Foredrag om matematisk modellering - med inspirasjon fra heftet Matematisk Modellbygging, andre utgåve av Leiv Storesletten og Olav ygaard Jostein Trondal 6. april 2006 Ligger også på trondal.com/modellering/vekst.pdf Foredraget ble hol på atta - ristiansand atedralskole i valgfag di. likn.
Matematisk modellering Matematisk tankebygning for å analysere et problem i et annet fag Fysikk, økonomi, økologi, informatikk, astronomi, geofysikk, kjemi,... Matematiske modeller har vært grunnlaget og drivkraften i utviklingen av alle disse fagene fra mien av 600-tallet Eksempel - peak oil-teorien Modelleringsprosessen ilde: www.trendlines.ca 2
Denne foredraget går inn på Dierensiallikninger Økologi (befolkningsvekst) Eksponentiell vekst (Malthus' modell) Logistisk vekst (Verhulsts modell) Generalisering av Verhulsts modell Økologi Læren om samspillet i naturen Individ, Populasjon, Samfunn, Økosystem Simulering vs. kvalitative modeller Vekst i populasjoner brukes for å beskrive antall individer i populasjonen. er en funksjon av tiden; = (t). Vi antar at er kontinuerlig og tilstrekkelig deriverbar. Vekstraten til en populasjon i et økosystem er i utgangspunktet bestemt av re faktorer: Fødsel, død, innvandring og utvandring: = B D + I E () Disse faktorene påvirkes av alderssammensetning, tilgang på mat og plass, fysiske og kjemiske forhold i omgivelsene, rovdyr, parasitter,... Den enkleste typen modell for populasjonsvekst får vi ved å anta at vekstraten til populasjonen i hvert tidspunkt er gitt som funksjon av størrelsen på populasjonen i samme tidspunkt; = f() (2) 3
Den spesikke vekstraten s() = (3) Er et mål for det enkelte individs gjennomsnittlige tilskudd til populasjonsveksten Eksponentiell vekst - Malthus' modell Forutsetning: Den spesikke vekstraten er konstant. Dette gir: = r, r = konstant (Malthus' lov) (4) Oppgave : Vis at startkravet (0) = 0 gir løsningen (t) = 0 e rt Oppgave 2: Hva skjer med (t) når t? Oppgave 3: Skisser noen vekstkurver for ulike verdier av r. Logistisk vekst - Verhulsts modell En mer realistisk modell for befolkningsvekst kan lages ved å innføre en øvre grense > 0 for den populasjonen omgivelsene kan livnære. kalles gjerne bærekapasiteten. En ny veksthypotese der denne faktoren tas hensyn til kan da formuleres, for eksempel slik: Den spesikke vekstraten er proporsjonal med det ledige livsrom. Dette gir: = r ( ) (5) = r( ) (Verhulsts lov) (6) Oppgave 4: Hva skjer med likning (6) når? Likning (6) er en separerbar dierensiallikning som kan løses med standard metoder: 4
Delbrøksoppspalting av = r( ) ( = r ) = r ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a + b ( ) a( ) = ( ) + b ( ) a + (b a) = a= b= ( ) = + ( ) Dette gir: ( ) ( ) = + = r ( ) + ( ) = r ln ln = ln e ln = e rt+c = e c e rt = ±ec e rt = Cert 5
Startkravet (0) = 0 > 0 gir: C = 0 = 0 e rt (7) 0 Denne likningen kan nå løses m.h.p. og vi får: (t) = + (/ 0 )e rt for t 0 (8) Og er en såkalt logistisk vekst. Oppgave 5: Hva skjer med (t) når t? Oppgave 6: Hva skjer med (t) når? Oppgave 7: Skisser noen vekstkurver for ulike verdier av 0. 0 Verhulsts generaliserte modell I Verhulsts modell antar man at den spesikke vekstraten er størst når bestanden er nær null og minker jevnt med økende bestand. I virkeligheten derimot, vil bestander dø ut når de kommer under en viss kritisk verdi H > 0. H er da den minimale levedyktige bestanden. Verhulsts modell kan utvides for å ta hensyn til dette ved å anta følgende hypotese: = k( H)( ) (Verhulsts generaliserte lov) (9) der H er minimal levedyktig bestand, er bærekapasiteten og k er en konstant. Det følger fra (9) at vekstraten er positiv når H < < og er negativ når < H eller >. Med startkravet (0) = 0 får vi løsningen (t) = H + H + [( 0 )/( 0 H)] e k( H)t (0) Oppgave 8: Hva skjer med (t) når t og 0 > H? Oppgave 9: Hva skjer med (t) når t og 0 < 0 < H? Oppgave 0: Skisser noen vekstkurver for ulike verdier av 0. 6
Fasit Oppgave 2: (t) når t. Oppgave 3: Skisse av vekstkurver i Malthus' modell: Oppgave 4: (6) (4) når. Oppgave 5: (t) når t. Oppgave 6: (t) 0 e rt når. Oppgave 7: Skisse av vekstkurver i Verhulsts modell: Oppgave 8: (t) når t og 0 > H. Oppgave 9: (t) når t og 0 < 0 < H. Oppgave 0: Skisse av vekstkurver i Verhulsts generaliserte modell: 7