TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.1-6.4: Uniform fordeling, normalfordelingen. Mette Langaas Foreleses onsdag 22. september 2010 2 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig uniform fordeling: Sannsynlighetstettheten til den kontinuerlige uniforme stokastiske variabelen X på intervallet [A, B] er 1 f (x; A, B) = B A, A x B = 0 ellers. f(x) F(x) µ = E(X) = A + B 2 og 2 = Var(X) = (B A)2 12
3 6.2 Normalfordeling Normalfordeling: Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt stokastisk variabel, X, med forventning E(X) = µ og varians Var(X) = 2, er gitt ved n(x; µ, ) = 1 e 1 (x µ) 2 2 2, 2 π for < x <, der π=3.142 og e 1 = 2.718. 4 Høyde kvinner og menn
5 Høyde kvinner og menn 6 Normalfordelingen
Data som er påvirket av mange små og urelatert tilfeldig effekter er tilnærmet normalfordelt. Cartoon Guide to Statistics 8 Utvalg fra normalfordeling Eksempel fra notat av Dimakos & Løland, Norsk Regnesentral
9 Historisk sett Matematisk form av normalfordlingen vist av demoivre i 1733. Laplace brukte normalfordelingen til analyse av måleusikkerhet i eksperimenter rundt 1800. C.F. Gauss publikasjon 1809 matematisk behandling av måleusikkerhet i eksperimenter. Navnet normalfordeling kom rundt 1875 (Peirce, Galton, Lexis) "No scientific discovery is named after its original discoverer." 10 Lokasjon og spredning
11 Length of pregnancies The length of a pregancy is often approximated by the normal distribution, with an expectation of 266 days and a standard deviation of 14 days. The following letter way printed in the Nashville paper Tennessean in January 1973. Dear Abbey: You wrote in your column that a woman is pregnant for 266 days. Who said so? I carried my baby for 10 months and five days, and there is no doubt about it because I know the exact date my baby was conceived. My husband is in the Navy and it couldn t possibly be concieved any other time becuse I saw him only once for an hour, and I didn t see him again until the day the baby was born. I don t drink and run around, and there is no way this baby isn t his, so please print a retraction about the 266-day carring time because otherwise I am in a lot of trouble. San Diego Reader. Eksempel fra notat av Dimakos & Løland, Norsk Regnesentral 12 IQ Poengsummen fra en IQ-test antas ofte å være normalfordelt, og flere av IQ-testene har en forventningsverdi på 100 og et standardavvik på 16. 140 and over Genius or near genius 120-140 Very superior intelligence 110-120 Superior intelligence 90-110 Normal or average intelligence 80-90 Dullness 70-80 Borderline deficiency Below 70 Definite feeble-mindedness Hva er sannsynligheten for å ha en IQ lavere enn 100? Hva er sannsynligheten for å ha en IQ mellom 80 og 120? For å bli med i Mensa må man oppnå en poengsum høyere enn 98 percentilen i fordelingen for testen. Hvor høy poengsum må man ha for å blir medlem av Mensa?
13 Standard normalfordeling DFF 6.1: Fordelingen til en normalfordelt stokastisk variabel, Z, med forventning E(Z ) = 0 og varians Var(Z ) = 1 kalles en standard normalfordeling. f Z (z) = 1 2 π e 1 2 2 z2, for < z <, der π=3.142 og e 1 = 2.718. Cartoon Guide to Statistics
15 N(µ, ) og N(0, 1) X har fordeling n(x; µ, ) Z = X µ har fordeling n(z; 0, 1) P(x 1 < X < x 2 ) = P( x 1 µ = F( x 2 µ = Φ( x 2 µ < Z < x 2 µ ) ) F( x 1 µ ) ) Φ( x 1 µ ) 16 Fra halesannsynlighet til verdi X er normalfordelt (µ, ). Finn x slik at P(X x) = α. Gitt α finner vi i tabell for standard normalfordling verdien z som oppfyller P(Z z) = α. Sammenheng mellom Z og X: Z = X µ og dermed X = µ + Z. Verdi for X finner vi fra x = µ + z.