Forelesning mandag den. september. Fibonnacitall forts. Proposisjon..6. La n være et naturlig tall. Da er u + u + + u n = u n+. Bevis. Først sjekker vi om proposisjonen er sann når n =. I dette tilfellet er utsagnet at u = u +. Siden u = og u + = u 3 = =, er dette sant. Anta nå at proposisjonen har blitt bevist når n er et gitt naturlig tall m. Således har det blitt bevist at u + u + + u m = u m+. Vi gjør følgende observasjoner. ) Fra antakelsen at følger det at u + u + + u m = u m+, u + u + + u m + u m+ = u m+ ) + u m+ = u m+ + u m+. ) Ut ifra definisjonen til sekvensen av Fibonaccitall er Fra ) ) deduserer vi at u m+3 = u m+ + u m+. u + u + + u m + u m+ = u m+3. Dermed er proposisjonen sann når n er det naturlige tallet m +. Ved induksjon konkluderer vi at proposisjonen er sann når n er et hvilket som helst naturlig tall.
Eksempel..7. Når n =, fastslår Proposisjon..6 at u + u = u, altså at + = 3. Eksempel..8. Når n = 3, fastslår Proposisjon..6 at u + u + u 3 = u, altså at + + =. Eksempel..9. Når n =, fastslår Proposisjon..6 at u + u + u 3 + u = u 6, altså at + + + 3 = 8. Eksempel..0. Når n = 9, fastslår Proposisjon..6 at u + u + + u 9 = u, altså at + + + 3 + + 8 + 3 + + 3 = 89. Merknad... Den viktigste delen av dette beviset er ligningen Det er her vi benytter antakelsen at u + u + + u m + u m+ = u m+ ) + u m+. u + u + + u m = u m+. Proposisjon... La n være et naturlig tall slik at n. Da er u n = u n+ u n + ) n. Bevis. Først sjekker vi om proposisjonen er sann når n =. I dette tilfellet er utsagnet at u = u + u + ). Siden u = =
. Fibonnacitall forts. og u + u + ) = u 3 u = = er dette sant. Anta nå at proposisjonen har blitt bevist når n et gitt naturlig tall m slik at m. Således har det blitt bevist at Vi gjør følgende observasjoner. =, u m = u m+ u m + ) m. ) Ut ifra definisjonen til sekvensen av Fibonaccitall er Derfor er u m+ = u m + u m. u m+ u m+ u m = u m+ u m + u m ) u m+ u m = u m+ u m + u m+ u m u m+ u m = u m u m+ u m+ ) + u m+ u m. ) Ut ifra definisjonen til sekvensen av Fibonaccitall er u m+ = u m+ + u m. Derfor er u m+ u m+ = u m. Vi deduserer at u m u m+ u m+ ) + u m+ u m = u m + u m+ u m. 3) Fra antakelsen at u m = u m+ u m + ) m, følger det at u m + u m+ u m = ) m = ) ) m = ) m+ = ) m. 3
Fra ) 3) deduserer vi at Derfor er u m+ u m+ u m = ) m. u m+ = u m+ u m + ) m. Dermed er proposisjonen sann når n er det naturlige tallet m +. Ved induksjon konkluderer vi at proposisjonen er sann når n er et hvilket som helst naturlig tall slik at n. Eksempel..3. Når n = 3, fastslår Proposisjon.. at = 3 +. Eksempel... Når n =, fastslår Proposisjon.. at 3 =. Eksempel... Når n = 9, fastslår Proposisjon.. at 3 = +. Merknad..6. Den viktigste delen av beviset for Proposisjon.. er Steg 3). Det er her vi benytter antakelsen at u m = u m+ u m + ) m.. Binets formel for Fibonaccitallene Merknad... Nå skal vi finne en formel for det n-te Fibonaccitallet. Proposisjon... La x være en løsning til ligningen x x = 0. La n være et naturlig tall slik at n. Da er x n = xu n + u n. Bevis. Først sjekker vi om proposisjonen er sann når n =. I dette tilfellet er utsagnet at x = xu + u. Siden u = og u =, er xu + u = x + = x +.
. Binets formel for Fibonaccitallene Ut ifra antakelsen at er x x = 0, x = x +. Dermed er utsagnet sant. Anta nå at proposisjonen har blitt bevist for et gitt heltall m slik at m. Således har det blitt bevist at x m = xu m + u m. Vi gjør følgende observasjoner. ) Fra antakelsen at x m = xu m + u m følger det, ved å gange begge sidene i denne ligningen med x, at x m+ = x u m + xu m. ) Siden x er en løsning til ligningen x x = 0, er x = x +. Fra ) ) deduserer vi at Nå gjør vi følgende observajoner. ) Vi har: x m+ = x + )u m + xu m. x + )u m + xu m = xu m + u m + xu m = xu m + xu m + u m = xu m + u m ) + u m. ) Ut ifra definisjonen til sekvensen av Fibonaccitall er u m+ = u m + u m. Fra ) ) deduserer vi at x + )u m + xu m = xu m+ + u m.
For å oppsummere beviset så langt, har vi fastslått at og at Vi deduserer at x m+ = x + )u m + xu m x + )u m + xu m = xu m+ + u m. x m+ = xu m+ + u m. Dermed er proposisjonen sann når n = m +. Ved induksjon konkluderer vi at proposisjonen er sann for alle naturlige tall n slik at n. Eksempel..3. La x være en løsning til ligningen Når n = 3, fastslår Proposisjon.. at x x = 0. x 3 = u 3 x + u = x +. Eksempel... La x være en løsning til ligningen Når n =, fastslår Proposisjon.. at x x = 0. x = u x + u = x + 3 Eksempel... La x være en løsning til ligningen Når n = 7, fastslår Proposisjon.. at x x = 0. x 7 = u 7 x + u 6 = 3x + 8 Eksempel..6. La x være en løsning til ligningen Når n = 9, fastslår Proposisjon.. at x x = 0. x 9 = u 9 x + u 8 = 3x +. 6
. Binets formel for Fibonaccitallene Lemma..7. Tallene + og er løsninger til ligningen x x = 0. Bevis. For å bevise at + er en løsning til ligningen regner vi som følger: x x = 0, + ) + ) ) + + = + = + + + = + + = 0 = 0. For å bevise at er en løsning til ligningen regner vi som følger: x x = 0, ) ) ) = = + = + + = 0 = 0. Merknad..8. Tallet + kalles noen ganger det gyldne snitt. Proposisjon..9. La n være et naturlig tall. Da er ) n u n = + ) n ). 7
Bevis. Fra Proposisjon.. og Lemma..7 følger det at + ) n + ) = u n + u n, og at ) n ) = u n + u n. Ved å benytte oss av disse faktaene, regner vi som følger: + ) n ) n + ) = u n + u n Dermed har vi bevist at = = = + + ) u n u n ) ) u n u n ) u n ) + + = u n = u n. + ) n u n ) n = u n. Ved å dele begger sidene i denne ligningen med, deduserer vi at proposisjonen er sann. Eksempel..0. Når n =, fastslår Proposisjon..9 at = + ) ). Eksempel... Når n = 3, fastslår Proposisjon..9 at = + ) 3 ) 3. 8
. Binets formel for Fibonaccitallene Eksempel... Når n = 6, fastslår Proposisjon..9 at 8 = + ) 6 ) 6. Eksempel..3. Når n = 9, fastslår Proposisjon..9 at 3 = + ) 9 ) 9. Terminologi... Ligningen i Proposisjon..9 kalles Binets formel. Merknad... Flere fakta kan deduseres fra Proposisjon..9. Etter noen forberedelser skal se på et eksempel: Proposisjon..8. Lemma..6. Vi har: + ) ) =. Bevis. Vi regner som følger: + ) ) ) ) + = = + = =. Lemma..7. Vi har: + ) Bevis. Vi gjør følgende observasjoner. ) Ut ifra Eksempel..0 er = ) =. + ) ). 9
Ved å gange begge sidene av denne ligningen med, følger det at = + ) ). ) Vi har: = = + ) + ) + ) ) ) ) Fra ) ) deduserer vi at = + ) ). Proposisjon..8. La n være et naturlig tall. Da er u n+ u n = u n+. Bevis. For å gjøre beviset lettere å lese, la x være +, og la y være. Vi gjør følgende observasjoner. ) La m være et naturlig tall. Ut ifra Proposisjon..9 er u m = x m y m ). Derfor er u m = ) x m y m ) = xm y m ) x m y m ) = x m x m y m + y m) = x m xy) m + y m). 0
. Binets formel for Fibonaccitallene ) Ut ifra Lemma..6 er xy) m = ) m. Fra ) ) deduserer vi at u m = x m ) m + y m). Dermed er og er u n+ = u n = x n ) n + y n) x n+) ) n+ + y n+)). Vi deduserer at u n+ u n = x n+) ) n+ + y n+)) x n ) n + y n) = x n+) ) n ) + y n+) x n + ) n y n) = x n+) + y n+) x n y n ) n + ) n) = x n+) + y n+) x n y n) Dermed er u n+ u n = x n+) + y n+) x n y n). Nå gjør vi følgende observasjoner. ) Ut ifra Lemma..6 er Derfor er x y = xy) = ) =. x n+) + y n+) x n y n) = x n+) + y n+) x y x n x y y n) = x n+ + y n+ y x n+ x y n+) = x y ) x n+ y n+)
) Ut ifra Lemma..7 er Derfor er 3) Ut ifra Proposisjon..9 er x y ) =. x y ) x n+ y n+) = x n+ y n+). u n+ = x n+ y n+). Vi deduserer fra ) 3) at x n+) + y n+) x n y n) = x n+. For å oppsummere beviset så langt, har vi fastslått at u n+ u n = x n+) + y n+) x n y n) og at Vi deduserer at x n+) + y n+) x n y n) = x n+. u n+ u n = u n+. Eksempel..9. Når n =, fastslår Proposisjon..8 at 3 = 8. Eksempel..0. Når n = 3, fastslår Proposisjon..8 at =. Eksempel... Når n =, fastslår Proposisjon..8 at 3 =.
Oppgaver O. Oppgaver i eksamens stil Oppgave O..0. La n være et naturlig tall. La u n+ være det n + )-te Fibonaccitallet. Bevis at u + u 3 +... + u n = u n. Oppgave O... La n være et naturlig tall. La u k være det k-te Fibonnacitallet, hvor k er et hvilket som helst naturlig tall. Bevis at Tips: Gjør følgende: ) La r være og la s være Bevis at n i= Fra Proposisjon..9, deduser at ) Bevis at + r) n + s) n = ) n u i = u n. i +. r n s n ) = rn s n r s. u n = rn s n r s. n i=0 ) n )r i i Tips: Benytt formelen i Proposisjon.9.30 to ganger: i) Ved å la x være og å la y være r. ii) Ved å la x være og å la y være s. n i=0 ) n )s i. i 3
3) Deduser fra ), ) og Proposisjon..9 at + r) n + s) n r s = n i= ) n u i. i ) Fra Lemma..7 vet vi at r = r + og at s = s +. Deduser at ) Deduser fra ) og ) at r n s n = + r) n + s) n. u n = + r)n + s) n. r s 6) Konkluder fra 3) og ) at n i= ) n u i = u n. i Oppgave O... Følgende definerer ved rekursjon sekvensen av Lucastall. ) Det første heltallet i sekvensen er. ) Det andre heltallet i sekvensen er 3. 3) La m være et naturlig tall slik at m. Anta at det i-te heltallet i sekvensen har blitt definert for alle de naturlige tallene i slik at i m. Betegn det m-te heltallet i sekvensen som v m, og betegn det m )-te heltallet i sekvensen som v m. Da definerer vi det m + )-te heltallet i sekvensen til å være v m + v m. Skriv de første ti heltallene i sekvensen. Oppgave O..3. La v n betegne det n-te heltallet i sekvensen av Lucastall. Bevis at v +... + v n = v n+ 3. O. Oppgaver for å hjelpe med å forstå forelesningen Oppgave O... Hva fastslår Proposisjon..6 når n =? Oppgave O... Gjør det samme som i Merknad.. for Proposisjon..6. Med andre ord, beskriv hvordan algoritmen i Bemarking..3 ser ut for Proposisjon..6. Oppgave O..6. Hva fastslår Proposisjon.. når n =? Oppgave O..7. Gjør det samme som i Merknad.. for Proposisjon... Med andre ord, beskriv hvordan algoritmen i Bemarking..3 ser ut for Proposisjon...
O. Oppgaver for å hjelpe med å forstå forelesningen Oppgave O..8. Hva fastslår Proposisjon.. når n = 6? Oppgave O..9. Gjør det samme som i Merknad.. for Proposisjon... Med andre ord, beskriv hvordan algoritmen i Bemarking..3 ser ut for Proposisjon... Oppgave O..30. Hva fastslår Proposisjon..9 når n = 7? Oppgave O..3. Hva fastslår Proposisjon..8 når n = 7?