Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir samtidig litt repetisjon fra Kompendium 1. Utvalget er gjort med hensyn på at de skal kunne løses med pensumet i MAT1001. Vær oppmerksom på at språk og notasjon kan variere noe. Eksamen i MA 001, 11. mai 1987 Oppgave 5 a) Finn egenverdier og egenvektorer til matrisen M = [ 2 5/2 0 1/2 ] b) Vi definerer to tallfølger {x n } og {y n } ved at x 1 = 1, y 1 = 1, og for n = 1, 2, 3,... er x n+1, y n+1 gitt ved x n+1 = 2x n + 5 2 y n y n+1 = 1 2 y n 136
[ ] [ ] x1 1 Uttrykk vektoren = som en sum av egenvektorer til y 1 1 matrisen M, og bruk dette til å avgjøre hvilke av grensene som eksisterer. lim x n og lim y n n n Eksamen i MA 100, 4. desember 1995 Oppgave 6A (tilpasset Lindstrøm: Kalkulus ) a) Finn løsningene til z 2 6z + 12 = 0 og skriv dem på polarform. b) Finn en løsning av differensligningen x n+2 6x n+1 + 12x n = 49n slik at x 0 = 4, x 1 = 12. Eksamen i MA 100, 9. juni 1997 Oppgave 1 a) Finn den generelle reelle løsningen til differenslikningen x n+2 4x n+1 + 8x n = 0 b) Finn løsningen til differenslikningen x n+2 4x n+1 + 8x n = 5n + 8 med x 0 = 3 og x 1 = 5. 137
Eksamen i MA 100, 16. desember 1998 Oppgave 5 Finn den generelle reelle løsningen av differenslikningen x n+1 = 2 cos α x n x n 1, n = 1, 2,... (der α er en reell konstant). Eksamen i MA 100, 10. desember 1999 Oppgave 4 Et fond for kunstnerisk utsmykking blir opprettet i begynnelsen av et år. Fondet har en startkapital x 0 = 15 millioner kroner, og renteinntekter på 6% per år. I slutten av hvert år deler fondet ut penger. Det første året utbetales det 500000 kroner og beløpet økes med 60000 kroner hvert år. a) La x n være størrelsen på fondet etter n år målt i millioner kroner. Forklar hvorfor x n+1 = 1.06x n 0.5 0.06n, x 0 = 15. Finn x n. b) Hva skjer med x n når n? Hvor stor måtte startkapitalen x 0 ha vært for at fondet skulle fortsette utbetalingene i evig tid? Eksamen i MA 100, 9. juni 2000 Oppgave 2 a) La z = 1 + i og w = 2 i. Skriv z w og z w z på a + ib form. b) (tatt ut) 138
Eksamen i MA 100, 8. desember 2000 Oppgave 2 a) Finn den generelle løsningen til differensligningen x n+2 x n+1 + x n = 0 og skriv den på både kompleks og reell form. b) Finn løsningen av x n+2 x n+1 + x n = 2n + 1 slik at x 0 = 1, x 1 = 0. Eksamen i MA 100, 13. juni 2002 Oppgave 1a Finn den partikulære løsningen av differensligningen x n+2 x n+1 12x n = 0 som oppfyller x 0 = 1 og x 1 = 11. Eksamen i MAT 100, 14. juni 20001 Oppgave- og svarark for del 1 Regn ut (forenkle) uttrykkene (iv) 1 + i 1 i 2 2 + i i 139
(v) 1 2 (1 + i) e i π 4 1 1 2 1 i Eksamen i MAT 100, 12. desember 2001 Oppgave 1 i Del 1, Oppgave- og svarark Hvilket av følgende uttrykk er en forenkling av z = 1 2 ( 3 + i) e π 3 i? i 1 1 2 3 + 2i Oppgave 2 i Del 1, Oppgave- og svarark Tallmengden {z C z + z = 1} i det komplekse plan beskriver: Et punkt En linje En sirkel Underveiseksamen i MAT-INF1100, 17. oktober 2003 11) Hvilken av følgende differensligninger er lineær? x n log(x n 1 ) + x n 2 = 0 e sin xn + x n 1 = 0 x 2 n + x n 2 = 0 x n + n 1/2 x n 1 + x n 2 = 0 x n x n 1 = 0 12) Løsningen av differensligningen er gitt ved x n = (1 4 n )/2 x n = ( 1) n 2 n x n+2 x n+1 2x n = 0, x 0 = 0, x 1 = 3 140
x n = 3n x n = n 1 3 n x n = ( (n 1) 2 2 n 13) En differensligning har karakteristisk ligning med røtter r 1 = 3 + 2i og r 2 = 3 2i. Differensligningen er da gitt ved x n+2 2x n+1 + 2x n = 0 x n+2 x n = 0 x n+2 + x n+1 x n = 0 x n+2 6x n+1 + 13x n = 0 x n+2 8x n+1 + x n = 0 14) Løsningen av differensligningen x n+2 + 2x n+1 + 4x n = 0, x 0 = 0, x 1 = 3 er gitt ved x n = 4 n 1 x n = 2 n cos(2nπ/3) x n = 2 n sin(2nπ/3) x n = n 3 x n = 2 n sin(nπ/3) 18) (NB! I MAT1001 lærer vi ikke å løse slike likninger, men dere kan løse oppgaven ved å sette inn de ulike alternativene i likningen og se hvilket svar som passer.) Løsningen av den inhomogene differensligningen x n+2 4x n+1 + 4x n = 3 n der x 0 = 1 og x 1 = 1 er 141
x n = 2 n n x n = 2 n n( 3) n x n = (n 2 + n)/2 x n = n + 2 2 n x n = 3 n n2 n 19) Løsningen av den inhomogene differensligningen x n+1 2x n = n 2 der x 0 = 0 er gitt ved x n = n x n = n 2 x n = 3(2 n 1) 2n n 2 x n = 2 n 1 x n = 2 n n 2 1 Eksamen i MAT-INF1100, 12. desember 2003 Oppgave 1 i Del 2 Løs differensligningen x n+2 4x n+1 + 4x n = n + 1, n 0, med initialverdier x 0 = 0 og x 1 = 0. Underveiseksamen i MAT-INF1100, 15. oktober 2004 Oppgave 13. Hvilken av de følgende differensligningene er lineær og har konstante koeffisienter? x n+1 + nx n = 1 x n+2 5 11 x n+1 + x n = sin(2n) 142
x n+2 5 11 x n+1 + x 2 n = 0 x n+2 log(x n+1 ) + x n = 2 x n+1 = Ax n (1 x n ) der A er en konstant Oppgave 15. Vi har gitt en differensligning med initialbetingelser, 2x n+2 5x n+1 + 3x n = 0, x 0 = 1, x 1 = 3 2. Hva er løsningen? x n = 1 + 1 2 2 2n x n = 2 ( 3 2 x n = ( ) 3 n 2 ) n x n = 2 n 3 2 A sin(n) der A er en vilkårlig konstant Oppgave 17. Vi har differensligningen x n+1 x n = n. Hvilken av følgende er en partikulærløsning? x n = n 2 n! 1 2 n2 1 2 n An + B der A og B er konstanter 2 n Eksamen i MAT-INF1100, 7. desember 2004 Oppgave 3 i Del 2 Tom har et akvarium der vannet har blitt for hardt, dvs. at konsentrasjonen av salter er for stor. Denne konsentrasjonen måles i gram per liter, g/l, og har kommet opp i c 0 = 1.0g/l. Av hensyn til sine kjære dyr og planter, kan 143
Tom bytte alt vannet på en gang, men må nøye seg med å bytte S liter en gang i uka. Dette gjør han ved å tappe S liter vann fra akvariet og deretter fylle på med S liter vann fra springen. Vi ser bort fra fordampning etc. a) Forklar hvorfor konsentrasjonen av salter etter n uker, c n, er styrt av differenslikningen c n = ( 1 S ) c n 1 + S V V K, der K er konsentrasjonen av salt i vannet i springen og V er det totale vannvolumet i akvariet, målt i liter. b) Vi setter nå K = 0.1g/l, V = 100.0l, S = 10.0l i tillegg til c 0 = 1.0g/l. Løs differensligningen og finn et uttrykk for saltkonsentrasjonen etter n uker. Hvor mange uker går det før Tom får saltinnholdet ned til det halve av c 0, dvs. til 0.5g/l? Eksamen i MAT-INF1100, 7. desember 2005 Oppgave 1 i Del 2 Løs differensligningen x n+2 3x n+1 + 2x n = 1, x 0 = 1, x 1 = 0. Underveiseksamen i MAT-INF1100, 12. oktober 2006 Oppgave 13. Hvilken av de følgende differensligningene er lineær og har konstante koeffisienter? x n+1 + nx n = 1 x n+2 4x n+1 + x 2 n = 0 x n+2 x n+1 + x n = sin(x n ) x n+2 + 4x n+1 + x n = sin(2 n ) 144
x n+1 = n 2 x n Oppgave 14. Differensligningen 2x n+2 x n = n 2 har en partikulærløsning x n = n 2 x n = n 2 3n + 4 x n = n 2 x n = n 2 8n + 24 x n = n 2 4n + 12 Oppgave 15. Vi har gitt en differensligning med initialbetingelser, 2x n+2 + 2x n+1 + x n = 0, x 0 = 1, x 1 = 0. Hva er løsningen? x n = 2 n/2 (cos(3nπ/4) + sin(3nπ/4)) x n = 3 n/2 (cos(nπ/2) + sin(nπ/2)) x n = 3 n + ( 2) n /6 x n = 2 n/2 (cos(3nπ)) x n = 2 n/2 (cos(3nπ/4) + sin(3nπ/4)) Oppgave 16. (NB! I MAT1001 har vi ikke lært å løse slike likninger, men dere kan løse oppgaven ved å sette de ulike alternativene inn i likningen.) Vi har gitt en differensligning med tilhørende startverdi, x n+1 = (n + 1) 2 x n, n 1, x 1 = 1. Hva er løsningen? 145
x n = n! x n = n x n = n 2 x n = (n!) 2 x n = ((n 1)!) 2 Oppgave 17. (NB! I MAT1001 har vi ikke lært å løse slike likninger, men dere kan løse oppgaven ved å sette de ulike alternativene inn i likningen.) Differensligningen x n+1 3x n = 2 n, n 1 med startverdi x 1 = 1 har løsningen x n = n x n = 3 n 1 x n = 2 n 1 x n = 3 n 2 n x n = (3 n + 2 n )/5 Oppgave 19. En andreordens differensligning har den generelle løsningen x n = C 1 + C 2 8 n, n 0. Hva er differensligningen? x n+2 9x n+1 + 8x n = 0 x n+2 9x n+1 8x n = 0 x n+2 + 7x n+1 8x n = 0 x n+2 7x n+1 + 8x n = 0 x n+2 + 9x n+1 + 8x n = 0 146
Eksamen i MAT-INF1100, 7. desember 2006 Oppgave 1 i Del 2 Løs differensligningen x n+2 3x n+1 + 2x n = 1, x 0 = 1, x 1 = 0. Underveiseksamen i MAT-INF1100, 11. oktober 2007 Oppgave 9. Hvilken av de følgende differensligningene er lineær og homogen? x n+1 + log x n = 0 x n+2 9nx n+1 + x 2 n 2 = 0 x n+2 (n + 1)x n+1 + nx n sin(x n ) = 0 x n+1 + ( 1) n x n = 0 x n+2 4(x n+1 + 1)x n = 0 Oppgave 13. (NB! I MAT1001 har vi ikke lært å løse slike likninger, men dere kan løse oppgaven ved å sette de ulike alternativene inn i likningen.) Differensligningen x n+2 6x n+1 + 8x n = 2 n har en partikulærløsning x n = n2 n x n = n2 n 2 x n = n 2 x n = 2 n x n = n 2 2 n Oppgave 14. Vi har gitt en differensligning med initialbetingelser x n+2 5x n+1 + 6x n = 0, x 0 = 0, x 1 = 1. 147
Hva er løsningen? x n = 3 n x n = sin(nπ/2) x n = 3 n + 2 n+1 x n = 3 n 2 n x n = 1 Oppgave 16. Differensligningen med startverdi x 0 = 0 har løsningen x n = n x n = 2n + n 1 3 3 x n = ( 2)n + n 1 3 3 x n = 2 n + n x n = (3 n 2 n ) + n x n+1 + 2x n = 3n, n 0 17. En lineær, homogen, andreordens differensligning med konstante koeffisienter, har den generelle løsningen Hva er differensligningen? x n+2 9x n+1 + 8x n = 0 x n+2 9x n+1 8x n = 0 x n+2 6x n+1 + 9x n = 0 x n+2 + 9x n+1 + 6x n = 0 x n+2 4x n+1 + 3x n = n x n = (C 1 + C 2 n)3 n, n 0. 148