Auditorieøving 6, Fluidmekanikk Utført av (alle i gruppen): Oppgave 1 En beholder er åpen i ene enden og har et hull i bunnen, påsatt et innadrettet rør av lengde l og med sirkulært tverrsnitt A 0. Beholderen, som opprinnelig er tom, senkes plutselig ned i vann til en dybde h > l slik som figuren viser, og holdes fast i denne posisjonen. Anta at strømningen som oppstår gjennom hullet og røret, og i væskestrålen videre oppover, er fiksjonsfri og stasjonær og betrakt situasjonen før væskenivået inne i beholderen når opp til rørets topp. Bestem utrømningshastigheten v gjennom røret og finn trykket i røret som funksjon av høyden z over beholderens bunn. Oppgave To vertikale plater med høyde L har ved et vilkårlig tidspunkt en innbyrdes avstand h slik som figuren viser. Platene beveger seg mot hverandre med konstant hastighet v 0 på et glatt, horisontalt bord. Rommet mellom platene er fylt av en inkompressibel væske som i tillegg antas å være friksjonsfri (µ = 0). På grunn av platenes bevegelse avtar avstanden h med tiden og væske presses ut fra mellomrommet. Det oppstår en ikke-stasjonær strømning som skal antas todimensjonal idet det forutsettes at det ikke er noen bevegelse i z-retningen. Aksekorset xyz er vist på figuren. Finn kraften som må brukes for å presse platene sammen idet du antar at u x = u(x) = v0x h. (u er her fluidets hastighet). Merk at h = h(t)! 1
Oppgave 3 En væskefilm med tetthet ρ og viskositet µ renner laminært og stasjonært ned langs en rett plate som har en helning α med horisontalplanet slik som figuren viser. Væskefilmen har en konstant tykkelse h, og friksjonskraft mot atmosfaren kan neglisjeres. Vi får oppgitt følgende forslag til løsning av strømningen: p(y) = p 0 + ρg(h y) cos(α) (1) u(y) = a) Kontroller at grensebetingelsene for trykk og hastighet stemmer. ρg sin(α) (yh 1 µ y ) () b) Betrakt kontrollvolumet CV plassert på platen vist i figuren som et stiplet rektangel. Kontrollvolumet har en lengde L i x-retningen, høyde h i y-retningen og bredde B inn i papirplanet (z-retningen). Finn alle kreftene som virker på væsken i kontrollvolumet (i både x- og y-retning) og vis at disse summeres til null. Oppgave 4 Utled den kinematiske overflatebetingelsen geometrisk ved hjelp av figuren nedenfor. En fluidpartikkel i A vil ved tiden t forplante seg til punkt B ved tiden t + dt. Tilbakelagt strekning er da V dt med V = [u, w]. Hint: Legg sammen linjestykkene AD og DE
Løsningsforslag auditorieøving 6 Oppgave 1 Bernoulli fra stillestående vannoverflate til utløpet av det innadrettede røret gir hastigheten v. Bernoulli fra vannoverflaten til en vilkårlig høyde z inne i røret gir trykket v = g(h l) p(z) = p 0 + ρg(l z) Oppgave Avstanden h mellom en plate og senteret av systemet er gitt ved: h = h(t) = h 0 v 0 t, der h 0 startavstanden og v 0 er hastigheten som platen går med. Kontinuitetsligningen gir oss så hastigheten i y-retning, v: er u = 0 v0 h + v y = 0 v = v0 h y Bruker deretter Eulerligningen (som er ekvivalent til Navier-Stokes hvis µ = 0) for å bestemme trykkgradienten. I x-retningen så har vi: Tilsvarende for y-retningen: Integrerer: p x = ρdu dt = ρ(u u x + u t ) = 0 p = p(y) (1) ρg p y = ρdv v = ρ(v dt y + v t ) = 0y ρv h p y = 0y ρv + ρg () h p0 dp = p L y (ρ v 0y h p(y) = p 0 + ρ v 0L + ρg)dy h + ρgl ρ v 0y h ρgy (3) Kraften som virker på én plate skyldes (som vanlig) et eventuelt overtrykk. Leddet p 0 faller med andre ord bort da dette virker på hver side av platen. Total kraft pr. lengde b inn i planet er da gitt ved: F b = L 0 (p(y) p 0 )dy = 1 ρgl + ρv0l 3 3 h (4) 1
Oppgave 3 a) b) Grensebetingelse for trykk: p = p 0 for y = h: OK Grensebetingelse for hastighet: u = 0 for y = 0: OK Grensebetingelse ved y = h: Ingen friksjonskraft τ yx y=h = 0: OK Kontrollvolumet er utsatt for trykk-, friksjons- og tyngdekraft. x-retning: Trykk-kreftene i x-retning ρgh B cos α er like store, men motsatt rettet. Ingen netto trykk-kraft. Friksjonskraft τ yx = ρghlb sin α virker i negativ x-retning. Tyngdekraften mg sin α = ρlbhg sin α virker i positiv x-retning og balanserer friksjonskraften. Merk at vi kunne sett dette fra impulsbevarelse da (ρqu) inn = (ρqu) ut summen av kreftene er lik null! y-retning: Trykk-kraft: ρghlb cos α i positiv y-retning Tyngdekraft: mg cos α = ρghlb cos α Balanse mellom trykk- og tyngdekrefter Figur 1: Skisse over krefter som virker på kontrollvolumet
Oppgave 4 AD = η t dt: Lokal endring av elevasjonen η i løpet av tiden dt DE = EB tan α = udt tan α tan α = η x DE = u η x dt (vinkelkoeffisienten til elevasjonen η) Fra figuren har vi at AD + DE = CB = wdt: Vertikal forflytning av fluidpartikkel A η η t dt + u xdt = wdt η t + u η x = w. Dette er den kinematiske overflatebetingelsen som vi var ute etter. 3