Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x = + x + x + x3 + x4 + + + xn + 3! 4! n! Altså: Hvis vi satte inn samme tall for x eller t på begge sider, ville vi få samme verdi ut Men hvordan finner vi selv potensrekker som er lik kjente og kjære funksjoner? Hvordan finner vi potensrekker c n (x a) n som svarer til cos x, til ln x, osv? n=0 Se metodeark 3 for potensrekker: Taylor- og Maclaurin-rekker Potensrekkene i seg selv er lite nyttige i praktisk regning, men delsummene er desto nyttigere Delsummene til Taylor-rekker kaller vi Taylor-polynomer Se metodeark 4 for potensrekker: Taylor-polynomer Taylor-polynomene generert av en funksjon f er tilnærminger til f selv Men hvor gode er disse tilnærmingene? Og konvergerer de mot f selv? Det vil si: Konvergerer Taylor rekka generert av f mot f selv? Se metodeark 5 for potensrekker: Taylor s teorem og feilestimat

Potensrekker: Metode 3, Taylor- og Maclaurin-rekker I boka: Kapittel 87, Definition, Taylor Series, Maclaurin Series, s 67 Regel/Formel: Hvis vi starter i et punkt a, og har en funksjon f som kan deriveres vilkårlig mange ganger i a, kan vi finne ei potensrekke sentrert i a som kalles Taylor-rekka generert av f i a Vi vil kalle den Taylor-rekka til f i a Taylor-rekka til f i a ser slik ut: k=0 f (k) (a) (x a) k = f(a) + f (a)(x a) + f (a)! Maclaurin-rekka til f er spesialtilfellet der a = 0: k=0 (x a) + + f (k) (a) (x a) k + f (k) (0) x k = f(0) + f (0) x + f (0) x + + f (k) (a) x k +! I de tilfellene vi vil støte på, vil Taylor- og Maclaurin-rekkene til en funksjon f være lik f selv, innenfor konvergensintervallet til rekka Husk at ei potensrekke sentrert i a rett og slett er ei potensrekke med termer av typen 3(x a), 5(x a), π(x a) 4 (osv) Siden x 0 = x, blir for eksempel (x 0) 7 = x 7

Metode: En av de greieste metodene for å finne Taylor-rekker er å sette opp en tabell der du har med de deriverte av f i a både for konkrete tall og for generell n: SUM/Formel Utførelse: k f (k) (x) f (k) (a) k te term, f (k) (a) (x a) k 0 f(x) f(a) f(a) f (x) f (a) f (a)(x a) f (x) f (a) 3 f (3) (x) f (3) (a) 4 f (4) (x) f (4) (a) n f (n) (x) f (n) (a) f (a) (x a) f (3) (a) 3! (x a) 3 f (4) (a) 4! (x a) 4 f (n) (a) n! (x a) n f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + + f (n) (a) (x a) n + n! f (n) (a) = (x a) n n! k=0 Sett opp tabellen Husk å sette inn verdien for a Kolonnen f (k) (x): Sett inn f(x) i raden med k = 0 Deriver den, og sett inn resultatet i raden med k = Deriver igjen for å finne hva som skal være på neste rad, osv 3 Kolonnen f (k) (x): For hver rad, sett inn a for x i uttrykket i kolonnen for f (k) (x) 4 Kolonnen f (k) (a) (x a) k : Sett inn i formelen for kolonnen For rad, for eksempel, er k = Uttrykket blir da f (a)! (x a) 5 Skriv ut nok rader til at du ser et system Det er ofte lettest å se systemet i høyre kolonne Finn en generell formel ut fra dette systemet Prøv den på en av de tidligere radene hvor du fant systemet Skriv deretter ned rad n 6 SUM/Formel-raden: Her skal du skrive summen av det du har i kolonnen til høyre Du kan selv velge om du vil skrive det som en serie med uttrykk med + mellom, eller om du vil skrive det ved hjelp av -tegn En blanding er også lov, dersom du mener det er best 3

Mathematica: Series[f[x], x, a, k] Denne kommandoen gir de k første termene i Taylor-rekka til f(x) i a Du må sette inn konkrete tall for a og k for å få output Feil å passe seg for: Å skrive opp kun resultatet av de første linjene med konkrete tall, og glemme å sjekke om det finnes noe generelt uttrykk for n Å skrive opp kun resulatet for et generelt uttrykk n, og glemme å sjekke om vi trenger å spesialbehandle enkelte tall (typisk for små verdier av k) Eksempel: (874) Spørsmål: Finn Maclaurin-rekka til f(x) = (x + ) Svar: Vi husker at Maclaurin-rekka til f er Taylor-rekka til f når a = 0 Vi setter opp tabell: k f (k) (x) f (k) (0) k te term, f (k) (0) x k 0 (x + ) (x + ) x x = x 3 0 0 0 n 0 0 0 når n > SUM/Formel + x + x Vi ser at siden f (k) (x) i rad 3 var 0, må vi ha 0 der for alle påfølgende rader og, og vi skriver i særdeleshet 0 for rad n Da får vi 0 i alle kolonnene unntatt tellekolonnen k, i rad n Summen bli nå (x + ) + (x + ) + + 0 + 0 + 0 + 0 + ; vi trenger selvfølgelig ikke skrive opp den uendelige summen av 0 er Så Maclaurin-rekka til et polynom er polynomet selv! Mathematica: Normal[Series[(x+)ˆ, {x, 0, 0}]] Vi valgte her k = 0 fordi det var tilstrekkelig stort Eksperimentér! 4

Eksempel: (876) Spørsmål: Finn Taylor-rekka generert av f(x) = 3x 5 x 4 + x 3 + x i a = Svar: Vi setter opp tabell: k f (k) (x) f (k) ( ) k te term, f (k) ( ) (x ( )) k 0 3x 5 x 4 + x 3 + x 7 7 5x 4 4x 3 + 6x + x 3 3(x + ) 60x 3 x + x + 8 4(x + ) 3 80x 4x + 6 36(x + ) 3 4 360x 4 384 6(x + ) 4 5 360 360 3 6 0 0 0 n 0 0 0 når n > 5 SUM/Formel 7 + 3(x + ) 4(x + ) + 36(x + ) 3 6(x + ) 4 + 3(x + ) 5 Ganger vi ut parantesene får vi tilbake polynomet vi startet med Mathematica: Normal[Series[3xˆ5 - xˆ4 + xˆ3 + xˆ -, {x, -, 0}]] Expand[%] vil få Mathematica til å gange ut parantesene 5

Eksempel: (878) Spørsmål: Finn Taylor-rekka generert av f(x) = x i a = 0 x Svar: Vi setter opp tabell Merk at a = 0, så dette er også ei Maclaurin-rekke: k f (k) (x) f (k) (0) k te term, f (k) (0) x k 0 x x 0 0 (x ) x (x ) 3! x = x 3 6 (x ) 4 = 3 (x ) 4 6 = 3! 6 3! x3 = x 3 4 4 (x ) 5 = 3 4 (x ) 5 4 = 4! 4! 4! x4 = x 4 5 0 (x ) 6 = 5! (x ) 6 5! 5! 5! x5 = x 5 6 70 (x ) 7 7 5040 (x ) 8 n = ( )7 6! (x ) 7 6! 6! 6! x6 = x 6 = ( )7+ 7! (x ) 7+ 7! 7! 7! x7 = x 7 ( ) n+ n! (x ) n+ n! n! n! xn = x n SUM/Formel x + x + x 3 + + x n + = Vanskeligheten i denne oppgaven var å finne en generell formel for n te linje Det hjelper ofte å regne ut ganske mange linjer før man ser etter mønster, og det er ofte mer til hjelp å se etter et mønster i kolonnen lengst til høyre enn å søke mønsteret i kolonnene lenger til venstre Og har man først mønsteret i én kolonne, finner man fort mønsteret i de andre kolonnene ut fra det n= x n x Mathematica: Normal[Series[, {x, 0, 40}]] x Dette skulle gi nok å gå på for å se et mønster for de fleste funksjoner 6

Potensrekker: Metode 4, Taylor-polynomer I boka: Kapittel 87, Definition, Taylor Polynomial of Order n, s 67 Regel/Formel: Hvis vi starter i et punkt a, og har en funksjon f som kan deriveres vilkårlig mange ganger i a, kan vi finne et polynom sentrert i a som kalles Taylor-polynomet av orden n generert av f i x = a Taylor-polynomet av orden n generert av f ser slik ut: P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k = f(a)+f (a)(x a)+ f (a)! (x a) + + f (n) (a) (x a) n Taylor-polynomene til f i a er med andre begynnelsen av Taylor-rekka til f i a Mens Taylor-rekka fortsetter summeringen helt ut til uendelig, vil et Taylor-polynom av orden n slutte på (x a) n -termen Metode: Et Taylor-polynom er rett og slett en sum av de første termene i ei Taylorrekke Vi finner dem på samme måte som vi gjorde for Taylor-rekker Så Taylorpolynomet av grad 4, for eksempel, finner vi ved å sette opp en tabell til og med rad 4, og deretter summere radene for å finne P 4 (x): P 4 (x) k f (k) (x) f (k) (a) k te term, f (k) (a) (x a) k 0 f(x) f(a) f(a) f (x) f (a) f (a)(x a) f (x) f (a) 3 f (3) (x) f (3) (a) 4 f (4) (x) f (4) (a) f (a) (x a) f (3) (a) 3! (x a) 3 f (4) (a) 4! (x a) 4 f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + f (3) (a) 3! (x a) 3 + f (4) (a) 4! (x a) 4 Mathematica: Series[f[x], x, a, n] Denne kommandoen gir de k første termene i potensrekka generert av f(x) i a Du må sette inn konkrete tall for a og k for å få output Feil å passe seg for: Å ikke skrive opp resultatet av samtlige linjer i tabellen, men slutte for tidlig 7

Motivasjon: Når en funksjon er lik Taylor-rekka si, er Taylor-polynomene gode tilnærminger til funksjonen Siden polynomer ofte er svært mye lettere å regne ut og regne med enn de funksjonene vi starter med, er dette en klar effektivisering For å se hvor gode tilnærminger Taylor-polynomene faktisk er, prøv å plotte følgende i Mathematica (se Mathematica Notebooks på Fronter): 3 Plot[{Cos[t], ( ) n tn }, {t, -0, 0}, PlotStyle -> {{}, {Hue[07]}}, Axes -> True, PlotRange -> {-3,3}] n! n=0 Bytt 3-tallet på toppen av summetegnet med høyere tall for å se hvordan Taylor-polynomene nærmer seg cosinus-funksjonen etter hvert som du øker tallet Eksempel: (87) Spørsmål: Finn Taylor-polynomene av orden 0,, og 3 generert av f(x) = ln(x + ) i x = 0 Svar: Vi setter opp tabell: k f (k) (x) f (k) (0) k te term, f (k) (0) x k 0 ln(x + ) 0 0 x+ x (x+)! x 3 (x+) 3 3! x3 = 3 x3 P 0 (x) 0 P (x) P (x) P 3 (x) x x x x x + 3 x3 Mathematica: Normal[Series[Log[x+], x, 0, 3]] 8

Metode 5, Taylor s teorem og feiles- Potensrekker: timering I boka: Kapittel 87, Theorem 6 Taylor s Theorem og Theorem 7 The Remainder Estimation Theorem Teorem (Taylor s teorem) Hvis f er en funksjon som kan deriveres n + ganger i samtlige punkter i et intervall I som inneholder a, da vet vi for hver x I at det finnes et tall c mellom a og x slik at 3 hvor f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + + f (n) (a) (x a) n + R! n (x) = P n (x) + R n (x) R n (x) = f (n+) (c) (x a)n+ (n + )! (Feilestimeringsteoremet for Taylor-rekker) Hvis det finnes konstanter M, r > 0 slik at vi for alle n N har at f (n+) (t) M r n+ for alle t fra a til og med x, så: (a) f(x) P n (x) = R n (x) Mr n+ x a n+ (n+)! for alle n N (b) lim R n (x) = 0 n f (k) (a) (c) f(x) = (x a) k - Taylor-rekka generert av f i a konvergerer mot f k=0 selv i punktet x Regel/Formel: Hvis det finnes en konstant M > 0 slik at f (n+) (t) M for alle t [a, x], 4 så har vi følgende estimat 5 på restleddet fra Taylor s teorem: x a n+ f(x) P n (x) = R n (x) M (n + )! 3 Husk at P n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)! (x a) + + f (n) (a) n! (x a) n 4 hvis x a; respektivt for alle t [x, a] dersom x < a 5 Estimat: I dagligtale betyr det et anslag på en størrelse Prosjekter skal for eksempel ofte ha tidsestimater, anslag på hvor lang tid de tar å gjennomføre Estimat (matematisk): Formel som gir en absolutt grense for størrelsen på noe 9

Metode: How-to Vi skal typisk finne ut hvor mye feil vi gjør når vi bruker P n (x) i stedet for f(x) Vi skal med andre ord finne ut størrelsen på f(x) P n (x), som du jo ser fra formelen over at er lik R n (x) Måten vi finner størrelsen på R n (x) er som følger: 6 Finn M: Finn den største verdien f (n+) (t) tar i intervallet [a, x], eller finn et tall du vet er større enn dette tallet Dette tallet 7 kaller du M Basis-eksempel Vi skal finne ut hvor mye feil vi gjør når vi bruker P 4 (x) = x x3 i stedet 3! for f(x) = sin x Her er altså n = 4 I tillegg er P 4 (x) fra Maclaurin-rekka til sin, så a = 0 sin (n+) (x) = sin (4+) (x) = cos(x) Den femtederivete av sin(x) er altså alltid mindre enn eller lik, når vi tar absoluttverdi, og da er den jo også det i intervallet [a, x] = [0, x] Så vi kan velge M = Skriv formel: Regelen sier da at R n (x) x 4+ (4+)! = x 5 0 f(x) P n (x) = R n (x) M x a n+ (n+)! Vi vet altså at forskjellen mellom sin(x) og x x3 er mindre enn x 5 3! 0 Oppgaver hvor vi bruker feilestimat vil gjerne spørre om noe mer enn dette For eksempel: Hvor stor er feilen for et bestemt tall t? Da må vi sette inn dette tallet t for x i feilestimatet vårt Hvor stor er feilen for x i et intervall I? Altså: Hvor stor feil kan vi komme til å gjøre når vi bruker P n (x) for f(x) i I? Da må vi finne max av R n (x) i I, som i praksis betyr å finne max av M x a n+ i I Siden feil-estimatet er en konveks (n+)! funksjon, er det nok å sette inn endepunktverdiene til I i feil-estimatet, og plukke de største av de to verdiene 3 Hvor stor kan x være dersom vi ikke ønsker en større feil enn ε? Dette finner du ved å løse M x a n+ (n+)! < ε 4 Hvilken n må vi bruke for at R n (t) skal være mindre enn ε for en gitt t? Her må du bare prøve deg frem ved å sette inn forskjellige verdier for n og regne ut! 0

Eksempel: (Example 8 i 87) Regn ut e med en feil på mindre enn 0 6 Vi antar at vi allerede vet at e < 3: Løsning: Vi vet at e = e, så vi lar f(x) = e x, og bruker at Taylor-rekka generert av e x i x = 0 til å beregne e Rekka er 8 n=0 x n n! = + x + x + + xn n! + R n (x) = P n (x) + R n (x) Vi skal altså finne en tilnærmet verdi for e = e ved å regne ut P n () = + + + + n n! = + + + + n! Vi bruker nå metoden vår for å estimere feilen, R n (): Taylor-rekka ble generert av e x i 0, så vi har a = 0 og x = Vi må finne n tederiverte av e x ; men siden e x er sin egen deriverte, er (e x ) (n) = e x Hva er den største verdien e x tar i intervallet [0, ]? Siden e er voksende, er den største verdien e = e Vi antok at vi allerede visste at e < 3, så da velger vi M = 3 Vi har nå et estimat på hvor feil P n () er i forhold til e = e : e P n () = R n () 3 0 n+ (n + )! = 3 (n + )! Vi skulle ha en feil på ikke mer enn 0 6 3 Vi må da finne en n slik at < 0 6 Vi (n+)! 3 prøver oss frem med forskjellige n, og finner ut at < 0 6, så vi velger n = 9 Da (9+)! gjenstår det bare å regne ut P 9 (): e P 9 () = 9 k=0 = + + + + 9!, 788 8 Dette tar vi annetstedsfra, og tar derfor for gitt i denne oppgaven; i tilsvarende oppgaver må du kanskje regne ut Taylor-rekka først, før du tar feilestimat

Eksempel: (Example 9 i 87) For hvilke verdier av x kan vi skrive sin x som x x3 3! og være sikker på å ikke ha en større feil enn 3 0 4? Løsning: Vi merker oss først at Taylor-rekka generert av sin x i x = 0 er 9 0 + x + 0 x x3 3! + 0 x4 + x5 5! Det betyr at P 3 (x) = x x3, men også at P 3! 4(x) = x x3, siden 3! x4 -termen er 0 Dette hjelper oss til å få et skarpere estimat, siden vi nå finner R 4 (x) = M x 4+ i stedet for (4+)! R 3 (x) = M x 3+ Vi bruker nå metoden vår: (3+)! (sin x) (4), den fjerdederiverte av sin x, er sin x selv Siden sin x, har vi (sin x) (4) = sin x Så vi velger M = 0 Vi har nå feilestimatet R 4 (x) = x 4+ (4 + )! = x 5 0 Vi har med andre ord garantert at forskjellen mellom sin x og x x3 3! er mindre enn 3 0 4 dersom x 5 0 < 3 0 4 Vi løser ulikheten, og får at x < 5 36 0 054 Tilnærmingen til sin x, x x3 3!, er innenfor en feilmargin på 3 0 3 når x < 054 9 Se for eksempel Haugans formelsamling 0 og er sikre på at f (4) (t) M for alle t [0, x], uansett verdi av x