a) Figur 1 b) F = m a a = F m a(t) = 5 m/s 2 400 N = = 5 80 kg m/s2 a(t)dt = v(t) = 5t + v 0 v(t) = 5t + v 0 v(t)dt = x(t) = 1 2 5t2 + v 0 t + x 0 Antar at løperen starter i punktet null med hastigheten null meter i sekundet. Dette gir oss: x(t) = 1 2 5t2 c) x(t) = 100 = 1 2 5t2 t 2 = 2 100 5 t = 40 6.3s d) F = F + D = m a m a = F 1 2 ρc D A (v w) 2 I dette spesifikke tilfellet vil utrykket se slik ut: a = F 1 2 ρc D A (v w) 2 m a = 400 1 2 ρc D A v 2 80
e) Programmet ble skrevet i Python. from pylab import * # PARAMETERS d0 = 0 #m m = 80 #kg d_end = 100 #m v0 = 0 #m/s # AIR RESISTANCE rho = 1.293 #kg/m^3 A = 0.45 #m^2 Cd = 1.2 w = 0 #m/s # TIME t0 = 0 #s (Start) dt = 0.05 #s (Step) # FORCES F = 400 #N def AirRes(v,w): D = -0.5*rho*Cd*A*((v-w)**2) return D # EULERS METHOD def Eul(x,z): # z is x' E = x + z*dt return E def Acc(F,D): acc = (F+D)/m return acc # LISTING t = [t0] x = [d0] v = [v0] a = [Acc(F,AirRes(v[0],w))] #------------------------------------------------------- i = 0 while x[i] < d_end: t.append(t[i]+dt) a.append(acc(f,airres(v[i],w))) v.append(eul(v[i],a[i])) x.append(eul(x[i],v[i])) i += 1 print 't= %.2f a= %.4f v= %.4f x= %.4f' %(t[i],a[i],v[i],x[i]) t, "dt" i programmet, ble bestemt til 0.05s da dette var den høyeste nøyaktigheten uten tap av informasjon i terminalvinduet. Vi anså dette som en fin lengde også fordi det ga en sluttlengde på relativt nøyaktig 100 meter.
f) t= 0.05 a= 5.0000 v= 0.2500 x= 0.0000 t= 0.10 a= 4.9997 v= 0.5000 x= 0.0125 t= 0.15 a= 4.9989 v= 0.7500 x= 0.0375 t= 0.20 a= 4.9975 v= 0.9999 x= 0.0750 t= 0.25 a= 4.9956 v= 1.2498 x= 0.1250 t= 0.30 a= 4.9932 v= 1.4996 x= 0.1875 t= 0.35 a= 4.9902 v= 1.7493 x= 0.2625 t= 0.40 a= 4.9866 v= 1.9988 x= 0.3499 t= 0.45 a= 4.9826 v= 2.2481 x= 0.4499 t= 0.50 a= 4.9779 v= 2.4972 x= 0.5623 t= 0.55 a= 4.9728 v= 2.7461 x= 0.6871 t= 0.60 a= 4.9671 v= 2.9948 x= 0.8244 t= 0.65 a= 4.9609 v= 3.2431 x= 0.9742 t= 0.70 a= 4.9541 v= 3.4912 x= 1.1363 t= 0.75 a= 4.9468 v= 3.7389 x= 1.3109 t= 0.80 a= 4.9390 v= 3.9862 x= 1.4978 t= 0.85 a= 4.9307 v= 4.2331 x= 1.6971 t= 0.90 a= 4.9218 v= 4.4797 x= 1.9088 t= 0.95 a= 4.9124 v= 4.7258 x= 2.1328 t= 1.00 a= 4.9025 v= 4.9714 x= 2.3691 t= 1.05 a= 4.8921 v= 5.2165 x= 2.6176 t= 1.10 a= 4.8812 v= 5.4611 x= 2.8785 t= 1.15 a= 4.8699 v= 5.7052 x= 3.1515 t= 1.20 a= 4.8580 v= 5.9487 x= 3.4368 t= 1.25 a= 4.8456 v= 6.1916 x= 3.7342 t= 1.30 a= 4.8327 v= 6.4339 x= 4.0438 t= 1.35 a= 4.8194 v= 6.6755 x= 4.3655 t= 1.40 a= 4.8055 v= 6.9165 x= 4.6993 t= 1.45 a= 4.7912 v= 7.1567 x= 5.0451 t= 1.50 a= 4.7765 v= 7.3963 x= 5.4029 t= 1.55 a= 4.7613 v= 7.6351 x= 5.7727 t= 1.60 a= 4.7456 v= 7.8732 x= 6.1545 t= 1.65 a= 4.7295 v= 8.1105 x= 6.5482 t= 1.70 a= 4.7129 v= 8.3469 x= 6.9537 t= 1.75 a= 4.6960 v= 8.5826 x= 7.3710 t= 1.80 a= 4.6786 v= 8.8174 x= 7.8002 t= 1.85 a= 4.6607 v= 9.0513 x= 8.2410 t= 1.90 a= 4.6425 v= 9.2844 x= 8.6936 t= 1.95 a= 4.6238 v= 9.5165 x= 9.1578 t= 2.00 a= 4.6048 v= 9.7477 x= 9.6336 t= 2.05 a= 4.5854 v= 9.9779 x= 10.1210 t= 2.10 a= 4.5655 v= 10.2072 x= 10.6199 t= 2.15 a= 4.5453 v= 10.4355 x= 11.1303 t= 2.20 a= 4.5248 v= 10.6627 x= 11.6520 t= 2.25 a= 4.5039 v= 10.8890 x= 12.1852 t= 2.30 a= 4.4826 v= 11.1142 x= 12.7296 t= 2.35 a= 4.4610 v= 11.3383 x= 13.2853 t= 2.40 a= 4.4390 v= 11.5613 x= 13.8523 t= 2.45 a= 4.4167 v= 11.7833 x= 14.4303 t= 2.50 a= 4.3941 v= 12.0041 x= 15.0195 t= 2.55 a= 4.3712 v= 12.2238 x= 15.6197 t= 2.60 a= 4.3479 v= 12.4424 x= 16.2309 t= 2.65 a= 4.3244 v= 12.6598 x= 16.8530 t= 2.70 a= 4.3006 v= 12.8760 x= 17.4860 t= 2.75 a= 4.2765 v= 13.0910 x= 18.1298 t= 2.80 a= 4.2521 v= 13.3049 x= 18.7843 t= 2.85 a= 4.2275 v= 13.5175 x= 19.4496 t= 2.90 a= 4.2026 v= 13.7288 x= 20.1255 t= 2.95 a= 4.1775 v= 13.9390 x= 20.8119 t= 3.00 a= 4.1521 v= 14.1478 x= 21.5088 t= 3.05 a= 4.1265 v= 14.3554 x= 22.2162 t= 3.10 a= 4.1007 v= 14.5618 x= 22.9340 t= 3.15 a= 4.0747 v= 14.7668 x= 23.6621 t= 3.20 a= 4.0484 v= 14.9705 x= 24.4004 t= 3.25 a= 4.0220 v= 15.1730 x= 25.1490 t= 3.30 a= 3.9954 v= 15.3741 x= 25.9076 t= 3.35 a= 3.9685 v= 15.5738 x= 26.6763 t= 3.40 a= 3.9416 v= 15.7723 x= 27.4550 t= 3.45 a= 3.9144 v= 15.9693 x= 28.2436 t= 3.50 a= 3.8871 v= 16.1651 x= 29.0421 t= 3.55 a= 3.8597 v= 16.3594 x= 29.8503 t= 3.60 a= 3.8321 v= 16.5524 x= 30.6683 t= 3.65 a= 3.8044 v= 16.7440 x= 31.4959 t= 3.70 a= 3.7765 v= 16.9342 x= 32.3331 t= 3.75 a= 3.7486 v= 17.1230 x= 33.1798 t= 3.80 a= 3.7205 v= 17.3105 x= 34.0360 t= 3.85 a= 3.6924 v= 17.4965 x= 34.9015 t= 3.90 a= 3.6641 v= 17.6811 x= 35.7763 t= 3.95 a= 3.6358 v= 17.8643 x= 36.6604 t= 4.00 a= 3.6073 v= 18.0461 x= 37.5536 t= 4.05 a= 3.5789 v= 18.2265 x= 38.4559 t= 4.10 a= 3.5503 v= 18.4054 x= 39.3672 t= 4.15 a= 3.5217 v= 18.5829 x= 40.2875 t= 4.20 a= 3.4930 v= 18.7590 x= 41.2167 t= 4.25 a= 3.4643 v= 18.9337 x= 42.1546 t= 4.30 a= 3.4356 v= 19.1069 x= 43.1013 t= 4.35 a= 3.4069 v= 19.2787 x= 44.0566 t= 4.40 a= 3.3781 v= 19.4490 x= 45.0206 t= 4.45 a= 3.3493 v= 19.6179 x= 45.9930 t= 4.50 a= 3.3205 v= 19.7854 x= 46.9739 t= 4.55 a= 3.2917 v= 19.9514 x= 47.9632 t= 4.60 a= 3.2629 v= 20.1160 x= 48.9608 t= 4.65 a= 3.2341 v= 20.2791 x= 49.9666 t= 4.70 a= 3.2054 v= 20.4408 x= 50.9805 t= 4.75 a= 3.1766 v= 20.6011 x= 52.0026 t= 4.80 a= 3.1479 v= 20.7600 x= 53.0326 t= 4.85 a= 3.1193 v= 20.9173 x= 54.0706 t= 4.90 a= 3.0906 v= 21.0733 x= 55.1165 t= 4.95 a= 3.0621 v= 21.2278 x= 56.1701 t= 5.00 a= 3.0335 v= 21.3809 x= 57.2315 t= 5.05 a= 3.0051 v= 21.5326 x= 58.3006 t= 5.10 a= 2.9767 v= 21.6829 x= 59.3772 t= 5.15 a= 2.9483 v= 21.8317 x= 60.4614 t= 5.20 a= 2.9201 v= 21.9791 x= 61.5529 t= 5.25 a= 2.8919 v= 22.1251 x= 62.6519 t= 5.30 a= 2.8638 v= 22.2697 x= 63.7582 t= 5.35 a= 2.8358 v= 22.4129 x= 64.8716 t= 5.40 a= 2.8079 v= 22.5547 x= 65.9923 t= 5.45 a= 2.7800 v= 22.6951 x= 67.1200 t= 5.50 a= 2.7523 v= 22.8341 x= 68.2548 t= 5.55 a= 2.7247 v= 22.9717 x= 69.3965 t= 5.60 a= 2.6972 v= 23.1080 x= 70.5451 t= 5.65 a= 2.6698 v= 23.2428 x= 71.7005 t= 5.70 a= 2.6425 v= 23.3763 x= 72.8626 t= 5.75 a= 2.6154 v= 23.5084 x= 74.0314 t= 5.80 a= 2.5883 v= 23.6392 x= 75.2068 t= 5.85 a= 2.5614 v= 23.7686 x= 76.3888 t= 5.90 a= 2.5346 v= 23.8967 x= 77.5772 t= 5.95 a= 2.5080 v= 24.0234 x= 78.7721 t= 6.00 a= 2.4815 v= 24.1488 x= 79.9732 t= 6.05 a= 2.4551 v= 24.2729 x= 81.1807 t= 6.10 a= 2.4289 v= 24.3956 x= 82.3943 t= 6.15 a= 2.4029 v= 24.5171 x= 83.6141 t= 6.20 a= 2.3769 v= 24.6372 x= 84.8400 t= 6.25 a= 2.3512 v= 24.7561 x= 86.0718 t= 6.30 a= 2.3255 v= 24.8736 x= 87.3096 t= 6.35 a= 2.3001 v= 24.9899 x= 88.5533 t= 6.40 a= 2.2748 v= 25.1049 x= 89.8028 t= 6.45 a= 2.2496 v= 25.2187 x= 91.0581 t= 6.50 a= 2.2247 v= 25.3311 x= 92.3190 t= 6.55 a= 2.1998 v= 25.4424 x= 93.5855 t= 6.60 a= 2.1752 v= 25.5524 x= 94.8577 t= 6.65 a= 2.1507 v= 25.6611 x= 96.1353 t= 6.70 a= 2.1264 v= 25.7687 x= 97.4183 t= 6.75 a= 2.1023 v= 25.8750 x= 98.7068 t= 6.80 a= 2.0783 v= 25.9801 x= 100.0005
g) Ved terminal hastighet så er akselerasjon, a, være lik null. a = F 1 2 ρc D A v 2 m 1 2 ρc DAv 2 = F v = 2F ρc D A = 800 = 18.28 m/s ρc D A h) Maximum hastighet er 15.5037 m/s from pylab import * # PARAMETERS d0 = 0 #m m = 80 #kg d_end = 100 #m v0 = 0 #m/s # AIR RESISTANCE rho = 1.293 #kg/m^3 A = 0.45 #m^2 Cd = 1.2 w = 0 #m/s # TIME t0 = 0 #s (Start) dt = 0.05 #s (Step) # FORCES F0 = 400 #N fv = 25.8 #sn/m def FD(v): FD = F0 - fv*v return FD # Oppgave (h) def AirRes(v,w): D = -0.5*rho*Cd*A*((v-w)**2) return D # EULERS METHOD def Eul(x,z): # z is x' E = x + z*dt return E def Acc(F,D): acc = (F+D)/m return acc # LISTING t = [t0] x = [d0] v = [v0] a = [Acc(FD(v[0]),0)] #------------------------------------------------------- i = 0 while round(a[i],4)!= 0: t.append(t[i]+dt) a.append(acc(fd(v[i]),0)) v.append(eul(v[i],a[i])) x.append(eul(x[i],v[i])) i += 1 print 't= %.2f a= %.4f v= %.4f x= %.4f' %(t[i],a[i],v[i],x[i]) Resultat: t= 34.90 a= 0.0000 v= 15.5037 x= 493.7869
i) from pylab import * # PARAMETERS d0 = 0 #m m = 80 #kg d_end = 100 #m v0 = 0 #m/s # AIR RESISTANCE rho = 1.293 #kg/m^3 A_tot = 0.45 #m^2 Cd = 1.2 w = 0 #m/s # TIME t0 = 0 #s (Start) dt = 0.05 #s (Step) tc = 0.67 #s # FORCES F0 = 400 #N fv = 25.8 #sn/m fc = 488 #N def FD(v,t): FD = F0 + fc*exp(-((t/tc)**2)) - fv*v return FD def AirRes(v,w,A): D = -0.5*rho*Cd*A*((v-w)**2) return D def Area(t): Area = A_tot - 0.25*A_tot*exp(-((t/tc)**2)) return Area # EULERS METHOD def Eul(x,z): # z is x' E = x + z*dt return E def Fnet(F,D): netto = F + D return netto def Acc(Ftot): acc = (Ftot)/m return acc # LISTING t = [t0] x = [d0] v = [v0] a = [Acc(Fnet(FD(v[0],t[0]),AirRes(v[0],w,Area(t[0]))))] #------------------------------------------------------- i = 0 while x[i] < d_end: t.append(t[i]+dt) a.append(acc(fnet(fd(v[i],t[i]),airres(v[i],w,area(t[i]))))) v.append(eul(v[i],a[i])) x.append(eul(x[i],v[i])) i += 1 print 't= %.2f a= %.4f v= %.4f x= %.4f' %(t[i],a[i],v[i],x[i]) subplot(3,1,1) plot(t,x,'g-') xlabel('time [s]') ylabel('distance [m]') subplot(3,1,2) plot(t,v,'r-') xlabel('time [s]') ylabel('velocity [m/s]') subplot(3,1,3) plot(t,a,'b-') xlabel('time [s]') ylabel('acceleration [m/s^2]') show()
Grafsett 1 j) Han løp 100 m på 9.20s... t= 9.10 a= 0.0656 v= 13.0134 x= 98.7431 t= 9.15 a= 0.0642 v= 13.0166 x= 99.3938 t= 9.20 a= 0.0628 v= 13.0198 x= 100.0446
k) Grafsett 2 I startfasen av løpet er de konstruktive kreftene, F og F C, høye imens de destruktive kreftene, F V og D, lave. Dette gir en høy akselerasjon. Utover i løpet minker F C drastisk, noe som senker akselerasjonen. Tilsvarende øker F V, som igjen senker akselerasjonen ytterligere. Luftmotstanden, D, er liten i forhold til de andre kreftene, men har allikevel en viss innvirkning på løpstiden. l) Ved å bruke programmet gitt i (i), og endre verdien til w, fikk vi følgende resultater: w = 0 m/s t = 9.20s w = 1 m/s t = 9.10s (Medvind) w = -1m/s t = 9.35s (Motvind)