Eksamen i ikkelineρr dynamikk, fag 74 993 Onsdag 6. mai 998 Lfisninger a) En permanent bfilge forandrer ikke form. Dvs. at hvis den forplanter seg med en konstant hastighet c i en rom-dimensjon, sνa er bfilgeprofilen u(x; t), som funksjon av romkoordinaten x og av tiden t, en funksjon av bare en variabel ο = x ct. u(x; t) =ffi(x ct). Altsνa: Et soliton er en permanent bfilge som er lokalisert, dvs. at u(x; t) og alle dens deriverte mhp. x gνar mot 0 nνar jxj!, og som dessuten er stabil i den forstand at den bevarer form, asymptotisk nνar t!±, ved kollisjoner med andre lokaliserte bfilger (som ikke behfiver vρre solitoner). b) At feltene u og u + ffiu begge er lfisninger av sine Gordon-ligningen, betyr at u tt u xx + sin u = 0 ; (u + ffiu) tt (u + ffiu) xx + sin(u + ffiu) = 0 : Nνar ffiu er en infinitesimal perturbasjon, og vi trekker den ene ligningen fra den andre, fνar vi at ffiu tt ffiu xx + (cos u) ffiu =0: c) For νa vise at energien E er en bevegelseskonstant, regner vi ut den tidsderiverte. Nνar vi setter inn fra sine Gordon-ligningen, fνar vi at de dt = = Z dx (u t u tt + u x u xt + (sin u) u t ) Z dx (u t u xx + u x u xt )=u x u t j =0: Integranden i integralet for E er energitettheten, kall den ρ = ρ(x; t). Beviset ovenfor, for at energien er bevart, gνar ut pνa νa finne et uttrykk for energistrfimmen j = j(x; t) slik at kontinuitetsligningen @ρ @t + dj dx =0 er oppfylt som en konsekvens av sine Gordon-ligningen. Lfisningen er j = u x u t. Energitettheten bestνar av tre ledd som hver for seg er ikke-negative. De tre integralene mνa vρre endelige hver for seg for at E skal bli endelig. Det betyr at den tidsderiverte u t og den romderiverte u x begge mνa vρre kvadratisk integrerbare fra til, ogat funksjonen cos u mνa vρre integrerbar. Den enkleste mνaten νa oppnνa det pνa, er at u t! 0, u x! 0og cos u! 0 tilstrekkelig raskt" nνar jxj!. Det betyr spesielt for den asymptotiske oppffirselen til u i grensene x!±at u! 2mß nνar x! og at u! 2nß nνar x!, med m og n heltallige. Hvis m 6= n, betyr det at lfisningen inneholder ett eller flere solitoner. d) Den oppgitte lfisningen '(x) = 4 arctan e x er uavhengig av tiden t. Den ligningen som vi skal vise er oppfylt, er derfor ' 00 (x) + sin('(x)) = 0 :
Vi har at ' 0 = 4ex +e 2x = 2 cosh x ; ' 00 = 2 sinh x cosh 2 x : Definer χ = arctan e x. Da har vi f.eks. at 2 sin χ cos χ sin(2χ) = cos 2 χ + sin 2 χ = 2 tan χ + tan 2 χ = 2e x +e 2x = cosh x ; cos(2χ) = cos2 χ sin 2 χ cos 2 χ + sin 2 χ = tan 2 χ + tan 2 χ = e 2x = tanh x; +e2x sin ' = sin(4χ) = 2 sin(2χ) cos(2χ) = 2 sinh x cosh 2 x : Ffilgelig er ' 00 + sin ' = 0, som vi skulle vise. Vi har videre at og det gir at (cos ') ' 0 = d dx sin ' = 2 cosh x + 4 sinh 2 x cosh 3 x = 2 cosh x 4 cosh 3 x ; cos ' = 2 cosh 2 x ; forfivrig det resultatet som skulle vises under neste punkt. Vi fνar da at Z E = dx 2 ('0 ) 2 + cos ' Z 4 = dx cosh 2 x = 4 tanh xj =8: Ved speiling om origo, x! x, fνar vi lfisningen 4 arctan e x,etantitvinn. Ved translasjon en avstand a fνar vi lfisningen 4 arctan e x a. Begge disse nye lfisningene har uforandret energi, E = 8 (det ser en lett ved νa bytte integrasjonsvariabel). Ved Lorentz-transformasjon fνar vi lfisningen 4 arctan e (x ct)=p c 2, den beveger seg med konstant bfilgeprofil og med konstant hastighet c (vi mνa forutsette at jcj < ). Siden den opprinnelige lfisningen hadde energi 8 og impuls 0, vil den Lorentz-transformerte lfisningen ha energi E = 8 p c 2 : e) Vi har allerede vist at V (x) = (2= cosh 2 x). Schrödinger-ligningen ψ d2 dx 2 + V (x)! ψ(x) =fflψ(x) ; med ψ = ' 0 og med ffl = 0, ffilger direkte ved derivasjon av sine Gordon-ligningen ' 00 + sin ' =0. 2
At bfilgefunksjonen ψ er grunntilstanden, slutter vi av at den ikke har noe nullpunkt. Grunntilstandsenergien kan nemlig finnes ved minimalisering av Z ψ! Z dx ffi d2 ffi N dx + Vffi = ψ! dffi 2 dx + Vffi 2 ; 2 N dx der bfilgefunksjonen ffi = ffi(x) varieres og N er normeringsintegralet for ffi, Z N = dxffi 2 : Ved νa velge en funksjon ffi uten nullpunkt minimaliserer vi bidraget fra (dffi=dx) 2, som er positivt (dette bidraget tolkes i kvantemekanikken som forventningsverdien av den kinetiske energien). f) For νa undersfike om fikspunktet er stabilt eller ustabilt, mνa vi undersfike tidsavhengige infinitesimale perturbasjoner ffiu = ffiu(x; t). Ligningen for ffiu fant vi under punkt b), nemlig ffiu tt ffiu xx + (cos ') ffiu =0: Siden dette er en lineρr ligning for ffiu, Fourier-transformerer vi mhp. tiden. Det vil si at vi studerer lfisninger med eksponensiell tidsavhengighet, ffiu(x; t) =ffiw(x)e t : Her er en Lyapunoveksponent. Da fνar vi Schrödinger-ligningen, ψ! d2 dx + V (x) ffiw(x) = 2 ffiw(x) : 2 Under punkt e) konkluderte vi med at egenverdien 2 har 0 som nedre grense, dvs. at alle Lyapunoveksponentene er rent imaginρre. Det finnes altsνa ingen mulige infinitesimale perturbasjoner som divergerer eksponensielt. Siden rent imaginρre Lyapunoveksponenter er et marginalt tilfelle nνar det gjelder stabilitet, burde vi strengt tatt studere den perturberte sine Gordon-ligningen til andre orden i ffiu, men sνa grundig til verks gνar vi ikke her. 2a) Hvis f (x Λ )=x Λ,ogffl er liten, sνa er f (x Λ + ffl) =x Λ + f 0 (x Λ )ffl + O(ffl 2 ) : Hvis derfor jf 0 (x Λ )j <ffi<, sνa vil det vρre mulig νa velge ffl liten nok til at jf (x Λ + ffl) x Λ j <ffijfflj : Hvis vi betegner den n ganger itererte funksjonen med f n, har vi da at jf n (x Λ + ffl) x Λ j <ffi n jfflj : Det viser at iterasjonen konvergerer mot x Λ, som altsνa er et stabilt fikspunkt. Hvis i stedet jf 0 (x Λ )j >ffi>, gjelder den motsatte ulikheten for smνa nok ffl, jf (x Λ + ffl) x Λ j >ffijfflj : 3
I sνa fall er fikspunktet ustabilt. For den oppgitte n-syklusen har vi at x 0, eller en hvilken som helst x k, er et fikspunkt for f n, altsνa atf n (x 0 )=x 0. Dvs. at n-syklusen er stabil eller ustabil alt etter om den deriverte [f n ] 0 (x 0 )= df n (x 0 ) er mindre eller stfirre enn i absoluttverdi. I ffilge kjerneregelen er [f n ] 0 (x 0 )=f 0 (x n ) f 0 (x ) f 0 (x 0 ) : Eller, samme formel skrevet pνa en annen mνate, dx n = dx n dx n dx 2 dx dx : Stabilitetsbetingelsen er derfor at fi fi [f n ] 0 (x0 ) fi fi = fi fif 0 (xn ) fi fi fi fif 0 (x ) fi fi fi fi f 0 (x0 ) fi fi < : 2b) Definisjonen pνa funksjonen g er at g(h(x)) = h(f (x)) for et vilkνarlig punkt x. Dvs. at gh = hf, eller ekvivalent g = ghh = hfh. Vi skriver f.eks. hf for en funksjon som er sammensetningen av de to funksjonene h og f, ffirst f og sνa h. Dersom x Λ er et fikspunkt for f, dvs. f (x Λ )=x Λ, og videre y Λ = h(x Λ ), sνa er som viser at y Λ er et fikspunkt for g. g(y Λ )=g(h(x Λ )) = h(f (x Λ )) = h(x Λ )=y Λ ; Betingelsen for at x Λ er et stabilt fikspunkt for f,eratjf 0 (x Λ )j <. Betingelsen for at y Λ er et stabilt fikspunkt for g, eratjg 0 (y Λ )j <. Vi skal vise at disse to betingelsene er ekvivalente. Det ffilger av atg 0 (y Λ )=f 0 (x Λ ), som bevises slik: Ved derivasjon av ligningen g(h(x)) = h(f (x)) fνar vi at g 0 (h(x)) h 0 (x) =h 0 (f (x)) f 0 (x). Innsatt x = x Λ gir det at og dermed g 0 (y Λ )=f 0 (x Λ ). g 0 (y Λ ) h 0 (x Λ )=h 0 (x Λ ) f 0 (x Λ ) ; At stabilitetskriteriet for en n-syklus, nemlig j[f n ] 0 (x 0 )j <, er koordinatuavhengig, ffilger ganske direkte. Vi har at g n =(hfh ) n = hfh hfh hfh = hf n h : Pνa samme mνate som ovenfor beviser vi da at [g n ] 0 (y 0 )=[f n ] 0 (x 0 ). Lyapunov-eksponenten for iterasjonen x k+ = f (x k )er = lim n! n nx k= ln jf 0 (x k )j = lim n! n ln j[f n ] 0 (x )j ; mens Lyapunov-eksponenten for iterasjonen y k+ = g(y k )er μ = lim n! n ln j[gn ] 0 (y )j = lim n! n ln jh 0 (x n+ )j +lnj[f n ] 0 (x )j +lnj[h ] 0 (y )j : 4
Forutsatt at den deriverte h 0 er en begrenset funksjon, slik at lim n! n ln jh0 (x n+ )j =0; sνa gjelder at = μ. Lyapunoveksponenten er dermed koordinatuavhengig. 2c) Fire slags attraktorer: stabile fikspunkt, med tre negative Lyapunov-eksponenter; grensesykler, med to negative Lyapunov-eksponenter, den tredje lik 0; toruser, med en negativ Lyapunov-eksponenter og to lik 0; bisarre attraktorer, med en negativ Lyapunov-eksponent, en lik 0 og den tredje positiv. Den ene Lyapunov-eksponenten som alltid er lik 0, unntatt for et stabilt fikspunkt, svarer til en infinitesimal perturbasjon av startpunktet i den retningen i rommet som er tangent til banen. 2d) Gitt mνaleserien x ;x 2 ;:::;x N. Takens's metode til νa imitere et faserom gνar pνa νa velge en dimensjon d, og sνa tegne" en attraktor som bestνar av ffilgende punkter i d dimensjoner: (x ;x 2 ;:::;x d ), (x 2 ;x 3 ;:::;x d+ ), opp til (x N d+ ;x N d+2 ;:::;x N ). Hvis d bare velges stor nok, viser det seg at denne metoden gir brukbare estimat av f.eks. dimensjonen til en attraktor. 2e) Bruk Takens's metode med dimensjonen d = 2, dvs. tegn en kurve med x k+ som funksjon av x k for k =; 2 :::;8 (de 8 punktene vil i hvert fall antyde en kurve). Den ffirste listen gir da en parabel, mens den andre gir en mer irregulρr kurve. Et godt tips er altsνa at den ffirste listen er generert ved en kaotisk iterasjon av en glatt" funksjon, mens den andre er en liste av tilfeldige tall. 5