Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere ekamensoppgaver innenfor temaet lineær algebra gitt i tilsvarende kurs som MAT1001 ved UiO. Utvalget er gjort med hensyn på at de skal kunne løses med pensumet i MAT1001. Vær oppmerksom på at språk og notasjon kan variere noe. Eksamen i MA 001, 26. november 1977 Oppgave 4 En skal benytte en overgangsmatrise (projeksjonsmatrise for å beskrive veksten av en insektpopulasjon. Populasjonen deles inn i 3 aldersgrupper der bare hunninsektene regnes med. Antall døtresom blir født pr. insekt antas å være F 0 = 0, F 1 = 80 og F 2 = 50 i de 3 aldersgruppene, mens brøkdelene av insekter som overlever i hver aldersgruppe antas å være P 0 = 0.6, P 1 = 0.8 og P 2 = 0. Til å begynne med har en n 00 = 200, n 10 = 120 og n 20 = 85 individer i de 3 aldersgruppene. a Still opp overgangsmatrisen M som gir aldersfordelingen i populasjonen ett trinn senere, og beregn neste populasjon. b Beregn overgangsmatrisen M 2 som gir aldersfordelingen i populasjonen to trinn senere. 96
Eksamen i MA 001, 29. mai 1978 Oppgave 3 a Vi vil betrakte tre plantearter a 1, a 2, a 3, tre arter planteetende dyr b 1, b 2, b 3 og to rovdyrarter c 1, c 2. Følgende matriser uttrykker hvor mange enheter hvert av de planteetende dyrene spiser av hver planteart og hvor stort antall hvert av rovdyrene spiser av hver art planteetende dyr i løpet av en sesong. a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 7 4 0 8 4 3 3 0 8 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 4 0 3 4 6 5 Finn hvor mange enheter c i, i = 1, 2, indirekte spiser av a j, j = 1, 2, 3, i løpet av en sesong. Svaret kan settes opp som en matrise a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 b Anta at hvert av de planteetende dyrene spiser like meget av hver planteart som under punkt a. Sett opp et likningssystem som uttrykker hvor meget c i må spise av hvert av de planteetende dyrene b i, i = 1, 2, 3, for at c 1 indirekte skal fortære 14, 46, 86 enheter av henholdsvis a 1, a 2, a 3 i løpet av en sesong. Kall de ukjente i likningssystemet for x 1, x 2, x 3 der x i er det antall c i spiser av dyret b i i løpet av en sesong i = 1, 2, 3. c Løs likningssystemet under punkt b. 97
Eksamen i MA 001, 10. mai 1979 Oppgave 4 I populasjons-dynamikk studerer en bl.a. modeller av følgende type. En tenkt dyrepopulasjon inndeles i to aldersgrupper unge og gamle". Ved tiden t = 0 antar vi at det er x 0 unge og y 0 gamle individer. x k og y k er antall unge og gamle i populasjonen k sesonger senere. Man antar i modellen at det er gitt en 2 2-matrise M (projeksjonsmatrisen slik at ( x k y k = M k ( x 0 ( 0.5 5 I det følgende antar vi M = 0.1 0 x 0 = 2000 unge og y 0 = 680 gamle. a Finn antall unge og gamle etter 2 sesonger. b Finn tall a, b slik at y 0 for alle k.. Vi antar også at vi starter med ( ( ( 2000 10 10 = a + b 680 1 2 ( 10 ( 10 c Vis at og 1 2 egenverdiene. er egenvektorer for M og finn de tilsvarende d La a, b være som ovenfor. Vis at ( ( M k 2000 10 = a + ( 1 k ( 10 2 b 680 1 2 Hint: Bruk at dersom X er en egenvektor for M med egenverdi λ, så har vi M k (cx = λ k cx for alle reelle tall c. e Vis ved hjelp av uttrykket i d at antall unge i det lange løp vil stabilisere seg på et visst nivå. 98
x Finn også lim k k y k. Eksamen i MA 001, 3. desember 1980 Oppgave 7 (Merk: tegninger fulgte med, men vi har utelatt disse, da de skapte kræsj i programvaren. Teksten vil være nok til at dere kan tegne egne tegninger. Vi tenker oss en populasjon som består av 1200 dyr og som beveger seg innenfor et isolert geografisk område som er oppdelt i 3 delområder A, B og C. I en modell tenker vi oss at bevegelsen skjer på følgende måte: La t være et vilkårlig tidspunkt, og betrakt de av dyrene som befinner seg i område A ved tiden t. Etter nøyaktig ett år skal 20% av dem befinne seg i område B, 10% av dem skal befinne seg i C, og resten, det vil si 70% skal befinne seg i A. De tilsvarende prosenttallene for utflytting fra område B antar vi er gitt ved 10% til A, 60% blir i B og 30% til C. Utflytting fra område C antar vi er gitt ved 10% til A, 10% til B og 80% blir i C. Vi ser bort fra fødsel og død, slik at populasjonen til enhver tid består av tilsammen 1200 dyr. La x 0, y 0 og z 0 være antall dyr i områdene A, B og C ved tiden t = 0, og la, og z n være de tilsvarende tallene nøyaktig n år senere. a Still opp et lineært likningssystem som uttrykker +1, +1 og z n+1 ved, og z n. b Likningssystemet i a kan skrives på matriseform: +1 +1 = M z n+1 z n Finn matrisen M. Hvis du ønsker å kontrollere svaret, kan du regne ut 99
M 2. Riktig regning gir 0, 52 0, 16 0, 16 M 2 = 0, 27 0, 41 0, 16 0, 21 0, 43 0, 68 c Etter hvert som tiden går vil det innstille seg en likevektstilstand der antall dyr x, y og z i hvert av områdene A, B og C ikke forandrer seg med tiden. Bestem x, y og z for en slik likevektstilstand. Eksamen i MA 001, 4. desember 1981 Oppgave 4 En dyrepopulasjon er inndelt i følgende aldersgrupper: Aldersgruppe nr. Alder Antall individer 1 Høyst én sesong gamle x 2 Mer enn én sesong gamle y x Populasjonens tilstand angir vi ved søylematrisen. y I en undersøkelse ble det foretatt telling med én sesongs mellomrom, og følgende tilstander ble observert (i denne rekkefølge: 600 4000 8000 40 80 Vi ønsker å tilpasse en modell til disse observasjonene. I modellen antar vi at vi kan komme fra en vilkårlig tilstand og til tilstanden én sesong senere 440 ved å multiplisere med en matrise av følgende type 0 F Bestem tallene i denne matrisen ut fra observasjonene ovenfor. p q 100
Eksamen i MA 001, 13. mai 1983 Oppgave 2 La A være matrisen 2 3 1 A = 1 2 4 1 3 1 Beregn matrisen A 2 og finn determinantene til A og til A 2. Til kontroll opplyses at resultatet oppfyller likningen (det A 2 = det A 2. Eksamen i MA 001, 26. november 1983 Oppgave 2 Beregn determinanten 1 2 3 1 a 21 3 7 a For hvilke verdier av a har systemet x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + ax 2 21x 3 = 2 3x 1 + 7x 2 + ax 3 = 3 nøyaktig én løsning? Eksamen i MA 001, 27. november 1984 Oppgave 5 La a være et gitt reelt tall. 101
a Beregn determinanten til matrisen 1 a a a 1 1 a 1 a 2 Som kontroll oppgir vi at determinanten er lik 0 hvis og bare hvis a 2 = 1. b Undersøk hvordan antall løsninger for likningssystemet avhenger av a. x + ay + az = 1 ax + y + z = 1 ax + y + a 2 z = 1 Eksamen i MA 001, 13. mai 1985 Oppgave 3 I en modell for bosetting deler vi en befolkning grovt inn i to grupper, de som bor i byområder og de som bor i landområder. Vi lar og være antall personer i henholdsvis by- og landområder ved tiden n (n = 1, 2, 3,.... Vi antar at vi har +1 = + 0, 3 +1 = 0, 1 + 0, 8 for alle n. a Hvor mange prosent øker den totale befolkning i løpet av tidsintervallet n, n + 1? 102
b Finn en matrise M slik at +2 +2 = M b Finn en matrise N slik at = N +1 +1 d Sett r n = xn. Finn r n+1 uttrykt ved r n. Sett r = lim n r n. Du skal ta for gitt at grenseverdien eksisterer. Bruk denne opplysningen sammen med uttrykket du fant for r n+1 til å finne r. Eksamen i MA 001, 12. desember 1986 Oppgave 5 Undersøk hvordan antall løsninger av likningssystemet ax + z = 0 4x + ay + 3z = 4 ax + y + 2z = 1 avhenger av a. a er her et gitt reelt tall. Eksamen i MA 001, 2. desember 1987 Oppgave 2 Vi betrakter en populasjon inndelt i unge og gamle individer. Antallet unge og gamle individer (målt i en passelig enhet n sesonger etter at vi begynner å studere populasjonen, betegner vi med henholdsvis og. Vi antar at 103
vi alltid har +1 = + 3 2 +1 = 1 2. a Finn en 2 2 matrise M slik at +1 +1 = M for n 0, og finn egenverdiene og egenvektorene til denne matrisen M. x0 4 xn b Anta at =. Finn et uttrykk for ved å uttrykke y 0 8 som en sum av egenvektorer for M. x c Finn lim n n yn. Eksamen i MA 001, 28. november 1988 Oppgave 5 Bestem for hvilke reelle tall a likningssystemet har mer enn én løsning. x + ay + az = 0 ax + ay + z = 1 x + ay + z = 1 x0 y 0 104
Eksamen i MA 001, 27. mai 1991 Oppgave 6 a For hvilke verdier av konstanten a vil likningssystemet 2x + a 2 y = a x + 2y = 1 ha 1. én entydig løsning? 2. uendelig mange løsninger? 3. ingen løsninger? b Mange planter formerer seg både kjønnet (ved frøspredning og ukjønnet (ved utløpere, avleggere o.l.. For å studere utviklingen av et plantesamfunn deler vi plantene inn i to aldersklasser: Klasse 1 (nyspirte planter og klasse 2 (fullt utvokste. Vi lar betegne antall planter i klasse 1, antall planter i klasse 2, i sesong nr. n. For samfunnets utvikling fra én sesong til den neste gjør vi følgende antakelser: En plante i klasse 1 vil være fullt utvokst neste sesong, og vil i tillegg gi 2 nyspirte planter (ved frøspredning. En fullt utvokst plante vil derimot i gjennomsnitt ved frøspredning gi 4 nyspirte planter. Endelig antar vi at hver plante i aldersklasse 2 overlever til sesongen etter, og i tillegg produserer en fullt utvokst avlegger. Finn overgangsmatrisen A slik at +1 +1 = A (A vil være et spesialtilfelle av koeffisientmatrisen i oppgave a. Anta at det opprinnelig (sesong nr. 0 var 100 planter totalt i plantesamfunnet. Hvor mange av disse var i aldersklasse 1, og hvor mange i klasse 2, dersom tilstanden etter to sesonger er x 2 = 1200, y 2 = 600?. 105
Eksamen i MA 001, 2. juni 1993 Oppgave 5 (I denne oppgaven kan spørsmålene b og c besvares uavhengig av a. I en by finnes det tre aviser, en skandaleavis A, en moderat seriøs avis B og en svært seriøs avis C. I løpet av fem år skjer følgende forandringer i salgstallene: Hver av de tre avisene får et antall nye kjøpere som ikke har kjøpt noen avis tidligere som er 10% av det antallet kjøpere de hver hadde tidligere. 10% av kjøperne av A slutter med A og går over til B, og 10% av kjøperne av B slutter med B og går over til C. 5% av kjøperne av B slutter med B og begynner å kjøpe A, og likeledes går 5% av kjøperne av C over til B. 5% av kjøperne av henholdsvis B og C slutter å kjøpe noen avis overhodet. Ellers beholder kjøperne sin gamle avis. La,, z n være salgstallene for de tre avisene A, B, C i året 5n, for n = 0, 1, 2,. a Uttrykk +1, +1, z n+1 ved,, z n og sett opp uttrykket som en matriseligning +1 +1 = M z n+1 z n der M er en 3 3 matrise. Med litt andre tall enn ovenfor blir matrisen M = 1 1 0 10 1 1 1 10 10 0 1 10 1 Bruk bare denne siste matrisen M når du svarer på spørsmålene b og c. b Finn egenverdiene og de tilsvarende egenvektorene for M. c Bruk resultatet fra b til å uttrykke,, z n ved x 0, y 0, z 0 for generelle n. 106
Vis så at forholdene mellom de tre salgstallene konvergerer mot konstanter som er uavhengige av de opprinnelige salgstallene når n, x d.v.s. vis at k 1 = lim n y n yn og k 2 = lim n n z n eksisterer og er uavhengige av x 0, y 0, z 0 så sant de tre siste tallene er positive og minst en av dem er ulik 0. Finn k 1 og k 2. Eksamen i MA 001, 3. juni 1996 Oppgave 5 En oljemilliardær bestemmer seg for å satse på turisme. Hun kjøper 1000 hytter på fjellet. Hyttene leies ut for ett år av gangen. Hytteeieren finner ut at 80% av hyttene som er leid ut ett år også er leid ut neste år, mens 70% av hyttene som er tomme ett år også er tomme neste år. La være antall utleide hytter og antall tomme hytter i år n. Vi har da som vi kan skrive på matriseform som +1 +1 +1 = 0.8 + 0.3 +1 = 0.2 + 0.7, 0.8 0.3 = 0.2 0.7 = A a Ett år er 550 hytter utleid. Hvor mange hytter var utleid året før? b Finn egenverdier og egenvektorer til matrisen A. Første året (år 0 er halvparten av hyttene leid ut, mens resten står tomme. c Finn og uttrykt ved n, ved å skrive x 0 y 0 som en sum av egenvektorer. d Det første året er nettofortjenesten pr. utleid hytte 10000 kr., mens utgiftene forbundet med hver tom hytte er 4000 kr. 107
På grunn av elde og slitasje øker utgiftene for tomme hytter med 10% pr. år, mens nettofortjenesten alltid er 10000 kr. for hver utleid hytte. La P n være total nettofortjeneste i år n, d.v.s. inntekter minus utgifter i år n. Finn P n uttrykt ved n og begrunn at hytteeieren etterhvert taper penger. Eksamen i MA 001, 29. november 1996 Oppgave 5 Det var engang en bestand av små biller som levde i en gammel, verneverdig trebygning. Vi deler billebestanden inn i aldersgruppene nyfødte (0 uker gamle, voksne (1 uke gamle og gamle (2 uker eller eldre. La, og z n være henholdsvis antall nyfødte, voksne og gamle biller ved tid t = n, der tiden regnes i uker. Vi antar at en tredjedel av billene som er nyfødte en gitt uke, overlever til neste uke. (Da er de blitt voksne. Videre overlever en fjerdedel av de voksne billene til neste uke, og disse er da blitt gamle. En tidel av de gamle billene overlever til neste uke. Hver voksen bille gir opphav til 2 nyfødte biller neste uke, og hver gammel gir opphav til 5. (Dette gjelder uansett om billene dør selv. a Sett opp overgangsmatrisen M slik at vi for alle n har +1 +1 = M z n+1 z n Med litt andre forutsetninger enn i teksten ovenfor blir 0 3 4 M = 1 0 0 0 1/2 0 Regn med denne utgaven av matrisen M når du besvarer spørsmålene under. 108
b Finn egenverdiene og egenvektorene til M. Hint: λ 3 + 3λ + 2 = (2 λ(λ 2 + 2λ + 1. c Anta at der er 24 nyfødte, ingen voksne og 6 gamle biller i bygningen ved t = 0. Hvor mange biller er der av hver aldersgruppe n uker senere? Eksamen i MA 001, 2. juni 1997 Oppgave 2 Finn alle løsningene til ligningssystemet x + 2y + 3z 2u = 9 2x 4y + z 3u = 4 z u = 2 Oppgave 4 a Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen M = 1 2 5 9 5 9 1 2 I resten av oppgaven skal vi studere en modell for hvordan en ufarlig infeksjonssykdom brer seg i en befolkning. Vi deler befolkningen i to grupper de som er immune mot sykdommen, og de som er mottakelige for smitte. De fleste som nylig har hatt sykdommen, vil være immune, men mange vil miste immuniteten etter som tiden går. I modellen ønsker vi å studere hvor mange som er immune, og hvor mange som er mottakelige for smitte etter 0, 10, 20, 30,... år. Vi lar være antall immune etter 10n år og antallet mottakelige ved samme tidspunkt. Vi har følgende observasjoner: Av dem som er immune et år, vil 4/9 fortsatt være immune 10 år senere, 1/9 vil være døde og resten vil være mottakelige for smitte. 109
Av dem som er mottakelige for smitte et år, vil halvparten være immune 10 år senere, 1/9 vil være døde og resten vil fortsatt være mottakelige for smitte. I løpet av en 10 års periode vil befolkningen få et tilskudd på grunn av fødsel og innvandring. Dette tilskuddet er 1/6 av befolkningstallet ved begynnelsen av perioden, og ved slutten av perioden vil 1/3 av de nye individene være immune mens resten er mottakelige for smitte. b Vis at xn+1 = M +1 xn c Anta at x 0 = 8 millioner og y 0 = 2 millioner. Finn og. d Etter som tiden går vil prosentdelen av immune nærme seg en grense. Hva er denne grensen? Eksamen i MA 001, 2. juni 1998 Oppgave 1 La a og b være reelle tall. a Beregn determinanten 1 2 a D = 1 1 3 2 1 3 b For hvilke verdier av a og b har likningssystemet x + 2y + az = 2 x + y + 3z = 0 2x + y + 3z = b en entydig bestemt løsning, ingen løsning, og uendelig mange løsninger? Finn løsningene i det siste tilfellet. 110
Eksamen i MA001, 13. desember 1999 Oppgave 5 I en by er det 24000 arbeidstakere i fast arbeid. Hver arbeidsdag går de fleste av disse på arbeid, men noen er hjemme på grunn av sykdom. Vi skal lage en undersøkelse om dette sykefraværet. La være antall på arbeid og antall syke, n arbeidsdager etter at undersøkelsen startet. Dagen vi begynner undersøkelsen er 21000 på arbeid og 3000 er syke, dvs. x 0 = 21000 og y 0 = 3000. Av de arbeidstakerne som er på arbeid en dag regner vi at 90% også er på arbeid neste dag, mens de øvrige 10% altså er syke. Av de som er syke en dag er 50% også syke neste dag mens altså 50% er på arbeid. a Forklar hvorfor og beregn x1 y 1. b Finn et uttrykk for xn +1 +1 0.9 0.5 = 0.1 0.5 og finn lim n og lim n. Eksamen i MA 001, 9. desember 2002 Oppgave 5 La a være et reelt tall. a Beregn determinanten 1 2 2 D = 2 1 1 1 5 a b For hvilke verdier av a har likningssystemet x 2y + 2z = 1 2x + y + z = 0 x 5y + az = 0 (5.1 111
henholdsvis entydig bestemt løsning, ingen løsning, uendelig mange løsninger? c Bruk Cramers regel til å finne løsningen av systemet (5.1 når denne er entydig bestemt. Angi spesielt løsningen når a = 4. Eksamen i MA 001, 11. desember 2003 Oppgave 4 Vi studerer en populasjon som består av tre årsgrupper, som vi kaller barn, unge og voksne. Gjennomsnittlig overlever 50% av barn og unge til neste årsgruppe, og unge og voksne produserer henholdsvis ett og to avkom i gjennomsnitt pr. individ. La b n, u n og v n være antallet barn, unge og voksne i år n og sett X n = b n u n v n. a Begrunn at X n+1 = MX n for alle n, der 0 1 2 M = 0.5 0 0 0 0.5 0 Finn en matrise N slik at X n+2 = NX n og en matrise P slik at X n 1 = P X n. b Vis at λ = 1 er en egenverdi for M. Anta nå at antallet i hver årsgruppe er det samme hvert år. Hvor mange individer er det da i hver av de tre gruppene hvis vi vet at det totale antallet er 700? 112
Eksamen i MA 001, 10. desember 2004 Oppgave 3 En matrise M er gitt ved M = ( 0, 9 0, 1 0, 2 0, 8 a Finn egenverdiene og de tilhørende egenvektorene til M. En populasjon er delt i to underpopulasjoner. Vi lar være antall individer i gruppe 1 i generasjon n og tilsvarende tall for gruppe 2. Overgangen mellom to generasjoner er beskrevet ved matrisemultiplikasjon ( For generasjon 0 har vi +1 +1 ( = M ( x 0 y 0 = ( 11000 8000 = ( 10000 10000 + ( 1000 2000 b Finn en formel for og uttrykt ved n og finn også grenseverdien for de samme størrelsene når n går mot uendelig. Eksamen i MA 001, 7. juni 2005 Oppgave 4 For hvilke verdier av t har ligningssystemet (1 tx + 2y = 5 3x + (2 ty = 5 nøyaktig en løsning? 113
Eksamen i MAT1000, 12. desember 2005 Oppgave 3 Vi har gitt to matriser A = ( 2 1 0 1 og B = ( 1 0 1 0 a Regn ut AB BA og finn determinanten det(ab BA. (12 poeng b Finn egenverdiene og de til hørende egenvektorene til matrisa A. (15 poeng c Vis at en av egenvektorene til A også er egenvektor for B. Finn den tilhørende egenverdien til B. (6 poeng Eksamen i MAT1000, 7. juni 2007 Oppgave 4 I en park er det satt opp 100 fuglekasser. Ikke alle fuglekassene er i bruk i en gitt sesong. Vi lar betegne antall kasser med hekkende fugl i sesong n og antall kasser som er tomme i sesong n. Vi antar at 80 % av kassene som er i bruk i en gitt sesong også er i bruk neste sesong, og at 40 % av de tomme kassene er i bruk neste sesong. Vi har da at +1 = 0.8 + 0.4 +1 = 0.2 + 0.6 Overgangsmatrisen M til denne modellen er gitt som M = 0.8 0.4 0.2 0.6. a En sesong var det 60 kasser i bruk og 40 tomme. Hvor mange tomme kasser var det sesongen før? 114
b Finn egenverdiene til M, og vis at for M. 2 1 og 1 1 er egenvektorer c Anta at det i utgangspunktet (n = 0 var 10 kasser som var i bruk og 90 som var tomme. Hvor mange kasser er i bruk etter n sesonger? Eksamen i MAT1000, 13. desember 2007 Oppgave 4 En villreinsflokk deles inn i kalver, simler og bukker. Fra ett år til det neste vil 20% av simlene og 50% av bukkene dø grunnet jakt og naturlig avgang. For å forenkle den matematiske modellen regner vi med at det reproduseres i gjennomsnitt 0,4 kalver pr. simle, at alle disse lever opp til voksen alder året etter og at kalvene fordeler seg likt på de to kjønnene. Vi regner altså ikke de kalvene som ikke lever opp inn i modellen. a 4 poeng La x stå for antall kalver, y for antall simler og z for antall bukker et år. Vis at M uttrykker de tilsvarende tallene året etter, hvor M er matrisen M = x y z 0 0, 4 0 0, 5 0, 8 0 0, 5 0 0, 5. b 4 poeng Vis at 0, 5 er en egenverdi til M og finn de tilsvarende egenvektorene. Hva er din biologiske tolkning av resultatet? c 4 poeng Finn de andre egenverdiene og de tilhørende egenvektorene til M. 115
d 4 poeng Hvis en villreinsflokk på 560 voksne dyr har en stabil fordeling mellom kalver, simler og bukker, hvor mange simler og hvor mange bukker er det i flokken? 116