Matematikk for IT, høsten 2016 Oblig Løsningsforslag 16. september 2016 2.4.1 a) {(0, 1), (0, 2), (1, 2)} b) {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} c) {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (2, 0)} d) {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0)} e) {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (0, 2), (2, 0)} f) {(0, 2), (2, 1)} g) {(0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1)} h) {(0, 0), (1, 1), (2, 1)} 2.4.2 a) {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, c)} b) {(a, b), (a, c), (c, b)} c) {(b, a), (b, c), (c, a)} d) {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} 2.4. Relasjoners egenskaper er ofte enklest å undersøke dersom man tegner relasjonen som en rettet graf, og derfor gjør jeg det her. a) R = {(1, 1), (1, 2), (1, ), (2, 1), (2, 2), (2, )}
1 2 (, ) mangler. Relasjonen er derfor ikke refleksiv. (1, ) finnes, men (, 1) mangler. Relasjonen er derfor ikke symmetrisk. Både (1, 2) og (2, 1) finnes. Relasjonen er derfor ikke antisymmetrisk. Vi ser av grafen at relasjonen er transitiv, fordi overalt hvor vi kan gå fra et element til et annet via et element, der kan vi også går direkte. For eksempel kan vi gå fra 1 til via 2, og kan også gå direkte fra 1 til. Et annet eksempel er at vi kan gå fra 1 til 1 via 2, og vi kan også gå direkte fra 1 til 1. Det finnes ikke noe moteksempel, og relasjonen er derfor transitiv. Konklusjon: Relasjonen er transitiv. b) R = {(1, 1), (1, ), (, 1), (2, 2), (, )} 1 2 Alle elementer i mengden har relasjon til seg selv. Relasjonen er derfor refleksiv. Vi ser at overalt hvor vi har relasjon en vei, har vi også den inverse relasjonen. Her er «overalt» kun (1, ) og (, 1) siden 2 ikke har relasjon hverken til 1 eller. Relasjonen er derfor symmetrisk. Siden vi har de symmetriske parene (1, ) og (, 1) er relasjonen ikke antisymmetrisk. Vi ser at relasjonen er transitiv, fordi overalt hvor vi kan gå fra et element til et annet via et element, der kan vi også går direkte. For eksempel kan vi gå fra 1 til 1 via, og kan også gå direkte fra 1 til 1. Konklusjon: Relasjonen er refleksiv, symmetrisk og transitiv. 2
c) R = {(1, ), (, 1)} 1 2 Her mangler elementene relasjon til seg selv, og relasjonen er derfor ikke refleksiv. Relasjonen er symmetrisk siden overalt hvor vi har relasjon en vei har vi også relasjon den motsatt veien. «Overalt» er her kun (1, ) og (, 1). Relasjonen er ikke antisymmetrisk siden vi har et symmetrisk par. Relasjonen er ikke transitiv fordi vi kan gå fra 1 til 1 via, men vi kan ikke gå direkte fra 1 til 1. Konklusjon: Relasjonen er symmetrisk.
d) R = {(1, 1), (2, 2), (, )} 1 2 Alle elementer har relasjon til seg selv. Relasjonen er derfor refleksiv. For at en relasjon skal være symmetrisk, må vi for hver relasjon som går en vei ha en relasjon som går motsatt vei. Her har vi ingen relasjoner som går en vei, og vi trenger derfor heller ikke noen relasjon motsatt vei. Relasjonen er derfor symmetrisk. Vi har ingen symmetriske par, og relasjonen er derfor antisymmetrisk. Relasjonen er transitiv fordi overalt hvor vi kan gå fra et element til et annet via et tredje kan vi også gå direkte. At det ikke finnes noen tilfeller hvor vi kan gå fra et element til et annet via et tredje ødelegger ikke dette. Konklusjon: Relasjonen er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og transitiv. 2.4.4 a) Refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. b) Refleksiv og symmetrisk. c) Antisymmetrisk og transitiv. d) Relasjonen har ingen av de fire egenskapene. 2.4.5 a) b b) b, c, e og g c) a, b, d, f og h. d) a, b, d og h. 2.4.6 a) a og d b) d c) a, b og c d) a, b, c og d 4
2.4.7 a) Dette er en ekvivalensrelasjon. Det er fire ekvivalensklasser (som i dette tilfellet også kalles restklasser): [0] = {, 4, 0, 4, 8, } dette er alle tall som kan deles med 4. [1] = {,, 1, 5, 9, } dette er alle tall som gir rest 1 når de deles med 4. [2] = {, 2, 2, 6, 10, } dette er alle tall som gir rest 2 når de deles med 4. [] = {, 1,, 7, 11, } dette er alle tall som gir rest når de deles med 4. b) Denne er ikke refleksiv fordi (0, 0) ikke er element i R. Altså: 0 0 er ikke større enn 0. c) Denne er ikke refleksiv fordi (1, 1) ikke er element i R. Altså: 1 1 er ikke lik 0. Den er heller ikke transitiv fordi (0, 1) og (1, 0) er element i R mens (0, 0) ikke er element i R. d) Denne er ikke symmetrisk fordi for eksempel (fordi 1 er større enn 0) mens ( 0,1) R (fordi 0 ikke er større enn 1). e) Denne er ikke symmetrisk fordi dersom et tall deler et annet tall, vil det andre tallet ikke dele det første (med mindre tallene er like). For eksempel vil 2 dele 6, men 6 vil ikke dele 2. (1, 0) R 2.4.8 Alle kommuner ligger i samme fylke som seg selv. For eksempel ligger Halden i samme fylke som Halden. Altså er relasjonen refleksiv. Dersom kommune 1 ligger i samme fylke som kommune 2, vil selvsagt kommune 2 ligge i samme fylke som kommune 1. For eksempel: Halden ligger i samme fylke som Fredrikstad. Da vil også Fredrikstad ligge i samme fylke som Halden. Relasjonen er derfor symmetrisk. Dersom kommune 1 ligger i samme fylke som kommune 2, og kommune 2 ligger i samme fylke som kommune, så vil også kommune 1 ligge i samme fylke som kommune. For eksempel ligger Halden i samme fylke som Fredrikstad, og Fredrikstad ligger i samme fylke som Sarpsborg. Da vil også Halden ligge i samme kommune som Sarpsborg. Altså er relasjonen transitiv. Relasjonen er refleksiv, symmetrisk og transitiv, og er derfor en ekvivalensrelasjon. Ekvivalensklassene er fylkene. 2.4.9 A = {, 2, 1, 0, 1, 2, } a) (A, =) For å finne ut om dette er en delvis ordnet mengde, må vi undersøke om relasjonen som er angitt (som her er likhet, =) er en delvis ordning. For å gjøre det enklere å vurdere dette, kan vi skrive opp de ordnede parene som utgjør denne relasjonsmengden: {(, ), ( 2, 2), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (, )} Vi ser at relasjonen er refleksiv, siden alle tallene i mengden A har relasjon til seg selv. Videre er relasjonen antisymmetrisk fordi vi ikke har noen symmetriske par. Relasjonen er også transitiv, fordi overalt hvor vi har relasjon fra tall 1 til tall 2, og fra tall 2 til tall, har vi også relasjon fra tall 1 til tall. Fordi vi ikke har noe eksempel hvor dette ikke er tilfelle, vil relasjonen være transitiv. Relasjonen er altså refleksiv, symmetrisk og transitiv, og er følgelig en delvis ordning. Følgelig: Dette er en delvis ordnet mengde. 5
b) (A, <) Denne relasjonen er ikke refleksiv (fordi et tall ikke er mindre enn seg selv). Relasjonen er derfor ikke en delvis ordning, og følgelig: Dette er ikke en delvis ordnet mengde. c) ( A, ) Relasjonen er refleksiv fordi alle tallene er større enn eller lik seg selv. Relasjonen er antisymmetrisk fordi vi ikke har noen symmetriske par. Relasjonen er transitiv fordi dersom tall 1 er større eller lik tall 2, og tall 2 er større eller lik tall, vil tall 1 også være større eller lik tall. Relasjonen er altså refleksiv, symmetrisk og transitiv, og er følgelig en delvis ordning. Følgelig: Dette er en delvis ordnet mengde. d) ( A, ) Relasjonen er ikke refleksiv, fordi et tall aldri er forskjellig fra seg selv. Relasjonen er derfor ikke en delvis ordning, og følgelig: Dette er ikke en delvis ordnet mengde. Oppgave 1 Gjør en forenkling av følgende uttrykk ved hjelp av mengdeidentitetene. Bruk kun en lov i hvert trinn, og angi også hvilken lov du bruker i hvert trinn. ( A B) C B Benytter De Morgans lov (4) på det ytterste komplementet: ( A B) C B Dobbel komplement kan vi fjerne (7), og får da: ( A B) C B Her har vi tre mengder med snitt mellom (mengdene er ( A B), C og B). Vi kan da benytte den assosiative lov for snitt (1): ( A B) ( C B) Benytter så den kommutative lov (2) på den bakerste parentesen: ( A B) ( B C) Igjen har vi tre mengder med snitt mellom (mengdene ( A B), B og C). Benytter assosiativ lov (1): ( A B) B C Nå kan vi benytte den kommutative lov (2) inne i hakeparentesen: B ( A B) C Igjen benytter vi den kommutative lov (2), men nå inne i den innerste parentesen: 6
B ( B A) C Absorpsjonsloven (6) som sier at vi får B C B ( B A) B brukes på uttrykket i hakeparentesen, og Oppgave 2 La A være en mengde bestående av mennesker. For hver av de følgende relasjoner på A, angi om relasjonen er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og/eller transitiv. a) er moren til antisymmetrisk b) er søsken til symmetrisk og transitiv Tar man hensyn til at søsken kan være halvsøsken, er ikke relasjonen nødvendigvis transitiv. Eks: Per og Kari har samme mor og er derfor søsken, men har ulik far. Kari og Nils har samme far og er derfor søsken, men har ulik mor. Per og Nils er ikke nødvendigvis søsken, og relasjonen er derfor ikke transitiv. c) er høyere enn antisymmetrisk og transitiv d) har samme kjønn som refleksiv, symmetrisk og transitiv e) er gift med symmetrisk f) Hvilke av disse relasjonene er en ekvivalensrelasjon? Relasjonen har samme kjønn som er en ekvivalensrelasjon. g) Hvilke av disse relasjonene er en delvis ordning? Ingen av relasjonene er en delvis ordning. Oppgave Gitt mengden A = {1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8}, og relasjonen R på denne mengden gitt ved: a R b hvis og bare hvis a < b a) Angi relasjonsmengden R R = {(1, 2), (1, ), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, ), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (6, 8), (7, 8)} b) Er relasjonen refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og/eller transitiv? Begrunn svaret. Merk: tallene jeg bruker i svarene er bare eksempler for å slippe å bruke f. eks. x og y. Siden elementene (1, 1), (2, 2), (, ) osv. ikke er med i R, er relasjonen ikke refleksiv. Dette kan vi også se av at diagonalen i matrisen ikke er T, og vi kan se det av grafen ved at det ikke er sløyfer fra hver node tilbake til seg selv. Siden matrisen ikke er symmetrisk om diagonalen, er relasjonen ikke symmetrisk. Dette kan vi også se f eks av det faktum at det at (1, 2) er med i R ikke medfører at (2, 1) er med i R. Dette kan vi se av grafen ved at det ikke er kanter fra f eks til 1 selv om det er en fra 1 til. 7
Av matriserepresentasjonen, ser vi at relasjonen er antisymmetrisk siden den ikke har noen T-elementer symmetrisk om diagonalen. Vi kan også se det av mengderepresentasjonen, ved at det faktum at (2, ) er med i R, medfører at (, 2) ikke er med i R. Dette kan vi også se av grafen ved at det ikke er kanter fra f eks til 1 når det er en fra 1 til. Relasjonen er transitiv. Av mengderepresentasjonen ser vi dette av at når (2, ) er med og (, 4) er med, så er også (2, 4) med. Av grafen kan vi se dette ved at når det er en kant fra 2 til og fra til 4, så er det også en kant fra 2 til 4. Oppgave 4 Gitt mengden mengden av de reelle tall, R. Følgende relasjon, S, er definert på denne mengden: x S y hvis og bare hvis x 2 = y 2 Er S en ekvivalensrelasjon? Begrunn svaret? For å finne ut om S er en ekvivalensrelasjon, må vi finne ut om den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. S er refleksiv, siden x 2 = x 2 for ethvert reelt tall x. S er symmetrisk, siden x 2 = y 2 y 2 = x 2. S er transitiv, siden x 2 = y 2 y 2 = z 2 x 2 = z 2. Siden S er refleksiv, symmetrisk og transitiv, er den en ekvivalensrelasjon. 8