Ikke-lineær matematikk og kaos, et paradigmeskifte?

1 Fys 210 våren 2002 Ikke-lineær matematikk og kaos, et paradigmeskifte? Bjarte Mohn FORORD Arbeidet med denne oppgaven har vært veldig interessant, og jeg har gjort mange oppdagelser som både går på min egen person og det skolesystem jeg gjennom 16 år har fulgt. Det er ikke til å unngå at dette har preget meg og mine tanker i meget stor grad, og som Kuhn ville sagt bruker jeg uunngåelig mitt eget paradigme når jeg argumenterer for eller mot. Denne teksten kan derfor umulig bli noen objektiv analyse av problemet, men være farget av mine holdninger. I et forsøk på å poengtere ut dette har jeg valgt å skrive mine siste avsnitt i "jeg" form slik at det for leseren kommer klart frem at dette er mine personlige argumenter. En diskusjon med min nabo, hvor jeg forklarte denne oppgavens innhold, gav meg ideen til nettopp å oppnå objektivitet gjennom subjektivitet. INNLEDNING Mens den lineære matematikken ofte kalles for vitenskapens eller teknologiens matematikk, har den ikke-lineære matematikken fått tilnavn som naturens egen matematikk. Er det slik at den lineære matematikkens dager talte, og er studier av kaos den eneste veien å gå? Som antydet i oppgavens tittel ønsker jeg i denne betraktningen å se den senere tids interesse for ikke-lineær matematikk og kaos i sammenheng med Thomas Kuhns teorier om paradigmer og vitenskapelige revolusjoner. Er interessen for kaotiske fenomener et tegn i tiden om at et nytt paradigme er i ferd med å erstatte paradigmet som gav oss kontroll over kjernekraften og satte det første menneske på månen? Dette og andre spørsmål skal jeg i det følgende diskutere, men for å ikke å foregripe argumentene begynner jeg med en liten innføring i ikke lineær matematikk og kaos samt Kuhns teorier. IKKE-LINEÆR MATEMATIKK OG KAOS En vitenskapsmann som studerer en gjenstand eller prosess vil i første omgang lage en»ramme» omkring gjenstanden eller prosessen og definere det som faller innenfor rammen for et system. Et slikt system kan bestå av solen og planetene med sine måner eller bestanden av skilpadder på en bestemt stillehavsøy. Ved å tilskrive numeriske verdier til systemets kvantitative egenskaper vil vitenskapsmannen få en kompakt beskrivelse av systemet, oftest referert til som systemets tilstand. Med kjennskap til hvordan de ulike størrelsene innvirker på hverandre kan vitenskapsmannen lykkes i å skrive ned et sett med likninger som

2 Fys210 våren 2002 beskriver systemet, og avhengig av likningenes form kan den fremtidige utviklingen i større eller mindre grad bestemmes. Dersom likningene som er satt opp er av lineær art, f. eks en lineær differensial likning, vil forskeren ved hjelp av velkjente og godt utviklede matematiske verktøy kunne finne en lukket løsning. Et godt eksempel på en likning av denne typen er Newtons 2. lov, også kalt kraftloven. Denne gir at kraft er det samme som masse multiplisert med den dobbelt deriverte av posisjonsvektoren. En viktig egenskap ved denne typen likninger og system er at en eventuell usikkerhet i målingene som definerer vår initialtilstand alltid vil forbli små. Er systemet beskrevet gjennom et sett ikke lineære likninger kan det finnes lukkete løsninger dersom likningene er enkle nok, men det er snarere unntaket enn regelen. Et system som er tilnærmet lineært men hvor det ikke finnes lukkete løsninger, ønsker derfor forskeren ofte å betrakte som lineært fordi sistnevnte er mye lettere å behandle. Ved å linearisere likningene kan gode tilnærminger til den eksakte løsningen innenfor begrensede område finnes. Et godt eksempel på dette er den klassiske pendelen hvor en linearisering av problemet gir gode løsninger for svingninger med utslag mindre enn 5 til hver side. En annen måte å komme til en løsning av ikke lineære likninger på er å anvende perturbasjonsteori. Er problemet av en slik art at det kan deles i to, der den ene kan løses eksakt mens den andre kan betraktes som en liten forstyrrelse (perturbasjon), kan vi finne tilnærmede løsninger ved hjelp av perturbasjonsteori. Et eksempel på dette er jordens bevegelse rundt solen. Ved bare å betrakte påvirkningen på jorden fra solen vil jorden bevege seg i en perfekt ellipsebane rundt solen. Men solen er ikke den eneste som gjennom tyngdekraften påvirker jorden. Også månen har innflytelse, men denne er liten sett i sammenheng med solen. Forsøk på å sette opp Newtons likninger for alle de tre legemene gir ikke noen løsning på problemet fordi systemet er ikke integrerbart, det vil si at det ikke lar seg løse ved hjelp av kjente matematiske metoder. Ved derimot å legge inn gravitasjonskraften fra månen på jorden som en perturbasjon kan vi finne justeringer til den perfekte ellipsebanen som nærmer seg det riktige svaret. Men kan perturbasjonsmetoden brukes på alle systemer? Nei, den kan ikke det. Det forutsettes blant annet at perturbasjonen er liten sammenliknet med resten av systemet, og selv små perturbasjoner kan lage problemer ved at løsningen utviser sensitiv avhengighet av initialbetingelsene. Oppdagelsen av dette fenomenet tilskrives ofte Edward Lorentz som gjorde en bemerkelsesverdig oppdagelse under sitt arbeid med klimakontroll ved MIT i 50- og 60-årene. Da han ved en anledning i 1961 ønsket å gjenta en del av en tidligere simulering tastet han inn tre parametere, men oppdaget til sin store overraskelse at til tross for at han hadde gitt de samme parametrene var forløpet helt annerledes. Lorentz

Fys210 våren 2002 3 hadde oppdaget sensitiv avhengighet av initialbetingelsene, ofte referert til som kaos. Parametrene han gav ved andre gangs kjøring skilte seg ørlite fra de han gav første gang fordi datamaskinen hadde trunkert (kappet av) tallene på utskriften lorentz benyttet seg av og resultatet av simuleringen var ikke en gang sammenliknbart med den tidligere. Studier av vær og klima brukes ofte som klassiske eksempler på systemer som innehar sensitiv avhengighet av initialbetingelsene. At nettopp meteorologien er blitt kroneksemplelet på denne typen fenomen skyldes nok at Lorentz som oppdager av det studerte meteorologi, men også svært mange systemer hentet fra biologi og medisin har denne typen oppførsel. Men utelukker sensitiv avhengighet av initialbetingelse at vi kan si noe som helst fornuftig om systemet? Det kan være fristende å falle for tanken om problemet ganske enkelt kan overvinnes ved å gjøre enda flere og bedre målinger av våre betingelser, men dette er ikke tilfelle. Selv en liten justering i et tall, om enn bare en desimaljustering, vil etter en tid blåses opp til en usikkerhet på størrelse med det som måles. Til tross for at dette utelukker enhver kvantitativ forutsigelse av systemet er fremdeles kvalitative egenskaper å finne. Den finnes orden innenfor kaos, og nærmere studier kan ofte gi verdifull informasjon om hvordan systemet utvikler seg. Eksempelvis kan det godt tenkes at løsningene ikke kan anta hvilke som helst verdier. De er da bundet til å ligge innenfor et visst område i et plott av løsninger, og kjennskap til dette kan være nyttig. THOMAS KUHN OG PARADIGMER Den kjente vitenskapshistorikeren Thomas S. Kuhn presenterte i sin bok "Vitenskapelige Revolusjoners Struktur", utgitt i 1962, en teori om vitenskapelig arbeid og fremskritt som, på samme måte som Poppers teorier, forkaster naiv induktivisme som grunnlaget for vitenskap. Kuhns teorier har vært og er meget omdiskutert. Han hadde sterke meninger, og skildringene hans angrep manges oppfatning av hvordan vitenskapelig arbeid utføres. Kuhns kanskje viktigste poeng er at all vitenskap foregår innenfor et paradigme. Kuhn gir aldri noen eksplisitt definisjon på hva et paradigme er, men den vanligste tolkningen er at paradigmet bestemmer den vitenskapelige utvikling i form av skrevne og uskrevne lover for hva som er akseptable teorier, problemer og løsninger. Paradigmet omfatter reglene for vitenskapelig arbeid, reglene for diskusjon av vitenskapelige spørsmål og det deles av alle vitenskapsfolk som arbeider innenfor et vitenskapelig område. Innenfor et paradigme utøves normalvitenskap, som i følge Kuhn er forskning basert på ett eller flere vitenskapelig resultater som et vitenskapelig fellesskap i en periode anerkjenner som grunnlaget for videre forskning. Den moderne vitenskap utvikler seg trinnvis fra et paradigme til et annet, men denne

4 Fys210 våren 2002 utviklingen har sin begynnelse i det første paradigmet. Men hva foreligger forut for dette, og hva kjennetegner den før-paradigmatiske situasjonen? Kuhn velger selv å illustrere denne tiden ved å se på elektrisitetsforskningens historie i første halvdel av det attende århundre. På denne tiden fantes det omtrent like mange syn på hva elektrisitet er som det fantes forskere på feltet. Noen mente at tiltrekning og ladning ved friksjon var de viktigste elektriske fenomenene, mens andre utviklet teorier der tiltrekning og frastøtning ble sett på som like grunnleggende. Andre igjen trodde at elektrisitet var en væske som kunne flyte gjennom en strømleder, men denne gruppen hadde til gjengjeld problemer med å redegjøre for tiltrekning og frastøtning. De ulike skoleringene på denne tiden var på ingen måte enige om hva som var relevante fakta, hvordan data skulle samles inn eller hvilke konklusjoner som kunne trekkes. Snarere tvert om: De brukte å argumentere ut i fra de fenomen og data som deres egen teori forklarte best. Når et paradigme dannes er det vanligvis fordi en av de førparadigmatiske skolene seirer over de andre, og den seirende teorien fremstår som bedre enn de konkurrerende teoriene. Det behøver ikke å si det samme som at den seirende teori kan forklare alle data den konfronteres med, og det gjør den heller aldri. Straks et paradigme er etablert vil de oppgaver som vitenskapsfolk arbeider med endres. Den enkelte forsker trenger ikke lengre å bygge opp feltet ved å starte med grunnprinsippene og begrunne de størrelser og termer han innfører. Han vil kunne bygge på de nå etablerte og aksepterte grunnprinsipper og konsentrere seg om vanskeligere og mer subtile problemer. Læren om grunnprinsippene overlates til lærebokforfatteren som gjennom eksempler og oppgaver sørger for at nye generasjoner med forskere blir oppdratt innenfor det nå eksisterende paradigmet. Det vitenskapelige arbeid innenfor et paradigme, normalvitenskap, sammenlikner Kuhn med det å pusle puslespill. Normalvitenskapelig arbeid omfatter å utvide kunnskapen om de fakta som paradigmet fremhever som spesielt relevante, styrke overensstemmelsen mellom disse dataene og paradigmets forutsigelser og klargjøre (formulere) selve paradigmet. Kuhn betegner det som et kjempestort opprydningsarbeid som beskjeftiger vitenskapsmannen gjennom hele hans karriere, og skriver selv:»normalvitenskapen har overhodet ikke som mål å frembringe nye teorier; faktisk blir det som ikke passer inn i formen oftest ikke lagt merke til.» (VRS s.359) Eksempler på denne typen arbeid kan være å bestemme størrelser som forskjellige stoffers elastisitet, tetthet og elektrisk ledninsevne eller stjernenes posisjoner på himmelhvelvingen. Forsøk på å øke omfangen og presisjonen av denne typen data utgjør en stor del av den vitenskapelige litteratur. Det å klargjøre (formulere) et paradigme innebærer arbeid som å bestemme

universelle konstanter og etablere universelle lover. Fys210 våren 2002 5 Det slående trekk ved normalvitenskapelig arbeid er at de sjelden eller aldri bidrar til viktige begrepslige eller målemessige nyvinninger, men like fullt er det viktig for vitenskapsmannen fordi denne typen arbeid bidrar til å øke paradigmets omfang og presisjon. Men hva skjer hvis det allikevel oppstår problemer? Hvordan forholder vitenskapsfolk seg til et uventet resultat som går på tvers av de rådende teorier? Anomalier i vitenskapen oppstår ved at noe går galt med normalvitenskapen, og Kuhn gir 3 ulike løsninger på det oppståtte problem. Den første og mest sannsynlige er at normalvitenskapen allikevel klarer å overvinne problemet. Ved andre anledninger er problemet så gjenstridig at forskerne lar det bero og overlater til fremtidige generasjoner med bedre og mer avanserte metoder å løse problemet. Siste mulighet er at problemet er så stort og omfattende at det kan betegnes som en krise og skaper et potensielt nytt paradigme. Vitenskapen bringes da tilbake til en situasjon ikke ulik den førparadigmatiske, hvor forskerne er usikre og det blir laget stadig laget nye versjoner av teorien. Et paradigmeskifte innen vitenskapen står i sterk kontrast til kumulative begivenheter innen normalvitenskapen og Kuhn betegner derfor en krise etterfulgt av et nytt paradigmes fremvekst for en vitenskapelig revolusjon. I følge Kuhn er det nettopp de vitenskapelige revolusjoner som bringer vitenskapen fremover, de er kort og godt en nødvendighet. Men hva skjer så med det gamle paradigmet og dets tilhengere? Svaret Kuhn gir er at det nye og gamle paradigmet inkommensurable. Forskere innenfor de to paradigmene vil uunngåelig snakke forbi hverandre i det hver av gruppene bruker sitt eget paradigme når de argumenterer for å forsvare det. Det vil derfor alltid være tilhengere av det gamle paradigmet som aldri vil godkjenne det nye. Det nye paradigmet kan bare vinne frem ved kamp og overtalelse, og den endelige seier er først et faktum i det alle tilhengere av det gamle paradigmet er dødd ut. Kuhn sammenlikner den vitenskapelige revolusjon med politiske revolusjoner, og på samme måte som at grunnloven danner fundamentet for politisk virksomhet er paradigmet grunnlaget for vitenskapelig arbeid. Politiske revolusjoner kommer i stand når det politiske fellesskap innser at de eksisterende institusjoner ikke lenger gir adekvate løsninger på problemer som institusjonen delvis selv har skapt. På lignende vis begynner vitenskapelige revolusjoner når selv bare en smal undergruppe i forskerfellesskapet blir klar over at et eksisterende paradigme ikke lenger løser problemer det selv har stilt. En vellykket revolusjon både innen vitenskapen og politikken vil følgelig føre til nye lover og institusjoner som angir nye spilleregler for det videre politiske og vitenskapelige arbeid. En konsekvens av Kuhns teorier om vitenskapelig utvikling er en fullstendig

6 Fys210 våren 2002 relativisme. Ethvert paradigme fastsetter reglene for vitenskapelig forskning og danner følgelig også målestokken for vitenskapelighet. Sett fra et paradigme blir all annen og alternativ forskningsvirksomhet ikke-vitenskapelig eller i det minste mindre vitenskapelig enn den utført innen paradigmet. Fra det andre paradigmet oppleves selvsagt situasjonen motsatt. Ethvert paradigme er sin egen målestokk. IKKE-LINEÆR MATEMATIKK, ET PARADIGMESKIFTE? Gitt de to innføringene i ikke lineær matematikk og Kuhns teorier for vitenskapelige fremskritt ønsker jeg nå å ta opp problemstillingen om hvorvidt den gryende interessen for kaos, fraktalgeometri og andre grener innen den ikkelineære matematikken tilfredstiller Kuhns kriterier for en vitenskapelig revolusjon. Som jeg etter hvert vil peke på er det flere trekk ved den historiske utviklingen som taler for nettopp dette. I sin bok»in the Wake of Chaos» tar professor og vitenskapsfilosof Stephen Kellert opp den historiske utviklingen av kaos teori. I motsetning til dem som mener at studier av ikke-lineære systemer, og da spesielt kaos, først ble mulig etter at digitale datamaskiner ble tilgjengelig for forskerne, påstår Kellert at dette ikke er tilfelle. Selv uten datamaskiner kan denne typen systemer studeres, og alt tidlig på 19 hundre tallet var det forskere som jobbet med enkle systemer med kaotisk oppførsel. Men til tross for imponerende vitenskapelig innsats ble ikke dette arbeidet anerkjent av samtiden, og rapportene ble snarere ignorert og glemt de første 60 årene av forrige århundre. Henry Poincaré regnes i dag for å være å være far til matematikken bak kaos teori. I sitt imponerende verk om himmellegemenes mekanikk fra 1892 presenterte han de første bevis på sensitiv avhengighet av initialbetingelsene. Disse oppdagelsene ble neglisjert av samtidige fysikere, men matematikere grep ideen og utviklet den videre. Ikke all matematikk har direkte relevans i studier av fysiske fenomener, og det kan derfor være fristende å hevde at til tross for at matematikken var tilgjengelig for studier av kaotiske fenomener er det ikke gitt at kaotiske fenomener spiller en vesentlig rolle i naturen. Studier av forskning utført i første halvdel av 19 hundre tallet viser derimot at kaotiske fenomener ble observert av fysikere. Apparatur for å studere disse fenomenene trenger ikke å være avansert og i en rapport utgitt i 1927 av Van der Pol og Van der Mark blir kaotiske fenomener i elektriske kretser for første gang observert. Datidens fysikere valgte imidlertid å se på dette som en sekundært fenomen og konsentrerte heller sin virksomhet rundt det regulære, forutsigbare og nyttige. Sammenlikner vi denne historiske utviklingen med Kuhns teorier for hvordan et paradigme definerer hva som er som er vitenskapelig arbeid vil vi kunne hevde at fysikere tidlig i forrige århundre ikke anerkjente Poincarés resultater fordi

Fys210 våren 2002 7 dette var utenfor deres paradigme. Poincarés samtidige fysikere la fokus på de lineære systemer, og selv om ikke alle ikke lineære systemer viser kaotisk oppførsel er de likevel en forutsetning for å oppdage og studere kaos. Gjennom sin utdanning lærte datidens fysikere å se etter regulære mønstre, lineær oppførsel og søke enkle eksakte løsninger på problemene. Kaotisk oppførsel passet ikke inn i dette verdensbildet. En viktig nøkkel i undertrykkelsen av andre og alternative syn på hva som er vitenskapelig virksomhet er læreboken og utdanningen av nye forskere. Gjennom læreboken får studenten sine første erfaringer med fagfeltet og dermed også sine første fordommer. Også Kuhn trekker frem betydningen av læreboken i oppdragelsen av nye kandidater og skriver:»men når det først finnes en lærebok kan den kreative vitenskapsmannen begynne sin forskning der læreboken slutter og slik utelukkende konsentrere seg om de mer subtile og vanskeligere aspekter» (VRS s. 31) Lærebøker i mekanikk viser tydelig hvordan den ikke lineære matematikken i første halvdel av forrige århundre ble undertrykt og Kellert oppgir at av bøker utgitt før 1949 er det bare 2 av i alt 19 lærebøker som nevner ikke lineære systemer. Den ene av dem viser til at ikke lineære systemer bare unntaksvis forekommer, mens den andre innrømmer at det er et viktig emne, men skriver»we shall not go into it in detail». Det kan på ingen måte stikkes under en stol at innføringen av digitale datamaskiner har hatt enormt mye å si for studier av ikke-lineære fenomener, og mange velger å omtale transistoren som den andre industrielle revolusjon. Fysikere hevder ofte at grunnen til at det tok 60 70 år før kaos ble oppdaget» og satt på dagsorden er nettopp at mange av disse systemene innebærer så mye arbeid at det kreves en datamaskin for å gjøre simuleringene som gjør det mulig å uttale seg om systemets oppførsel. Den som kanskje har gått lengst i denne argumentasjonen er John Franks som i et svar til James Gleicks bok»chaos, making a new science» hevder at kaosteori er å betrakte som et korrolar til den digitale revolusjon. Franks hevder at grunnen til at vi vet så mye mer om Lorentz attraktoren i dag enn for femti år siden er at det ikke var mulig med datidens teknologi å gjøre de mange numeriske beregningene. Videre hevder han også at den tilsynelatende eksplosjonen i oppdagelsen av kaotiske fenomener ikke er mer påfallende en om en hadde utstyrt tusenvis av biologer med mikroskop for første gang i historien. Sistnevnte ville utvilsomt innen kort tid ha oppdaget og registrert utallige typer bakterier, og interessen for feltet ville naturligvis også økt. James Gleick hevder på sin side, og som boktittelen antyder, at studiet av kaos er en ny vitenskap. Han påroper seg blant annet Kuhns teorier i denne

8 Fys210 våren 2002 påstanden. Gleick viser til hvordan pionerene innen kaos møtte motstand og fordommer fra andre fysikere, og hvordan studenter ble advart om at kaos og beslektede disipliner kunne skade deres akademiske karriere. Tross motstanden spredde interessen for disse fenomenene seg og da midten av 80 tallet var nådd hadde sentrale nøkkelpersoner gjennom akademisk diffusjon fått innflytelsesrike posisjoner innen universitetenes byråkrati. Sentre og institutter ble opprettet for å spesialisere seg innen ikke-lineær matematikk og komplekse systemer. Men hvorfor vokste interessen når så mange forhold var i mot den? Gleick trekker frem den klassiske pendelen som den nye vitenskapen laboratorie-rotte. Pendelen som så ofte ble regnet for å være selve symbolet på klassisk mekanikk. Når Galileo gjorde sine observasjoner av pendelen og konkluderte med at uavhengig av vinkel med loddlinjen vil en pendel alltid ha samme periode, så er dette bare tilnærmet riktig. Tilnærmet fordi Galileo hadde måtte se bort fra ikkelineariteter som han visste om: Friksjon og luftmotstand. Galileos teorier stemmer svært bra for små vinkler og i århundrene som fulgte valgte fysikere å se vekk fra disse små irrregularitetene. Verden var ikke perfekt. Men for de som ikke ville se bort var det en provoserende erkjennelse å gjøre. De innså at til tross for at fysikken hadde perfekt forståelse av mekanikken bak pendelens bevegelser, kunne dette likevel ikke brukes til å forutsi den langsiktige oppførselen. Selv om fysikerne hadde full forståelse av de mikroskopiske delene kunne man allikevel ikke si noe om den makroskopiske oppførselen. I 60- og 70-årene ble lignende erkjennelser gjort både innen væskedynamikk, elektriske kretser og lasere, og forskere verden over begynte å tvile. Det tradisjonelle måten å se ting ved først å isolere og studere mekanismer og deretter sette sammen bitene igjen begynte å bryte sammen. Kunnskap om de fundamentale likningene virket ikke lengre som den rette form for kunnskap. Er den lineære matematikken i krise? En forutsetning for en revolusjon av typen Kuhn skisserer er nettopp at det eksisterende paradigmet er oppe i en form for krise. Det kan være fristende å hevde at lineær matematikk ikke fungerer i beskrivelsen av komplekse systemer som f. eks. dyrebestander, vær og vind, biologiske prosesser etc og følgelig er klemt opp i et hjørne. Så enkelt er nok ikke bildet av situasjonen, for i mangelen av analytiske verktøy til å løse generelle ikke-lineære problemer blir mange forskere tvunget til å bruke nettopp lineær matematikk i et forsøk på å kunne si noe som helst om systemets fremtidige oppførsel. I stabilitetsanalysen av ikke-lineære systemer er lineære verktøy helt uunnværlig i arbeidet, og selv datamaskiner, som ofte brukes i behandlingen av ikke-lineære systemer, er et resultat av lineær forskning. Vesentlig er det også å skille mellom matematikk som disiplin og fysikk som studiet av naturen. For matematikkens del er lineær matematikk et felt hvor det ikke ventes noen store omveltninger, i hvert fall hvis vi velger å holde oss til differensiallikninger. Feltet er på sett og vis et ferdig skrevet kapittel og et viktig verktøy for andre studier, som f. eks. ikke-lineær matematikk. Ikke-lineær

Fys210 våren 2002 9 matematikk og kaos har i dag mye større oppmerksomhet blant matematikere og det jobbes blant annet hardt med å utvikle analytiske metoder til å behandle disse likningene med. Håpet om å kunne løse generelle ikke-lineære problemer eksakt lever fremdeles. Fysikken er på sin side bruker av matematikk, og selv om det som nevnt er en rekke systemer som ikke lar seg beskrive lineært kan mange likevel løses på denne måten. Tatt i betraktning at det meste av dagens teknologi er bygget på lineær matematikk står det ikke til å nekte at dette har vært en stor suksess. I motsetning til matematikere jobber ikke fysikere i samme grad med å finne eksakte løsninger på problemene. Et av hovedproblemene med ikke-lineære likninger er nemlig at superposisjonsprinsippet bryter sammen, og fysikere velger oftest å linearisere problemet for å beholde denne egenskapen. Men finnes det fremdeles utfordringer for det lineære verdensbildet? Ser vi på utviklingen av det lineære systemet fra reelle tall til komplekse, videre til vektorer, matriser og til slutt operatorer er det ingen ting som tyder på at dette er en blindvei, og det kan fremdeles dukke opp nye og helt ukjente fenomener som utmerket godt lar seg beskrive lineært. Det kan for den saks skyld også tenkes en økt kompleksitet innen det lineære. Etter min mening er kaos og beslektede fenomener ikke noe nytt paradigme som på noe vis konkurrerer med det eksisterende lineære. Jeg velger snarere å se det som et komplementerende paradigme som utfyller det eksisterende. Den påståtte revolusjon tror jeg ikke vil finne sted før den nye matematikken kan by på blant annet teknologisk anvendelse. Dagens samfunn er totalt avhengig av teknologi og når Kuhn påstår at et nytt verdensbilde ofte medfører et skritt tilbake før nye resultatet kan frembringes tror jeg nettopp at dette blir fellen for ikke-lineær matematikk. Fraktalgeometri kan brukes til å lage flotte bilder av 3D landskap, men er lite til hjelp i designet av en bil. Sammen med tidligere nevnte grunner tror jeg at derfor lineær matematikk vil bestå, i hvert fall inntil videre, og sammen med ikke-lineær matematikk (med og uten kaos) danne grunnlag for vår forståelse av naturen. Den historiske utvikling viser helt klart at kaos tidlig i forrige århundre stod utenfor det da aksepterte paradigmet. Dette har som påpekt nok mange forklaringer, både sosiale, teknologiske og matematiske. Datamaskinene endret på dette og studier av kaotiske fenomener kom på dagsordenen. Jeg velger heller å se interessen for å studere denne typen fenomener i kjølvannet av den digitale datamaskinen som en genuin interesse for feltet enn en innrømmelse av at ikkelineære problemer ikke lenger var til å unngå. Tross alt hadde man lenge vært klart over likninger av denne typen og likninger opp til og med 4. grad hadde kjente løsninger i tillegg til en rekke spesialtilfeller. Ikke-lineære problem var på ingen måte noen ny oppfinnelse. F. eks. er Eulers likning, en av hovedlikningene innen hydroakustikken, fra slutten av 17 hundre tallet notorisk ikke-lineær i det

10 Fys210 våren 2002 den uttrykker Newtons kraftlikning for en væske. Denne likningen har det alltid vært arbeidet med, men i mangel av måter å løse den på ble linearisering og perturbasjon veien å gå. Det som var nytt på 60 og 70 tallet var oppdagelsen av kaos og sensitiv avhengighet av initialbetingelsene, og jeg er enig i at dette er en ny form for vitenskap ulik den vi har drevet. Men den kommer ikke til å ta over for den vi har. Den "nye vitenskapen" er slik jeg ser det kommet for å bli, og vil etter hvert bringe oss mange og nyttige resultater. Selv om det per dags dato ikke eksisterer noe matematisk verktøy som kan gi eksakte løsninger har bruken av datamaskiner til å lage plott over løsningene i faserommet gitt mye verdifull informasjon. Informasjon som i sin tur kan brukes til å konstruere broer, veier etc slik at disse blir stadig bedre. ETTERORD Det kan være fristende å komme med noen ord helt på slutten om hvordan jeg opplever min egen utdanning i lys av den nye innsikten jeg har fått under arbeidet med denne oppgaven. Det er nevnt i oppgaven at unge fysikere før ble frarådet å studere kaos og ikke-lineær matematikk, og at lærebøkene gav et ensidig bilde som bare inneholdt lineære fenomener. Hvordan er det så i dag? For å begynne med det første sist så vil jeg på ingen måte hevde at unge mennesker som ønsker å jobbe med naturvitenskap blir frarådet å studere ikkelineære systemer eller kaos. Snarere tvert om så er ikke-lineære fenomener noe som det svært ofte jobbes med innen for mange felt. Innen mitt eget felt som er eksperimentell partikkelfysikk er f. eks ikke-lineære fenomener bygget inn i nye simuleringsprogram av typen Monte Carlo. Men de ikke-lineære problemene har jeg erfart at studenter flest først møter på hovedfagsnivå, og bare svært få jobber med likninger som har sensitiv avhengighet av initialbetingelsene. Kaos er ikke felt det undervises i ved UiB, ihvertfall tilbys det ikke noen kurs på feltet. Nå skal sies i denne sammenheng at Fysisk Institutt ved UiB ikke er spesielt stort og følgelig heller ikke kan ta mål av seg å arbeide med alle fysikkens fagfelt. Lærebøkene som brukes til grunnkurs er alle som en basert på lineære problemer, og den nye emnegruppen i fysikk ved UiB er ikke noe unntak. Verken kaos eller sensitiv avhengighet av initialbetingelsene er nevnt her med et eneste ord. Slik sett lever kaos enda litt på siden, men dette er bare et lite institutt i en hel verden av fysikere og hvordan det samlede bildet blir vet jeg ikke noe om.