Matematikk for IT Prøve 1 Løsningsforslag Fredag 23. september 2016 23. september 2016 Oppgave 1 Er 29 17 (mod 4)? Begrunn svaret. Dette kan vi lettest sjekke ved å se om 4 deler 29 17. 29 17 = 12. Vi vet at 4 12 siden 12 : 4 = 3 med rest 0. 29 er følgelig kongruent med 17 modulo 4. Oppgave 2 a) Konvertér det heksadesimale tallet BC516 til binærtall (altså grunntall 2). Her kan vi konvertere hvert av de tre heksadesimale sifrene til fire binære sifre: B: 1011 C: 1100 5: 0101 Følgelig: BC516 = 1011 1100 01012 b) Konvertér det binære tallet 110012 til desimaltall (altså grunntall 10). 11001 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 8 16 0 1 2 3 4 2 2510 c) Benytt binær multiplikasjon for å finne 11112 1012 1111 101 1111 0000 1111 1001011 Oppgave 3 Gitt følgende mengder = {1, 3, 5, 7, 9} og B = {0, 2, 4}.
Universet er U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Finn B. B. Her er 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 Videre er da B 1, 3, 5, 7, 9 Komplementet av dette er B 0, 2, 4, 6, 8 Oppgave 4 Bruk venndiagram til å løse følgende problem. Gitt to mengder og B. nta nå at B En tredje mengde C er gitt ved Hva er da C B C? Vi tegner først et venndiagram som viser B : B 2
Mengden C B er da den skraverte delen i følgende venndiagram, altså lik : B C Da må C = Oppgave 5 En frimerkeklubb på 21 personer skal velge et styre bestående av leder, kasserer og sekretær. Hvor mange ulike slike styrer kan settes sammen? Du trenger ikke å regne ut, men bare sette opp uttrykket og forkorte brøken du får mest mulig. Siden det skal velges til ulike roller blir dette et ordnet utvalg (det er to ulike styrer om en person velges til leder eller kasserer). Det er også uten tilbakelegging siden en person som velges til et verv ikke kan velges også til et annet verv i det samme styret. ntallet blir derfor 21! 21 20 19 18! P ( 21, 3) 21 20 19 7980 (21 3)! 18! Oppgave 6 Gitt mengden = {1, 2, 3}. Det er definert en relasjon, R, på ved R = {(1, 1), (3, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} Er relasjonen en ekvivalensrelasjon, en delvis ordning, en totalordning eller ingen av delene? Begrunn svaret. For å undersøke dette, må vi gjøre en vurdering av hvorvidt relasjonen er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og/eller transitiv. Dette er lettest å se dersom vi tegner relasjonen som en rettet graf: 3
1 2 3 v denne figuren ser vi at relasjonen er refleksiv fordi alle elementene i mengden har relasjon til seg selv. Videre ser vi at relasjonen ikke er symmetrisk siden for eksempel (2, 1) er element i relasjonsmengden, mens (1, 2) ikke er med. Relasjonen er antisymmetrisk fordi vi ikke har noen symmetriske par. Relasjonen er transitiv så lenge vi ikke klarer å finne noe moteksempel hvor (x, y) R og (y, z) R men (x, z) R. Her finner vi ikke noe slikt moteksempel. Relasjonen er følgelig transitiv. Relasjonen er altså refleksiv, antisymmetrisk og transitiv, og er følgelig en delvis ordning. Det er ikke en totalordning fordi 2 og 3 ikke er relatert (vi har hverken (2, 3) eller (3, 2) med i relasjonsmengden). Oppgave 7 I denne oppgaven er følgende mengder gitt: = {0, 1, 2, 3} og B = {a, b, c}. a) Gitt en relasjon fra til B. Beskriv hva som skal til for at relasjonen er en funksjon. For at en slik relasjon skal være en funksjon må alle elementene i mengden ha en relasjon og denne relasjonen må være til nøyaktig ett element i mengden B. b) Forklar hva det innebærer det at en funksjon er surjektiv. Gi også et eksempel på en funksjon f : B som ikke er surjektiv. Det innebærer at alle elementene i B er bilde av et element i. Vi kan alternativt si at verdimengden til f må være lik kodomenet B. Et eksempel på en funksjon som ikke er surjektiv: f = {(0, a), (1, a), (2, a), (3, b)} I dette eksemplet er elementet c i kodomenet ikke bilde av noe element i definisjonsmengden, og funksjonen er derfor ikke surjektiv. 4
c) Er det mulig å definere funksjonen f : B slik at den blir injektiv? Begrunn svaret. En funksjon er injektiv dersom alle elementene i definisjonsmengden har ulike bilder i kodomenet. Fordi = 4 og B = 3 er det ikke mulig å ha en funksjon fra til B slik at alle elementene i har ulike bilder i B (det er for få elementer i B). Oppgave 8 En faglærer har 43 lærebøker som omhandler ulike temaer innen IT, og ønsker å se litt på hvordan de dekker pensum innen de tre temaene datakommunikasjon, operativsystemer og algoritmer. Hver av bøkene omhandler ingen, ett eller flere av disse tre temaene. 12 bøker omhandler datakommunikasjon, 15 bøker omhandler operativsystemer og 18 omhandler algoritmer. 6 bøker omhandler både datakommunikasjon og operativsystemer, 3 bøker omhandler både datakommunikasjon og algoritmer, 5 bøker omhandler både operativsystemer og algoritmer og 2 bøker omhandler alle de tre temaene. a) Hvor mange lærebøker omhandler ingen av de tre temaene? Vi kan kalle mengden av bøker som omhandler datakommunikasjon D, de som omhandler operativsystemer O og de som omhandler algoritmer. Opplysningene som er gitt i oppgaven kan da uttrykkes slik: D = 12 O = 15 = 18 D O 6 D 3 O 5 D O 2 ntall bøker som ikke omhandler noen av disse temaene er gitt ved totalt antall bøker minus antall bøker som omhandler minst ett av temaene, altså som 43 D O Inklusjons- og eksklusjonsprinsippet for dette problemet kan uttrykkes D O = D + O + D O D O + D O Bruker vi tallene gitt i oppgaven, finner vi: D O = 12 + 15 + 18 6 3 5 + 2 = 33 ntall bøker som ikke omhandler noen av temaene, er derfor 43 33 = 10 b) Hvor mange lærebøker omhandler eksakt ett av de tre temaene? ltså antall bøker som omhandler enten datakommunikasjon, operativsystemer eller algoritmer, men hvor det ikke er mer enn ett av disse temaene i hver av bøkene. Vi kan regne ut dette på to ulike måter. Den ene måten er slik: 5
Vi regner ut D O og trekker så fra det antallet som er i snittene mellom mengdene: D O D O D O + 2 D O Det siste leddet i uttrykket skyldes at vi trekker fra snittet mellom alle de tre mengdene tre ganger, og må derfor legge det til to ganger for at vi skal ha trukket det fra bare en gang. Underveis i oppgave a) fant vi at D O = 33. Setter vi inn dette og de andre tallene som er oppgitt i oppgaven, finner vi: 33 6 3 5 + 2 2 = 23 En alternativ måte å regne ut dette på, er slik: Vi tar først de bøkene som omhandler datakommunikasjon og trekker fra de bøkene som også omhandler enten operativsystemer, algoritmer eller begge deler, som vist i følgende venndiagram: D O Dette er gitt ved D D O D + D O = 12 6 3 + 2 = 5 Det at vi må legge til D O skyldes at vi har trukket det fra to ganger men skal bare trekke det fra en gang. Vi må deretter gjøre det samme for de to andre fagområdene. For bøker som bare omhandler operativsystemer får vi O D O O + D O = 15 6 5 + 2 = 6 For bøker som bare omhandler algoritmer får vi D O + D O = 18 3 5 + 2 = 12 Totalt antall bøker som omhandler kun ett av de tre temaene blir summen av disse tre bidragene, altså 5 + 6 + 12 = 23 For oversiktens skyld vises her er antall i de ulike kategoriene: 6
D O 5 4 6 10 1 2 3 12 7