Introduksjon Digital bildebehandling Forelesning 3 Morologiske operasjoner på binære bilder Fritz Albregtsen Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer ammensatte operatorer Eksempler på anvendelser G&W: 9.-9.5.2 9 og 9.5.5, 5 og deler av 2.6.4 / 40 Brukes som et steg i behandling/analyse av bilder. Modiiserer ormen (eng.: shape) ) til objekter vba. lokale operasjoner. Kan brukes til å jerne uønskede eekter etter segmentering: Fjerne små objekter (antas å være støy). Glatte omrisset til større objekter. Fylle hull i objekter. Lenke sammen objekter. Kan brukes som et steg or å beskrive/analysere objekter: Finne omriss av objekter. Tynne objekter. Finne objekter som inneholder en viss struktur. Finne mønstre i et bilde. Operasjonene er ote enkle og kan utøres svært raskt. Kan generaliseres til gråtonebilder (med enda lere anvendelser). 2/ 40 Eksempel: Lenke sammen objekter Litt mengdeteori Morologiske operasjoner er ote velegnet til å orbedre en segmentering. Eks.: Lenke sammen deragmentere objekter: En mengde (eng.: set) består av elementer. Rekkeølgen av elementene og antallet er ubestemt. Dersom elementet a er inneholdt i mengden A skriver vi: Dersom elementet a ikke er inneholdt i mengden A skriver vi: a A a A er mengden uten noen elementer og kalles den tomme mengden. A c er komplementet til A og består av alle elementene som ikke er i A. Â er releksjonen av A (80 rotasjon) A er en delmengde av B dersom alle elementene i A også er elementer i B, og dette betegnes: Unionen av to mengder A og B er mengden som består av alle elementer som er i A og/eller B, og dette betegnes: nittet av to mengder A og B er mengden som består av alle elementer som er i både A og B, dette betegnes: A B A B A B 3/ 40 4/ 40
Mengder og binære bilder La A være en mengde i Z 2. Hvert element i A er da et punkt (a,a 2 ) der a og a 2 er heltall. Et binært bilde kan beskrives ved orgrunnspikslenes koordinater. Mengden av disse pikslene er en mengde i Z 2. Komplementet til et binært bilde : hvis (x, y) 0 h (x, y) 0 hvis (x, y) Unionen av to bilder og gg: hvis (x, y) eller h g h (x, y) 0 ellers nittet av to bilder og g: hvis (x, y) og h g h (x, y) 0 ellers g(x, y) g(x, y) Konturen av to binære bilder, A og B nittet av A og B Unionen av A og B 5/ 40 Et strukturelement or et binært bilde er et naboskap. Tre sentrale begrep Typisk deinert ved en binær matrise der markerer med i naboskapet. Når vi ører strukturelementet over det binære bildet vil vi inne: Posisjoner der strukturelementet ikke overlapper objektet. Posisjoner der strukturelementet delvis overlapper objektet, vi sier at elementet treer objektet. Posisjoner der strukturelementet ligger inni objektet, vi sier at elementet passer i objektet. I igurene markerer grått med i mengden (orgrunnspiksel), og hvitt ikke med (bakgrunnspiksel). 6/ 40 trukturelementenes orm og origo Passer strukturelementet til det binære bildet? trukturelementer kan ha ulik orm og størrelse. Må bestemme et origo. Origo markerer pikselen som evt. endrer verdi. Origo kan ligge utenor strukturelementet. I igurene markerer grått med i naboskapet / strukturelementet, og hvitt ikke med. Origo bør markeres når man an strukturelementet,.eks. ved Vi lytter strukturelementet tu e e tet rundt over et binært bilde. Et bilde trukturelementet passer 0 0000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i posisjonen (x,y) i bildet 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 hvis alle elementer 0 i 0 0 0 0 strukturelementet 0 0 0 0 0 0 overlapper en pikselverdi 0 i bildet. 00000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I denne sammenhengen vil vi alltid: Ignorere pikselverdier som overlapper 0 i strukturelementet. 0 markerer jo «ikke er med i naboskapet». Anta at piksler utenor bildet er 0. Komplementet I igurene markerer grått med i mengden, til A og hvitt ikke med. (Fra igur 2.3 i G&W) To orskjellige struktur- elementer 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000 0 0 To orskjellige resultater 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 00000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7/ 40 8/ 40
Erosjon Eekter av erosjon Plasser strukturelementet slik at origo overlapper posisjon (x,y) i inn-bildet, og beregn ut-bildet g ved å bruke regelen: g( x, y) 0 hvis passer ellers 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Erodering krymper objekter. Piksler jernes også innenra, hvis objektet har hull. Erosjon jerner «små» utstikk i objektets omriss. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Erosjon av et bilde med strukturelementet betegnes: θ Mer presist: Erosjonen av mengden A med strukturelementet B er deinert som posisjonene til alle piksler z som er slik at B er inkludert i A når origo i B plasseres i z: A θ B z ( B ) z A z 000000 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 «må» er relativt til størrelsen av strukturelementet. Erosjon utvider innbuktninger i objektets omriss. Resultatet er avhengig av strukturelementet. tørre strukturelement mer erosjon/jerning. j 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9/ 40 0 / 40 Iterativ erosjon Anvendelse av erosjon: Kantdeteksjon Vi sa at «tørre strukturelement mer erosjon/jerning». Resultatet av erosjon med et stort strukturelement er (nesten) lik resultatet av gjentatt erosjon med et mindre strukturelement med samme orm. Hvis s 2 er ormlik s, men dobbelt så stort, så er: ө s 2 ( ө s ) ө s 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 erodert 2 ganger med 0000000 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Erodering jerner piksler langs omrisset av et objekt. Vi kan inne kantene av objektene i bildet ved å subtrahere et erodert bilde ra originalbildet: g = - ( ө ) Det benyttede strukturelementet t t avgjør kantens tilkoblingstype: t Et bilde erodert med 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 000000 0 0 0 0 000 0 0 0 => dieranse 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ammenhengende kanter hvis (og bare hvis) man bruker 8-tilkobling ammenhengende kanter ved bruk av 4-tilkobling / 40 2 / 40
Eksempel: Kantdeteksjon ved erosjon Treer strukturelementet det binære bildet? Et bilde => dieranse I bildene markerer hvit orgrunn og svart bakgrunn. Vi lytter strukturelementet rundt over et binært bilde. Et bilde 0 trukturelementet treer i posisjonen (x,y) i bildet hvis et element 0 i strukturelementet overlapper en pikselverdi 0 i bildet. Her relekterer vi (roterer 80 ) strukturelementet ør vi lytter det rundt. 0000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 To orskjellige struktur- elementer 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 To orskjellige resultater 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Fortsatt vil vi: Ignorere pikselverdier som overlapper 0 i strukturelementet. Anta at piksler utenor bildet er 0. 3 / 40 4 / 40 Dilasjon (dilatasjon) Eekter av dilasjon Roter og plasser det slik at origo overlapper (x,y) i inn-bildet, og beregn ut-bildet g ved: g( x, y) 0 hvis treer ellers Dilasjon av et bilde med strukturelementet betegnes: Mer presist: Dilasjonen av mengden A med strukturelementet B er deinert som posisjonene til alle piksler z som er slik at en 80 rotert B har minst ett elles element med A når origo i B plasseres i z: A B z ( Bˆ) A Ø z 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dilatert med 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 / 40 Dilasjon utvider objekter. Dilasjon yller i hull i objektet. Fyller igjen hullet hvis strukturelementet er stort nok i orhold til hullet. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dilatert med Dilasjon glatter ut innbuktninger i objektets omriss. Resultatet er avhengig av strukturelementet. tørre strukturelement større dilasjons-eekt. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000000 0 0 0 0 00 0 6 / 40
Anvendelse av dilasjon: Region-ylling La X 0 inneholde et punkt i regionen som skal ylles. c Iterativt beregn X ( X ) inntil konvergens: k k X 0 c trukturelement ved 8-tilkoblet region / 4-tilkoblet kant. Eekter av sirkulære strukturelementer på hjørner Både dilatering og erodering med rektangulære strukturelementer bevarer ormen til hjørner. Dilatering av konkave hjørner med sirkulære strukturelementer bevarer hjørnenes orm. ( X ) ) ( X X 2 X 3 X 4 X I bildene markerer hvit orgrunn og svart bakgrunn. (Bildene er hentet ra http://homepages.in.ed.ac.uk/rb/hipr2/dilate.htm) 7 / 40 Dilatering av konvekse hjørner med sirkulære strukturelementer avrunder hjørnene. Omvendt or erosjon: Avrundede hjørner ved erosjon av konkave hjørner. Formen til konvekse hjørner bevares. 8 / 40 Dilasjon og erosjon er duale med hensyn til komplementering og relektering (80 rotasjon), dvs. at dilasjon og erosjon kan uttrykkes ved hverandre: θ c c θ Ŝ c c Ŝ Dualitet For å dilatere med symmetrisk kan vi erodere komplementet til med, og ta komplementet av resultatet. Tilsvarende or å erodere. => Dilasjon og erosjon kan utøres av samme prosedyre, orutsatt at vi kan rotere et strukturelement 80 og inne komplementet t til et binært bilde. et bilde 0 0 0 0 0 0 00000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dilatert med 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 komplementet 0 0 0 0 0 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 og disse bildene er komplementære. De to matrisene til høyre er utenor randen. 9 / 40 Dualitet og eekter av sirkulære strukturelementer på hjørner Erosjon er å inne de posisjonene der strukturelementet passer inni orgrunnen. Dilasjon er å inne de posisjonene der (det 80 roterte) strukturelementet passer inni bakgrunnen, og så komplementere resultatet. Det er dette den ene dualitetsormelen sier. => iden erosjonen av konkave hjørner med et sirkulært strukturelement avrunder hjørnene, så vil dilasjonen avrunde konvekse hjørner når vi benytter samme strukturelement. Merk: Et konvekst orgrunns-hjørne er også et konkavt bakgrunns-hjørne. Logikken ungerer like bra omvendt vei. 20 / 40
Dilasjon: Andre egenskaper Dilasjon er kommutativ. elv om det er en konvensjon at ørste operand er bildet og andre er strukturelementet, så har dette altså ingen betydning. Dilasjon er assosiativ. ( 2 ) ( ) Hvis kan dekomponeres, dvs. at er dilatert med 2, kan vi spare en del regnetid, spesielt hvis og 2 er én-dimensjonale. Eksempel: 2 Erosjon: Andre egenskaper Erosjon er IKKE kommutativ: θ θ Erosjon er heller IKKE assosiativ, men suksessiv erosjon av bildet med A og så med B er ekvivalent med erosjon av bildet med A dilatert med B: ( θ A) θ B θ (A B) Passer det med denne tidligere påstanden? «Hvis s 2 er ormlik s, men dobbelt så stort, så er ө s 2 ( ө s ) ө s» 2 / 40 22 / 40 Åpning Geometrisk tolkning av åpning Erosjon av et bilde jerner alle strukturer som ikke kan inneholde strukturelementet, og «krymper» alle andre strukturer. Hvis vi dilaterer resultatet av en erosjon med samme strukturelement, vil de strukturene som «overlevde» erosjonen bli omtrentlig gjenskapt. Dette er en morologisk åpning; θ Navnet kommer av at operasjonen kan skape en åpning (et mellomrom) mellom to strukturer som bare henger sammen ved en tynn «bro», uten å krympe disse to strukturene i noen betydelig grad. Bare erosjon kan også skape en slik åpning/mellomrom, men vil også krympe begge strukturene. 23 / 40 Tenk at strukturelementet deinerer størrelsen og ormen til spissen av en tusjpenn. Det er bare tillatt å argelegge innenor objekter. Et par detaljer: Man må holde tusjen vinkelrett på tegnelaten og med samme rotasjon som strukturelementet. Åpningen er resultatet av å argelegge så mye man har lov til. For runde strukturelementer: Konvekse hjørner blir avrundet, konkave hjørner beholdes. Akkurat som ved dilasjon (skyldes at enhver åpning avsluttes med en dilasjon). (Deler av igur 9.8 i G&W) Åpning er idempotent: ( ) dvs. at gjentatte anvendelser med samme strukturelement ingen endring. 24 / 40
Lukking Geometrisk tolkning av lukking Dilasjon av et bilde utvider strukturer, yller i hull og innbuktninger i omrisset. Hvis vi eroderer resultatet av en dilasjon med samme strukturelement, vil strukturene stort sett å gjenskapt sin opprinnelige størrelse og orm, men hull og innbuktninger som ble ylt igjen ved dilasjonen vil ikke gjenoppstå. Dette er en morologisk lukking; θ Navnet kommer av at operasjonen kan lukke en åpning mellom to strukturer som bare er adskilt med et lite gap, uten at de to strukturene vokser i noen betydelig grad. Bare dilasjon kan også lukke en slik åpning, men vil også orstørre begge strukturene. Vi kan benytte samme metaor som or åpning: trukturelementet deinerer størrelsen og ormen til spissen av en tusjpenn. Man holder tusjen vinkelrett på tegnelaten og argelegger så mye man har lov til. Denne gangen er det bare tillatt å argelegge utenor objekter. En detalj: Denne gangen skal tusjen holdes speilvendt (80 rotert) av strukturelementet. Lukkingen er det som ikke argelegges. Denne gangen argelegger vi altså bakgrunnen, sist argela vi orgrunnen. For runde strukturelementer: Konkave hjørner blir avrundet, konvekse hjørner beholdes. Akkurat som ved erosjon (skyldes at enhver lukking avsluttes med en erosjon). (Deler av igur 9.9 i G&W) Også lukking er idempotent: ( ) 25 / 40 26 / 40 Lukking lukker små åpninger Dualitet mellom åpning og lukking binært bilde dilatert med samme strukturelement Lukking er en dual operasjon til åpning med hensyn til komplementering og relektering (80 rotering), og omvendt: ( ˆ c c ) ( ˆ c c ) Lukking kan utøres ved å komplementere bildet, åpne det med det speilvendte (80 rotere) strukturelementet, og ta komplementet av resultatet. Tilsvarende or åpning. Vi kan altså utøre begge operasjonene med kode bare or den ene, hvis vi har kode or å speilvende og komplementere et binært bilde. Lukking er en ekstensiv transormasjon (piksler legges til). trukturelementets størrelse og orm, og strukturenes mellomrom er avgjørende or resultatet. I igurene markerer grått orgrunn og hvitt bakgrunn. Åpning er en antiekstensiv transormasjon (piksler jernes). 27 / 40 28 / 40
Eksempel: tøyjerning med åpning Eksempel: Form-separering ved åpning Åpning med et (7x7) sirkulært strukturelement Åpning med et sirkulært strukturelement I bildene markerer hvit orgrunn og svart bakgrunn. (Bildene er hentet ra http://homepages.in.ed.ac.uk/rb/hipr2/) 29 / 40 30 / 40 Eksempel: Filtrering ved lukking Eksempel: Filtrering ved åpning og lukking Lukking med et (3x3) kvadratisk strukturelement 3 / 40 32 / 40
«Hit-or-miss»-transormasjonen Tilbake til den opprinnelige situasjonen: Bilde og strukturelement Men strukturelementet er nå deinert ved et par [, 2 ]av binære strukturelementer som ikke har noen elles elementer. «Hit-or-miss»-transormasjonen av med = [, 2 2] er deinert som: C, ( θ ) ( θ ) ( ) ( ) 2 2 En orgrunnspiksel iut-bildet oppnås kun hvis: passer orgrunnen rundt pikselen og 2 passer bakgrunnen rundt pikselen. Kan brukes til å inne/behandle bestemte mønstre i et bilde,.eks. til å: Finne bestemte strukturer. Fjerne enkeltpiksler. Benyttet i tynning (om to slides). Eksempel: «Hit-or-miss» 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Et bild A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 trukturelement Et bilde A Resultat etter erosjon med 0 0 0 0 0 0 00000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 trukturelement 2 A c - komplementet til bildet (er utenor randen) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000000000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A c 2 «Hit-or-miss»-resultatet Logisk AND av de to delresultatene 33 / 40 34 / 40 Morologisk tynning: Morologisk tynning ( ( ) ) gjentatt med en sekvens av strukturelementer, k or k=,..,n, inntil ingen av strukturelementene skaper noen endring. Fjerner grovt sett alle piksler utenom de som: er isolerte, deinerer utstrekningen av et objekt, eller trengs or å ikke dele et objekt. En vanlig sekvens or tynning: x = don t care (<=> verken med i eller 2 ) Eksempel på bruk av denne sekvensen på bildet A: Oppsummering trukturelement (med origo) Erosjon Dilasjon Dualitet Åpning (erosjon etterulgt t av dilasjon) Lukking (dilasjon etterulgt av erosjon) Hit-or-miss Tynning og markerer to korreksjoner. (Figur 9.2 i G&W) Grå markerer orgrunn og hvit bakgrunn. 35 / 40 36 / 40