Control Engineering State-space Models Hans-Petter Halvorsen
Dataverktøy MathScript LabVIEW Differensial -likninger Tidsplanet Laplace 2.orden 1.orden Realisering/ Implementering Reguleringsteknikk Serie, Parallel, Feedback Det komplekse plan S-planet K = Forsterkning T=Tidskonstant Transferfunksjoner Blokkdiagrammer Tilstandsrommodeller Analyse/Design Stabilitetsanalyse Det komplekse plan 2. Frekvensrespons 1. Systemets poler Bodediagram Sprangrespons 1.orden med tidsforsinkelse Diskretisering Reguleringssystem Asymptotisk stabilt system Air Heater Tidsplanet Ustabilt system Marginalt stabilt system Asymptotisk stabilt system Marginalt stabilt system Ustabilt system
Tilstandsrommodeller Differensiallikninger Tilstandsrommodeller Spesialtilfelle Transferfunksjoner Laplace En strukturert form/kompakt form når vi har et sett med 1.ordens (lineære) differenislalikninger Generelt består et dynamisk system av flere enn en differensiallikning, slik at dette er en veldig hendig måte å sette opp det dynamiske systemet på. Veldig mye reguleringsteori (da særlig avansert reguleringsteori) er basert på at systemet er satt opp på tilstandsromform Tilstandsrommodeller kan enkelt implementers i LabVIEW, MathScript, osv.
Tilstandsrommodeller Dynamisk System u1, u2, u3, inngangssignaler (pådrag) x1, x2, x3, - interne tilstander F.eks Trykk, Temperatur, Nivå, osv. y1, y2, y3, utgangsignaler(målinger) A, B, C, D er matriser x, u, y er vektorer
Tilstandsrommodeller Et sett med lineære differensiallikninger Som settes opp på en strukturert måte x Systemets interne tilstander u pådraget(ene) (fra regulatoren) y utgangen(e), dvs det vi fysisk måler
Tilstandsrommodeller - Eksempel x1 og x2 Systemets interne tilstander u pådraget (fra regulatoren) y utgangen, dvs det vi fysisk måler x En vektor som består av systemets interne tilstander u En vektor som består av systemets pådrag (vi kan ha mer enn et pådrag!) y En vektor som består av systemets måling(er)
Tilstandsrommodeller - MathScript MathScript: A = [1, 2; 3, 4]; B = [0; 1]; C = [1, 0]; D = [0]; Sprangrespons: NB! Som du ser så er dette systemet ustabilt! model = ss(a, B, C, D) step(model) Studenter: Prøv dette! Kan vi finne transferfunksjonen(e) hvis vi har funnet tilstandsrommodellen? Ja! H = tf(model)
Tilstandsrommodeller Eksempler Hva blir Tilstandsrommodellen for systemet?????
Implementer denne i MathScript Hva blir Transferfunksjonen?
Tilstandsrommodeller Eksempler Hva blir Tilstandsrommodellen for systemet?????
Implementer denne i MathScript Hva blir Transferfunksjonen(e)?
SISO Dynamisk System SIMO Dynamisk System Single Input, Single Output Single Input, Multiple Output MISO Dynamisk System MIMO Dynamisk System Multiple Input, Single Output Multiple Input, Multiple Output
Tilstandsrommodeller - Vanntankeksempel Systemets differenislalikninger: NB! Dette er en forenklet modell av systemet! h er nivået i tanken, mens Fout er utstrøminen i bunnen gjennom en ventil, Kp er pumpeforsterkningen som gjør at det renner vann inn i tanken. Målet er å regulere nivået i tanken på et gitt nivå (referanseverdi), dvs u er pådraget fra regulatoren som styrer pumpa på innløpet. Nivået h blir målt vha boblerørprinsippet. Hva blir Tilstandsrommodellen for systemet????? Dere får 5 minutter på å finne denne, samt simulere systemet i MathScript (sprangrespons). Hva blir transferfunksjonen? Bruk disse verdiene i simuleringen Kp = 16.5; At = 78.5;
Tilstandsrommodeller Vanntankeksempel Systemets differenislalikninger: Vi setter: Da får vi: Tilslutt:
Tilstandsrommodeller Vanntankeksempel MathScript: clc, clear Kp = 16.5; A_tank = 78.5; A = [0, -1/A_tank; 0, 0]; B = [Kp/A_tank; 0]; C = [1, 0]; D = [0]; model = ss(a, B, C, D) step(model) Transferfunksjonen: H = tf(model) Kommentar til resultatene: Vi ser at vanntanken oppfører seg som en typisk integrator.
Hans-Petter Halvorsen, M.Sc. University College of Southeast Norway www.usn.no E-mail: hans.p.halvorsen@hit.no Blog: http://home.hit.no/~hansha/