UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Konteeksamen i AST1100, 8.januar 2009, 14.30 17.30 Oppgavesettet inkludert formelsamling er på 10 sider Tillatte hjelpemidler: medbrakt kalkulator Konstanter og formelsamling finner du bakerst Merk: Figurene til oppgavene er ofte på en annen side en selve oppgaven Vær nøye med å forklare formlene du bruker: når du bruker formler fra formelsamlingen, forklar veldig kort hvorfor du bruker denne formelen og nevn hva symbolene i formelen står for. Selv om svaret er riktig, gies det ikke poeng på en oppgave hvis man ikke viser at man har forstått fysikken bak (dette gjelder spesielt oppgaver hvor svaret er oppitt). Hvis du bruker formler som ikke er oppgitt og som ikke er grunnleggende fysiske formler (dette skulle ikke være nødvendig) så må formlene vises. Noen oppgaver er merket krevende eller kort : krevende : Oppgaven vil gi flere poeng enn de andre oppgavene hvis den er besvart i sin helhet, men flere overganger kan være nødvendig for å komme frem til svaret. På disse oppgavene vil det bli gitt poeng for alle skritt i riktig retning. (Det betyr ikke nødvendigvis at oppgaven er veldig vanskelig eller krever mye regning, det betyr bare at man trenger å bruke litt fysisk forståelse og kanskje mer enn en utregning for å komme frem til svaret) kort : Oppgaven gir litt færre poeng enn gjennomsnittet og det forventes ikke en lang besvarelse. Spørmålene kan besvares på enten bokmål, nynorsk eller engelsk. You may answer these questions in either Norwegian or English. Oppgave 1 1. kort oppgave: Forklar hva symbolene i følgende formel står for og forklar fysisk (ingen utledning) hvorfor følgende relasjon må være oppfylt for tettheten ρ m i et ekspanderende univers ρ m (t) = ρ mo ( R(t) R 0 ) 3 1
2. Bruk dette samt første Friedmanlikning til å utlede at ( ) 2/3 t R(t) = R 0 t 0 for et flatt materiedominert univers uten kosmologisk konstant. 3. kort oppgave: For strålingstetthet ρ r er sammenhengen og for kosmologisk konstant har vi ( ) 4 R(t) ρ r (t) = ρ r0 R 0 ρ Λ = konstant hva er den fysiske årsaken til at tidsavhengigheten blir forskjellig for forskjellig typer stoff (stråling og mørk energi)? 4. kort oppgave: Finn et uttrykk for Hubble parameteren H(t) uttrykt kun ved Hubble konstanten idag H 0 = 71km/s/Mpc og tiden t (som er tiden siden Big Bang) for et univers med bare materie. 5. krevende oppgave: Mye tyder på at universet er flatt og at Ω m0 = 0.3 og Ω Λ0 = 0.7. Den kosmologiske konstanten får universet på et sent tidspunkt til å ekspandere fortere og fortere. Men ved universets begynnelse så var den kosmologiske konstanten enda ikke viktig og universet ekspansjon ble bremset opp. Det må bety at det finnes et tidspunkt i universets historie da universets akselrasjon har vært null, dvs. tidspunktet da universet gikk fra å bli bremset opp til å begynne en akselererende fase. Hva var universets alder t 1 på dette tidspunktet? Universets alder i dag er 13.2 milliarder år. Du kan gjøre antagelsen at R(t) i løpet av hele universets historie har utviklet seg slik som den gjør i et rent materiedominert univers. 6. Man kan bruke observasjoner av tilsynelatende magnitude (apparent magnitude) og rødforskyvning (redshift) for supernovaer til å bestemme universets geometri. Forklar strukturen på et dataprogram for å analysere observasjoner av supernovaer for å bestemme universets geometri. Bruk i underkant av en side på å forklare fremgangsmåten i tillegg til omkring en side på å skrive kode. Det trenger ikke å være nøyaktig syntaks for et gitt programmeringsspråk, men du må vær nøy med å definer variable og lengden av arrayene du bruker og hvor FOR-løkker starter og stopper. Det må komme klart frem hvor de observerte dataene kommer inn i koden og nøyaktig hvilke formler som brukes hvor. Bruk N obs for antall observerte supernovaer og N Ω for antall verdier av Ω som brukes mellom 0 og 2. 2
Oppgave 2 Et romskip som er sendt opp for å studere sola har med seg en liten sonde som skal slippes ned i solas atmosfære for å forstå bedre solas sammensetning. En million km over overflaten til sola, dvs. i avstanden r 0 = 1.7 10 6 km fra sentrum av sola slippes sonden. Den slippes med null hastighet i forhold til sola, men akselereres så etterhvert innover mot solas sentrum på grunn av tyngdeakselrasjonen. 1. krevende oppgave: Anta at tyngdefeltet fra sola er så stort av vi trenger å bruke generell relativitetsteori for å få svar som er nøyaktige nok. Sonden som slippes har en innebygd klokke som viser sondens egentid τ. Denne egentiden settes til τ = 0 i det sonden slippes. Utled følgende likning for koordinatet r(τ) (avstand fra solens sentrum) som sonden har fått etter en tid τ på sondens klokke r(τ) τ = r 0 dr C + 2M r, hvor C er en konstant som du skal finne. Det det er ikke nødvendig å gjøre integralet. Anta at sonden hele tiden er i fritt fall og at tettheten i de øvre lag av solen er så liten at vi kan se bort fra friksjon. hint: Energibevaring og Schwarzschildlinjeelementet kan være nyttige. 2. Ettersom sonden faller innover, gjør den målinger av temperaturen til sola. Sammenhengen mellom tetthet, trykk og temperatur er gitt ved tilstandslikningen (equation of state). Du skal nå utlede tilstandslikningen for en ideel ikke-relativistisk gass. Ta utgangspunkt i trykkintegralet. Anta at du vet at 0 n(p)dp = n, gjelder for fordelingsfuknsjonen du bruker. Her er n er antalltettheten til gassen. Du kommer til å trenge følgende relasjon. 0 x 3/2 e x dx = 3 π 4 3. I figur 1 ser du temperaturene som sonden rakk å måle nedover i solatmosfæren før den ble knust av høy trykk og temperatur. Til høyre ser vi en temperatur rundt 6000K ved overflaten i en avstand av 7 10 5 km fra sentrum. Deretter øker temperaturen innover mot sentrum. Prøv fra figuren å finne hvordan T(r) avhenger av r og bruk likningen for hydrostatisk likevekt til å vise at tehttheten ρ(r) som funkjon av avstand r i de ytre lagene av solen kan skrives som ρ(r) = ρ 0 e f(r), 3
Figur 1: For oppgave 2.3 hvor ρ 0 er tettheten på overflaten og f(r) = r0 r MG Ar 2 Br 2 + Dr 3 dr hvis vi antar ideel ikke-relativistisk gass. Finn tallverdi og enheter på konstantene A, B og D. Du kan anta at den totale massen M(r) innenfor en radius r er konstant lik solens totale masse M siden vi kun ser på de ytre lagene. Anta videre at gassen består av ren hydrogen. 4
Konstanter og uttrykk som kan være nyttige: Lyshastigheten: c = 3.00 10 8 m/s Plancks konstant: h = 6.626 10 34 J s Gravitasjonskonstanten: G = 6.673 10 11 Nm 2 /kg 2 Boltzmanns konstant: k = 1.38 10 23 J/K Stefan Boltzmann konstant: σ = 5.670 10 8 W/m 2 K 4. Elektronets hvilemasse: m e = 9.1 10 31 kg Protonets hvilemasse: m p = 1.6726 10 27 kg Nøytronets hvilemasse: m n = 1.6749 10 27 kg Wiens forskyvnigslov: λ max T = 0.0029 m K 1 ev (elektronvolt) = 1.60 10 19 J Solmassen: M = 2 10 30 kg Solradien: R = 6.98 10 8 m. Solas tilsynelatende magnitude: m = 26.7 Solas luminositet: L = 3.827 10 26 W Massen til Jupiter: 1.9 10 27 kg Temperaturen på solens overflate: 5780 K Astronomisk enhet: 1AU = 1.5 10 11 m Hubblekonstanten: H 0 = 71 km/s/mpc lysår: 1 ly = 9.47 10 15 m parsec: 1 pc = 206 265 AU = 3.27 ly Formler vi har brukt/utledet i kurset: P 2 = P 2 = a 3 4π 2 G(m 1 + m 2 ) a3 r + m r r 3 = 0 p r = 1 + e cosf p = h 2 /m p = a(1 e 2 ) p = a(e 2 1) p = 1/2a (ellipse) (hyperbel) (parabel) 5
N m i r i = MR i=1 m p sin i = m2/3 v r P 1/3 (2πG) 1/3 < K >= 1 2 < U > U = 3GM2 5R B(ν) = 2hν3 c 2 1 e hν/(kt) 1 L = de dt F = de dadt F = σt 4 ( m ) 3/2 n(v)dv = n e mv 2 /(2kT) 4πv 2 dv 2πkT λ FWHM = 2λ 0 2kT ln 2 c m ( ) F1 m 1 m 2 = 2.5 log 10 F 2 ( ) d m M = 5 log 10 10pc U B = M U M B = m U m B B V = M B M V = m B m V M V = 2.81 log 10 P d 1.43 M V = 3.53 log 10 P d 2.13 + 2.13(B V ) τ(λ) = v = H 0 d p r 0 dr n(r )σ(λ, r ) ( ) d m(λ) = M(λ) + 5 log 10 + 1.086τ(λ) 10pc s 2 = t 2 x 2 ( ) λ 1 + v λ = 1 v 1 6
c µν = γ rel v rel γ rel 0 0 v rel γ rel γ rel 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 < E K >= 3 2 kt N = M µm H ( ) 3/2 ( ) 1/2 5kT 3 M J =. Gµm H 4πρ ρ(r) d2 r dp(r) = ρ(r)g(r) dt2 dr P = ρkt µm H P r = 1 3 at 4 s 2 = ( ρ r = at 4 ) t 2 r2 r 2 φ 2 M m t shell = = G M kg c 2 t r r shell = ( E m = 1 2M ) dt r dτ L dφ = r2 m dτ t = ( E/m ) τ 1 2M r φ = L/m r 2 τ 7
) [ 2 ( ) ] 2 ( r = ± ( E L/m 1 + 1 2M ) τ m r r V eff (r) m = ( r = ± V eff (r) m = 1 (L/m) 2 2 r 2 M r ( 1 2M r r φ = ± L/E r ) [ 1 + (L/m)2 r 2 ) 1 ( ( ] ) (L/E) 2 t ) t r 2 b = L p V eff = 1 r b crit = 3 3M φ = 4M R 4M(d source d lens ) θ E = d lens d source U = 1 Z A Z B e 2 4πǫ 0 r ( ) 3/2 2 n A n E B r AB = dee E/kt σ(e) kt µπ 0 r AB X A X B ρ α T β ε AB = ε 0 X A X B ρ α T β ε pp ε 0,pp X 2 H ρt 4 6 ε 0,pp = 1.08 10 12 Wm 3 /kg 2 ε CNO = ε 0,CNO X H X CNO ρt 20 6 ε 0,CNO = 8.24 10 31 Wm 3 /kg 2 ε 3α = ε 0,3α ρ 2 X 3 HeT 41 8 ε 0,3α = 3.86 10 18 Wm 3 /kg 2 L M 4 t 1/M 3 8
M T 2 eff P = 1 p v n(p)dp 3 0 ( ) 3/2 1 n( p) = n e p2 /(2mkT) 2πmkT g(e) n(e) = e (E EF)/(kT) + 1 1 2 n( p) = e (p2 p 2 F )/(2mkT) + 1 h 3 ( ) 2/3 E F = h2 3ne 8m e π ( ) 2/3 3 h 2 P = n 5/3 e π 20m e P = hc 8 ( ) 1/3 3 n 4/3 e π < E K >= 3 5 E F ( ) 4/3 3 h 2 ( ) 5/3 Z R WD M 1/3 2π 20m e G Am H ( ) 3/2 ( ) 2 3/2 hc Z M Ch 1.4M 2π G Am H [ ] r s 2 = t 2 R 2 2 (t) 1 kr 2 + r2 θ 2 + r 2 sin 2 θ φ 2 H(t) = 1 dr(t) R(t) dt z = R 0 R(t) 1 Ṙ 2 (t) 8 3 πgρ(t)r2 (t) Λ 3 R(t)2 = k R(t) = 4 3 πg(ρ(t) + 3P(t))R(t) + Λ 3 R(t) ρ C (t) = 3H2 (t) 8πG Ω(t) = ρ(t) ρ C (t) d dt (ρr3(1+w) ) = 0 9
( R0 ρ(t) = ρ 0 R(t) ( t R(t) = t 0 ) 3(1+w) ) 2 3(1+w) 1 q(t) = R(t)H 2 (t) q(t) = 1 2 Ω(t) F = L 4πd 2 L d L = r(1 + z)r 0 ρ Λ = Λ 8πG d 2 R(t) dt 2 P Λ = Λ 8πG n n = e (mn mp)/kt n p n(t 1 ) 2(t1 t2)/τ = e ln n(t 2 ) d L = 1 H 0 q0 2 [q 0 z + (q 0 1)( 1 + 2zq 0 1)] v = H 0 d p 10