3. Betinget sannsynlighet Oppgave 3.0 På en skole er det 20 elever på vg2. 72 elever har valgt matematikkfaget R og 34 elever har valgt kjemi Blant de 72 som har valgt R, er det 28 som har valgt kjemi Vi trekker en tilfeldig elev og innfører hendingene R: Eleven har valgt R K: Eleven har valgt kjemi Finn P( R) 72 PR ( ) 20 3 PR ( ) 5 Finn P( R K) PA ( B) PA ( ) PB ( A) PR ( K) PR ( ) PK ( R) 3 28 PR ( K) 5 72 3 7 PR ( K) 5 8 2 PR ( K) 90 7 PR ( K) 30 Finn P( R K) 28 PR ( K) 34 4 PR ( K) 7 Finn P( K R) PA ( B) PAB ( ) PB ( ) PR ( K) PK ( R) PR ( ) 7 3 PK ( R) : 30 5 7 5 PK ( R) 6 30 3 7 PK ( R) 6 3 7 PK ( R) 8
Oppgave 3. For en tilfeldig valgt familie med to barn har vi definert disse hendingene A: Ett barn er jente, og ett barn er gutt. B: Det eldste barna er en gutt C: Minst et av barna er gutt Regn ut P(A) P( A) P( Gutt) P( Jente) PA ( ) 2 2 PA ( ) 4 Regn ut P(B) PA ( ) PA ( ) P(B)= 2 P(B)= 2 Regn ut PAB ( ) PA ( ) PB ( A) PAB ( ) PB ( ) PAB ( ) : 2 2 2 PAB ( ) : 4 2 2 PAB ( ) : 4 2 PAB ( ) 4 PAB ( ) 2 Regn ut PC ( ) PC ( ) PC ( ) PC ( ) P(Gutt) P(Jente) PC ( ) 2 2 PC ( ) 4 PC ( ) 3 4
Oppgave 3.2 Arne og bent er sammboere. Sannsynligheten for at berit fra skolen en tilfeldig valgt dag er 0. Sannsynligheten for at begge to er borte fra skolen er 0.06. Finn sannsynligheten for at arne er borte fra skolen når vi vet at Berit er borte. PA ( B) PAB ( ) PB ( ) 0.06 PAB ( ) 0. PAB ( ) 0.6 Sannsynligheten for at Arne er borte når vi vet at Berit er borte er 0.6 Oppgave 3.3 Martin og Ida trekker hvert sitt kort fra en kortstokk. Finn sannsynligheten for at begge trekker honnørkort (Ess, konge, dame, knekt) 6 5 P( Martin) P( Ida) 52 5 240 P( Martin) P( Ida) 2652 20 PMart ( in) P( Ida) 2 20 Sannsynligheten for at både martin og ida trekker honnørkort er 0,09478 2
Oppgave 3. 4 I et idretslag er 30% av medlemmene hånballspillere. En dag bruker 4% av medlemmene krykker. Blant Håndballspillerene er det 0% som bruker krykker Vi trekker tilfeldig en person fra idretslaget a) Finn sannsynligheten for at personen er en hånballspiller 30 P(H)= 00 3 PH ( ) 0 3 Sannsynligheten for at personen er en håndballspiller er 0.3 0 b) Finn sannsynligheten for at personen er hånballspiller når vi vet at personen bryker krykker PH ( K) = PH ( K) PK ( ) PH ( PH ( ) PK ( H) K) = PK ( ) PH ( 0.30. K) = 0.04 PH ( 0.03 K) = 0.04 3 PH ( K) 0.75 75% 4 Sannsynligheten for at en person er håndballspiller gitt krykker er 0.75
Oppgave 3. 5 I Trangedal er sannsynligheten for at sola skinner en tilfeldig dag i juli lik 0.45. Sannsynligheten for at temperaturen er over 25 C, er 0.25. Hvis sola skinner, er sannsynligheten for at temperaturen er over 25 lik 0.50 a) Finn sannsynligheten for at det en tilfeldig dag i juni er solskinn og over 25 C PA ( B) PA ( ) PB ( A) PS ( T) PS ( ) PT ( S) PS ( T) 0.45 0.50 9 PS ( T) 0.225 22.5% 40 Sannsynligheten for at den er sol og over 25 C en tilfeldig dag er 0.225 b) Finn sannsynligheten for at sola skinner en dag når temperaturen er over 25 C PA ( B) PAB ( ) PB ( ) PS ( C) PS ( C) P( C) 0.225 PS ( C) 0.25 9 PS ( C) 0.90 90% 0 Sannsynligheten for at solen skinner når temperaturen er over 25 C er 0.90
Oppgave 3.20 På en skole er 40% av elevene jenter 20% av jentene får 5 eller 6 i matematikk 5% av guttene får 5 eller 6. M 5 eller 6 i matte J G jente gutt Hvor mange prosent av elevene får 5 eller 6 i matte? PM ( ) PJ ( ) ( M J) PG ( ) ( M G) PM ( ) 0.40.2 0.60.5 PM ( ) 0.08 0.09 PM ( ) 0.7 7% av elevene får 5 eller 6 i matte
Oppgave 3.2 I et området er av befolkningen vaksinert mot en sykdom. 5 Blant de vaksinerte er sannsynligheten for at en tilfeldig person får sykdommen. 50 Blant dem som ikke er vaksinert, er sannsynligheten. 0 Finn sannsynligheten for at en tilfeldig person får sykdommen PS ( ) PV ( ) PS ( V) PV ( ) PS ( V) 4 PS ( ) 5 50 5 0 4 PS ( ) 250 50 20 PS ( ) 250 250 2 PS ( ) 0.084 250 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person er syk er 0.084
Oppgave 3.22 La oss tenke oss at av alle bilister på en vei kjører med promille. 00 Blant disse er det som kjører over 00 km / h. Blant de andre er det som 5 25 Kjører over 00 km / h. 'Hvor stor andel av bilistene kjører over 00 km / h. PF ( ) PA ( ) ( F A) PA ( ) ( F A) 99 PF ( ) 00 5 00 25 99 PF ( ) 500 2500 5 99 PF ( ) 2500 2500 04 PF ( ) 2500 26 PF ( ) 0.046 4.6% 625 Sannsynligheten for at en bilist kjører for fort er 26 625
Oppgave 3.23 La A, B og C være tre hendinger som omfatter alle de mulige utfallene i et førsøk. La D være en vilkårlig hendin i forsøket vis at PD ( ) PA ( ) PD ( A) PB ( ) PD ( B) PC ( ) PD ( C)
Oppgave 3. 23 I et medisinsk forsøk for halvparten av pasientene tabletter med virkestoff A en tredjedel får tabletter med virkestoff B, og resten får tabletter uten virkestoff. Det viser seg at 40% avpasientene som får virkestoff A blir friske 25% av dem som får virkestoff B blir friske. Av dem uten virkestoff blir 20% friske PF ( ) PA ( ) PF ( A) PB ( ) PF ( B) PC ( ) PF ( C) 2 PF ( ) 2 5 3 4 6 5 2 PF ( ) 0 2 30 PF ( ) 5 2 30 2 5 2 PF ( ) 60 60 60 9 PF ( ) 0.366... 60 9 Andelen av pasienter som blir friske er 60
Oppgave 3. 23 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har sykdom A er 0.04 Sannsynligheten for at en person har sykdom B er 0.05 Sannsynligheten for at en person som har sykdom B også har syk dom A er 0.20 a) Finn sannsynligheten for at person som har sykdom A også har sykdom B ( B) ( A B) PB ( A) ( A) 0.050.20 PB ( A) 0.04 0.0 PB ( A) 0.04 PB ( A) 0.25 Sannsynligheten for at en person som har sykdom A også har sykdom B er 0.25 b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har begge sykdommene PA ( B) PA ( ) PB ( A) PA ( B) 0.040.25 PA ( B) 0.2 Sannsynligheten for at en person har begge sykdommene er 0.
Oppgave 3. 3 Frida Ford har to gamle biler som det er vanskelig å starte i kaldt eller fuktig vær Sannsynligheten for at den første bilen ikke starter på en tilfeldig valgt dag er 0.5 Sannsynligheten for at den andre ikke starter, er 0,20 Sannsynligheten for at den første ikke starter når den andre ikke starter er 0.60 PA ( ) 0.5 PB ( ) 0.20 PAB ( ) 0.60 a) Finn sannsynligheten for at den andre bilen ikke starter når den første ikke starter. PB ( ) PA ( B) PB ( A) PA ( ) 0.200.60 PB ( A) 0.5 0.2 PB ( A) 0.5 PB ( A) 0.8 Sannsynligheten for at den andre ikke starter når den første ikke starter er 0.8 b) Finn sannsynligheten for at ingen av bilene starter PA ( B) PB ( ) PAB ( ) PA ( B) 0.200.60 PA ( B) 0.2 Sannsynligheten for at ingen av bilene starter er 0.2
Oppgave 3. 32 Et politikammer har funnet ut at på en veistrkning er sannsynligheten 0.20 for at en tilfeldig valgt bilist kjører over 90 km/h. Sannsynligheten er 0.4 for at en bilist er påvirker av alkohol, narkotika eller medisin. Sannsynligheten for at en persom som kjører for fort, er påvirket av narkotika er 0.0 P(A)=0.20 P(B)=0.4 P(B A)=0. a) Finn sannsynligheten for at en persom som er påvirket, også kjører for fort. PB ( ) PA ( B) PB ( A) PA ( ) 0.40. PB ( A) 0.20 0.04 PB ( A) 0.20 PB ( A) 0.2 Sannsynligheten for at en person som er påvirket også kjører for fort er 0.2 b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig bilist både kjører for fort og er påvirket. PA ( B) PAB ( ) PB ( ) PA ( B) 0.40. PA ( B) 0.04 Sannsynligheten for at en tilfeldig bilist både kjører for fort og er påvirket er 0.04
Oppgave 3. 33 På en skole er det 60% jenter og 40% gutter Blant jentene er det 8% som har hatt kyssesyke. blant guttene har 6% som har hatt kyssesyken. 2% av alle elevene på skolen har mer enn 0 dage rs fravær Blant dem som har hatt kyssesyke så er det 60% som har hatt mer enn 0 dagers fravær. a) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig elev har kyssesyken 6 8 4 6 PK ( ) 0 00 0 00 6 8 4 6 PK ( ) 0 00 0 00 3 2 2 3 P( K) 5 25 5 50 6 6 PK ( ) 25 250 2 6 PK ( ) 250 250 8 PK ( ) 250 9 PK ( ) 25 9 Sannsynligheten for at en elev har kyssesyken er 25 b) Finn sannsynligheten for at en elev har hatt kyssesyke når vi vet at eleven har hatt mer enn ti dagers fravær PK ( ) PF ( K) PK ( F) PF ( ) 9 60 PK ( F) 25 00 2 00 9 3 3 PK ( F) : 25 5 25 27 25 PK ( F) 625 3 9 PK ( F) 25 9 PK ( F) 25 Sannsynligheten for at en elev har som 9 har mer enn 0 dagers fravær har kyssesyken er 25
Oppgave 3.34 I denne oppgaven kan du bruke formelen i oppgave 3.23 På et tidspunkt blir alle heroinbrukere i et sammfunn registrert. får behandling med metadon, får behandlig uten metadon, og resten 3 4 3 får ingen behandling. Blant dem sim fikk metadonbehandling, er stoffri 4 2 etter år. Av dem som fikk behanlding uten metadon er stoffri 5 Av dem som ikke fikk behandling er det som ikke bruker heroin etter et år. 0 a) Hvor stor del av alle brukerene er stoffrie etter et år? PF ( ) PA ( ) PF ( A) PB ( ) PF ( B) PC ( ) PF ( C) 3 2 5 PF ( ) 3 4 4 5 2 0 3 2 5 PF ( ) 2 20 20 PF ( ) 4 0 24 30 2 5 PF ( ) 20 20 20 47 PF ( ) 20 47 Andelen av heroinbrukere som er stoffri etter et år er 20 b) Hvor stor er sannsynligheten for at en person har fått metadon hvis vi vet at han er blitt stoffri i løpet av et år? PM ( ) PF ( M) PM ( F) PF ( ) 3 47 PM ( F) : 3 4 20 3 20 PM ( F) 2 47 20 PM ( F) 4 47 30 PM ( F) 47 30 PM ( F) 47 Sannsynligheten for at en person som er stoffri etter et år har fått metadon behandling er 0 47
Oppgave 3.40 Vi trekker et korrt fra en vanlig kortstokk og definerer hendingene A: Kortet er en spar B : korter er et honnørkort Undersøk om A og B er uahengige hendinger PA ( B) PA ( ) P( B A) 3 4 PA ( B) 52 3 4 PA ( B) 4 3 4 PA ( B) 52 PA ( B) 3 PA ( B) PA ( ) PB ( ) 3 6 PA ( B) 52 52 4 PA ( B) 4 3 PA ( B) 3 PA ( B) 3 Hending A og hending B er uavhengige hendinger
Oppgave 3.40 For to uavhengige hendinger A og B er P( A) 0. og P( B) 0.2 Finn PAB ( ) PA ( ) PB ( A) PAB ( ) PB ( ) 0.0.2 PAB ( ) 0.2 0.02 PAB ( ) 0.2 PAB ( ) 0. Finn PB ( A) PB ( ) PA ( B) PB ( A) PA ( ) 0.20. PB ( A) 0. 0.02 PB ( A) 0. PB ( A) 0.2 Finn PA ( B) PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 0.0.2 PA ( B) 0.02
Oppgave 3.40 Peder ås kan ta buss eller tog når han skal på jobb. Sannsynligheten for at bussen er forsinket er 0.5. Sannsynligheten for at toget er forsinket er 0.6 Sannsynligheten for at både bussen og toget er forsinket er 0.024. Er bussen og toget forsinket uavhengig av hverandre? PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 0.50.6 PA ( B) 0.024 Bussen og toget er forsinket uavhengig av hverandre. Oppgave 3.43 I et samfunn er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt gift mann har vært utro lik 0.4 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt dame er 0.25. Sannsynligheten for at begge gar vært ut ro er 0.2 Er mannen og kona utro uavhengig av hverandre i dette samfunnet? PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 0.40.25 PA ( B) 0. Mannen og kona er ikke utro uavhengig av hverandre i dette samfunnet.
Oppgave 3. 44 En turoperatør arrangerer turer til fjernistan. På disse turene er sannsynligheten for å bli syk og sannsynligheten er for å bli ranet. Sannsynligheten for å bli 5 6 både syk og ranet er 2 5 a) Finn sannsynligheten for at en person som blir ranet, også blir syk. PA ( B) PAB ( ) PB ( ) PS ( R) PS ( R) PR ( ) PS ( R) : 25 6 6 PS ( R) 25 6 PS ( R) 25 Sannsynligheten for å bli syk når man har blitt ranet er 6 25 b) Finn sannsynligheten for at en person som er blitt ranet, også blir syk. PA ( B) PAB ( ) PB ( ) PR ( S) PR ( S) PS ( ) PR ( S) : 25 5 5 PR ( S) 25 5 PR ( S) 25 PR ( S) 5 6 Sannsynligheten for å bli ranet når man er syk er 25 c) Er det å bli ranet og det å bli syk uavhengige hendelser? PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 5 6 PA ( B) 30 Sannsynligheten for å bli ranet og å bli syk er ikke uavhengige hendelser
Oppgave 3.45 Et ektepar har fire barn. Sannsynligheten for å få gutt er 0.53 a) Finn sannsynligheten for at de har 4 gutter n k nk PG ( ) p q k 4 PG 4 4 ( ) 4 0.53 0.487 4 ( ) 4 0.53 PG 44 0.0692579 Sannsynligheten for at de har 4 gutter er 0.069 b) Finn sannsynligheten for at de har 3 gutter og ei jente n pq k nk k 4 3 43 P(3G J) 0.53 0.487 3 432 P(3G J) 0.53 0.487 32 P(3G J) 40.53 0.487 P(3G J) 40.53 0.487 3 3 3 P(3G J) 0.26299 Sannsynligheten for å få 3 gutter og jente er 0.263
Oppgave 3.45 Helge Heldig kjøper lodd i tre forskjellige lotteri. Sannsynligheten for å vinne i det første lotteriet er 0.2. Sannsynligheten for å vinne i det andre lotteriet er 0.5. Sannsynligheten for å vinne i det tredje lotteriet er 0. a) Hva er sannsynligheten for at helge vinner på alle loddene? PA ( BC) PA ( ) PB ( ) PC ( ) PA ( BC) 0.20.50. PA ( BC) 0.003 Sannsynligheten for at helge heldig vinner på alle loddene er 0.003 b) Hva er sannsynligheten for at helge ikke vinner på noe lodd PA ( BC) PA ( ) PB ( ) PC ( ) PA ( BC) 0.80.850.9 PA ( BC) 0.62 Sannsynligheten for at helge ikke vinner på noet lodd er 0.62 c) Finn sannsynligheten for at helge vinner på minst et lodd. PV ( ) PA ( BC) PA ( BC) PA ( BC) PA ( BC) PA ( BC) PA ( BC) PA ( BC) PV ( ) (0.20.850.9) (0.80.5.0.9) (0.80.850.) (0.80.50.) (0.20.850.) (0.20.50.9) (0.20.50.) PV ( ) (0.53) (0.08) (0.068) (0.02 (0.07) (0.027) (0.03) PV ( ) 0.388 PA ( ) PA ( ) PV ( ) P( ABC) PV ( ) 0.62 PV ( ) 0.388 Sannsynligheten for å vinne på minst et av lodene er 0.388 d) Finn sannsynligheten for at han vinner på nøyaktig et lodd. PA ( BC) PA ( BC) PA ( BC) PA ( BC) PA ( BC) (0.20.850.9) (0.80.5.0.9) (0.80.850.) PA ( BC) (0.53) (0.08) (0.068) PA ( BC) 0.329 Sannsynligheten for at han vinner på akkurat et lodd er 0.329
3.50 Petter har fem bukser, fire skjorter og tre jakker. Han skal velge antrekk som består av ei bukse, ei skjorte, og ei jakke. Hvor mange mer eller mindre smakfulle antrekk kan han sette sammen? K 54 3 K 60 Petter kan sette sammen 60 mer eller mindre smafulle antrekk 3. 5 Hvor mange koder med 5bokstaver kan vi sette sammen av bokstavene A, B, C, D, E, F? Hver bokstav kan gjerne bli benyttet flere ganger K 66666 K 7776 Vi kan lage 7776 koder med 5 bokstaver. 3. 52 Hvor mange siffer mellom 0 og 00 inneholder bare siffrene, 3 og 5?,3,5,,3,5,3,33,35,5,53,55 2 tall mellom 0 og 00 inneholder bare tallene 3 og 5 Hvor mange siffer mellom 0 og 00 inneholder bare siffrene, 3 og 5? 3 5 3 33 35 5 53 55 3 33 35 33 333 335 35 353 355 27 5 53 55 53 533 535 55 553 555 K ( 00) (0000) K 2 27 K 39 Antall tall mellom 0 og 000 som bare inneholder siffrene, 3 og 5 er 39
3.52 Hvor mange forskjellige bilnummer går det ann å sette sammen i norge når bilnummeret skal bestå av to bokstaver fra det engelske alfabetet og deretter et 5sifret tall? K K( Bokstaver) K( Tall) K (2626) (90000) K 67690 000 K 60 840 000 Vi kan lage 60 840 000 forskjellige bilnummer i Norge Opgv p ae3.54 Hvor mange minibank koder har bare forskjellige siffer? K( Forskjellige) 0987 K( Forskjellige) 5040 Det er 5040 minibankkoder som bare har forskjellige siffer Oppgave 3. 55 Du skal sette sammen en kode at et bestemt antal bokstaver fra det norske alfabetet. Hver innbygger i norge skal ha sin egen kode der ingen bokstaver skal brukes mer enn gang 2928272625=4 250 600 Koden må bestå av 5 siffer Oppgave 3.56 På en fest finnes det 6 gutter og 9 jenter. Hvor mange forskjellige par av gutt og jente kan vi få til 9 6 9! (9 6)! 9! 3! 98765432 32 K 987654 K 60 480 Det finnes 60 480 forskjellige par av gutt og jente
3.57 a) Hvor mange sekssiffrede tall er sammensatt av bare forskjellige tall? 998765 36 080 b) Hvor mange sekssifrede tall har minst to like tall? 0000 998765 36080 K(2 ) 90 K(2 ) 900000 K(2 ) 763920 Det finnes 763920 sekssiffrede tall som har minst to like tall 358. Nina har invitert 9 gjester til fest. Hvor mange mulige bordplasseringer gir det? Plasseringer 0! Plasseringer 098765432 Plasseringer 3628800 0 personer gir 3628800 bordplasseringer 3.59 Et fotballag med spillere skal stille på rekke. a) Hvor mange måter kan vi gjøre dette på M! M 0987 65432 M 3996800 Vi kan stille opp laget på 39 96 800 b) Målmannen nekter å stå først eller sist i rekka. Hvor mange måter kan vi da stille opp laget?!! M! 39 96 800 39 96 800 M 39 96 800 M 39 96 800 36 288 00 36 288 00 M 32 659 200 Vi kan stille opp laget på 32 659 200 om målmannen nekter å stø først eller sist
3.60 En elev skal velge 5 matematikk oppgaver blant 9 Hvor mange kombinasjoner 9 K 5 9! K (9 5)!5! 9! K (4!)!5! 98765432 K (432)(5432) 9876 K 432 K 3273 K 26 Det finnes 26 forskjellige kombinasjoner der han velger 5 av 9. 3. 6 I en klasse med 27 elever skal 4 rydde i kantina. Hvor mange måter kan vi gjøre dette på? 27 K= 4 27! K 4!(27 4)! 27! K 4!(23)! 27 262524 K 432 K 93256 K 7550 Det finnes 7550 forskjellige måter du kan velge 4 til å rydde i kantinen.
Oppgave 3.62 I en bokhylle står det 5 bøker a) Hvor mange kombinasjoner er det om vi velger 5 bøker? 5 K= 5 5! K= 5!(5 5)! 5! K= 5!(0)! 5432 K= 5432 K=373 K 3004 Vi kan velge 5 bøker av 5 på 3004 måter a) Hvor mange kombinasjoner er det om vi velger 0 bøker? 5 K= 0 5! K 0!(5 0)! 5! K 0!(5)! 543209876 K 0987 65432 5432 K 5432 K=373 K 3004 Vi kan velge 0 bøker av 5 på 3004 måter c) Smmenlign svarene i oppgave a og oppagev b. Kan du forklare hva du ser? Det å velge 0 ut av 5 bøker er det samme som å velge bort 5 bøker av 5
36. 4 I et idretslag er det 20 skiløpere. Det er 2 gutter og 8 jenter. De skal still et lag i stafett der det skal være tre gutter og to jenter. Hvor mange forskjellige lag er det mulig og ta ut? 2 8 K=. 3 2 20 87 K= 32 2 K=4547 K 660 Det er mulig å ta ut 660 lag 3.64 Et fotballag har 3 målmenn og 5 utespillere. I en startoppstilling er det målmann og 0 utespillere. Hvor mange forskjellige lagoppstillinger kan vi få til hvis vi tenker oss at alle utespillerene kan spille overalt på banen? 3 5 K= 0 54320987 6 K=3 098765432 5432 K=3 5432 K=337 3 K 9009 Om spilleren kan spille overalt på banen er det 9009 lagoppstillinger 3.66 Et fotballag har 3 målmenn, 6 forsvarspillere, 7midtbanespillere og 4 spisser. Hvor mange forskjellige lagoppstillinger kan de få til når de skal ha målmann, 4 forsvarspillere, 4 midtbanespillere og 2 spisser? 3 6 7 4 K 4 4 2 3 6543 7654 43 K 432 432 2 65 765 43 K 3 2 3 2 2 K 3 35 75 23 K 9450 De kan få til 9450 forskjellige lag oppstillinger
3.70 Vi kjøper en pakke med frø. På pakken står det at 80% av frøene spirer. Vi planet 20 slike frø. a) Hvor mange frø tror du kommer til å spire? PS ( ) 2080% 4 PS ( ) 20 5 20 4 PS ( ) 5 PS ( ) 44 PS ( ) 6 Jeg tror at 6 frø kommer til å spire. b) Finn sannsynligheten for at 6 frø spirer n pq k k nk 6 4 20 4 P(6) 6 5 5 6 6 4 20! 4 P(6) 6!4! 5 5 20987 4294967296 P(6) 432 52587890625 625 4294967296 P(6) 5937 9536743640625 4294967296 P(6) 4845 9536743640625 46823309824 P(6) 907348632825 P(6) 0.28994094600532 Sannsynligheten for at 6 frø spirer er 2,8% c) Finn sannsynligheten for at 5 frø spirer n pq k k nk 5 5 20 4 P(5) 5 5 5 5 20! 4 P(5) 5 5 5!5! 5 5 209876 07374824 P(5) 5432 305757825 325 07374824 P(5) 9 37 6 9536743640625 07374824 P(5) 5504 9536743640625 6647293239296 P(5) 9536743640625 P(5) 0.745595255688042496 Sannsynligheten for at 5 frø spirer er ca 7. 4%
Oppgave 3.7 Monoukleose Monoukleose kalles også kyssesyke eller kjertelfeber. Det er en sykdom som særlig rammer ungdom mellom 5 og 25år. Omtrent 5% av alle ungdommer får denne sykdommen. Vi velger tilfeldig 40 personer over 25år og lar X være antallet på personer som har hatt kyssesyken a) Forklar hvorfor vi kan bruke en binomisk mod ell Vi kan bruke en binomisk modell siden sannsynligheten for at en person har kyssesyken ikke påvirker at en annen har sykdomen. Vi sier at forsøkene er uavhengige og at sannsynligheten er konstant b) For hvilke verdi av K tror du at P(X=k) er størst? S 405% 5 S 40 00 3 S 40 20 20 S 20 S 6 Jeg tror at det er størst sannsynlighet for at 6 personer har hatt kyssesyken c) Finn sannsynligheten for at 6 personer har hatt kyssesyken. n pq k nk k 40 6 406 P(6) 0.5 0.85 6 40! P(6) 0.5 0.85 6!(40 6)! 6 34 40! P(6) 0.0000390625 0.00398330420 6!(34)! 40393837 3635 P(6) 0,0000000453723244 65432 P(6) 2 3 9 37 6 35 0,0000000453723244 0,0000000453723244 P(6) 3838380 P(6) 0,745622260 Sannsynligheten for at 6 personer har hatt kyssesyken er 0.74
d) Finn sannsynligheten for at 5 personer har hatt kyssesyken. n pq k nk k 40 5 405 P(5) 0.5 0.85 5 40! P(5) 0.5 0.85 5!(40 5)! 6 34 40! P(5) 0.0000390625 0.00398330420 5!(35)! 4039383736 P(5) 0.0000000453723244 5432 P(5) 839379 0,0000000453723244 P(5) 658008 0,0000000453723244 P(5) 0.69803305 Sannsynligheten for at 5 personer har hatt kyssesyken er 0.0.69 e) Finn sannsynligheten for at 7 personer har hatt kyssesyken. n pq k nk k 40 7 407 P(7) 0.5 0.85 7 40! P(7) 0.5 0.85 7!(40 7)! 7 33 40! P(7) 0.0000070859375 0.004686240236 7!(33)! 40393837363534 P(7) 0,0000000453723244 765432 P(7) 85339377 0,0000000453723244 P(7) 8643560 0,0000000453723244 P(7) 0.492767622 Sannsynligheten for at 7 personer har hatt kyssesyken er 0.49
Oppgave 3.72 I denne oppgaven regner vi med at sannsynligheten er 0.3 for at en tilfeldig valgt 80 åring lever til han blir 90 år. V plukker ut ti 80 åringer. a) Finn sannsynligheten for at ingen av dem blir 90 år n pq k nk k 0 P(0) 0.3 0.7 0 P(0) 0.7 0 00 0 P(0) 0.0282475249 Sannsynligheten for at ingen av dem blir 90 år er 0.028 b) Finn sannsynligheten for at en av dem blir 90år n pq k nk k 0 P() 0.3 0.7 P() 0 0.3 0.7 9 00 P() 00.30.040353607 P() 0.2060820 Sannsynligheten for at en av dem blir 90 år er 0.2 c) Finn sannsynligheten for at nøyaktig to av dem blir 90år n k nk pq k 0 2 02 P(2) 0.3 0.7 2 0! 2 8 P(2) 0.3 0.7 2!8! 09 P(2) 0.090.0576480 2 P(2) 45 0.09 0.0576480 P(2) 0,2334744405 Sannsynligheten for at nøyaktig to av dem blir 90 år er 0.023 d) Minst tre av dem blir 90år 0 0 x 0x 0.3 0.7 0.6727236 x3. x P( 3) P(0) P() P(2) P( 3) 0.0282475249 0.2060820 0,2334744405 P( 3) 0.382783 P( 3) 0.6727236 Sannsynligheten for at 3 eller flere blir 90 år er 0.67
Oppgave 3.72 I denne oppgaven skal vi tenke oss at de tre utfallene hjemmeseier, uavgjort og borteserier er like sannsynlige på en tippekupong med tolv kamper. Tante Mari leverer inn en tipperekke ei uke. Finn sannsynligheten for at tante Mari skal få a) Tolv rette 2 2 0 2 2 P(2) 2 3 3 P(2) 3 P(2) 5344 Sannsynligheten for å få 2 riktige er ca 0.00000887 b) Eleve rette 2 2 2 P() 3 3 2 P() 2 3 3 2 P() 2 7747 3 8 P() 7747 Sannsynligheten for å få riktige i tipping er 0.00004560 c) Ti rette 2 2 P(0) 0 3 3 0 20 0 2 2 P(0) 66 3 3 4 P(0) 2 7747 9 88 P(0) 7747 Sannsynligheten for å få 0 riktige i tipping er 0.00049676 d) færre enn ti i tipping 9 x0 2 2. x 3 3 x 2x 0.99946 P(<0) P(0) P() P(2) 88 8 P(<0) 7747 7747 5344 289 P(<0) 5344 5352 P(<0) 5344 P(<0) 0.99946 Sannsynligheten for at Tante marit får færre enn 0 rette er 0.99946
jklnfldk