MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske operasjoner deretter på familier av mengder. 1 Regneregler for Booleske operasjoner I vanlig tallregning har vi den distributive lov som forteller oss hvordan vi kan gange et tall med en sum (eller lest baklengs hvordan vi kan trekke en felles faktor utenfor en parentes): x(y 1 + y 2 + + y n ) = xy 1 + xy 2 + + xy n Vi har to tilsvarende lover for snitt union: Setning 1 For alle mengder A, B 1, B 2,..., B n gjelder A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ) (1) A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ) (2) Disse lovene gjelder så for (uendelige) indekserte familier: Teorem 2 (Distributive lover for snitt union) For alle mengder A indekserte familier {B α } α I gjelder: ( ) A B α = α I(A B α ) (3) α I ( ) A B α = α I(A B α ) (4) α I Proof: Jeg beviser (3) overlater (4) til leserne. Vi skal følge standardstrategien for å vise at to mengder er like: Først viser vi at ethvert element i mengden på venstre side må være med i mengden på høyre side, deretter viser vi at ethvert element i mengden på høyre side må være med i mengden på venstre side. Dermed har vi vist at mengdene har nøyaktig de samme elementene, følgelig må de være like. 1
Anta derfor først at x er et element i mengden på venstre side av (3), dvs. x A ( α I B ) α. Da må x både være element i A i α I B α, følgelig er x med i A minst én B α. Dette betyr at x er med i minst én av mengdene A B α, følgelig er x α I (A B α), dvs. x er med i mengden på høyre side av (3). Vi må nå resonnere den andre veien antar derfor at x α I (A B α). Da er x A B α for minst én α, følgelig er x med i A minst én B α. Altså er x med i A i α I B α, dermed i A α I B α. I de neste regnereglene må vi anta at alle mengdene vi ser på, er inneholdt i et univers U at komplementer er definert med hensyn på U, dvs. at A = U \ A Det er for øvrig nyttig å være klar over at mange bøker bruker en annen notasjon for komplementer skriver isteden. A c = U \ A Setning 3 Dersom A 1, A 2,..., A n er delmengder av universet U, er A 1 A 2... A n = A 1 A 2... A n (5) A 1 A 2... A n = A 1 A 2... A n (6) Vi kan altså ta komplementer av snitt unioner ved å ta komplementer av hver enkelt mengde, men da må vi bytte ut alle unioner med snitt omvendt. Også dette resultatet gjelder like godt for indekserte familier: Teorem 4 (De Morgans lover for mengder) Anta at {A α } α I er en indeksert familie av delmengder av et univers U. Da er α I A α = α I α I A α = α I A α (7) A α (8) Bevis: Jeg beviser (7) overlater (8) til leserne. Strategien er den samme som før: Vi viser først at hvis x U er med i α I A α, så er x med i α I A α, deretter at hvis x U er med i α I A α, så er x med i α I A α. 2
Vi antar derfor først at x α I A α. Da er x / α I A α, det vil si at x ikke er med i noen A α. Følgelig er x A α for alle α, dermed er x α I A α. Anta omvendt at x α I A α. Da er x A α for alle α, følgelig er ikke x i A α for noen α. Det betyr at x / α I A α, det vil si at x α I A α. Bemerkning: Legg merke til at de to argumentene ovenfor er helt like bortsett fra at de går i hver sin retning. Vi kan derfor slå dem sammen til ett argument, som litt stilisert kan fremstilles slik ved hjelp av ekvivalenspiler: For x U har vi x α I A α x / α I A α x er ikke i A α for noen α I x er med i A α for alle α I x α I A α Lovene ovenfor er ofte nyttige hjelpemidler når vi skal vise at mengder er like. Her er et litt kunstig (men eksamensrelevant!) eksempel. Eksempel 1 Vi skal vise at for alle mengder A, B, C, er A (B \ C) = (A \ B) (A C) Bruker vi definisjonen av mengdedifferanse etterfulgt av først en av De Morgans lover deretter en distributiv lov, ser vi at A (B \ C) def. De M. = A (B C) = A (B C) = A (B C) dist. = (A B) (A C) def. = (A \ B) (A C) Oppgaver til seksjon 1 1. Anta at A, B, C er delmengder av et univers U. Vis at A (B C) = (B \ A) (C \ A) 2. Vis at dersom A B er delmengder av et univers U, så er (A B) = A \ B 3. A B er to delmengder av et univers U. Vis at 4. Bevis formel (4). 5. Bevis formel (8). (A B) B = A B 3
2 Familier av mengder Mange av de mengdene vi bruker i matematikken, har selv mengder som elementer. Eksempel 2: Hvis A er en mengde, er potensmengden definert ved P(A) = mengden av alle delmengder av A Elementene i potensmengden er altså selv mengder. Eksempel 3: Mengden av alle lukkede, begrensede intervaller på tallinjen I = {[a, b] : a, b R, a b} er et annet eksempel på en mengde der elementene er mengder. En mengde av mengder kalles ofte en familie (av mengder). Strengt tatt er det ikke nødvendig å innføre et nytt navn, men det blir fort forvirrende å snakke om mengder av mengder, da er det greit å bruke betegnelsen familie isteden. Familier betegnes ofte med skriftbokstaver som A, B, F, G. Dette gir en systematikk i symbolbruken som det kan være lurt å holde seg til: elementer (tall, vektorer osv.): mengder (av elementer): familier (av mengder): små bokstaver: a, f, x, α, u osv. store bokstaver: A, F, X, U osv. skriftbokstaver: A, F, X, U osv. Det er ikke alltid naturlig å følge disse retningslinjene, men som regel gir de en fremstilling som er grei å lese fordi notasjonen forteller oss hvilket nivå (element, mengde eller familie) vi er på. De familiene du finner i læreboken er gjerne indekserte, dvs. på formen {A α } α I for en indeksmengde I. Det er alltid mulig å indeksere en gitt familie, men det er ofte unødvendig tungvint. Man bør derfor lære seg så å behandle familier som ikke er indekserte. Det er litt abstrakt, men ikke spesielt vanskelig. For eksempel er union snitt av mengdene i en ikke-tom familie A gitt ved A = {x : x er med i minst én av mengdene A A} A = {x : x er med i alle mengdene A A} Regnereglene vi har utledet, gjelder som før: 4
Teorem 5 (Distributive lover for familier) For alle mengder A familier B gjelder: ( ) A B = B B(A B) (9) A B B ( B B B ) = B B(A B) (10) For å formulere de nye versjonene av De Morgans lover, må vi anta at alle mengdene i familien er delmengder av et felles univers U som vi bruker når vi lager komplementer. Teorem 6 (De Morgans lover for familier) Anta at A er en familie av delmengder av et univers U. Da er A = A = A (11) A (12) Bevisene for disse resultatene er akkurat som før overlates til leserne. De familiene du vil møte i videre matematikkurs, er av ulike typer, disse typene har navn som algebraer, σ-algebraer, topolier, filtre, idealer osv. avhengig av hva slags egenskaper de har. Mange av disse egenskapene ligner på hverandre, det kan derfor være nyttig å se et eksempel på en slik type av familier. Definisjon 7 Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie A av delmengder av X kalles en algebra dersom følgende krav er oppfylt: (i) A (ii) Hvis A A, så er A A (komplementer er med hensyn på X, så A = X \ A) (iii) Hvis A, B A, så er A B A Legg merke til konstruksjonen: Den første betingelsen sørger for at visse mengder er med i familien (i dette tilfellet ), mens de to neste sier at hvis noen mengder er med i familien, så må andre så være det: Vi sier at A er lukket under komplementer (betingelse (ii)) under unioner (betingelse (iii)). Slike betingelser er svært vanlige når man definerer familietyper (du vil se flere eksempler i oppgavene). 5
Det er vanligvis mange algebraer på samme mengde X. Den største er potensmengden P(X) som består av alle delmengder av X, mens den minste er A = {, X} som bare består av den obligatoriske mengdene pluss dens komplement X. De andre algebraene på X ligger mellom disse ytterpunktene. Ofte vil familietypen ha interessante egenskaper i tillegg til dem som er tatt med i definisjonen. Her er et eksempel. Setning 8 Anta at A er en algebra på en mengde X. Hvis A, B A, så er A B A. En algebra er altså så lukket under snitt. Bevis: Vi skal utnytte betingelse (ii) (iii) i samarbeid med De Morgans lover. Legg merke til at ifølge De Morgans ene lov er A B = A B = A B siden komplementet til komplementet er mengden selv. Det er derfor nok å vise at A B A. Men det følger fra (i) (ii): Siden A B er i A, må A B være med i A ifølge (ii). Fra (iii) følger det da at A B A, bruker vi (ii) igjen, ser vi at A B A. Argumenter av denne typen er svært vanlig, du vil ha anledning til å bruke dem i oppgavene. Her er et annet triks som ofte er nyttig: Setning 9 Anta at A er en algebra på en mengde X at A 1, A 2,... A n er endelig mange mengder i A. Da er A 1 A 2... A n A; dvs. A er lukket under unioner av endelig mange mengder. Bevis: Vi skal vise dette ved induksjon på n. For n = 1 er det en selvfølgelighet for n = 2 er det punkt (ii) i definisjonen av algebra. Anta derfor at setningen er oppfylt for n = k, at vi skal vise at den holder for n = k + 1. Hvis A 1, A 2,..., A k, A k+1 A, må vi altså vise at A 1 A 2... A k A k+1 A. Ifølge induksjonshypotesen er siden A 1 A 2... A k A A 1 A 2... A k A k+1 = (A 1 A 2... A k ) A k+1 følger det fra betingelse (ii) at A 1 A 2... A k A k+1 A. Til slutt skal vi se på en problemstilling som ofte dukker opp: Anta at vi er gitt en familie A 0 av delmengder av en mengde X, at vi ønsker å utvide den til en algebra. Finnes det en minste algebra A som inneholder 6
A 0? Vi skal se på to argumenter for at det gjør det. Argument 1: I dette argumentet lager vi en kjede {A n } n N av stadig større familier setter til slutt A = n N A n. I hver mengde A n putter vi inn mengder som mangler for at vi skal ha en algebra. Konstruksjonen er induktiv, dvs. den virker på samme måte som et induksjonsbevis: Grunnsteget: Vi lar A 1 = A 0 { }. Dette sørger for at den tomme mengde er med slik betingelse (i) i definisjonen av algebra krever. Induksjonssteget: Anta at vi allerede har konstruert A n. Da konstruerer vi A n+1 ved å sette A n+1 = A n {A : A A n } {A B : A, B A n } Vi utvider altså A n ved å putte inn komplementer unioner av mengder i A n. Skal vi få en algebra, må disse være med ifølge betingelsene (ii) (iii) i definisjonen. Som allerede nevnt, avslutter vi konstruksjonen ved å sette A = n N A n. Det gjenstår å vise at A er den minste algebraen som inneholder A 0 ( minste i den forstand at hvis B er en annen algebra som inneholder A 0, så er A B). Vi begynner med å observere at siden A 0 A 1, så er A 0 A. Videre observerer vi ved induksjon at hvis B er en algebra som inneholder A 0, så må den så inneholde alle A n dermed A (det er fordi en algebra som inneholder alle mengdene i A n, så må inneholde alle elementene i A n+1 siden den er lukket under komplementer unioner). Dermed gjenstår det å vise at A er en algebra, dvs. at den tilfredsstiller betingelsene (i)-(iii). Vi sjekker disse hver for seg: (i) Siden A 1 per konstruksjon, er A. (ii) Hvis A A, må A A n for en eller annen n. Ifølge konstruksjonen er dermed A A n+1, det medfører at A A. (iii) Hvis A, B A, finnes det tall m, n slik at A A m B A n. Lar vi k være det største av tallene m, n, er A, B A k. Per konstruksjon er dermed A B A k+1, dermed er A B A. Dermed er argument 1 fullført. Styrken til argument 1 er at vi vet nøyaktig hvilke mengder vi putter inn i A. Ulempen er at trikset med å sette A = n N A n ikke fungerer når familiene er mer kompliserte enn algebraer. Vi skal derfor se på en mer abstrakt metode som alltid virker, men der vi mister kontrollen over hvilke mengder A består av. Argument 2: La α være mengden av alle algebraer på X som inneholder A 0 (α er altså en familie av familier!). Siden P(X) er en algebra, er α ikke-tom. 7
Vi definerer nå A = B α B (A er altså snittet av alle algebraer på X som inneholder A 0 ). Vi skal vise at A er den minste algebraen som inneholder A 0. At A faktisk inneholder A 0, følger umiddelbart av at A 0 B for alle A α. Siden A = B α B, ser vi så at A B for alle B α, dvs. at det ikke kan finnes noen algebra som inneholder A 0 er mindre enn A. Dermed gjenstår det å vise at A er en algebra, igjen sjekker vi betingelsene (i)-(iii) hver for seg. (i) Siden B for alle B α (fordi enhver slik B er en algebra), er A = B α B. (ii) Hvis A A, så er A B for enhver B α. Siden enhver slik B er en algebra, er dermed A B for enhver B α. Men det betyr at A B α B = A som er det vi skulle vise. (iii) Hvis A, B A, så er A, B B for enhver B α. Siden enhver slik B er en algebra, er dermed A B B for enhver B α. Men det betyr at A B B α B = A (iii) akkurat som vi skulle vise. Dermed har vi vist at A er en algebra, argument 2 er fullført. Når man blir vant til det, er ikke argument 2 spesielt vanskelig, men det er lett å bli forvirret første gang man ser det. Grunnen er at det inneholder mengder på tre forskjellige nivåer: delmengder av X (som, X, A, B), familer av delmengder (som A 0, A, B) familier av familier (som α). Det er lett å blande disse nivåene, da blir argumentet vanskelig å følge. Den store fordelen ved argument 2 er at det nesten alltid fungerer når vi har familier definert ved lukningsegenskaper. La oss avslutte med litt terminoli. Definisjon 10 Den minste algebraen A som inneholder A 0 kalles algebraen generert av A 0. Oppgaver til seksjon 2 1. Bevis de distributive lovene for familier (formlene (9) (10)). 8
2. Bevis De Morgans lover for familier (formlene (11) (12)). 3. Anta at X er en uendelig mengde. La Vis at A er en algebra. A = {A X : A eller A er endelig} 4. Anta at A er en algebra av delmengder av X. Vis at dersom A, B A, så er A \ B A. 5. Anta at A er en algebra av delmengder av X at A 1, A 2,... A n er endelig mange mengder i A. Vis at A 1 A 2... A n A. 6. Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie A av delmengder av X kalles en σ-algebra dersom følgende krav er oppfylt: (i) A (ii) Hvis A A, så er A A. (iii) Hvis {A n } n N er en følge av mengder i A, så er n N A n A. I resten av oppgaven antar vi at A er en σ-algebra på X. a) Vis at X A. b) Vis at hvis {A n } n N er en følge av mengder i A, så er n N A n A. c) Vis at A er en algebra. d) Anta at A 0 er en delmengde av X. Vis at det finnes en minste σ-algebra på X som inneholder A 0. Forklar hvorfor du må modellere beviset på argument 2 ovenfor ikke på argument 1. 7. Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie T av delmengder av X kalles en topoli dersom følgende krav er oppfylt: (i), X T (ii) Hvis O 1, O 2,..., O n er en endelig samling av elementer i T, så er O 1 O 2... O n T ( T er lukket under endelige snitt ). (iii) Hvis {O α } α I er familie av mengder i T, så er α I O α A. ( T er lukket under vilkårlige unioner ). En mengde F X kalles lukket dersom F c T. Vis at: a) Hvis F 1, F 2,..., F n er lukkede mengder, så er F 1 F 2... F n lukket. b) Hvis {F α } α I er familie av lukkede mengder, så er α I F α lukket. c) Anta at T 0 er en delmengde av X. Vis at det finnes en minste topoli på X som inneholder T 0. d) En delmengde O av R kalles åpen hvis den enten er tom eller dersom det for hver a O finnes en r > 0 slik at (a r, a + r) O. Vis at samlingen av åpne mengder er en topoli på R. 8. Anta at X er en ikke-tom mengde. En ikke-tom familie F av delmengder av X kalles et filter dersom følgende krav er oppfylt: 9
(i) / F. (ii) Hvis F, G F, så er F G F. (iii) Hvis F F F G X, så er G F. a) La x X. Vis at F x = {F X : x F } er et filter. b) Anta at X er uendelig. Vi sier at en mengde F X er kofinit dersom komplementet F c er endelig. Vis at familien av alle kofinite mengder er et filter. c) Anta at F er et filter på X at G er en delmengde av X slik at for alle F F er F G. Vis at det finnes et filter G på X slik at F G G G. En ikke-tom familie I av delmengder av X kalles et ideal dersom følgende krav er oppfylt: (i) X / I. (ii) Hvis I, J I, så er I J I. (iii) Hvis I I J I, så er J I. d) Vis at hvis I er et ideal, så er et filter. e) Vis at hvis F er et filter, så er et ideal. F = {I : I I} I = {F : F F} 10