Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som ka tekes utført. For eksemel er gjeomsitt i det lage lø, dvs over hele oulasjoe, mes er e adel i oulasjoe. Verdie å slike arametre gir oss derfor viktig iformasjo om oulasjoe. I raksis er de imidlertid ofte ukjete, me ka aslås, eller estimeres, fra observerte data (tilfeldige utvalg. Eksemel: tikkrøve varer, adel defekte varer er. Dersom er kjet ka vi rege å sasyligheter etc før røve tas. Ofte er imidlertid situasjoe at er ukjet, og vi øsker ut fra resultatet av stikkrøve å aslå verdie å. Eksemel: Estimatorer Adel ersoer i Norge som er for orsk EUmedlemska,, er ukjet. Me dee adele ka estimeres ut fra et tilfeldig utvalg å ersoer: Her er (som vi leser -hatt e estimator for. Eksemel: (der atall som er for EU Høyde til orske kvier i 030-åree har ukjet forvetigsverdi og ukjet varias. Basert å måliger,,, av høyde til tilfeldig valgte kvier ka og estimeres: og ( i
Merk: Estimatoree tilfeldige variable., og Isatt observerte tallverdier (etter å ha utført forsøket ka vi rege ut estimatee (tallsvar: x, x og s er Eksemel: Høyde kvier. Resultatet av dataisamlige i klasse (=69 kvier er osummert i histogrammet uder. Oversikt: Parameter Estimator Estimat Forvetig, Varias, td.avvik, Adel, x s s x Disse dataee gir oss følgede estimat for, og : x 67.0 s s 6.4 4.5 La være adel kvier i 030-åree som er høyere e 75 cm. Vi ka da estimere med observert adel høyere e 75 i vårt utvalg. 3 4
Gruleggede atagelse: Vi skal hele veie ata at måligee vi baserer oss å år vi skal estimere ukjete arameterverdier er uavhegige og at de bare utgjør e lite del av oulasjoe (alle mulige tekbare måliger ofte uedelig mage. Vil i raksis si at vi baserer oss å data fra et tilfeldig utvalg som er mye midre e hele oulasjoe. Boka omhadler også lotterimodelle, som er situasjoe der størrelse å utvalget ikke er mye midre e størrelse å oulasjoe, me vi skal ikke gå ærmere i å dette. Defiisjo: E estimator er forvetigsrett dersom: Betyr i raksis at dersom vi gjetar forsøket mage gager så vil estimatore i gjeomsitt i det lage lø gi rett verdi. Dvs vi gjør ige systematiske feil. Eksemler: E( E( E( ( (E( E( ( E( E( E( E( Dvs og er forvetigsrette! Det ka også vises at E( E( mes E( E( 5 6
Krav til e god estimator :. Forvetigsrett, dvs. Var( mist mulig. E( Dersom ma har flere forvetigsrette estimatorer å velge blat velger ma de med mist varias. Eksemel: Variase til de to mest brukte estimatoree: Var( Var( Var( ( (Var( Var( ( Var( Var( Var( ( ( Merk at variasee blir midre jo flere måliger som er gjort! 7 8
Eksemel: To uavhegige sørreudersøkelser blir utført for å udersøke hvor stor adel av befolkige,, som syes regjerige gjør e god jobb. I de ee udersøkelse blir =000 ersoer surt, mes det i de adre udersøkelse blir surt =500 ersoer. La være atall som svarer at de syes regjerige gjør e god jobb i de første udersøkelse, og tilsvarede for de adre udersøkelse. Vi øsker å å slå samme iformasjoe fra de to udersøkelsee til e felles estimator for. To forslag til estimatorer er: og Hvilke av de to estimatoree er best? Bruk de beste estimatore til å rege ut et estimatet for år atall ersoer som svarte at de er forøyde er heholdsvis 470 og 0. 9 0
Kofidesitervall Et estimat gir et aslag å e arameterverdi, me gir ikke iformasjo om usikkerhete i aslaget. For eksemel vil et aslag basert å =00000 måliger olagt være et mye mer ålitelig aslag e et basert å =5 måliger, me dette reflekteres ikke i estimatet. Bedre: Kofidesitervall Defiisjo: Itervallet [A,B er et (-00% kofidesitervall for dersom: P( A B - Dvs (-00% sasylighet for at itervallet [A,B vil komme til å ieholde. Kort itervall: tor sikkerhet Lagt itervall: tor usikkerhet Kofidesitervall for år kjet.,,, uavhegige og N(, Eksemel: Megde kjøttdeig som akkes i hver akke å et slakteri er ormalfordelt med ukjet forvetigsverdi og stadardavvik 0. Veiig av 0 tilfeldig valgte akker med kjøttdeig gav resultatee: 4 378 365 399 403 387 397 403 383 393 Basert å dee iformasjoe øsker vi å lage et kofidesitervall for. Geerell fremgagsmåte: Estimator: Har videre at: Z E ( Var ( ~ N (0,
- - P(Z = Fies i tabelle, f.eks. er: Z 0.05 =.645 Z 0.05 =.96 Z 0.005 =.576 P( P( P( P( Dvs et (- 00% kofidesitervall for (år kjet er gitt ved: [, Før vi har gjort forsøket (samlet i data er tolkige at det vil være (- 00% sasylighet for at itervallet vil komme til å ieholde. Etter vi har samlet i data og reget ut tallsvar er tolkige at vi har stor tiltro (kofides til at itervallet ieholder. Dersom vi lager mage kofidesitervall vil 00% av dem bomme: F.eks. vil 5% av alle 95% kofidesitervall bomme (som itervall r 5 i figure. 3 4
Eksemlet: Veiig av =0 kjøttdeigakker gav resultatee (i gram: 4 378 365 399 403 387 397 403 383 393 Vi fikk ogitt at =0, og fra dataee får vi at: x 39 Dersom vi øsker et 95% kofidesitervall setter vi =0.05, og da blir Z = Z 0.05 =.96. Vi får da: 0 0 [ 39.96, 39.96 [ 385.8, 398. 0 0 Eksemel: Høyde kvier atas ormalfordelt. Vi atar også (foreløig og litt feilaktig av vi vet at stadardavviket til kviers høyde er =6.4. Basert å de 69 måligee fra klasse øsker vi å laget et 99% kofidesitervall for forvetet høyde,. Vi har stor tiltro (kofides til at dette itervallet ieholder (=gjeomsitt i det lage lø. 5 6
Kofidesitervall for år ukjet. I raksis er valigvis også ukjet. Atar som før at,,, uavhegige og N(, om før er: og Z ~ N(0, Me, er ukjet, må estimeres! Erstatter med estimatore. Gir: T som ikke er N(0,! T har e bestemt fordelig som kalles (studet- t-fordelig, med arameter - (- frihetsgrader. Vi skriver T ~ t(-. Merk : Dette gjelder ku år,,, er uavh. og N(,. Merk : t-fordelig liger N(0,, me større varias. Merk 3: t-fordelig er mer og mer lik N(0, jo større er. 7 8
P( t P( t P( P( - -t,- t,-,, t t, P(T t,- = Fies i tabell 8 bak i boka. t, t, t, t,, Dvs et (- 00% kofidesitervall for år ukjet er gitt ved: [ t,, t, Eksemel: Vekt kjøttdeig å ytt. Resultatet av veiigee ble 4 378 365 399 403 387 397 403 383 393 Vi atar å (mer realistisk at vi ikke kjeer stadardavviket. Fra de ogitte dataee får vi at: x Dersom vi øsker et 95% kofidesitervall setter vi =0.05, og da blir t,- = t 0.05,9 =.6. Vi får da: 39 og s 3.9 3.9 3.9 [ 39.6, 39.6 [ 38., 40. 9 0 0 9 0
Eksemel: Høyde kvier å ytt. Vi atar å (mer realistisk at stadardavviket er ukjet. Basert å de 69 måligee fra klasse øsker vi å ytt å laget et 99% kofidesitervall for forvetet høyde,. Kofidesitervall for (år er stor. =P( suksess i biomisk forsøk (=adel i oulasjoe. Estimeres med observert adel: Eksemel: = adel velger som vil stemme å A. ør =000 tilfeldige velgere. =atall blat de 000 velgere som vil stemme A. Får x=307 som gir: 307 0.307 000 Me hvor stor er usikkerhete i dette estimatet? Vi øsker et kofidesitervall!
3 etralgreseteoremet gir at år (-5 så er: N(0, ( Var( E( Z - - ( ( P Foreklig: Når er stor er ( ( 4 ( ( P( ( ( P( ( ( P( ( ( P( ( P( Dvs et tilærmet (- 00% kofidesitervall for er gitt ved: [ (, (
Eksemlet: =adel A-velgere, og 307 000 La oss lage et 90% kofidesitervall, dvs =0.0. Da blir Z = Z 0.05 =.645, og vi får: 0.307 Eksemel: For å aslå hvor stor adel,, av Norges befolkig som er mot EU blir 000 tilfeldig valgte ersoer surt om hva de meer. 556 sier de er mot EU. Basert å dette, lag et 95% kofidesitervall. [ 0.307.645 0.307( 0.307, 0.307.645 000 [ 0.83, 0.33 0.307( 0.307 000 Dvs fluktasjoer å -3 rosetoeg i målt oslutig som følge av aturlig tilfeldig variasjo i utvalget er helt ormalt! (Tekt å dette este gag du hører e olitiker hevde at artiet has er i fremgag etter e -3 rosetoeg økig fra forrige målig 5 6
Osummerig Parameter Estimator Estimat Forvetig, Varias, td.avvik, Adel, Krav til e god estimator :. Forvetigsrett, dvs. Var( mist mulig. E( x Dersom ma har flere forvetigsrette estimatorer å velge blat velger ma de med mist varias. s s x Kofidesitervall for år kjet: [, Kofidesitervall for år ukjet: Kofidesitervall for (år stor: [ [ t,, t, (, ( 7 8