HG Mars 008 Løsningskisse seminaroppgaver uke (0.-4. mars) ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR Oppgave En gitt prøve er laget som en flervalgsprøve ( multiple choice test ). Prøven består av tre spørsmål. For hvert spørsmål er det oppgitt fire svaralternativer hvorav kun ett er riktig, og studenten blir bedt om å angi det svaralternativet vedkommende mener er det riktige. Spørsmålene er uavhengige i den forstand at man ikke trenger å vite svaret på et av spørsmålene for å kunne svare riktig på et annet. a. En student som ikke vet svaret på noen av delspørsmålene bestemmer seg for å gjette helt vilkårlig. (i) Hva er sannsynligheten for at studenten gjetter riktig på et enkelt spørsmål? (ii) Hva er sannsynligheten for at studenten får riktig svar på alle de tre spørsmålene? (iii) Hva er sannsynligheten for at studenten gjetter galt på alle tre spørsmålene? Begrunn svarene dine. Svar: (i) P(riktig på et delspørsmål) = ¼ (ii) P(riktig på alle spørsmål) = = = 0,056 4 64 (iii) P(galt på alle spørsmål) = = 0,4 4 b. (i) Hva er sannsynligheten for at en student gjetter riktig på kun ett eneste av de tre spørsmålene, og galt på de to andre spørsmålene? For å bestå prøven må en student ha svart riktig på minst to av de tre spørsmålene. (ii) Hva er sannsynligheten for å bestå prøven for en student som gjetter helt vilkårlig på svaralternativet for alle spørsmålene? [Hint: Du kan bygge på besvarelsen din i punkt a og b(i) for å svare på punkt b(ii)] Svar: La X = antall riktig., Da er binomisk fordelt (, ¼). Vi får ( ) 4 PX= ( 0) = = 0.4, (i) PX ( = ) = = 0.4. 4 4 (ii) Vi har PX ( ) = 0.844 og dermed P(Bestå) = P( X ) = 0.56.
c. Om en student vet vi at han gjettet helt vilkårlig på svaralternativet for alle spørsmålene. Vi vet også at han hadde minst ett riktig svar, men vi vet ikke om han hadde så mye som to eller tre riktige. Hva er sannsynligheten for at han besto prøven? PX ( X ) PX ( ) 0,56 Svar: PX ( X ) = = = = 0, 70 PX ( ) PX ( = 0) 0,578 Merk at vi har brukt at hvis A og B er begivenheter slik at A er inneholdt i B, så er A B = A. d. (Mer krevende). En annen student klarer å eliminere to svaralternativer fra spørsmål som hun vet er gale. Hun gjetter så vilkårlig på et av de to gjenværende svaralternativene. For spørsmål klarer hun å eliminere ett svaralternativ og gjetter vilkårlig på et av de tre gjenværende. På spørsmål gjetter hun helt vilkårlig på et av de fire alternative svarene. Hva er sannsynligheten for at hun består prøven, dvs. svarer rett på to eller tre spørsmål? Svar: La xyz, (der x,y,z er R (riktig) eller R (galt)), betegne utfallet for spm, og h.h.v. P(Bestå) er da summen av sannsynlighetene i tabellen: Utfall Sum Sannsynlighet = 4 4 = 4 4 = 4 4 = 4 4 7 P (Bestå) = = 0,9 4 ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR - UTSATT Oppgave I et lotteri er det fire lodd A, B, C og D. Det blir trukket ut to gevinster, først en på 00kr., så en på 00kr. Trekningen skjer uten tilbakelegging slik at samme lodd kan høyst vinne én gevinst. Petter eier loddene A og B. La G være Petters samlede gevinst. a. Still opp en passende sannsynlighetsmodell, og finn sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen G.
Svar: Utfallet kan beskrives som xy der x er det første uttrukne loddet og y det andre. Hvert utfall har sannsynlighet /. G bestemmes ved følgende tabell Utfall G AB 00 BA 00 AC 00 CA 00 AD 00 DA 00 BC 00 CB 00 BD 00 DB 00 CD 0 DC 0 Dette gir følgende sannsynlighetsfordeling: g 0 00 00 00 P(G = g) 6 6 6 6 b. Skisser histogrammet som hører til fordelingen for G. Svar: F.eks.: Histogram Frequency.5.5 0.5 0 0 00 00 00 More Frequency Bin c. Finn den forventete gevinsten for Petter. Finn også standardavviket for G.
4 Svar: EG ( ) = 0 + 00 + 00 + 00 = 50 6 6 6 90000 EG ( ) = 0000 + 40000 + 90000 = = 666,67 6 6 6 6 var( G) = E( G ) 50 = 966,67 SD(G) = 966,67 = 95,74 d. Lotteriet blir, mot en gitt spilleavgift, tilbudt enkeltpersoner. Det er altså bare en person som har kjøpt lodd ved hver trekning. En person kan høyst kjøpe to lodd i en spilleomgang. Erfaringsmessig kjøper ca. 75% av spillerne ett lodd og 5% to lodd. I en gitt spilleomgang vant Eva 00kr. Vi vet ikke om hun hadde kjøpt ett eller to lodd. Finn sannsynligheten for at hun hadde kjøpt to lodd når vi vet at hun vant 00kr. [Hint: Du kan ha nytte av å vite at sannsynligheten for å vinne 00kr. for en spiller som bare har kjøpt ett lodd, er ¼. ] Svar: La, L betegne begivenhetene at Eva har kjøpt ett eller to lodd L h.h.v., og G gevinsten. Vi har PL ( ) = 0,75 = og PL ( ) = 0,5 =. 4 4 Dessuten PG ( = 00 L) = og PG ( = 00 L) = = 4 6 Dermed, siden PG ( = 00) = P[( G= 00) L] + P[( G= 00) L], får vi PG ( = 00) = PG ( = 00 L) PL ( ) + PG ( = 00 L) PL ( ) = + = 44 4 48 og PG ( = 00 L) PL ( ) 4 4 PL ( G= 00) = = = = 0,. PG ( = 00) 48 ECON 0 EKSAMEN 004 HØST Oppgave.La X og Y være to uavhengige stokastiske variabler, som begge to har forventning lik 0 og varians lik. La Z være en ny stokastisk variabel definert som Z = ax + Y, med a et fast (dvs ikke stokastisk).tall med ukjent verdi. For hvilke a-verdier er korrelasjonen mellom Z og X større enn null? cov( X, Z) Svar: Siden correl( X, Z) =, der nevneren er positiv, er var( X) var( Z) correl(x,z) > 0 hvis og bare hvis cov(x,z) > 0. Siden E(X) = 0, får vi
5 cov( X, Z) = EXZ ( ) EXEZ ( ) ( ) = EXZ ( ) = EXaX [ ( + Y)] = aex ( ) + EXY ( ) Siden X og Y er uavhengige, er E( XY) = E( X) E( Y) = 0, slik at cov( X, Y) ae( X ) =, som er > 0 hvis og bare hvis a > 0 (siden EX ( ) > 0). Oppgave fra notatet Litt om forventet nytte og risikoaversjon a) Plott av U( a) = a+ : U( a ) er strengt konkav hvis U''( a ) < 0 for alle a >. Vi får U'( a) = = ( a+ ) a + og dermed U''( a) = ( a+ ) = 4 < 0 + ( a ) for alle a >. b) La X = antall 6-ere i kast med en rettferdig terning, og la A= 0X være fortjenesten. Fordelingen til X er gitt ved x 0 5 f ( x) = P( X = x) 0,694 6 = 0 0,78 6 = 0,08 6 =
6 De aktuelle verdiene for A og nytten er gitt i følgende tabell X 0 A - 8 8 U( A ), 4,58 Fordelingen til U = U( A) er dermed gitt ved u, 4,58 PU ( = u) 0,694 0,78 0,08 som gir nytten for det usikre spillet EU ( A ) =,74 På den annen side har vi fra før E( X ) =, hvorav forventet fortjeneste blir 4 μ = E( A) = 0 E( X) = 0 = 4 Nytten av det sikre spillet med verdi μ = er derfor 4 U( μ) = U =,08 som er større enn nytten for det usikre spillet med samme forventet verdi. c) Anta nyttefunksjonen er lineær, U( a) = c+ da, der c og d er konstanter. La A være et usikkert aktivum med forventet verdi μ = E( A). Nytten av A blir dermed EU( A) = E( c+ da) = c+ de( A) = c+ dμ = U( μ). Det usikre spillet A er altså like nyttig som det sikre spillet med verdi μ = E( A).