, og regn ut arealet av sekskanten. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 21
1.7 MÔlenheter for vekt og volum Du skal l re ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for vekt ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for volum De berømte indiske Kuhinoor-diamantene, som finnes i den britiske dronningkronen, har en vekt på 109 karat. Cullinan-diamanten fra Sør- Afrika var opprinnelig på 3106 karat før den ble slipt. Men hvor mye er egentlig en karat? Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike målenheter for vekt: kilogram hektogram dekagram gram desigram centigram milligram kg hg g dg cg mg 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Når vi skal gjøre om fra gram til milligram, må vi gange med 1000. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot høyre. Det er det samme som å gå tre kolonner til høyre: 40;385 g ¼ 40;385 1000 mg ¼ 40 385 mg Når vi skal gjøre om fra gram til kilogram, må vi dele på 1000. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot venstre. Det er det samme som å gå tre kolonner til venstre: 655 g ¼ 655 kg ¼ 0;655 kg 1000 ENHETER FOR VEKT Gram er grunnenheten for vekt. De mest brukte vektenhetene i Norge er gram, kilogram og milligram. 1tonnsvarer til1000kg. EKSEMPEL 13 a) Hvor mange gram er 0,7 kg? b) En karat svarer til 200 mg. Hvor mange gram er 1 karat? c) Kuhinoor-diamanten veier 109 karat. Gjør om til gram. d) Cullinan-diamanten veide opprinnelig 3106 karat. Hvor mange kilogram svarer det til? Løsning: a) 0;7 kg¼ 0;7 1000 g 700 g b) 1 karat ¼ 200 mg ¼ 0;2 g c) 109 karat ¼ 109 200 mg ¼ 21 800 mg ¼ 21;8 g d) 3106 karat ¼ 3106 200 mg ¼ 621 200 mg ¼ 621;2 g 0;62 kg Når vi skal oppgi vekta av et legeme, gjelder det å bruke en passende enhet. Karat brukes ofte av gullsmeder og andre håndverkere som arbeider med edelsteiner. Hvorfor? 22 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
Tabellen viser sammenhengen mellom ulike målenheter for volum: hektoliter dekaliter liter desiliter centiliter milliliter hl l dl cl ml 100 10 1 0,1 0,01 0,001 For å gjøre om fra liter til milliliter må vi gange med 1000. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot høyre eller går tre kolonner til høyre: 2;125 l ¼ 2;125 1000 ml ¼ 2125 ml Vi gjør om fra liter til hektoliter: 20;5 l ¼ 20;5 hl ¼ 0;205 hl 100 ENHETER FOR VOLUM (HULMÅL) Liter er grunnenheten for volum. Dekaliter er sv rt lite brukt. 1000 liter kaller vi ofte ßen kubikký. TETTHET tetthet ¼ vekt volum ð¼ g=cm3 Þ vekt ¼ tetthet volum ð¼ gþ volum ¼ vekt tetthet ð¼ cm3 Þ EKSEMPEL 14 Massetettheten til gull er omtrent 19;3 g=ml. Hvor mye veier en gullbarre fra Norges Bank med et volum på 0;62 l? Løsning: Vi gjør om fra liter til milliliter: 0;62 l ¼ 0;620 l ¼ 620;0 ml Vi regner så ut vekta av gullbarren: 620;0 ml 19;3 g=ml ¼ 11 966 g 12 kg AKTIVITETER Oppgave 1.35 Gjør om til gram: a) 2;670 kg b) 3;75 hg c) 27;4 mg d) 14 cg e) 120 mg f) 1;37 tonn Oppgave 1.36 Gjør om til liter: a) 2,670 dl b) 0,34 hl c) 7,3 cl d) 207 ml e) 12,137 hl f) 1,04 «kubikk» Oppgave 1.37 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 2;13 l þ 18;08 dl þ 4clþ 740 ml b) 210 mg 0;2 gþ 50 cg 0;3 dg Oppgave 1.38 Ranger fra største til minste verdi: a) 4551 mg, 25 karat, 5,21 g b) 0,066 l, 6 dl, 70 ml c) 27 g, 133 karat, 0,026 kg Oppgave 1.39 Ola har fisket 1;3 hektoliter reker. Han selger rekene for 30 kr per liter. Hvor mye tjener han? Miniprosjekt 1.40 Hvor mange liter luft rommer en fotball? Hjelpemidler: vannbalje og litermål KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 23
1.8 NÔr 10 betyr 2 Du skal l re ^ om det bin re tallsystemet og litt om hvordan datamaskinen regner Det finnes 10 typer folk: de som forstår totallssystemet, og de som ikke gjør det. Om du synes setningen ovenfor er merkelig, hjelper det å lære litt om totallssystemet. Datamaskiner og lommeregnere bruker ikke titallssystemet i utregningene. De bruker totallssystemet. Ved hjelp av symbolene 0 og 1 kan datamaskiner skrive og regne med alle mulige slags tall. Totallssystemet er bygd opp på samme måte som titallssystemet, men har 2 som grunntall i stedet for 10. I titallssystemet kan alle tall skrives som en sum av tierpotenser. På samme måte kan alle tall skrives som en sum av toerpotenser i totallssystemet. Totallssystemet kaller vi ogsô det bin re tallsystemet. HUSK: 10 0 ¼ 1 2 0 ¼ 1 EKSEMPEL 15 Hvor mange tusenlapper, hundrelapper, tikroner og kronestykker kan vi maksimalt få dersom vi får utbetalt 1069 kroner? Løsning: 1069 ¼ 1000 þ 60 þ 9 ðsom kan skrives som en sum av tierpotenserþ ¼ 1 1000 þ 0 100 þ 6 10 þ 9 1 ¼ 1 10 3 þ 0 10 2 þ 6 10 1 þ 9 10 0 EKSEMPEL 16 Rekkefølgen på tallene er viktig. Det er forskjell på å skrive 1001 og 1010 i totallssystemet. Hvilket tall er størst, tror du? Løsning: 1001 2 ¼ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 0 2 1 þ 1 2 0 ¼ 1 8 þ 0 4 þ 0 2 þ 1 1 ¼ 8 þ 1 ¼ 9 1010 2 ¼ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 1 2 1 þ 0 2 0 ¼ 1 8 þ 0 4 þ 1 2 þ 0 1 ¼ 8 þ 2 ¼ 10 i titallssystemet i titallssystemet Du har kanskje lagt merke til at tall i totallssystemet fort kan bli lange. Det er vanskelig å huske tallene, og det er lett å skrive feil. Datamaskinen har ikke slike problemer. I dataverdenen måler vi den plassen dataene tar, i byte. En byte består avåtte biter. En bit kan ha verdiene 0 og 1. Ved hjelp av en byte kan vi skrive 2 8 ¼ 256 ulike tegn. En minnepenn kan for eksempel ha plass til 256 megabyte (MB). Hvorfor tror du tallet 256 forekommer så ofte i dataverdenen? DE TI FØRSTE TALLENE 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 24 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 17 Vi skal skrive tallene 7 og 25 i totallssystemet. Vi starter med å skrive tallene som en sum av toerpotenser. Husk at 1 kan skrives som 2 0. 7 ¼ 4 þ 2 þ 1 0 0 0 0 0 1 1 1 ¼ 1 2 2 þ 1 2 1 þ 1 2 0 ¼ 111 2 25 ¼ 16 þ 8 þ 1 ¼ 1 16 þ 1 8 þ 0 4 þ 0 2 þ 1 1 ¼ 1 2 4 þ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 0 2 1 þ 1 2 0 ¼ 11001 2 0 0 0 1 1 0 0 1 De første toerpotensene er 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024;... AKTIVITETER Oppgave 1.41 På forrige side viste vi de ti første tallene i totallssystemet. Skriv de fem neste. Oppgave 1.42 Gjør om disse tallene fra totalls- til titallssystemet: a) 1111 2 b) 10101 2 c) 11000 2 d) 110101 2 Oppgave 1.43 Skriv disse tallene i totallssystemet: a) 27 b) 39 c) 111 d) 255 e) 256 Oppgave 1.44 Skriv de tallene i totallssystemet som har tre siffer (kan skrives ved hjelp av nøyaktig tre biter). Oppgave 1.45 Hva er det største tallet vi kan skrive ved hjelp av en byte? Oppgave 1.46 Datamaskinen bruker en tabell til å gjøre om bokstaver og symboler til tall. Ascii-tabellen viser for eksempel desimal- og binærkoden til store og små bokstaver. a) Hva er desimalverdien til liten a når binærkoden er 01100001 2? b) Stor A har ascii-verdien 65. Hva er binærkoden til A? Utfordring 1.47 Vi har lært at 1 kilo ¼ 10 3 ¼ 1000. Vi må gange 2 med seg selv 9;7 ganger for å få 1000 ð2 9;7 ¼ 1000Þ. Det nærmeste vi kommer når vi bruker heltall, er 2 10 ¼ 1024. Når en datamaskin har 1 kb lagringsplass, vil det derfor si at vi egentlig har plass til 1024 tegn. a) Hvor mange tegn er det plass til når lagringskapasiteten er 4,5 kb? b) 1 MB ¼ 1024 kb. Hvor mange tegn kan vi lagre når kapasiteten er 3 MB? c) Hvor mange prosent forskjell er det mellom 1 MB i titallssystemet og 1 MB i totallssystemet? Utfordring 1.48 Se etter om regnestykkene stemmer: a) 1001 + 101 = 1110 b) 1001 101 = 101101 1001 0000 1001 101101 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 25
1.9 Megastore tall Du skal l re ^ Ô skrive store verdier pô den formen som er vanlig i digitale medier Guros nye datamaskin har 1024 MB DDR dvs. 1024 000 000 byte «Double Data Rate» 333 MHz RAM dvs. 333 000 000 hertz «Random Access Memory» 80 GB harddisk dvs. 80 000 000 000 byte harddisk På samme måte som vi forkorter «Random Access Memory» til RAM, skriver vi store tall som 80 000 000 000 B (byte) om til 80 GB (gigabyte). Når vi skal regne motsatt vei, bruker vi at G i GB står for «giga» og er det samme som 10 9. Potensen 10 9 betyr at vi skal multiplisere med 10 ni ganger. Vi flytter desimalkommaet ni plasser mot høyre og får PREFIKSER tera ¼ T ¼ 10 12 giga ¼ G ¼ 10 9 mega ¼ M ¼ 10 6 kilo ¼ k ¼ 10 3 80 10 9 B ¼ 80 000 000 000 B EKSEMPEL 18 Gjør om til byte (B): a) 32 MB b) 512 GB Løsning: a) 32 MB ¼ 32 10 6 B ¼ 32 1 000 000 B ¼ 32 000 000 B b) 512 GB ¼ 512 10 9 B ¼ 512 1 000 000 000 B ¼ 512 000 000 000 B EKSEMPEL 19 Skriv tallene enklere med et passende prefiks: a) 512 000 000 B b) 40 000 000 000 B Løsning: a) 512 000 000 B ¼ 512 1 000 000 B ¼ 512 10 6 B ¼ 512 MB b) 40 000 000 000 B ¼ 40 1 000 000 000 B ¼ 40 10 9 B ¼ 40 GB EKSEMPEL 20 Et digitalt kamera har i fullformat 2048 1536 piksler. Fargedybden er 24 biter per piksel. Vi trenger da 3 B for å lagre en piksel. a) Omtrent hvor mange megapiksler har kameraet? b) Dersom kameraet har en minnebrikke på 256 MB, hvor mange fullformatsbilder er det plass til? Piksel er en forkortelse for ßpicture elementý, som er den minste delen ietdigitaltbilde. 26 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
Løsning: a) 2048 1536 piksler ¼ 3 145 728 piksler 3;1 megapiksler b) For å lagre 3,1 megapiksler trenger vi 3;1 10 6 piksler=bilde 3B=piksel ¼ 9;3 MB=bilde 256 MB Det er da plass til 27 bilder. 9;3 MB=bilde I matematikken «forkorter» vi store tall ved å skrive dem på standardform: 80 000 000 000 ¼ 8 10 10. Standardform vil altså si at vi ganger et tall fra 1 til og med 9 med en tierpotens. Lommeregneren forstår denne skrivemåten. Når vi skal skrive 8 10 10 på lommeregneren, trykker vi 8 10^10 eller 8 E10. TALL PÅ STANDARDFORM a 10 k ^ a er et tall mellom 1 og 10 ^ k er et helt tall LOMMEREGNERENS SKRIVEMÅTE 5:12 E8 betyr tallet 5;12 10 8 ¼ 512 000 000 AKTIVITETER Oppgave 1.49 Gjør om til byte (B) eller hertz (Hz): a) 1;86 GHz b) 55;7 GB c) 5;6 TB d) 128 MB e) 256 kb f) 64 MHz Oppgave 1.50 Skriv tallene med et egnet prefiks: a) 1 024 000 000 byte b) 5 000 000 piksler c) 16 000 000 byte d) 2 800 000 000 hertz e) 512 000 byte Oppgave 1.51 Hvor mange megapiksler er det i et bilde som har a) 2592 1944 piksler b) 1600 1200 piksler c) 1024 768 piksler d) 640 480 piksler Enheten dpi viser hvor finkornet et bilde er. Dpi står for «dots per inch», som betyr piksler per tomme. En tomme er 2;54 cm. e) Gå ut fra at alle bildene i oppgave a d er i 300 dpi. Hvor langt og hvor bredt er da hvert bilde i centimeter? Oppgave 1.52 Hvor mange bilder på 5 megapiksler er det plass til med en minnebrikke på 256 MB når fargedybden er 24 biter per piksel? Utfordring 1.53 Lommeregneren skriver et tall slik: 8:3 E- 5. Hvordan skriver vi dette tallet med desimaltall? Utfordring 1.54 Ifølge Kryders lov blir den vanlige harddiskkapasiteten på datamaskiner doblet hver 13. måned. a) Når vil i så fall harddiskkapasiteten være så stor at vi trenger et større prefiks enn tera? (Standard harddiskkapasitet i desember 2005 var 160 GB.) b) Undersøk på nettet eller på biblioteket hvilke prefikser som følger etter tera. Miniprosjekt 1.55 Undersøk på nettet eller i reklamebrosjyrer hvor mange byte RAM og hvor mange byte harddisk som er vanlig på datamaskiner. Er det forskjell på stasjonære og bærbare maskiner? Hvor mye anbefales når vi skal redigere video på datamaskinen? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 27
1.10 Sammensatt eksempel EKSEMPEL 21 Den ene av de to figurene nedenfor er et kvadrat. Den andre figuren er et tilsvarende kvadrat, men i hvert hjørne er det klipt bort en kvartsirkel. 1 2 1,6 dm 16 cm 0,8 dm 16 cm a) Regn ut arealet og omkretsen av hver figur. Bruk henholdsvis kvadratcentimeter og centimeter som enheter. b) Gjør om arealet av figur 1 til kvadratmeter og omkretsen av figur 2 til meter. Løsning: a) Vi gjør først om fra desimeter til centimeter for to av lengdene: 1;6 dm¼ 16 cm og 0;8 dm¼ 8cm Deretter regner vi ut arealet og omkretsen av figur 1: A ¼ s s ¼ 16 cm 16 cm ¼ 256 cm 2 O ¼ 4 s ¼ 4 16 cm ¼ 64 cm HUSK NÔr du skal regne ut arealet og omkretsen av geometriske figurer, mô alle lengdene ha samme enhet! Figur 2 er litt mer sammensatt enn figur 1. I hvert hjørne er det klipt bort et område som svarer til en kvartsirkel med radius 4 cm. Til sammen er det altså klipt bort et område tilsvarende en hel sirkel med radius 4 cm. Arealet av figur 2 blir dermed A ¼ A kvadrat A sirkel ¼ 16 16 4 2 205;73 205;7 Arealet av figur 2 er tilnærmet lik 205,7 cm 2. Omkretsen av figur 2 består av fire sider med lengde 8 cm og fire kvartsirkler med radius 4 cm. De fire kvartsirklene utgjør til sammen en hel sirkel. REGNING UTEN ENHETER NÔrduarbeidermedlitt större regnestykker, kan det ofte v re greit Ô slöyfe enhetene underveis. Men det er viktig at du vet hvilken enhet svaret skal ha! Omkretsen av figur 2 blir da O ¼ 4 8cmþ 2 4cm 57;13 cm 57;1 cm Omkretsen av figur 2 er tilnærmet lik 57,1 cm. 28 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
b) Na r vi skal uttrykke arealet av figur 1 i kvadratmeter, ma vi flytte kommaet fire plasser mot venstre. Det er det samme som a dele pa 10 000: 256 256 cm2 ¼ 0;0256 m2 eller m2 ¼ 0;0256 m2 10 000 Na r vi skal uttrykke omkretsen av figur 2 i meter, ma vi flytte kommaet to plasser mot venstre. Det er det samme som a dele pa 100: 57;1 57;1 cm ¼ 0;571 m eller m ¼ 0;571 m 100 AKTIVITETER Oppgave 1.56 Regn ut arealet og omkretsen av figurene: a) 12 m b) 12 m 6m 12 m 12 m 6m Oppgave 1.57 CERN («Conseil Europe en pour la Recherche Nucle aire») er et intereuropeisk anlegg for partikkel- og kjernefysikkforskning. c) Hvor stort er arealet av landomra det som ligger innenfor LEP-tunnelen, men utenfor SPS-tunnelen pa bildet? d) I LEP-tunnelen blir partikler akselerert opp til en fart nær lysfarten pa 300 000 km=s. Dersom en partikkel har en fart pa 290 000 km=s, hvor mange runder i LEP-tunnelen klarer den pa ett sekund? Nettoppgave 1.58 Bildet viser Petersplassen sett fra kuppelen av Peterskirken i Vatikanet. Den underjordiske LEP-tunnelen («Large Electron Positron collider») har tilnærmet sirkelform med en radius pa om lag 4,3 km. SPS-tunnelen (protonakseleratoren) har en radius pa om lag 1,1 km. a) Hvor lang er radien i LEP-tunnelen ma lt i meter? b) Regn ut lengdene av begge tunnelene. KAPITTEL 1 M LING OG BEREGNINGER Under begravelsen til pave Johannes Paul 2. i april 2005 var Petersplassen fylt av rundt 300 000 mennesker. Ytterligere 700 000 stod i gatene omkring. a) Klarer du ut fra dette a gjøre et overslag over arealet av Petersplassen? b) Bruk oppslagsverk eller Internett (Vatikanets Internett-adresse er www.vatican.va) og prøv a finne Petersplassens virkelige areal. Hvor stort avvik fikk du i svaret ditt i a? 29
SAMMENDRAG Avrundingsregler Når vi skal runde av et desimaltall til nærmeste hele tall, ser vi på første desimal. Dersom denne desimalen er 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av nedover. Dersom vi skal runde av til èn desimal, ser vi på andre desimal på samme måte, og så videre. Tallet 6,2736 kan vi dermed runde av til 6 6;3 6;27 6;274 Pref kser tera ¼ 10 12 giga ¼ 10 9 mega ¼ 10 6 kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10 desi ¼ 1 centi ¼ 1 milli ¼ 1 10 100 1000 MÔlenheter for lengde Meter (m) er grunnenheten for lengde. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene på denne måten:. 10. 10. 10 m dm cm mm : 10 : 10 : 10 Vi gjør om fra meter til centimeter ved å gange med 100. Det svarer til å flytte kommaet to plasser mot høyre: 6;5 m¼ 6;5 100 cm ¼ 650 cm Omkrets Rektangel Kvadrat Parallellogram b l s s s g O = 2l + 2b O = 4s O = 2s + 2g Trapes Trekant Sirkel d c b c b r a a O = a + b + c + d O = a + b + c O = 2pr Samsvar mellom enhetene Når vi skal regne ut omkretsen eller arealet av en geometrisk figur, må alle lengdene være oppgitt med samme enhet. MÔlenheter for areal Kvadratmeter (m 2 ) er grunnenheten for areal. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 100. 100. 100 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Areal av enkle f gurer : 100 : 100 : 100 Rektangel Kvadrat Parallellogram b l A = l b A = s s = s 2 A = g h Trapes Trekant Sirkel h b a A = π r 2 s h s g h g r (a + b) h A = 2 g h A = 2 MÔlenheter for vekt Gram (g) er grunnenheten for vekt. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 10. 10. 10 g dg cg mg : 10 : 10 : 10 MÔlenheter for volum Liter (l) er grunnenheten for volum. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 10. 10. 10 l dl cl ml : 10 : 10 : 10 Totallssystemet Totallssystemet har 2 som grunntall. Når vi skal gå fra totallssystemet til titallssystemet, skriver vi tallet som en sum av toerpotenser og legger sammen: 1001 2 ¼ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 0 2 1 þ 1 2 0 ¼ 9 10 For å gå fra titallssystemet til totallssystemet skriver vi tallet som en sum av toerpotenser: 25 ¼ 16 þ 8 þ 1 ¼ 1 2 4 þ 1 2 3 þ 0 2 2 þ 0 2 1 þ 1 2 0 ¼ 11001 2 30 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
TEST DEG SELV Test 1. 59 Gjør om tallene fra totalls- til titallssystemet: a) 10011 2 b) 10100101 2 Skriv tallene i totallssystemet: c) 22 d) 122 Test 1. 60 a) Hvor mange byte (B) er 320 GB? b) Hvor mange biter er det i 320 GB? Test 1. 61 Gjør om til meter og regn ut: 70 cm þ 0;2 mþ 5dmþ 600 mm Test 1. 62 Ranger fra største til minste lengde: 12 dm, 119 cm, 1,21 m, 998 mm Test 1. 63 Gjør om til gram: a) 1,2 kg b) 4 hg c) 33,2 mg Gjør om til liter: d) 200 ml e) 2 dl f) 32 cl Test 1. 64 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 2 l þ 13 dl þ 120 cl þ 3000 ml b) 0;3 kgþ 200 g þ 13 dg þ 20 cg Test 1. 65 Regn ut arealet og omkretsen av en sirkel med a) r ¼ 1,59 dm b) r ¼ 80 cm c) d ¼ 5cm Test 1. 66 Regn ut arealet og omkretsen av et rektangel med a) b ¼ 10 cm og l ¼ 50 cm b) b ¼ 2m og l ¼ 5m Test 1. 68 Regn ut arealet og omkretsen av figurene: a) 15 cm b) 20 cm 0,8 dm Test 1. 69 Rund av til én desimal: a) 1,33 b) 1,55 c) 2,67 Test 1.70 Rund av til to desimaler: a) 4,234 b) 13,456 c) 19,554 Test 1.71 a) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje lik 3 cm og høyden 13 cm. b) Regn ut arealet av et kvadrat med side lik 33 m. Test 1.72 Regn ut arealene av de røde feltene på figurene: a) b) 10 cm 10 cm Test 1. 67 Gjør om til kvadratmeter: a) 700 cm 2 b) 4018 mm 2 c) 2 km 2 10 cm 10 cm KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 31
Òvingsoppgaver 1.1 SÔnn cirka ^ avrunding og overslag A1.73 Rund av til nærmeste hele tall: a) 3,43 b) 6,55 c) 211,877 d) 9,099 e) 1006,565 f) 0,459 A1.74 Rund av til én desimal: a) 1,44 b) 1,55 c) 2,677 d) 8,951 e) 6,565 f) 1,252 B1.78 Du har vært på kunstauksjon og kjøpt bildet «Taj Mahal». Bildet skal rammes inn, og det kan gjøres på to ulike måter. Studer figurene nedenfor: 1 2 A1.75 Rund av til to desimaler: a) 7,2346 b) 22,4567 c) 1,5555 d) 8,355 16 e) 0,3278 f) 1,078 99 A1.76 Du er ansatt av Svada og skal designe en reklameplakat for et firma som leier ut dykkerutstyr. Du har fått denne figuren til rådighet: Størrelsen på bildet, inkludert passe-partout, er 42,53 cm 73,42 cm. Ramma skal være 4,0 cm bred. a) Gjør et overslag og regn ut hvor mange centimeter rammeverk du må bestille dersom du velger innrammingsmetode 1. b) Hvilken av de to innrammingsmetodene krever mest rammeverk? 1.2 MÔlenheter for lengde Plakaten skal være 1;5 m 1;5 m. Bruk linjal og regn ut hvor mange ganger bildet må forstørres. B1.77 Ernst har fått sommerjobb på et lakseoppdrettsanlegg og skal finne ut hvor mye laks det er i anlegget. Han merker 80 lakser og slipper dem ut igjen i anlegget. Etter en uke fanger han 150 lakser, seks av dem er merket. a) Omtrent hvor mange lakser er det i dette oppdrettsanlegget? b) Hvilken usikkerhet ligger i tallet du regnet deg fram til? A1.79 Gjør om til centimeter: a) 112 mm b) 0,457 m c) 12,5 km d) 0,50 mm e) 0,0034 dm A1.80 Gjør om til desimeter: a) 112 mm b) 0,457 m c) 12,5 cm d) 430,50 mm e) 0,0034 km A1.81 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 0;034 km 20 m þ 2 tommer 120 dm b) 12 cm þ 1 fot 190 mm þ 1dm c) 0;03 mil þ 1km 700 m 5000 dm d) 1 mm þ 1cmþ 1dm 0;110 m 32 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
A1.82 Ranger fra største til minste lengde: a) 6 m, 2 tommer, 19,8 fot b) 1 mile, 1,608 km, 530 fot c) 0,03 mil, 299 m, 0,185 miles d) 100 m, 33 tommer, 0,06 miles, 329 fot A1.83 Golden Gate-brua i San Francisco, ferdigstilt i 1937, er 2,7 km lang. a) Finn bruas lengde i meter og i millimeter. b) Hvor lang er brua i miles? ð1 mile ¼ 1609 mþ c) Brutårnene er 227 m høye. Hvor mange tommer svarer det til? d) Bruas hovedspenn er 1280 m. Gjør om til fot. A1.84 B1.86 Tekst skrevet med skrifttypen Times New Roman i 12 punkter har en linjeavstand på ca. 0,5 cm per linje. a) En tettskrevet tekst med Times New Roman omfatter 45 linjer. Hvor mange centimeter av arkets høyde går med til tekst? b) Eirin har fått utlevert en artikkel hun mener må være minst en halv kilometer lang. Hvor mange sider er i så fall artikkelen på? (Artikkelen er skrevet på A4-ark i 12 punkts Times New Roman med vanlig linjeavstand.) c) Eirin overdrev litt artikkelen er bare på 98 sider. Hvor mange meter lang er den da? 1.3 Omkrets ^ hele veien rundt A1.87 Regn ut omkretsen av et rektangel der a) b ¼ 10 cm og l ¼ 2dm b) b ¼ 2m og l ¼ 500 cm c) b ¼ 240 mm og l ¼ 0,8 m Johan og Eva gikk mange skiturer i påskeuka og førte opp følgende turer på skikortene sine: Eva Johan Mandag: 3;7 km Tirsdag: 14;2 km Tirsdag: 31 km Onsdag: 1;2 mil Onsdag: 1900 m Torsdag: 1790 m Torsdag: 0;2 mil Fredag: 3450 m A1.88 Regn ut omkretsen av en sirkel der a) r ¼ 5cm b) r ¼ 8,5 dm c) d ¼ 10 mm A1.89 Regn ut omkretsen av figurene: a) 5 cm Hvem av de to gikk lengst på ski i påsken? B1.85 Et lysår er den avstanden lyset går i løpet av ett år. Lysets fart er 300 000 km=s. a) Hvor mange kilometer er et lysår? b) Avstanden mellom jorda og sola er 150 000 000 km. Hvor mange ganger lengre enn dette er et lysår? b) 5 cm 5 cm KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 33
c) d) 5,5 cm 4,0 cm 5,0 cm 5,0 cm A1.91 Vi skal dekke et bord til 20 personer. Hver person trenger 60 cm bordplass. a) Hvor mange meter bordplass trengs det? b) Vi har to bord som er 3 meter lange og 1 meter brede. Hvor mange personer får vi plass til rundt bordene når de står fritt? c) Borddukene skal være 40 % større enn bordet i bredden og 13 % lengre enn bordet. Hvor lange og hvor brede blir hver av dukene? d) Hvor mange kvadratmeter måler dukene til sammen? e) f) 123 mm 6,5 cm A1.92 Du har bestemt deg for å prøve ut pariserhjulet til Tummelumsk. Radien i hjulet er 21 m. a) Hvor mange meter har du beveget deg etter 30 runder med hjulet? 12,3 mm g) 45 m 250 dm h) 45 m 45 m 500 dm 6540 cm A1.90 Mål og regn ut omkretsen av a) tavla b) en dataskjerm c) en pult d) toppen av en kopp e) en skål f) gulvet i klasserommet London Eye er et av verdens største pariserhjul med en diameter på rundt 130 m. b) Hvor langt har du beveget deg etter sju runder med dette hjulet? c) Hvor mange runder med London Eye tilsvarer 30 runder med Tummelumsk-hjulet? B1.93 Regn ut omkretsen av figurene: a) b) 20 cm 40 cm 34 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER