FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA 1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 1. juni 2012 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator. Kvaløy & Tjelmeland: Statistiske tabeller. 4 sider (2 ark) egne notat. Oppgavesettet er på 13 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Georg Elvebakk Telefon: 77646532
VIKTIG: Du kan fritt bruke alle R-utskrifter, tabeller etc. som står bak i oppgavesettet. Men i disse utskriftene vil noen av tallene være erstatta av?. Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået tester være 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. Oppgave 1 I denne oppgava skal vi se på data fra en bedrift som produserer ulike ventiler til bruk i industrien. Ventilene blir produsert enkeltvis etter oppdrag, og det er veldig viktig at oppdragsgiveren får ventilen så raskt som mulig. Dataene nedenfor viser tid (i uker) over hvor lang tid det tok før oppdragsgiver mottok den bestilte ventilen. Vi ser på seks ulike typer ventiler, der den ene er en kontrolltype (type K, gammel modell) og de fem andre er nyutviklede modeller (A, B, C, D, E). Vi kaller ventetidene for Y ij, det er 6 typer (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), og i tilleg har vi informasjon om på hvilken ukedag bestillinga kom (j = 1, 2, 3, 4, 5): Ventiltype Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag y i K 1.6 1.8 1.0 1.8 2.0 1.64 A 2.2 2.0 1.8 2.2 2.4 2.12 B 1.3 1.4 1.0 1.4 1.5 1.32 C 1.8 1.5 1.6 1.6 1.8 1.66 D 2.5 2.4 2.0 1.8 2.2 2.18 E 0.8 1.0 0.8 0.6 1.2 0.88 Vi skal først lage en modell der vi ikke tar hensyn til ukedagene, bare ventiltypene. a) Sett opp en envegs variansanalysemodell modell for ventetidene som funksjon av ventiltype. Hva er forutsetningene i denne modellen? Skriv opp uttrykket for SS E, og forklar hvorfor SS E /σ 2 vil bli kikvadratfordelt med 24 frihetsgrader under nullhypotesen. Sett opp og utfør en test for om forventa ventetid er ulik for de seks ventiltypene. Bedriften mistenker at ventetida vil påvirkes av hvilken ukedag de mottok bestillinga. De plukka derfor ut tilfeldig valgte bestillinger med de ulike ventiltypene på alle ukedager. b) Sett opp en modell med både ventiltype og ukedag.. Utfør en test om om forventa ventetid er ulik for de seks ventiltypene. Utfør simultane tester for om de andre ventiltypene skiller seg fra kontrolltypen når det gjelder ventetid. 2
Oppgave 2 I denne oppgåva skal vi hjepe globetrotteren Fred med å analysere prisdata fra 21 byer i ulike deler av verden: By Y X1 X2 X3 X4 Luanda 4480 8.32 18.66 11.20 2.11 London 2500 10.80 14.99 3.97 0.76 Dublin 1051 9.20 14.01 6.26 0.85 Paris 1927 8.67 14.01 5.17 1.18 Roma 1576 6.57 19.18 5.17 1.44 Amsterdam 1051 8.76 15.75 5.12 0.87 Berlin 1051 7.00 13.13 4.81 0.83 Aten 1226 7.88 16.55 4.99 0.88 Brussel 1226 7.80 16.55 5.21 0.80 Madrid 1138 7.00 18.35 4.95 0.84 Praha 1007 5.70 19.51 3.54 0.57 Waszawa 1089 5.01 15.24 2.85 0.56 Zagreb 1019 3.96 16.66 4.20 0.75 Tokyo 2840 12.78 13.49 4.61 1.69 Beijing 1874 7.50 13.12 2.20 1.86 Sydney 1418 8.51 13.59 3.66 1.56 New York 2560 7.68 9.74 3.81 0.77 Buenos Aires 960 4.16 6.99 2.95 0.80 Johannesburg 833 3.75 12.50 2.25 0.91 Vancouver 1394 7.58 12.72 4.70 1.08 Moskva 2304 8.49 13.79 3.62 3.33 Alle data er i amerikanske dollar, og variablene er: Y X1 X2 X3 X4 Leiepris (per måned) for leilighet med to soverom og høg standard. Pris for en kinobillett. Pris for en musikk-cd. Pris for et hamburgermåltid. Pris for en liter melk. Målet er å bruke forklaringsvariablene X1, X2, X3 og X4 (som er enkle å få informasjon om) til å modellere variabelen Y. En slik modell vil kanskje kunne nyttes andre steder hvor en mangler god informasjon om leiepris. a) Fred har mest tru på X3 (hamburgerpris) som forklaringsvariabel. Sett opp en lineær regresjonsmodell for Y som funksjon av X3, med forutsetninger. Finn den estimerte regresjonsmodellen fra utskriftene. Sett opp og utfør en test for om det er signifikant lineær sammenheng mellom Y og X3. Fred lurer på om det kan lønne seg å trekke inn noen av de andre forklaringsvariablene i tillegg til X3 i modellen. b) Utfør en test for om de andre forklaringsvariablene er (simultant) signifikante i en modell som allerede inneholder X3. Skriv opp den estimerte modellen med alle fire forklaringsvariablene. Rekn ut R 2 og Radj 2 for den enkle og fulle modellen, og forklar hva disse måler. Fred vil nå bruke den fulle modellen til å studere leieprisen. 3
c) Hva blir estimert leiepris i en by med x1 = 7, x2 = 5, x3 = 15 og x4 = 1? Finn et intervall som med 95% sannsynlighet inneholder leieprisen i en (ny) by med de samme verdiene for forklaringsvariablene. Fred er ikke heilt fornøyd med modellen. Han har en mistanke om at hva slags type land byen ligger i påvirker leieprisen. Han innførerer derfor en variabel, Z, som indikerer om byen er i et land som er medlem av OECD (tenk i-land) eller ikke. Fred rekner ikke de tre øst-europeiske byene Praha, Warszawa og Zagreb som OECD-byar, sjøl om de nå er blitt medlem av organisasjonen. By Y X1 X2 X3 X4 Z ZX3 Luanda 4480 8.32 18.66 11.20 2.11 0 0 London 2500 10.80 14.99 3.97 0.76 1 3.97 Dublin 1051 9.20 14.01 6.26 0.85 1 6.26 Paris 1927 8.67 14.01 5.17 1.18 1 5.17 Roma 1576 6.57 19.18 5.17 1.44 1 5.17 Amsterdam 1051 8.76 15.75 5.12 0.87 1 5.12 Berlin 1051 7.00 13.13 4.81 0.83 1 4.81 Aten 1226 7.88 16.55 4.99 0.88 1 4.99 Brussel 1226 7.80 16.55 5.21 0.80 1 5.21 Madrid 1138 7.00 18.35 4.95 0.84 1 4.95 Praha 1007 5.70 19.51 3.54 0.57 0 0 Waszawa 1089 5.01 15.24 2.85 0.56 0 0 Zagreb 1019 3.96 16.66 4.20 0.75 0 0 Tokyo 2840 12.78 13.49 4.61 1.69 1 4.61 Beijing 1874 7.50 13.12 2.20 1.86 0 0 Sydney 1418 8.51 13.59 3.66 1.56 1 3.66 New York 2560 7.68 9.74 3.81 0.77 1 3.81 Buenos Aires 960 4.16 6.99 2.95 0.80 0 0 Johannesburg 833 3.75 12.50 2.25 0.91 0 0 Vancouver 1394 7.58 12.72 4.70 1.08 1 4.70 Moskva 2304 8.49 13.79 3.62 3.33 0 0 Merk at Fred òg har innført en samspillsvariabel mellom Z og X3. Fred vil helst ikke ta med unødvendige variabler i modellen, så han bruker en metode kjent som forlengsutvelging for å komme fram til en god modell. d) Forklar i grove trekk hvordan denne metoden virker, og hva som skjer i utvelgingsprosessen for leieprismodellen. Skriv opp den estimerte sluttmodellen. Forklar hva det innebærer i praksis at parameteren for Z blei 1747 og for ZX3 498. Bruk residualplottet til å vurdere om det er noen av forutsetningene i modellen som er oppfylt eller ikke? 4
Oppgave 3 I denne oppgava skal vi undersøke spiresannsynligheten for en ny type blomsterfrø. Vi planter n blomster, og registerer hvor mange av disse som spirer, x. Vi skal her anta at frøene spirer uavhengig av hverandre, og at sannsynligheten for å plante et frø som spirer er p. Antall som spirer er da binomisk fordelt med sannsynlighet p: ( ) n f(x p) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x a) Forklar hvorfor likelihooden her bare blir lik sannsynlighetstettheten? Bruk sannsynlighetsmaksimering til å finne en estimator for p. Hva blir estimatet for p om vi har planta n = 30 frø og det var x = 11 spirer? Vi skal nå estimere P ved hjelp av bayesanalyse. Basert på erfaring fra andre beslekta blomsterplanter meiner vi at parameteren P sjøl er trukket fra ei betafordeling: π(p) = pα 1 (1 p) β 1, 0 p 1. B(α, β) Her inngår betafunksjonen: B(α, β) = Γ(α) Γ(β) Γ(α+β). b) Finn aposteriorifordelinga til P gitt dataene, π(p x). Hva slags fordeling er dette? Finn et bayesestimat for P som moden (toppunktet) i aposteriorifordelinga. Om vi bruker α = β vil apriorifordelinga alltid være symmetrisk rundt 1/2 (forventninga). c) Forklar hva som skjer med apriorifordelinga når 1) α = β = 1 og når 2) α = β og hvordan dette vil påvirke aposteriorifordelinga og estimatet. Finn eit bayesintervall for P når α = 3, β = 3 og dataene er som før. Vi tenker oss nå at vi gjør et nytt forsøk med n 0 frø fra den samme frøtypen, og vil finne ut hvor mange suksesser, X 0, vi vil få. I ikke-bayesiansk analyse ville vi ha funnet et prediksjonsintervall for X 0. I bayesanalyse kan en finne en (prediktiv) marginalfordeling for nye observasjoner. Husk at vi nå har at: ( ) n0 f(x 0 p) = p x 0 (1 p) n 0 x 0, og apriori er nå π(p x). x 0 d) Finn simultanfordelinga for X 0 og P. Finn marginalfordelinga til den framtidige X 0. 5
> summary(aov(tid~type,data=ventil)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) type 5 6.0107 1.2021 18.542 1.512e-07 Residuals 24 1.5560 0.0648 Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 > summary(aov(tid~dag+type,data=ventil)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) dag 4 0.7767 0.1942 4.9829 0.005952 ** type 5 6.0107??? Residuals? 0.7793? Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 6
> summary(lm(y~x3,data=leiepris)) Call: lm(formula = Y ~ X3, data = leiepris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1050.3-503.5-172.2 176.0 1221.8 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 268.5 400.5 0.670 0.51068 X3 292.8 82.0?? Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 681.4 on 19 degrees of freedom Multiple R-squared:?, Adjusted R-squared:? > anova(lm(y~x3,data=leiepris)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X3 1 5920339 5920339?? Residuals 19 8823104 464374 Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 7
> summary(lm(y~x1+x2+x3+x4,data=leiepris)) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4, data = leiepris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -933.32-319.83 53.05 258.66 954.53 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -585.57 691.78-0.846 0.40977 X1 94.73 59.23 1.599 0.12932 X2-15.67 42.93-0.365 0.71991 X3 228.61 74.97 3.049 0.00765 ** X4 572.77 189.86 3.017 0.00819 ** Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 520.3 on 16 degrees of freedom Multiple R-squared:?, Adjusted R-squared:? F-statistic: 9.616 on 4 and 16 DF, p-value: 0.0003689 > anova(lm(y~x1+x2+x3+x4,data=leiepris)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X1 1 4505040 4505040 16.6423 0.0008733 *** X2 1 340164 340164 1.2566 0.2788363 X3 1 3103523 3103523 11.4649 0.0037700 ** X4 1 2463539 2463539 9.1007 0.0081885 ** Residuals 16 4331176 270699 Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 > X <- as.matrix(cbind(rep(1,21),leiepris[,c(2,3,4,5)])) > solve(t(x)%*%x) rep(1, 21) X1 X2 X3 X4 rep(1, 21) 1.76786313-0.0730192277-0.0836547150 0.028759736-0.064706742 X1-0.07301923 0.0129606743 0.0008373094-0.004851075-0.012246154 X2-0.08365472 0.0008373094 0.0068094724-0.005457495 0.001801811 X3 0.02875974-0.0048510755-0.0054574950 0.020762577-0.005539297 X4-0.06470674-0.0122461540 0.0018018111-0.005539297 0.133167232 > x0 <- matrix(c(1,7,5,15,1)) > t(x0)%*%solve(t(x)%*%x)%*%x0 [,1] [1,] 4.154137 8
> step(lm(y~1,data=leiepris),y~x1+x2+x3+x4+z+zx3,direction="forward") Start: AIC=284.7 Y ~ 1 Df Sum of Sq RSS AIC + X3 1 5920339 8823104 276 + X4 1 5574911 9168532 277 + X1 1 4505040 10238403 279 <none> 14743443 285 + X2 1 484981 14258461 286 + ZX3 1 95000 14648443 287 + Z 1 22083 14721360 287 Step: Y ~ X3 AIC=275.92 Df Sum of Sq RSS AIC + X4 1 3729280 5093824 266 + X1 1 1947551 6875553 273 <none> 8823104 276 + ZX3 1 749365 8073739 276 + Z 1 303147 8519958 277 + X2 1 192490 8630614 277 Step: AIC=266.38 Y ~ X3 + X4 Df Sum of Sq RSS AIC + X1 1 726588 4367236 265 <none> 5093824 266 + ZX3 1 153426 4940398 268 + X2 1 70284 5023540 268 + Z 1 13309 5080515 268 Step: AIC=265.15 Y ~ X3 + X4 + X1 Df Sum of Sq RSS AIC + ZX3 1 1702583 2664653 257 + Z 1 1054134 3313102 261 <none> 4367236 265 + X2 1 36060 4331176 267 Step: AIC=256.77 Y ~ X3 + X4 + X1 + ZX3 Df Sum of Sq RSS AIC + Z 1 595713 2068939 253 <none> 2664653 257 + X2 1 157703 2506949 257 Step: AIC=253.46 Y ~ X3 + X4 + X1 + ZX3 + Z Df Sum of Sq RSS AIC <none> 2068939 253 + X2 1 68007 2000932 255 Call: lm(formula = Y ~ X3 + X4 + X1 + ZX3 + Z, data = leiepris) Coefficients: (Intercept) X3 X4 X1 ZX3 Z -1035.5 266.8 323.3 188.5-497.8 1746.6 9
> summary(lm(y~x1+x2+x3+x4+z+zx3,data=leiepris)) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + Z + ZX3, data = leiepris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -687.9-164.2-18.8 249.5 463.0 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -774.14 506.30-1.529 0.148539 X1 192.70 61.93 3.112 0.007653 ** X2-22.15 32.12-0.690 0.501592 X3 282.98 56.51 5.007 0.000192 *** X4 305.88 164.25 1.862 0.083675. Z 1637.18 870.09 1.882 0.080846. ZX3-482.52 170.18-2.835 0.013226 * Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 378.1 on 14 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8643, Adjusted R-squared: 0.8061 F-statistic: 14.86 on 6 and 14 DF, p-value: 2.372e-05 > anova(lm(y~x1+x2+x3+x4+z+zx3,data=leiepris)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X1 1 4505040 4505040 31.5206 6.382e-05 *** X2 1 340164 340164 2.3800 0.1451915 X3 1 3103523 3103523 21.7145 0.0003681 *** X4 1 2463539 2463539 17.2367 0.0009783 *** Z 1 1181240 1181240 8.2648 0.0122347 * ZX3 1 1149004 1149004 8.0393 0.0132262 * Residuals 14 2000932 142924 Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 10
Studentifiserte residualer 2 1 0 1 2 1000 2000 3000 4000 Tilpassa verdier 11
Betafordelings-tabell, α=shape1, β=shape2: > low <- data.frame(matrix(0,ncol=30,nrow=30)) > for (i in 1:30) for (j in 1:30) low[i,j] <- qbeta(0.025,shape1=i,shape2=j) > attributes(low)$names <- as.character(seq(30)) > round(low,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 0.025 0.013 0.008 0.006 0.005 0.004 0.004 0.003 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 2 0.158 0.094 0.068 0.053 0.043 0.037 0.032 0.028 0.025 0.023 0.021 0.019 0.018 0.017 0.016 3 0.292 0.194 0.147 0.118 0.099 0.085 0.075 0.067 0.060 0.055 0.050 0.047 0.043 0.040 0.038 4 0.398 0.284 0.223 0.184 0.157 0.137 0.122 0.109 0.099 0.091 0.084 0.078 0.073 0.068 0.064 5 0.478 0.359 0.290 0.245 0.212 0.187 0.167 0.152 0.139 0.128 0.118 0.110 0.103 0.097 0.091 6 0.541 0.421 0.349 0.299 0.262 0.234 0.211 0.192 0.177 0.163 0.152 0.142 0.163 0.154 0.146 7 0.590 0.473 0.400 0.348 0.308 0.277 0.251 0.230 0.213 0.198 0.184 0.173 0.163 0.154 0.146 8 0.631 0.518 0.444 0.390 0.349 0.316 0.289 0.266 0.247 0.230 0.215 0.203 0.191 0.181 0.172 9 0.664 0.555 0.482 0.428 0.386 0.351 0.323 0.299 0.278 0.260 0.244 0.231 0.218 0.207 0.197 10 0.692 0.587 0.516 0.462 0.419 0.384 0.354 0.329 0.308 0.289 0.272 0.257 0.244 0.232 0.221 11 0.715 0.615 0.546 0.492 0.449 0.413 0.383 0.357 0.335 0.315 0.298 0.282 0.268 0.256 0.244 12 0.735 0.640 0.572 0.519 0.476 0.440 0.410 0.384 0.361 0.340 0.322 0.306 0.291 0.278 0.266 13 0.753 0.661 0.595 0.544 0.501 0.465 0.434 0.408 0.384 0.364 0.345 0.328 0.313 0.299 0.287 14 0.768 0.681 0.617 0.566 0.524 0.488 0.457 0.430 0.407 0.385 0.366 0.349 0.334 0.319 0.306 15 0.782 0.698 0.636 0.586 0.544 0.509 0.478 0.451 0.427 0.406 0.387 0.369 0.353 0.339 0.325 16 0.794 0.713 0.653 0.604 0.563 0.528 0.498 0.471 0.447 0.425 0.406 0.388 0.372 0.357 0.343 17 0.805 0.727 0.669 0.621 0.581 0.546 0.516 0.489 0.465 0.443 0.424 0.406 0.389 0.374 0.360 18 0.815 0.740 0.683 0.637 0.597 0.563 0.533 0.506 0.482 0.460 0.441 0.423 0.406 0.391 0.377 19 0.824 0.751 0.696 0.651 0.612 0.578 0.549 0.522 0.498 0.476 0.457 0.439 0.422 0.406 0.392 20 0.832 0.762 0.708 0.664 0.626 0.593 0.564 0.537 0.513 0.492 0.472 0.454 0.437 0.421 0.407 21 0.839 0.772 0.720 0.676 0.639 0.606 0.577 0.551 0.528 0.506 0.486 0.468 0.451 0.436 0.421 22 0.846 0.781 0.730 0.688 0.651 0.619 0.590 0.565 0.541 0.520 0.500 0.482 0.465 0.449 0.435 23 0.852 0.789 0.740 0.698 0.663 0.631 0.603 0.577 0.554 0.533 0.513 0.495 0.478 0.462 0.448 24 0.858 0.796 0.749 0.708 0.673 0.642 0.614 0.589 0.566 0.545 0.525 0.507 0.490 0.475 0.460 25 0.863 0.804 0.757 0.718 0.683 0.653 0.625 0.600 0.577 0.556 0.537 0.519 0.502 0.486 0.472 26 0.868 0.810 0.765 0.726 0.693 0.663 0.636 0.611 0.588 0.567 0.548 0.530 0.513 0.498 0.483 27 0.872 0.817 0.772 0.735 0.702 0.672 0.645 0.621 0.599 0.578 0.559 0.541 0.524 0.509 0.494 28 0.877 0.822 0.779 0.742 0.710 0.681 0.655 0.631 0.608 0.588 0.569 0.551 0.535 0.519 0.505 29 0.881 0.828 0.786 0.750 0.718 0.689 0.664 0.640 0.618 0.598 0.579 0.561 0.545 0.529 0.515 30 0.884 0.833 0.792 0.757 0.725 0.697 0.672 0.648 0.627 0.607 0.588 0.571 0.554 0.539 0.524 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 2 0.015 0.014 0.013 0.012 0.012 0.011 0.011 0.010 0.010 0.009 0.009 0.009 0.008 0.008 0.008 3 0.036 0.034 0.032 0.030 0.029 0.028 0.027 0.025 0.024 0.024 0.023 0.022 0.021 0.020 0.020 4 0.061 0.057 0.054 0.052 0.050 0.047 0.045 0.044 0.042 0.040 0.039 0.038 0.036 0.035 0.034 5 0.087 0.082 0.078 0.075 0.071 0.068 0.066 0.063 0.061 0.058 0.056 0.055 0.053 0.051 0.050 6 0.113 0.107 0.102 0.098 0.094 0.090 0.086 0.083 0.080 0.077 0.075 0.072 0.070 0.068 0.066 7 0.139 0.132 0.126 0.121 0.116 0.111 0.107 0.103 0.099 0.096 0.093 0.090 0.087 0.084 0.082 8 0.164 0.156 0.149 0.143 0.138 0.132 0.127 0.123 0.119 0.115 0.111 0.107 0.104 0.101 0.098 9 0.188 0.180 0.172 0.165 0.159 0.153 0.147 0.142 0.137 0.133 0.129 0.125 0.121 0.118 0.114 10 0.211 0.202 0.194 0.186 0.179 0.173 0.167 0.161 0.156 0.151 0.146 0.142 0.138 0.134 0.130 11 0.234 0.224 0.215 0.207 0.199 0.192 0.186 0.180 0.174 0.169 0.163 0.159 0.154 0.150 0.146 12 0.255 0.245 0.235 0.227 0.218 0.211 0.204 0.197 0.191 0.186 0.180 0.175 0.170 0.166 0.161 13 0.275 0.264 0.255 0.245 0.237 0.229 0.222 0.215 0.208 0.202 0.196 0.191 0.186 0.181 0.176 14 0.294 0.283 0.273 0.264 0.255 0.246 0.239 0.231 0.225 0.218 0.212 0.206 0.201 0.196 0.191 15 0.313 0.302 0.291 0.281 0.272 0.263 0.255 0.248 0.240 0.234 0.227 0.221 0.216 0.210 0.205 16 0.331 0.319 0.308 0.298 0.288 0.279 0.271 0.263 0.256 0.249 0.242 0.236 0.230 0.224 0.219 17 0.347 0.335 0.324 0.314 0.304 0.295 0.286 0.278 0.270 0.263 0.256 0.250 0.244 0.238 0.232 18 0.364 0.351 0.340 0.329 0.319 0.310 0.301 0.293 0.285 0.277 0.270 0.263 0.257 0.251 0.245 19 0.379 0.366 0.355 0.344 0.334 0.324 0.315 0.307 0.298 0.291 0.283 0.277 0.270 0.264 0.258 20 0.394 0.381 0.369 0.358 0.348 0.338 0.329 0.320 0.312 0.304 0.296 0.289 0.283 0.276 0.270 21 0.408 0.395 0.383 0.372 0.361 0.351 0.342 0.333 0.325 0.317 0.309 0.302 0.295 0.288 0.282 22 0.421 0.408 0.396 0.385 0.374 0.364 0.355 0.346 0.337 0.329 0.321 0.314 0.307 0.300 0.293 23 0.434 0.421 0.409 0.397 0.387 0.377 0.367 0.358 0.349 0.341 0.333 0.325 0.318 0.311 0.305 24 0.446 0.433 0.421 0.410 0.399 0.388 0.379 0.369 0.361 0.352 0.344 0.337 0.329 0.322 0.316 25 0.458 0.445 0.433 0.421 0.410 0.400 0.390 0.381 0.372 0.363 0.355 0.348 0.340 0.333 0.326 26 0.469 0.456 0.444 0.432 0.422 0.411 0.401 0.392 0.383 0.374 0.366 0.358 0.351 0.343 0.337 27 0.480 0.467 0.455 0.443 0.432 0.422 0.412 0.402 0.393 0.385 0.376 0.368 0.361 0.354 0.347 28 0.491 0.478 0.465 0.454 0.443 0.432 0.422 0.413 0.403 0.395 0.386 0.378 0.371 0.363 0.356 29 0.501 0.488 0.475 0.464 0.453 0.442 0.432 0.422 0.413 0.404 0.396 0.388 0.380 0.373 0.366 30 0.510 0.498 0.485 0.474 0.462 0.452 0.442 0.432 0.423 0.414 0.406 0.397 0.390 0.382 0.375 12
Betafordelings-tabell, α=shape1, β=shape2: > upp <- data.frame(matrix(0,ncol=30,nrow=30)) > for (i in 1:30) for (j in 1:30) upp[i,j] <- qbeta(0.975,shape1=i,shape2=j) > attributes(upp)$names <- as.character(seq(30)) > round(upp,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 0.975 0.842 0.708 0.602 0.522 0.459 0.410 0.369 0.336 0.308 0.285 0.265 0.247 0.232 0.218 2 0.987 0.906 0.806 0.716 0.641 0.579 0.527 0.482 0.445 0.413 0.385 0.360 0.339 0.319 0.302 3 0.992 0.932 0.853 0.777 0.710 0.651 0.600 0.556 0.518 0.484 0.454 0.428 0.405 0.383 0.364 4 0.994 0.947 0.882 0.816 0.755 0.701 0.652 0.610 0.572 0.538 0.508 0.481 0.456 0.434 0.414 5 0.995 0.957 0.901 0.843 0.788 0.738 0.692 0.651 0.614 0.581 0.551 0.524 0.499 0.476 0.456 6 0.996 0.963 0.915 0.863 0.813 0.766 0.723 0.684 0.649 0.616 0.587 0.560 0.535 0.512 0.491 7 0.996 0.968 0.925 0.878 0.833 0.789 0.749 0.711 0.677 0.646 0.617 0.590 0.566 0.543 0.522 8 0.997 0.972 0.933 0.891 0.848 0.808 0.770 0.734 0.701 0.671 0.643 0.616 0.592 0.570 0.549 9 0.997 0.975 0.940 0.901 0.861 0.823 0.787 0.753 0.722 0.692 0.665 0.639 0.616 0.593 0.573 10 0.997 0.977 0.945 0.909 0.872 0.837 0.802 0.770 0.740 0.711 0.685 0.660 0.636 0.615 0.594 11 0.998 0.979 0.950 0.916 0.882 0.848 0.816 0.785 0.756 0.728 0.702 0.678 0.655 0.634 0.613 12 0.998 0.981 0.953 0.922 0.890 0.858 0.827 0.797 0.769 0.743 0.718 0.694 0.672 0.651 0.631 13 0.998 0.982 0.957 0.927 0.897 0.867 0.837 0.809 0.782 0.756 0.732 0.709 0.687 0.666 0.647 14 0.998 0.983 0.960 0.932 0.903 0.874 0.846 0.819 0.793 0.768 0.744 0.722 0.701 0.681 0.661 15 0.998 0.984 0.962 0.936 0.909 0.881 0.854 0.828 0.803 0.779 0.756 0.734 0.713 0.694 0.675 16 0.998 0.985 0.964 0.939 0.913 0.887 0.861 0.836 0.812 0.789 0.766 0.745 0.725 0.706 0.687 17 0.999 0.986 0.966 0.943 0.918 0.893 0.868 0.844 0.820 0.798 0.776 0.755 0.736 0.717 0.698 18 0.999 0.987 0.968 0.946 0.922 0.898 0.874 0.851 0.828 0.806 0.785 0.765 0.745 0.727 0.709 19 0.999 0.988 0.970 0.948 0.925 0.902 0.879 0.857 0.835 0.814 0.793 0.773 0.755 0.736 0.719 20 0.999 0.988 0.971 0.950 0.929 0.906 0.884 0.862 0.841 0.821 0.801 0.782 0.763 0.745 0.728 21 0.999 0.989 0.972 0.953 0.932 0.910 0.889 0.868 0.847 0.827 0.808 0.789 0.771 0.754 0.737 22 0.999 0.989 0.973 0.955 0.934 0.914 0.893 0.873 0.853 0.833 0.814 0.796 0.778 0.761 0.745 23 0.999 0.990 0.975 0.956 0.937 0.917 0.897 0.877 0.858 0.839 0.820 0.803 0.785 0.769 0.752 24 0.999 0.990 0.976 0.958 0.939 0.920 0.901 0.881 0.863 0.844 0.826 0.809 0.792 0.775 0.760 25 0.999 0.991 0.976 0.960 0.942 0.923 0.904 0.885 0.867 0.849 0.831 0.814 0.798 0.782 0.766 26 0.999 0.991 0.977 0.961 0.944 0.925 0.907 0.889 0.871 0.854 0.837 0.820 0.804 0.788 0.773 27 0.999 0.991 0.978 0.962 0.945 0.928 0.910 0.893 0.875 0.858 0.841 0.825 0.809 0.794 0.779 28 0.999 0.992 0.979 0.964 0.947 0.930 0.913 0.896 0.879 0.862 0.846 0.830 0.814 0.799 0.784 29 0.999 0.992 0.980 0.965 0.949 0.932 0.916 0.899 0.882 0.866 0.850 0.834 0.819 0.804 0.790 30 0.999 0.992 0.980 0.966 0.950 0.934 0.918 0.902 0.886 0.870 0.854 0.839 0.824 0.809 0.795 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 0.206 0.195 0.185 0.176 0.168 0.161 0.154 0.148 0.142 0.137 0.132 0.128 0.123 0.119 0.116 2 0.287 0.273 0.260 0.249 0.238 0.228 0.219 0.211 0.204 0.196 0.190 0.183 0.178 0.172 0.167 3 0.347 0.331 0.317 0.304 0.292 0.280 0.270 0.260 0.251 0.243 0.235 0.228 0.221 0.214 0.208 4 0.396 0.379 0.363 0.349 0.336 0.324 0.312 0.302 0.292 0.282 0.274 0.265 0.258 0.250 0.243 5 0.437 0.419 0.403 0.388 0.374 0.361 0.349 0.337 0.327 0.317 0.307 0.298 0.290 0.282 0.275 6 0.472 0.454 0.437 0.422 0.407 0.394 0.381 0.369 0.358 0.347 0.337 0.328 0.319 0.311 0.303 7 0.502 0.484 0.467 0.451 0.436 0.423 0.410 0.397 0.386 0.375 0.364 0.355 0.345 0.336 0.328 8 0.529 0.511 0.494 0.478 0.463 0.449 0.435 0.423 0.411 0.400 0.389 0.379 0.369 0.360 0.352 9 0.553 0.535 0.518 0.502 0.487 0.472 0.459 0.446 0.434 0.423 0.412 0.401 0.392 0.382 0.373 10 0.575 0.557 0.540 0.524 0.508 0.494 0.480 0.467 0.455 0.444 0.433 0.422 0.412 0.402 0.393 11 0.594 0.576 0.559 0.543 0.528 0.514 0.500 0.487 0.475 0.463 0.452 0.441 0.431 0.421 0.412 12 0.612 0.594 0.577 0.561 0.546 0.532 0.518 0.505 0.493 0.481 0.470 0.459 0.449 0.439 0.429 13 0.628 0.611 0.594 0.578 0.563 0.549 0.535 0.522 0.510 0.498 0.487 0.476 0.465 0.455 0.446 14 0.643 0.626 0.609 0.594 0.579 0.564 0.551 0.538 0.525 0.514 0.502 0.491 0.481 0.471 0.461 15 0.657 0.640 0.623 0.608 0.593 0.579 0.565 0.552 0.540 0.528 0.517 0.506 0.495 0.485 0.476 16 0.669 0.653 0.636 0.621 0.606 0.592 0.579 0.566 0.554 0.542 0.531 0.520 0.509 0.499 0.490 17 0.681 0.665 0.649 0.634 0.619 0.605 0.592 0.579 0.567 0.555 0.544 0.533 0.522 0.512 0.502 18 0.692 0.676 0.660 0.645 0.631 0.617 0.604 0.591 0.579 0.567 0.556 0.545 0.535 0.525 0.515 19 0.702 0.686 0.671 0.656 0.642 0.628 0.615 0.603 0.590 0.579 0.568 0.557 0.546 0.536 0.526 20 0.712 0.696 0.681 0.666 0.652 0.639 0.626 0.613 0.601 0.590 0.578 0.568 0.557 0.547 0.538 21 0.721 0.705 0.690 0.676 0.662 0.649 0.636 0.623 0.612 0.600 0.589 0.578 0.568 0.558 0.548 22 0.729 0.714 0.699 0.685 0.671 0.658 0.645 0.633 0.621 0.610 0.599 0.588 0.578 0.568 0.558 23 0.737 0.722 0.707 0.693 0.680 0.667 0.654 0.642 0.631 0.619 0.608 0.598 0.587 0.578 0.568 24 0.744 0.730 0.715 0.702 0.688 0.675 0.663 0.651 0.639 0.628 0.617 0.607 0.597 0.587 0.577 25 0.751 0.737 0.723 0.709 0.696 0.683 0.671 0.659 0.648 0.637 0.626 0.615 0.605 0.596 0.586 26 0.758 0.744 0.730 0.717 0.704 0.691 0.679 0.667 0.656 0.645 0.634 0.624 0.614 0.604 0.594 27 0.764 0.750 0.737 0.723 0.711 0.698 0.686 0.675 0.663 0.652 0.642 0.632 0.622 0.612 0.603 28 0.770 0.756 0.743 0.730 0.717 0.705 0.693 0.682 0.671 0.660 0.649 0.639 0.629 0.620 0.610 29 0.776 0.762 0.749 0.736 0.724 0.712 0.700 0.689 0.678 0.667 0.657 0.646 0.637 0.627 0.618 30 0.781 0.768 0.755 0.742 0.730 0.718 0.707 0.695 0.684 0.674 0.663 0.653 0.644 0.634 0.625 13