FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden i et volum V, slik at alle tilstander innenfor en kuleflate i impulsrommet er opptatt, 2 mens alle utenfor er ledige. Bruk formelen dn rom = V d3 p h 3 (# romlige tilstander) til å vise at radien av Fermi-kula er ( p F = h 3π 2 N ) 1/3 (Fermi-impulsen), V der N/V er antall fermioner pr volumenhet. [Merk at Pauli-prinsippet tillater to spinn- 1 2 - fermioner pr romlig tilstand.] b. Den ideelle Fermi-gass-modellen gir en (forenklet) beskrivelse av ledningselektronene i metaller. Vis at Fermi-impulsene for disse elektronene er ikke-relativistiske (p F << m e c), når det oppgis at antallstetthetene N/V av ledningselektroner varierer fra 0.91 10 22 cm 3 = 0.91 10 28 m 3 for cesium til 24.7 10 22 cm 3 for beryllium. Oppgitt: h/(m e c) = 3.862 10 13 m. c. Finn Fermi-energien for beryllium i elektronvolt, når det oppgis at h 2 /(2m e a 2 0)(=1 Ry) =13.6 ev, og a 0 = 0.529 10 10 m. d. Elektrontettheten i en hvit dvergstjerne er (i likheten med massetettheten) omlag en faktor 10 6 større enn i ordinær materie. Anta for enkelhets skyld at den i sentrum av stjerna er en faktor 10 6 større enn den vi brukte ovenfor for beryllium. Beregn p F /(m e c) i dette tilfellet, og avgjør om Fermi-impulsen her kan sies å være ikke-relativistisk. Oppgave 6 2 Fermioner i kuleformet boks Betrakt en kuleformet boks med radius a, slik at V = 0 inne i boksen og uendelig utenfor. I denne boksen befinner det seg 18 ikke-vekselvirkende spinn- 1 -fermioner med masse m. 2 Med såpass få partikler vil metoden ovenfor bli for omtrentlig når det gjelder å finne f.eks Fermienergien. dessuten er det klart at vi må bruke metoden i Tillegg 9 til å finne energier og bølgefunksjoner. Som vist i forelesningene, vil én-partikkel-tilstandene i denne boksen være av typen ψ = R(r)Y lm (θ, φ). Med L 2 Y lm = h 2 l(l + 1) og k 2mE/ h 2 kan vi da skrive radialligningen på formen (kr) 2 d(kr) + 2(kr) dr 2 d(kr) + [ (kr) 2 l(l + 1) ] R(r) = 0, d2 R som er er kjent som den sfæriske Bessel-ligningen. Dette innebærer at radialfunksjonene R(r) er proporsjonale med sfæriske Bessel-funksjoner: R(r) j l (kr).
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 2 a. Anta at dette systemet er i grunntilstanden, og finn kvantetallene til de besatte énpartikkel-tilstandene, samt energiene til disse tilstandene i enheter av h 2 /(2ma 2 ). Vis at energien til grunntilstanden er 473 h 2 /(2ma 2 ). b. Hvor mye energi koster det å redusere radien a av boksen med én promille? c. Forklar hvorfor den totale sannsynlighetstettheten for fermionene i grunntilstanden er kulesymmetrisk. Hint: +l Y lm 2 = 2l + 1 4π. Oppgitt: Tabell over nullpunkter Π (l) n m= l for de sfæriske Bessel-funksjonene: j 0 j 1 j 2 j 3 n r = 0 Π (0) 1 = π Π (1) 1 = 4.4934 Π (2) 1 = 5.7635 Π (3) n r = 1 Π (0) 2 = π 2 Π (1) 2 = 7.7253 Π (2) 2 = 9.0950 Π (3) n r = 2 Π (0) 3 = π 3 Π (1) 3 = 10.9041 Π (2) 3 = 12.3229 Π (3) 1 = 6.9879 2 = 10.4171 3 = 13.6980 Oppgave 6 3 Spredning på to δ-barrierer Vi har ikke gjort oss helt ferdig med deltafunksjonspotensialer, og vender nå tilbake til problemstillingen som ble skissert i øving 3, hvor vi vil se på spredning av elektroner mot et symmetrisk potensial som består av to like sterke δ-barrierer: V (x) = h2 f m e a 0 [δ(x + a/2) + δ(x a/2)] (f > 0). Med energien E = h 2 k 2 /(2m e ) og en spredningsfunksjon på formen 1 ψ = t eikx + Be ikx for x < a/2, Ce ikx + De ikx for a/2 < x < a/2, e ikx for x > a/2 kan vi da som nevnt i øving 3 vise ved hjelp av skjøte-betingelsene at og at C = 1 + if ka 0 og D = if ka 0 e ika ( 1 t = 1 + if ) 2 + f 2 ka 0 (ka 0 ) 2 e2ika. Med denne formelen kan vi studere transmisjonskoeffisienten T = t 2 som funksjon av de forskjellige parametrene.
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 3 a. Etter litt regning finner en at transmisjonskoeffisienten T (2) for den doble barrieren er bestemt av formelen [ ( )] 2 1 2f f = 1 + sin ka + cos ka. T (2) ka 0 ka 0 Til sammenligning fant vi i øving 3 ved spredning mot en enkel barriere med styrke f at ( ) 2 1 f = 1 +. T (1) ka 0 Når størrelsen ka 0 er liten i forhold til f, ser vi at det er liten sannsynlighet for transmisjon gjennom den enkle barrieren. Forklar vha formelen ovenfor at vi for den doble barrieren derimot kan få full transmisjon (T (2) = 1) for visse verdier av bølgetallet k, og finn en ligning som vil bestemme disse verdiene. b. Dette fenomenet kalles tunnelerings-resonans. Figuren viser T (2) og T (1) som funksjoner av ka 0 for f = 10 og a = 2a 0. Bruk figuren til å finne (noenlunde nøyaktig) et par av de verdiene av ka 0 som gir resonans. Prøv med kalkulatoren å finne den minste verdien av ka 0 som løser ligningen funnet under pkt. a, og sammenlign med den du leste ut av figuren.
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 4 Oppgave 6 4 Trening med ket- og bra-vektorer La 1, 2 og 3 være tre ortonormerte vektorer som danner en basis for et tredimensjonalt komplekst vektorrom: i j = δ ij, i, j = 1, 2, 3 ; 3 i i = 1. i=1 a. La a = 1 og b = 1 + i 2. Hva er da a, b, a b, b a og b b? b. Finn normen (lengden) av vektoren b, dvs b finn Â1 A 1 A 1. b b. Sett A 1 = b og Hva er normen til vektoren Â1? Sett Â2 = c 1 1 + c 2 2 og velg c 1 og c 2 slik at Â2 blir normert og ortogonal på Â1. Finn en normert vektor Â3 som er ortogonal på både Â1 og Â2. c. Bruk definisjonen av adjungert, a A b = b A a, til å vise at den adjungerte til operatoren c d er Oppgave 6 5 ( c d ) = d c. Litt mer trening med ket- og bra-vektorer I forelesningene har vi sett at det er én-til-én-korrespondanse mellom de abstrakte vektorene i Hilbert-rommet og de gode gamle bølgefunksjonene: ψ a (x) ψ a a, ψ b (x) ψ b b, osv., der vi velger merkelapper etter behag. Videre har vi sett at de nye skalarproduktene er identisk med de gamle: ψ a, ψ b ψ a ψ b = ψ a, ψ b ψ a ψ b dτ.
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 5 a. I den gode gamle posisjonsrepresentasjonen av kvantemekanikk har vi sett at egenverdiligningen for operatoren x = x, har løsningen x ψ x (x) = x ψ x (x), ψ x (x) = δ(x x ). (Dette kan du lett sjekke.) Til denne bølgefunksjonen svarer det en vektor ψ x x i Hilbert-rommet. Vi har også sett at egenverdiligningen for impulsoperatoren har løsningen p x ψ p (x) = p ψ p (x) ψ p (x) = (2π h) 1/2 exp(ipx/ h). Til denne impulsbølgefunksjonen svarer det en vektor ψ p p i Hilbert-rommet. Og så kommer spørsmålene: Hva er x ψ p og ψ p x? b. Operatoren x som representerer observabelen x er i Dirac-formalismen definert ved egenverdiligningen x x = x x, hvor x = x, slik at x x = x x. Hva blir da ψ p x x? Hva blir x x ψ p? c. La n svare til energiegenfunksjonen ψ n (x) for en harmonisk oscillator. Når operatoren x virker på grunntilstanden, fås en ny vektor som vi kan kalle ny : x 0 = ny. Hvilken bølgefunksjon (ψ ny ) svarer den nye vektoren til? Hint: Se på x ny og bruk at x x = x x. Det oppgis at h xψ 0 (x) = 2mω ψ 1(x). Vis at ny = konstant 1, og finn konstanten.