Modifisering av Black & Scholes opsjonsprising ved bruk av NIG-fordelingen Prosjektoppgave STK-MAT2011 Sindre Froyn
Salgsopsjon A B K S 0 T S 0 : porteføljeprisen ved tiden t = 0. K: garantert salgspris for porteføljen.
Black & Scholes formel Den mest brukte modellen for prising av salgsopsjoner. Innført i 1973 av Fischer Black og Myron Scholes. Bygger på noen viktige antagelser: Markedet er arbitrasjefritt Mulig å låne penger til risikofri rente Ingen avgift for kjøp/salg av verdipapir Ingen aksjeutbytte Det er mulig å selge aksjer man ikke eier (short selling) Verdipapirer kan handles i brøkdeler Markedet har konstant volatilitet
Problemstilling Markedet har ikke alltid konstant volatilitet! Finanskrisen 2008-2009 Dot com-boblen 2000 Finanskrisen i Asia 1997 Black Monday 1987 Vi modifiserer Black & Scholes opsjonsprising ved å innføre en ny fordeling: en normalinvers gaussisk fordeling (NIG-fordeling).
Eksempel: OBX-kursen 500 450 400 Kurs 350 300 250 200 150 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Antall dager Representerer en portefølje ved å se på OBX-kursen.
Logaritmisk Avkastning 0.15 0.1 0.05 Logavkastning 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Antall dager ( ) si x i = ln = ln(s i ) ln(s i 1 ) s i 1
Normalfordelingen og NIG-fordelingen Normalfordelingen estimeres ut fra logavkastningen x i. µ N = 1 n x i σ N = 1 n n n 2 (x i µ N ) i=1 i=1 NIG-fordelingen har fire parametere α,β,δ og µ. Beregnes fra µ N, σ N, skjevheten og kurtosen til normalfordelingen. µ : Forventningsverdi δ : Varians β : Skjevhet α : Haletyngde
NIG vs normalfordelingen 6 4 Histogram Normalfordeling NIG fordeling 2 0 2 4 6 0.1 0.05 0 0.05 0.1 Logaritmen til histogrammet, normalfordelingen og NIG-fordelingen.
Ny normalfordeling Vi er avhengig av en normalfordeling for å bruke B&S-formel. Konstruerer en ny normalfordeling ut fra NIG-fordelingen! (I) E[S ny T ] = E[SNIG T ] (II) Var[S ny T ] = Var[SNIG T ] ST NIG : porteføljens verdi ved tid T under NIG-fordelingen. µ ny = µ+ 3 2 δ α 2 β 2 2δ α 2 (β + 1) 2 + 1 2 δ α 2 (β + 2) 2 σny 2 = δ α 2 β 2 + 2δ α 2 (β + 1) 2 δ α 2 (β + 2) 2
Risikonøytralt Sannsynlighetsmål Før vi finner opsjonsprisene vil vi ha NIG-fordelingen i et risikonøytralt sannsynlighetsmål. En Esscher-transform gir en ny NIG-fordeling i et risikonøytralt sannsynlighetsmål. Parameteren β erstattes med ˆβ = β + θ. Normalfordelingene får forventning lik den risikofrie renten. Vi kan bruke samme uttrykk for forventning og varians med den nye NIG-fordelingen til å lage en tredje normalfordelingen. µ N3 = µ+ 3 α 2 δ 2 ˆβ 2 2δ α 2 (ˆβ + 1) 2 + 1 2 δ α 2 (ˆβ + 2) 2 σn3 α 2 = δ 2 ˆβ 2 + 2δ α 2 (ˆβ + 1) 2 δ α 2 (ˆβ + 2) 2
Prising av salgsopsjonen Vi har nå fire måter å beregne en opsjonspris på. Normalfordelingen (N) - vanlig normalfordeling Ny normalfordeling (ny) - vanlig NIG-fordeling Normalfordeling 3 (N3) - risikonøytral NIG-fordeling NIG-fordelingen (NIG) - risikonøytralt. For normalfordelingene bruker vi Black & Scholes formel for en salgsopsjon. π 0 = Ke rt Φ( u 2 ) S t Φ( u 1 ) der Φ er den kumulative fordelingsfunksjonen til en standard normalfordeling. Parameterne u 1 og u 2 er definert nedenfor. u 1,2 = ln(s t/k) + (r ± 1 2 σ2 )(T t) σ T t NIG-fordelingen simulerer vi. Antar dette er den mest korrekte prisen vi kan få.
Numerisk Tilnærming Vi kjenner den beste prisen til opsjonen som vi finner ved simulering. Basert på standardavvikene for de tre normalfordelingene finner vi et standardavvik i samme størrelsesorden som gir oss den beste prisen med Black & Scholes-modellen. Tenker på dette som standardavviket en tenkt, fjerde normalfordeling kunne hatt. En normalfordeling vi finner ved en alternativ tilnærming enn den vi har brukt.
Oppdeling av OBX 500 450 400 Kurs 350 300 B C 250 200 A 150 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Antall dager Ser på flere områder av den totale dataen for å se effekten i forskjellige situasjoner.
Logavkastning til oppdelingen 0.15 0.1 0.05 Logavkastning 0 0.05 0.1 A B 0.15 C 0.2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Antall dager Logavkastningen til hvert område.
Oppsummering Beregner opsjonspriser der S 0 = 1 og K = 1.05, og r = 0.05. Tabell: Resultater Opsjonsprising Område Modell N ny N3 Numerisk NIG OBX 0.1218 0.1212 0.1212 0.1212 0.1212 A 0.0523 0.0523 0.0555 0.0555 0.0556 B 0.0709 0.0707 0.0768 0.0774 0.0773 C 0.1897 0.1889 0.1886 0.1891 0.1891 Vi ser vi oppnår mer korrekte opsjonspriser etter vi modifiserte Black & Scholes-modellen.