Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Godkjent lommekalkulator Statistiske tabeller og formler, TAPIR. Oppgave 1 La X og Y være uavhengige Poisson-fordelte stokastiske variable, med forventningsverdi henholdsvis 5 og 10. Beregn følgende sannsynligheter, P(X 5), P(X 3 X 5) og P(X + Y > 10). Oppgave 2 La X 1,..., X 5 være uavhengige og normalfordelt med ukjent forventningsverdi µ og ukjent varians σ 2. Observerte verdier for X 1,..., X 5 er: i 1 2 3 4 5 x i 5.00 4.48 5.60 4.25 5.44 a) Angi rimelige estimatorer for forventningsverdien µ og for variansen σ 2. Hva blir estimatene med dataene gitt over? b) Utled et 95% konfidensintervall for µ basert på observasjonene over. Forklar kort hvordan en fra dette konfidensintervallet kan avgjøre konklusjonen i en hypotesetest (signifikansnivå 5%) med alternativ hypotese H 1 : µ µ 0 for ulike verdier for µ 0.
75510/75515 Statistikk 1 Side 2 av 5 Oppgave 3 Per er nylig ferdig med sine studier i Trondheim og på sin første arbeidsdag får han en interessant oppgave på laboratoriet. Når to væsker A og B blandes sammen, vil volumet av en ideell blanding av x deler A og 1 x deler B være lik volumet av x deler A pluss volumet av (1 x) deler B. For en ikke-ideell blanding vil volumet avvike noe fra det ideelle tilfellet. Per vil eksperimentelt bestemme avviket fra en ideell blanding når A og B blandes. La x 1, x 2,..., x n være andeler av A som blandes med 1 x 1, 1 x 2,..., 1 x n andeler B, og la Y 1, Y 2,..., Y n være avviket i volum som måles fra en ideell blanding. Per antar at avviket er på formen Y i = ax i (1 x i ) + ɛ i, i = 1,..., n, der ɛ 1,..., ɛ n er uavhengige normalfordelte støyledd med forventningsverdi lik null og kjent varians σ 2 0 = 0.025 2 for alle i, slik at Y i er normalfordelt med E(Y i x i ) = ax i (1 x i ) og Var(Y i x i ) = σ 2 0, i = 1,..., n For en ideell blanding vil a være lik null. Pers målinger gir følgende resultat: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x i 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 y i.0561.0369.0651.0578.0941.0684.0546.0247.0072 Det oppgis at 9 i=1 x i (1 x i )y i = 0.0945 og 9 i=1 (x i (1 x i )) 2 = 0.3333. a) Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for a, â, er â = ni=1 x i (1 x i )Y i ni=1 (x i (1 x i )) 2. b) Finn forventningsverdi og varians til â. Hvilken fordeling har â? (Begrunn svaret.) Per vil undersøke om det er grunn til å påstå at han har å gjøre med en ikke-ideell blanding. c) Formuler dette som et hypotesetestingsproblem og lag en test for dette formål med signifikansnivå α. Hva blir konklusjonen på hypotesetesten for dataene over og α = 5%?
75510/75515 Statistikk 1 Side 3 av 5 En interessant størrelse for Pers sjef er det partielle molarvolumet for væske A. Denne størrelsen kan avledes fra z(x); tangentlinja i punktet (x, E(Y x)) skjærer y-aksen i (0, z(x)), se figuren under. y x=0 x=1 x E(Y x) = ax(1-x) (x, E(Y x)) (0, z(x)) d) Finn z(x) uttrykt ved hjelp av a og angi deretter en rimelig estimator ẑ(x) for z(x). Finn et 95% konfidensintervall for z(x). Beregn så et 95% konfidensintervall for z(2/3) med data som gitt over. Oppgave 4 Per er nylig ferdig med sine studier i Trondheim og ønsker å få tilgang på bil. Under arbeidet med eksperimentet i oppgave 3, blir Per informert av en kollega om at det høsten 1996 ble startet et bilkollektiv i Trondheim. Umiddelbart etter at han kommer hjem fra sin første arbeidsdag, bestemmer han seg for å regne på hvor godt dette vil fungere for ham. Per forutsetter at han melder seg inn og får opplyst at kollektivet da vil ha n = 12 medlemmer og at det vil disponere 2 biler. I kollektivet kan medlemmene reservere bil for en dag av gangen. For hver dag skal vi anta at hvert medlem velger å reservere bil med sannsynlighet p = 0.10. La X betegne antall medlemmer som ønsker å reservere bil på en tilfeldig valgt dag. a) Per antar at X er binomisk fordelt med parametre n og p. Hvilke(n) antagelse(r) har han da gjort (i tillegg til de som er spesifisert over)? På en tilfeldig valgt dag, hva er sannsynligheten for at begge bilene som kollektivet disponerer er utleid.
75510/75515 Statistikk 1 Side 4 av 5 Hva er sannsynligheten for at kollektivet på en tilfeldig valgt dag ikke disponerer nok biler til at alle medlemmer som har reservert bil kan få ønsket oppfylt? Dersom mer enn 2 medlemmer reserverer bil en dag avgjøres det med loddtrekning, blant de som har reservert bil, hvem som skal få disponere bilene. b) Gitt at Per pluss nøyaktig y andre medlemmer en dag reserverer bil, hva er sannsynligheten for at Per virkelig får disponere en bil den dagen? Finn denne sannsynligheten for y = 0, 1,..., n 1. Gitt at Per en dag reserverer bil, hva er sannsynligheten for at han virkelig får disponere en bil den dagen? Hint: La Y betegne antall andre medlemmer (enn Per) som reserverer bil den dagen og ta utgangspunkt i denne for å besvare det siste spørsmålet. Du kan dessuten uten bevis benytte følgende formel n 1 y=k [ ] 1 P(Y = y) y + 1 = 1 [1 P(X k)], k = 0, 1,..., n 1 np der Y er binomisk fordelt med parametre n 1 og p, og X er binomisk fordelt med parametre n og p. Siden kollektivet er relativt nyetablert regner Per med at antall medlemmer vil øke etterhvert. I så fall kan kollektivet også øke antall biler det disponerer. Per ønsker å regne på hvordan dette vil påvirke situasjonen. La nå m betegne antall biler som kollektivet disponerer. La Z betegne antall biler som er utleid en tilfeldig dag og la t(n, m, p) betegne forventet verdi av Z som funksjon av n, m og p. c) Begrunn at t(n, 0, p) = 0 og vis at t(n, m, p) = t(n, m 1, p) + 1 P(X m 1) for m = 1, 2,..., n. Kollektivet leaser inn biler og betaler for dette en fast pris uavhengig av hvor mye bilene benyttes. Prisen medlemmene må betale for å disponere en bil en dag er fastsatt ut fra en forutsetning om at bilene i gjennomsnitt er i bruk minst halvparten av dagene, dvs. Anta nå at antall medlemmer i kollektivet, n, har økt til 16. t(n, m, p) m/2. (1)
75510/75515 Statistikk 1 Side 5 av 5 d) Hvor mange biler kan kollektivet nå maksimalt lease inn dersom kravet i (1) skal være oppfylt? Du skal fremdeles anta at p = 0.1. Hvis kollektivet leaser dette antall biler, hva blir nå sannsynligheten for at Per virkelig skal få disponere en bil, gitt at han reserverer bil den dagen?