Eksamensrettleiing - om vurdering av eksamenssvar 2013

Eksamensrettleiing - om vurdering av eksamenssvar 2013 MAT0010 Matematikk Sentralt gitt skriftleg eksamen Nynorsk

1 Vurdering av sentralt gitt skriftleg eksamen i matematikk Denne eksamensrettleiinga gjeld for sentralt gitt skriftleg eksamen i MAT0010 Matematikk våren 2013. 1.1 Eksamensmodell og eksamensordning 1.1.1 Eksamensmodell Eksamen varer i 5 timar og består av to delar. Eksamen i MAT0010 Matematikk følgjer modell 2 våren 2013. Eksamensmodellen er vald ut frå læreplanen og ut frå ei fagleg vurdering av eigenarten til matematikkfaget. 1.1.2 Eksamensordning Eksamen har ingen førebuingsdel. Dagen før eksamen er skoledag for elevane, og skolane bør arrangere førebuingsdag etter opplegg frå faglæraren. Del 1 og Del 2 av eksamen skal delast ut samtidig til elevane. Svaret på Del 1 skal leverast innan 2 timar. Først når svaret på Del 1 er levert inn, får elevane tilgang på alle hjelpemiddel på Del 2. Elevane kan levere inn svaret på Del 1 også før det har gått 2 timar. Elevane kan begynne på Del 2 når som helst (men da utan hjelpemiddel fram til svaret på Del 1 er levert inn). Svaret på Del 2 må leverast innan 5 timar. Svaret på Del 2 inkludert eventuelle vedlegg skal leggjast inn i Del 1 og sendast til sensor. Svara skal vere anonyme. Den einaste identifiseringa er namnet på skolen og kandidatnummeret (som i PAS). 1.2 Hjelpemiddel, kommunikasjon og særskild tilrettelegging 1.2.1 Hjelpemiddel på Del 1 På Del 1 er skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar tillatne hjelpemiddel. Hjelpemidla på Del 1 må reknast som nødvendige i tillegg til tillatne. På Del 1 er det ikkje lov å bruke datamaskin, andre digitale verktøy eller andre hjelpemiddel enn dei som er spesifiserte ovanfor. Dei hjelpemidla som er tillatne på Del 1 av eksamen, skal ikkje utvidast ved særskild tilrettelegging av eksamen, jf. rundskriv Udir-4-2010 punkt 1.2.4. 1.2.2 Hjelpemiddel på Del 2 Hjelpemidla på Del 1 er både tillatne og nødvendige. Alle hjelpemiddel er tillatne, bortsett frå Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Opplæringa må hjelpe elevane til å finne fram til relevante hjelpemiddel. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 2 av 24

1.2.2.1 Bruk av datamaskin og skrivarar Elevane bør ha tilgang til datamaskin og skrivarar under heile Del 2 av eksamen. Det blir ikkje gitt ekstra tid i Del 2 fordi elevane bruker datamaskin (med rekneark og anna digitalt verktøy). Dersom det oppstår tekniske problem med maskinene under eksamen, kan rektor tillate ekstra tid. 1.2.3 Kommunikasjon Under eksamen har elevane ikkje lov til å kommunisere med kvarandre eller andre. Dette inneber at det ikkje er lov å bruke Internett, mobiltelefonar eller andre kommunikasjonsmiddel under eksamen. 1.2.4 Særskild tilrettelegging av eksamen Når det gjeld særskild tilrettelegging av eksamen, viser vil til rundskriv Udir-4-2010 og tolking av regelverket, som du finn her: http://www.udir.no/regelverk/rundskriv/20101/udir-04-2010-retningslinjer-for-sarskilttilrettelegging-av-sentralt-gitt-skriftlig-eksamen-i-matematikk-kjemi-fysikk-og-biologi/ http://www.udir.no/regelverk/tolkning-av-regelverket/vurdering/hjelpemidler/-3-20---bruk-avkalkulator-som-hjelpemiddel-pa-eksamen/ 1.3 Innhaldet i eksamensoppgåva Når eksamensoppgåvene blir utforma, blir det teke utgangspunkt i kompetansemåla i læreplanen for faget. Dei grunnleggjande ferdigheitene er integrerte i kompetansemåla: å kunne uttrykkje seg munnleg i matematikk (ikkje på skriftleg eksamen) å kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk å kunne lese i matematikk å kunne rekne i matematikk å kunne bruke digitale verktøy i matematikk Frå formålet for fellesfaget matematikk: Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen. Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har òg språklege aspekt, som det å resonnere og kommunisere idear. I det meste av matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi. Både det å kunne bruke og vurdere hjelpemiddel og teknologi og det å kjenne til avgrensinga deira er viktige delar av faget. I tillegg kjem tal- og omgrepsforståing og ferdigheitsrekning, som utgjer fundamentet i faget. Eksamensoppgåva er bygd opp slik at svaret skal gi grunnlag for å vurdere den individuelle kompetansen elevane har i matematikk. Elevane skal få høve til å vise i kva grad dei kan ta i bruk faglege kunnskapar og ferdigheiter i verkelegheitsnære situasjonar og realistiske problemstillingar. Sidan matematikkfaget også skal kunne brukast i praksis, er det lagt opp til Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 3 av 24

at elevane skal kunne formulere problem, omsetje frå tekst til matematikk og tolke svara ut frå dei opphavlege problema. Nokre av oppgåvene er ikkje knytte til praktiske situasjonar. Det er lagt vekt på å gi elevane høve til å vise at dei kan løyse ulike og nye utfordringar og bruke tilgjengelege hjelpemiddel. Oppgåvene er utforma slik at alle skal få høve til å vise kva dei kan derfor inneheld oppgåvene element av ulik vanskegrad på både Del 1 og Del 2 av eksamen. Samla sett (Del 1 og Del 2) prøver eksamensoppgåvene elevane breitt i kompetansemål frå alle hovudområda i læreplanen. Elevane blir ikkje nødvendigvis prøvde i alle kompetansemåla i læreplanen. Avhengig av tema og kontekst kan eksamen innehalde fleire oppgåver som høyrer til same hovudområde. 1.3.1 Innhald i Del 1 Del 1 skal dekkje eit breitt spekter av kompetansemåla i læreplanen og inneheld oppgåver frå alle hovudområda. Oppgåvene har ulik vanskegrad. Oppgåvene i Del 1 prøver mellom anna omgreps- og talforståing, ferdigheitsrekning, resonnements- og fagkunnskap med utgangspunkt i kompetansemåla i læreplanen. Det er fleire ulike oppgåvetypar, både fleirvalsoppgåver, kortsvarsoppgåver og opne oppgåver. Eit viktig element i Del 1 er ferdigheitsrekning. Automatisert kunnskap, som for eksempel den vesle multiplikasjonstabellen og annan akuttviten, blir sett på som viktig. Eksamen vil derfor prøve elevane i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartene ut frå kompetansemåla i læreplanen. Mange av oppgåvene vil vere tradisjonelle oppgåvetypar innanfor eit breitt utval av matematiske ferdigheiter, men eksamen kan også innehalde ikkjerutineprega oppgåver og andre matematiske problemstillingar. Del 1 av eksamen er papirbasert. Alle oppgåvene i Del 1 skal førast inn i oppgåveheftet som blir delt ut. Elevane skal skrive med blå eller svart penn, bortsett frå ved konstruksjonsoppgåver, teikneoppgåver og liknande. Det er berre løysingane som er førte inn i oppgåveheftet, som blir vurderte. Elevane skal ikkje kladde i oppgåveheftet til Del 1, men bruke eigne kladdeark. 1.3.1.1 Kortsvarsoppgåver i Del 1 Del 1 inneheld ein del oppgåver der elevane skal føre inn eit korrekt svar på oppgåva. Desse oppgåvene har ikkje rekneruter og krev berre at elevane skriv på det korrekte svaret. 1.3.1.2 Rekneruteoppgåver i Del 1 Del 1 inneheld også oppgåver der elevane skal vise framgangsmåte og resonnementskompetanse i reknerutene. I desse oppgåvene er det eit krav at elevane viser framgangsmåten dei har brukt, viss ikkje får dei mindre utteljing for oppgåvene. 1.3.1.3 Fleirvalsoppgåver i Del 1 Fleirvalsoppgåvene har fire svaralternativ, men berre eitt korrekt svar. Elevane skal berre setje eitt kryss for kvar fleirvalsoppgåve, elles blir svaret underkjent ved sensuren. Fleirvalsoppgåver kan også bestå av påstandar som er anten sanne eller usanne. Elevane kryssar da av for det alternativet dei meiner er korrekt. Nedanfor har vi sett opp to eksempel på fleirvalsoppgåver: Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 4 av 24

Eksempel 1: Eksempel 2: Uttrykket 3 1 2 2 2 ( ) har verdien Avgjer om måleiningane blir brukte for areal: 35 50 62 75 Måleining Ja Nei m 3 dm 2 x x 1.3.1.4 Andre oppgåvetypar i Del 1 Del 1 kan også innehalde oppgåver der elevane skal teikne, skravere, konstruere, måle eller liknande for å svare på oppgåva. Oppgåva kan for eksempel gå ut på å teikne symmetrilinjer, spegle eit objekt ved hjelp av teikning, finne forsvinningspunkt, teikne grafar, måle i målestokkoppgåver, konstruere trekantar og andre objekt, skravere og liknande. Del 1 vil altså innehalde oppgåver der elevane kan få bruk for manuelle hjelpemiddel som linjal med centimetermål, passar og vinkelmålar. Dei tillatne hjelpemidla i Del 1 er dermed også nødvendige. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 5 av 24

1.3.2 Kva ventar ein av kunnskapar, forståing og ferdigheiter i Del 1 av eksamen? Eksamensoppgåva blir laga ut frå kompetansemåla i læreplanen. Utvalet nedanfor er derfor ikkje avgrensingar av kompetansemål som kan prøvast i Del 1 av eksamen. Dersom oppgåvene krev det, kan meir komplekse formlar stå som ein del av oppgåveteksten i Del 1. Vidare er det ein føresetnad at elevane beherskar grunnleggjande formlar og framgangsmåtar frå tidlegare skolegang. Sjå tidlegare publiserte eksempeloppgåver frå 2008 og eksamen frå 2009, 2010, 2011 og 2012 som eksempel på oppgåvetypar i Del 1. Formlar, ferdigheiter og kunnskap som elevane skal vere kjende med på Del 1 av eksamen Utvalet nedanfor er ikkje avgrensingar av kompetansemål som kan prøvast i Del 1 av eksamen Tal og algebra addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, hovudrekning og overslagsrekning den vesle multiplikasjonstabellen finne kvadratrot av enkle tal som gir heiltalige løysingar grunnleggjande brøkrekning for alle rekneartane prosentrekning, rekning med desimaltal, heile tal, tal på standardform, primtal og potensar, uttrykkje tal på ulike måtar (talrepresentasjon) algebra og parentesrekning, talrekning formelrekning, formelmanipulering oppstilte/uoppstilte likningar med éin og to ukjende Geometri formel for Pytagoras-setninga formlar knytte til formlikskap, sirkelen og π (pi) forsvinningspunkt, perspektivteikning grunnleggjande konstruksjon med passar og linjal, koordinatsystem, avbildingar (spegling, rotasjon), parallellforskyving og symmetri Måling grunnleggjande måleiningar, veg-fart-tid-formel, målestokk, samansette einingar omgjering av måleiningar vinkelsum i trekant og firkant, vinklar og eigenskapar ved ulike typar trekantar formlar for areal og omkrets av sirkel, trekant, kvadrat, rektangel, trapes, parallellogram overflata til ein sylinder formlar for volum av rette prisme og ein sylinder Statistikk, sannsyn og kombinatorikk grunnleggjande sannsyn, sannsynsomgrepet kjenne innhaldet i omgrepet utfallsrom kunne uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal for enkle tal enkel kombinatorikk kunne berekne median, typetal, gjennomsnitt og variasjonsbreidd for enkle tal kunne framstille og lese av diagram som stolpe-, sektor- og linjediagram og tabellar Funksjonar kjenne til eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære (stigningstal og konstantledd) og enkle kvadratiske funksjonar bruke desse funksjonane i praktiske situasjonar meistre ulike representasjonar (funksjonsuttrykk graf verditabell tekst/situasjon) Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 6 av 24

1.3.3 Innhald i Del 2 Del 2 inneheld oppgåver på tvers av hovudområda i læreplanen. Oppgåvene har ulik vanskegrad. Oppgåvene i Del 2 tek utgangspunkt i éin eller fleire daglegdagse situasjonar og eventuelt matematikkfaglege tema som for eksempel: Tusenfryd og Pytagoras (Eksempeloppgåve 1) Oljeplattform og Erathostenes (Eksempeloppgåve 2) Stortinget og Arkimedes (Eksamen 2009) Mobiltelefonar og Teano (Eksamen 2010) Moped og Thales (Eksamen 2011) «Hos frisøren og Matematikken i Mesopotamia» (Eksamen 2012) Del 2 inneheld oppgåver som prøver breidda og djupna i den matematiske kompetansen elevane har. Det kan førekomme tema som ikkje alle elevar har førehandskunnskapar om. Problemstillingane og formuleringane i dei enkelte oppgåvene vil likevel anten vere uavhengige av førehandskunnskap om temaet, eller så vil samanhengen mellom oppgåva og temaet bli forklart eksplisitt. Del 2 består av ein del oppgåver som er delte inn i fleire delspørsmål. Oppgåvene og dei fleste delspørsmåla vil kunne løysast uavhengig av kvarandre. Likevel kan det førekomme oppgåver der svaret på eitt delspørsmål skal brukast i det neste, og så vidare. Formålet med samanhengande delspørsmål i ei oppgåve er å hjelpe elevane på veg i problemløysinga. Del 2 inneheld éi eller fleire obligatoriske oppgåver for rekneark. I Del 2 av eksamen kan ein gi oppgåver der elevane kan ha nytte av dynamisk geometriprogram i samband med teikning av geometriske objekt og grafteikning. Del 2 kan også innehalde formlar og liknande som kan framstå som nye utfordringar for elevane. Del 2 vil ofte innehalde noko meir tekst og illustrasjonar enn Del 1. Oppgåvene i både Del 1 og Del 2 skal formulerast så klart som mogleg i ei lettfatteleg språkdrakt. Ein ventar at elevane kjenner vanlege ord, uttrykk og omgrep frå det norske språket som blir brukte i samband med oppgåver og problemløysing i matematikk. Setningane i oppgåvene bør ikkje vere for lange og kompliserte. Faguttrykk skal berre brukast der det er nødvendig. Illustrasjonar i form av bilete og teikningar skal støtte opp under lesinga og forståinga av oppgåvene. Når omgrepet skisse er brukt i samband med teikningar, grafar og liknande, er det fordi det nettopp ikkje er snakk om ei nøyaktig teikning i målestokk. Elevane kan da ikkje måle på sjølve skissa for å svare på oppgåva. Del 2 av eksamen er papirbasert. Elevane skal skrive med blå eller svart penn når dei skriv svaret på Del 2 av eksamen, og eventuelt ta utskrifter frå digitale verktøy. Elevane skal bruke eigne ark med stempelet til skolen og kandidatnummeret til eleven når dei svarer på Del 2. 1.3.3.1 Vedlegg Ved eksamen 2013 skal det IKKJE brukast vedlegg. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 7 av 24

1.3.4 Dei vanlegaste måleiningane ved sentralt gitt skriftleg eksamen i MAT0010 Matematikk, (Del 1 og Del 2) 1 Nokre utvalde SI-grunneiningar 2 Storleik Grunneining Namn Symbol Lengd meter m Masse kilogram kg Tid sekund s Nokre avleidde SI-einingar Storleik Areal Volum SI-eining Namn kvadratmeter kubikkmeter Symbol 2 m 3 m Fart meter per sekund m / s Massekonsentrasjon kilogram per kubikkmeter 3 kg /m Nokre utvalde desimale multiplar av SI-einingar (prefiks) Faktorar Prefiks Namn Symbol 12 10 tera T 9 10 giga G 6 10 mega M 1000 kilo k 100 hekto h 10 deka da 0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m 6 10 mikro μ 12 10 nano n Namn og symbol for multiplar av grunneininga for masse blir laga ved å føye prefiksa til nemninga gram (g), for eksempel milligram (mg), hektogram (hg), etc. 1 I samsvar med lov om måleenheter, måling og normaltid og forskrift om måleenheter og måling kapittel 2, 2-1 til 2-10 (Justervesenet). Kjelde:www.lovdata.no (2010) 2 SI = Système International d Unités (1960), i Noreg frå 1977. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 8 av 24

Spesielle namn på visse desimale multiplar av SI-einingar Storleik Eining Namn Symbol Uttrykt i SI-einingar Volum liter L 3 3 1 L1 dm 0,001 m Masse tonn t 1 t 1 Mg 1000 kg Flatemål ar a 2 1 a 100 m ml (milliliter), cl (centiliter), dl (desiliter) etc. 2 100 a 10000 m kallar vi hektar (ha) 2 10 a 1000 m kallar vi dekar (daa) Nokre einingar som er definerte ut frå SI-einingane, men som ikkje er desimale multiplar Storleik Eining Namn Symbol Uttrykt i SI-einingar Tid minutt min 1 min 60 s Tid time h 1 h 60 min 3600 s Tid døgn d 1 d 24 h 86400 s 1000 m 1 1 km /h m / s 3,6 km /h 1 m / s 3600 s 3,6 Andre utvalde einingar Storleik Eining Namn Symbol, verdi Elektrisk straum ampere A Termodynamisk temperatur kelvin K Celsiustemperatur grad celsius C Effekt watt W Elektrisk spenning volt V Resistans ohm Ω Lengd nautisk mil 1 nautisk mil = 1852 m Fart knop 1 knop = 1 nautisk mil per time Elles viser vi til forskrift om måleenheter og måling kapittel 2, 2-1 til 2-10 (Justervesenet). Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 9 av 24

1.3.5 Eksempel på andre skrivemåtar/symbolbruk i eksamensoppgåver Grunnleggjande matematiske symbol Symbol Namn Meining /definisjon Eksempel Plussteikn Addisjon 2 3 Minusteikn Subtraksjon 2 3 Minusteikn Forteikn 2 Gangeteikn Multiplikasjon 2 3 : Deleteikn Divisjon 2 : 3 / Deleteikn Divisjon 2 / 3 Brøkstrek Divisjon 2 3 Likskapsteikn Likskap 2 3 5 Ikkje lik Ulikskap 2 3 Omtrent lik 3,14 Ulikskap større enn 3 2 Ulikskap mindre enn 3 4 Ulikskap større enn eller lik x 0 Ulikskap mindre enn eller lik x 0 ( ) Parentes Rekne ut uttrykket i parentesen først. 2 (3 5) 28 16 [ ] Klammeparentes Rekne ut uttrykket i parentesen først. [(1 2) (1 5)] [36] 18 b a Potens Eksponent 3 2 222 8 a Kvadratrot a a a 9 3 3 a Kubikkrot 3 3 3 a a a a 3 8 2 % Prosent per hundre, 1/100 15010% 15 Promille per tusen, 1/1000 150010 15 Andre symbol i digitale verktøy Symbol Namn Meining /definisjon Eksempel ^ Hatt Eksponent 2 ^ 3 8 * Stjerne Multiplikasjon 2* 3 6 / Deleteikn Divisjon 2 / 3 Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 10 av 24

Geometriske symbol Symbol Namn Meining /definisjon Eksempel Vinkel danna av to ABC 45 vinkelbein Grader Eitt omløp er 360. ABC 45 Vinkelrett vinkelrette lengder AB DE Parallell parallelle lengder AB DE Markerer at to Ikkje parallell lengder ikkje er parallelle. AB DE Trekant Firkant Formlikskap Kongruens Pi-konstant Gylne snittkonstant trekanta geometrisk figur firkanta geometrisk figur same form, ikkje same storleik same form og same storleik geometrisk forhold mellom omkrets og diameter i ein sirkel Gylne snitt ABC ABCD ABC ABC O d DEF DEF 1 5 1,618 2 Andre symbol Symbol Namn Meining /definisjon Eksempel x x-variabel ukjend verdi Dersom 2x 4, da er x 2 y y-variabel ukjend verdi Dersom 2x y 1 og x 1, da er y 3 f( x ) Funksjon av x Overfører verdiar av x til f( x ) f( x) 2x 1 y Funksjon av x Overfører verdiar av x til y y 2x 1 ( x, y ) Punkt i x-koordinat koordinatsystemet y-koordinat (2, 3) x-verdiar varierer frå a x b Intervall for x og med a til og 0 x 10 med b. gjennomsnitt av For verdiane 2, 3, 5, 4, er x Gjennomsnitt nokre observasjonsverdiar 4 2 3 5 4 x 3,5 C Grad Celsius celsius-grader 15 C F Grad Fahrenheit fahrenheit-grader 15 F! Utropsteikn fakultet 4 element kan byte rekkjefølgje 4! 1234 24 gonger Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 11 av 24

1.4 Framgangsmåte og forklaring Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan elevane fritt velje framgangsmåte og hjelpemiddel. Dei ulike metodane må da reknast som likeverdige. Dersom oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Det er viktig at sensorane ikkje berre ser etter om svaret er riktig eller ikkje, men at dei også vurderer den framgangsmåten elevane har brukt. Framgangsmåte og forklaring er ofte viktigare enn berre eit korrekt svar. Prøve og feile -metode / verifisering ved innsetjing kan gi noko utteljing, men ikkje full utteljing ved sensuren. Framgangsmåte, utrekning og forklaring skal premierast sjølv om resultatet ikkje er riktig. Ved følgjefeil skal sensor likevel gi utteljing dersom den vidare framgangsmåten er riktig og oppgåva ikkje blir urimeleg forenkla. Nødvendig mellomrekning og forklaring er påkravd for å vise kva ein har gjort, særleg i rekneruter i Del 1 og i heile Del 2 av eksamen. Resonnements- og kommunikasjonskompetanse er viktig her. Det er viktig at eleven presenterer løysingane på ein ryddig, oversiktleg og tydeleg måte. Manglande konklusjon, nemning, bruk av nødvendig notasjon mv. kan føre til lågare utteljing ved sensuren. Dersom elevane ikkje har med framgangsmåten, men berre eit korrekt svar, er også det av verdi. Eleven har løyst problemet og skal få noko utteljing for det. Ved meir opne oppgåveformuleringar bør elevane grunngi tolkinga av oppgåva og valet av løysingsstrategi. Kravet til framgangsmåte og forklaring ved bruk av digitale verktøy er ikkje mindre enn ved bruk av manuelle hjelpemiddel snarare tvert imot. Det er viktig å vise kva ein har gjort i det digitale verktøyet, for å få utteljing ved sensuren. I opplæringa bør elevane øve seg på å vise framgangsmåtar og reflektere rundt svar og løysingsmetodar. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 12 av 24

1.5 Andre kommentarar 1.5.1 Konstruksjon (papirbasert) i Del 1 Konstruksjonsoppgåver skal i Del 1 løysast med passar, blyant og linjal. I Del 1 får elevane ei konstruksjonsoppgåve som inkluderer både hjelpefigur, konstruksjon og konstruksjonsforklaring. Svar på konstruksjonsoppgåver i Del 1 bør vere på blankt papir. 1.5.2 Grafteikning og skisse (papirbasert) Teikning av grafar kan gjerast manuelt på papir. Det er viktig at elevane skriv på skala og namn på aksane når dei teiknar grafar i svaret. Det er generelt ikkje krav om verditabell over utrekna funksjonsverdiar, med mindre det er spurt spesielt om det i oppgåva. Når omgrepet skisse blir brukt i samband med teikningar, grafar og liknande, er det ikkje snakk om ei nøyaktig teikning i riktig målestokk. Eleven kan da ikkje utan vidare måle på sjølve skissa for å svare på oppgåva. Dersom elevane blir bedne om å skissere ein graf, er det tilstrekkeleg at dei skisserer forma på kurva i svaret. Her blir det ikkje stilt så store krav til nøyaktigheit som ved teikning av grafar. Elevane bør likevel ta med viktige punkt som null-, botn- og toppunkt. På skissa/teikninga av grafen skal avlesingar markerast tydeleg. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 13 av 24

1.5.3 Digitale verktøy på Del 2 av eksamen Det å kunne bruke digitale verktøy i matematikk er ei grunnleggjande ferdigheit ifølgje læreplanen i faget. For fellesfaget matematikk står det: Å kunne bruke digitale verktøy i matematikk handlar om å bruke slike verktøy til spel, utforsking, visualisering og publisering. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale hjelpemiddel til problemløysing, simulering og modellering. I tillegg er det viktig å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med høvelege hjelpemiddel, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat. Det er derfor ein føresetnad at elevane er kjende med digitale verktøy og kan bruke desse verktøya under Del 2 av eksamen. Med digitale verktøy forstår vi her først og fremst kalkulator, dynamisk geometriprogram, grafteiknar og rekneark. Faglæraren må hjelpe elevane med å finne fram til relevante, formålstenlege og nyttige digitale verktøy som kan nyttast til eksamen. På eksamensdagen må elevane sjølve velje og bruke formålstenlege hjelpemiddel, jf. Kjenneteikn på måloppnåing nedanfor. Du finn tidlegare eksamensoppgåver, eksempeloppgåver og fleire eksempel på løysingar av eksamen i matematikk og korleis digitale verktøy er brukte ved eksamen, her: http://www.udir.no/vurdering/eksamen-grunnskolen/for-eksamen/eksempeloppgaver-ogeksamensoppgaver-for-kunnskapsloftet/ 1.5.3.1 Kalkulatorar (på datamaskin) Elevane treng ein enkel kalkulator for å kunne løyse Del 2 av eksamen. Denne kalkulatoren finst også på ei datamaskin. Hugs at alle funksjonar på slike enkle kalkulatorar kan erstattast av rekneark. Meir avanserte kalkulatorar er tillatne, men er ikkje nødvendige for å kunne svare på Del 2 av eksamensoppgåva på ein fullverdig måte i grunnskolen. 1.5.3.2 Dynamisk geometriprogram (på datamaskin) Dynamisk geometriprogram kan brukast til å teikne geometriske figurar. Ved teikning av geometriske figurar med dynamisk geometriprogram ( Teikne ) under Del 2 av eksamen, er det tillate å bruke alle funksjonstastane/kommandoane direkte i programvara. Eksempel på slike er funksjonstastar/kommandoar som teiknar normalar, halverer vinklar, lagar midtnormal, teiknar parallelle linjer, og så vidare. Elevane må leggje ved ei oversikt over kva som er gjort i programvara, i svaret sitt. Elevane vil bli prøvde i klassisk konstruksjon med passar og linjal under Del 1, jf. kapittel 1.5.1. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 14 av 24

1.5.3.3 Grafteiknar (på datamaskin) Digitale grafteiknarar finst i mange variantar og kan vere aktuelt å bruke ved alle skriftlege eksamenskodar i matematikk. Dersom elevane bruker ein grafteiknar, er det viktig at dei tek med skala og namn på aksane når dei teiknar grafar. Dersom elevane bruker ein slik grafteiknar, treng dei ikkje å oppgi verken verditabell eller framgangsmåte (korleis dei har gått fram for å teikne grafen). Elevane må forklare kva for kommandoar dei har brukt for å finne for eksempel skjeringspunkt og ekstremalpunkt. Nedanfor viser vi eit eksempel frå Eksamen våren 2011, oppgåve 6 frå Del 2 med bruk av grafteiknaren i GeoGebra: Vi bruker Funksjon [0.125x^2, 0, 12 ] for å teikne grafen for oppgitte verdiar. Kommando som er brukt: Skjering mellom to objekt. Koordinatane til skjeringspunktet S bør komme klart fram ( Namn og verdi ). Konklusjon: Farten til scooteren er 8,9 m/s når bremselengda er 10,0 m. Til eksamen i MAT0010 Matematikk våren 2013 vil elevane få ei oppgåve i Del 2 av eksamen der dei skal teikne ein graf. Det er ein klar fordel for elevane dersom dei beherskar ein digital grafteiknar, for eksempel Geogebra, når dei skal teikne grafar. Elevane bør også kunne teikne grafen innanfor eit definisjonsområde. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 15 av 24

1.5.3.4 Rekneark (på datamaskin) I Kunnskapsløftet er bruk av digitale verktøy definert som ei grunnleggjande ferdigheit som er integrert i kompetansemåla i læreplanen. Bruk av rekneark inngår derfor som ein naturleg del av dei grunnleggjande ferdigheitene, og ein kan dermed gå ut frå at elevane beherskar dette ved eksamen i MAT0010 Matematikk. Obligatorisk bruk av rekneark på eksamen i MAT0010 Matematikk blir vidareført våren 2013 og ved dei kommande eksamenane i faget. Ei løysing utan bruk av rekneark i ei oppgåve som skal løysast på rekneark, kan ikkje reknast som ei fullgod løysing, og elevane får da låg utteljing ved sensuren. Generelle retningslinjer og råd om bruk av rekneark: 1 Ei reknearkutskrift skal ha med rad- og kolonneoverskrifter. Utskrifta skal også vere identifiserbar, det vil seie at ho inneheld oppgåvenummer, namn på skolen og kandidatnummer. 2 Løysinga på reknearket bør i størst mogleg grad vere dynamisk, dvs. at løysinga endrar seg dersom ein endrar tala i ei oppgåve. Derfor bør elevane altså i størst mogleg grad nytte formlar og ikkje skrive inn tala som om oppgåvene skulle ha vore løyste på papir og utan rekneark. 3 Elevane skal anten ta ei formelutskrift av reknearket eller skrive formlane dei har brukt, i ein tekstboks. 4 Elevane bør prøve å tilpasse løysinga på reknearket til eitt eller to utskriftsark. Dei kan bruke førehandsvising før utskrift. Det som er nemnt under punkt 3 og 4, bør vere ein del av den digitale kompetansen elevane har i matematikkfaget. 5 Sjølv om det primært er det faglege innhaldet som skal vurderast, vil også presentasjonen av løysinga bli vurdert. Bruk av digitale verktøy (her rekneark) i matematikk er ein føresetnad på eksamen, men det er altså først og fremst matematikkompetansen som skal prøvast. Utskrifter av det ferdige reknearket og formelutskrifter må vere identifiserbare ved at namnet på skolen og kandidatnummeret er påførte. Sjølv om eksamen i MAT0010 Matematikk ikkje inneheld mange oppgåver der elevane skal bruke rekneark, er det fullt mogleg å bruke rekneark til å løyse andre oppgåver under Del 2 av eksamen. I Del 2 av eksamen i MAT0010 Matematikk våren 2013 blir det gitt ei oppgåve som krev bruk av rekneark. Elevane kan elles bruke rekneark dersom dei meiner det er formålstenleg for å svare på andre oppgåver i Del 2 av eksamen. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 16 av 24

1.5.4 Digitale verktøy og matematisk symbolbruk I digitale verktøy kan matematisk symbolbruk avvike noko frå den klassiske symbolnotasjonen. Eksempel på dette er /, *, ^ og så vidare. Dette er godkjend notasjon, og elevane må få utteljing for dette under sensuren. Meir klassisk (og korrekt) notasjon og symbol- og formalismekompetanse blir prøvd i Del 1 av eksamen. 1.5.5 Sensorrettleiing og vurderingsskjema Utdanningsdirektoratet publiserer ei sensorrettleiing i fagkoden MAT0010 Matematikk. Saman med sensorrettleiinga blir det også publisert eit vurderingsskjema som sensorane skal bruke. Formålet med desse publikasjonane er å støtte opp om den sentrale sensuren og sikre ein rettferdig sensur for alle eksamenskandidatane. Sensorrettleiinga og vurderingsskjemaet blir publiserte på eksamensdagen, etter at eksamen er halden. Desse dokumenta finn du her: Sensorrettleiinga inneheld kommentarar til oppgåvene og retningslinjer til sensor om vurderinga av dei. Vi føreset at alle sensorane følgjer denne rettleiinga. Vurderingsskjemaet inneheld poengfordeling for denne fagkoden. NB! Bruk av poeng er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei heilskapsvurdering av svaret, bruk av kjenneteikn på måloppnåing og det faglege skjønnet til sensor. 1.5.6 Førehandssensur og førehandssensurrapport På bakgrunn av førehandssensuren til oppmennene blir det utarbeidd ein førehandssensurrapport som blir publisert på nettsidene til Utdanningsdirektoratet, på same stad som sensorrettleiinga: http://www.udir.no/vurdering/eksamen-grunnskolen/vurderings--og-sensorveiledninger-ogforhandssensur-grunnskolen/ http://www.udir.no/vurdering/eksamen-grunnskolen/vurderings--og-sensorveiledninger-ogforhandssensur-grunnskolen/ Førehandssensurrapporten byggjer på sensorrettleiinga og rapportar frå sensorane og kan innehalde justeringar av sensorrettleiingane. Vi føreset at alle sensorane følgjer rettleiinga i førehandssensurrapporten. Vidare er førehandssensurrapporten forpliktande for alle sensorane ved fellessensuren. Førehandssensurrapporten vil innehalde rettleiande poenggrenser. NB! Bruk av poeng er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei heilskapsvurdering av svaret, bruk av kjenneteikn på måloppnåing og det faglege skjønnet til sensor. Alle sensorar er forplikta til å følgje all rettleiing frå Utdanningsdirektoratet, det vil seie: eksamensrettleiinga inkludert kjenneteikn på måloppnåing sensorrettleiinga og vurderingsskjema førehandssensurrapporten Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 17 av 24

1.6 Kommentarar til kjenneteikn på måloppnåing Stortingsmelding nr. 30 (2003 2004) slår fast at ei standardbasert (kriteriebasert) vurdering skal leggjast til grunn for eksamenskarakterane. Da den nye læreplanen (Kunnskapsløftet) blei innført, blei det derfor utarbeidd eit sett av kjenneteikn på måloppnåing i matematikkfaget. Kjenneteikna på måloppnåing uttrykkjer i kva grad eleven har nådd kompetansemåla i læreplanen, og beskriv dermed kor godt eleven meistrar faget. Matematikkompetansen som kjenneteikna beskriv, er delt inn i tre kategoriar: 1) Omgrep, forståing og ferdigheiter 2) Problemløysing 3) Kommunikasjon Innhaldet i desse kategoriane beskriv matematikkompetansen på tvers av kompetansemåla i læreplanen og er meint å vere til hjelp for det faglege skjønnet til sensor når prestasjonen til eleven skal vurderast. Dei tre kategoriane kan ikkje forståast kvar for seg, men er presenterte slik for oversikta si skyld. Kjenneteikna for alle tre kategoriane gjeld for både Del 1 og Del 2 av eksamen. Omgrep, forståing og ferdigheiter Denne kategorien er ein viktig og grunnleggjande del av matematikkompetansen. God kunnskap her er avgjerande for å kunne takle større og meir samansette utfordringar. Kjenneteikna i denne kategorien beskriv i kva grad eleven kjenner, forstår og handterer matematiske omgrep. Vidare ventar ein at eleven kan avkode, omsetje og behandle mellom anna symbol og formlar. Det er ikkje berre snakk om bokstavrekning og løysing av likningar, men også talsymbol, matematiske teikn og formelle sider ved elementær rekning. For eksempel er det ikkje lov å skrive 6 5 eller 6 3. Vidare er 2 (3 4) ikkje det same som 2 2 23 4 og 2 er ikkje det same som ( 2). I denne kategorien inngår også det å forstå og handtere ulike representasjonar av omgrep. For eksempel kan π (pi) representerast ved hjelp av symbolet π eller som ein uendeleg desimalbrøk 3,141592265 eller som ei rasjonal tilnærming (for eksempel brøkane 22 223 7 eller 71 ) eller geometrisk som omkretsen av ein sirkel med diameter 1, osv. Eit anna eksempel er omgrepet lineær funksjon, som kan representerast som eit funksjonsuttrykk eller ein regel y f ( x) 2x 1, som ein teikna graf i eit koordinatsystem, som ein verditabell med verdiar for x og y, som eit geometrisk objekt, for eksempel den rette linja som går gjennom punkta (0, 1) og (2,3), eller algebraisk som ei løysingsmengd til ei likning, for eksempel 3y6x 3 0. Problemløysing Denne kategorien seier noko om evna til å løyse ulike problemstillingar. Vi må her forstå omgrepet problem vidt frå enkle, rutineprega oppgåver til større, meir samansette problem. Det er altså snakk om korleis eleven bruker kunnskapar og ferdigheiter på ulike matematiske problemstillingar og ser samanhengar i faget og mellom hovudområda i læreplanen. Vi kan også forstå problem relativt. Det som er eit problem for éin elev, kan andre elevar oppleve som elementært, avhengig av nivået dei er på. Denne kategorien vil også beskrive kompetansen eleven har når det gjeld modellering i kva grad eleven kan lage, ta i bruk og vurdere modellar. Det kan for eksempel dreie seg om å betrakte ein vekstfunksjon eller undersøkje kostnadene ved å bruke mobiltelefon. I denne kategorien er det også naturleg å vurdere i kva grad eleven er kjend med ulike hjelpemiddel og kan bruke dei på ein Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 18 av 24

formålstenleg måte under eksamen. Vidare er det naturleg å vurdere i kva grad eleven viser matematisk tankegang, og om eleven har evne til å vurdere svar i samband med ulike matematiske problemstillingar. Kommunikasjon Denne kategorien beskriv mellom anna i kva grad eleven klarer å setje seg inn i ein matematisk tekst og kan uttrykkje seg skriftleg ved hjelp av det matematiske symbolspråket. Det er viktig at eleven viser framgangsmåtar, argumenterer og forklarer den matematiske løysinga. Dette er spesielt viktig i samband med bruk av digitale verktøy. *** *** *** Kategorien Problemløysing er den mest sentrale kategorien for vurderingsgrunnlaget til sensor, men det er også viktig å sjå kjenneteikna på måloppnåing i alle tre kategoriar i samanheng med kvarandre. Det er naturlegvis ikkje vasstette skott mellom kategoriane, men heller flytande overgangar. Kjenneteikna på måloppnåing skal gi informasjon om kva det blir lagt vekt på i vurderinga av elevprestasjonen. Dei skal vidare beskrive kvaliteten på den kompetansen elevane viser (kva dei meistrar), ikkje mangel på kompetanse. Kjenneteikna beskriv kvaliteten på den matematiske kompetansen til elevane på tvers av hovudområda og kompetansemåla i læreplanen. Ved å nytte kjenneteikn på måloppnåing og eventuelt poeng kan sensor danne seg eit bilete av eller lage ein profil over den matematiske kompetansen eleven har vist. Dei nemnde kategoriane av matematikkompetanse inneheld kjenneteikn knytte til tre ulike karakternivå: låg kompetanse (karakteren 2) nokså god / god kompetanse (karakterane 3 og 4) mykje god / framifrå kompetanse (karakterane 5 og 6) Målet med kjenneteikna er å gi ein pekepinn, ei retning for korleis sensor skal vurdere prestasjonen, og ei retning for det faglege skjønnet til sensorane. Kjenneteikna er dermed ikkje nødvendigvis ei millimeterpresis beskriving av ulike kompetansenivå. Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 19 av 24

Kjenneteikn på måloppnåing Sentralt gitt skriftleg eksamen i MAT0010 Matematikk Kompetanse Karakteren 2 Karakterane 3 og 4 Karakterane 5 og 6 Eleven Eleven Eleven Omgrep, forståing og ferdigheiter har ein del fag- og omgrepsforståing og kan bruke denne forståinga i enkel ferdigheitsrekning kan bruke enkle, oppstilte og standardiserte metodar, framgangsmåtar og formlar har relativt god omgrepsforståing og kunnskap om ulike representasjonar og formlar og behandlinga av dei viser i varierande grad presisjon og sikkerheit kan kombinere omgrep og kunnskap frå ulike område og behandle ulike matematiske representasjonar og formlar på ein sikker måte er rekneteknisk sikker kan ta utgangspunkt i tekstar, figurar m.m. og løyse enkle problemstillingar kan i varierande grad ta utgangspunkt i tekstar, figurar m.m. og analysere og bruke fagkunnskap i ulike situasjonar kan ta utgangspunkt i tekstar, figurar m.m. og utforske og analysere problemstillingar, stille opp matematiske modellar og løyse problem med fleire innfallsvinklar Problemløysing kan i nokon grad bruke fagkunnskap og modellar på eit problem og i nokon grad gjennomføre enkle løysingsmetodar kan avgjere om svar er rimelege, i enkle situasjonar kan sjå nokre samanhengar i ulike problemstillingar og modellar og kan gjennomføre nokre løysingsmetodar i fleire trinn kan som regel grunngi svar og vurdere om svar er rimelege ser fagleg djupare og breiare samanhengar, viser kreativitet og originalitet, og kan gjennomføre løysingsmetodar i fleire trinn på ein sikker måte kan på ein sikker måte grunngi og vurdere om ulike svar er rimelege, og reflektere over om løysingsmetoden er formålstenleg kjenner til og kan i nokon grad bruke hjelpemiddel kan i varierande grad velje og bruke hjelpemiddel på ein formålstenleg måte kan velje og bruke ei rekkje hjelpemiddel med stor sikkerheit kan i nokon grad vurdere kva moglegheiter og grenser hjelpemidla har kan delvis vurdere kva moglegheiter og grenser hjelpemidla har kan på ein sikker måte grunngi og vurdere kva moglegheiter og grenser hjelpemidla har kan vise matematiske samanhengar både med og utan digitale verktøy presenterer framgangsmåtar, metodar og løysingar på ein forenkla og mindre samanhengande måte presenterer i varierande grad løysingar på ein samanhengande måte presenterer løysingar på ein veldisponert, oversiktleg, systematisk og overtydande måte Kommunikasjon bruker uformelle uttrykksformer og eit kvardagsleg språk presenterer formlar, reglar, framgangsmåtar, metodar og utrekningar med forklarande tekst og delvis matematisk formspråk viser klart og oversiktleg alle framgangsmåtar og presenterer løysingar ved hjelp av eit klart matematisk formspråk bruker eit uformelt språk til å uttrykkje ein forenkla tankegang Karakteren 1 uttrykkjer at eleven har svært låg kompetanse i faget. kan bruke eit matematikkfagleg språk og gjennomføre enkle resonnement med relativt god tankegang gjennomfører logiske resonnement med eit klart matematisk formspråk og ein klar tankegang på ein sikker måte Eksamensrettleiing MAT0010 Matematikk 2013 Side 20 av 24