Strøninglære. Reynol tall. I 88 oaget Reynol at et finne to tyer trøning, nelig lainær trøning og turbulent trøning. Oergangen ello ie to tyene kjee e en i kritik atiget. Reynol utiklet et ienjonløt tall, enere kalt Reynol tall, o ar elegnet til å bekrie en trøning. Reynol tall er gitt e ρ Re η ν Her er ρ æken tettet, er æken atiget, er yraulik iaeter og η er ikoiteten. ν er et o kalle kineatik ikoitet og er efinert e ν og ar benening. η ρ A Den yraulike iaeter er gitt e 4 or A er røret terrnitt og O er en elen O a røret okret o ar kontakt e æken. or et elt fylt irkulært rør blir en yraulike iaeteren π( 4 π altå et ae o en orinære iaeteren. Det ier eg at når Re < 000 ar i lainær trø. Når Re > 000 ar i anligi turbulent trø. Mello 000 og 000 ar i et oergangoråe or begge tyene trøning kan forekoe. Ekeel. Hor fort kan ann trøe i et rør e iaeter,0 c før i får turbulent trøning? Kineatik ikoitet for ann er,0 0-6 / e teeratur 0 C. Vi kreer at Re < 000. Det il i 000ν < 000 < 0,0 ν Vi fortår at trøene ann neten allti å ære turbulent. Strøning e ta. Bernoulli likning ble utleet uner en forutetning at energien ar beart, og e uttrykker at energitetteten i æken er en ae oeralt. I en irkelig æke er et inre frikjon, frikjon ot egger og turbulen o gjør at energitetteten å ata når i flytter o i trøretningen. Arbeiet frikjonkreftene utfører er lik enringen i energi for æken. Vi antar at æken flyter fra til. Dette gir følgene uttrykk for frikjonarbeiet W : Eller W + ρ + y ρ y
+ + ρ + y + ρ + y W Hi i uttrykker Bernoulli likning e jel a trykkøyer får i + + y + + y + g Her er ottanøyen eller taøyen. Vi ar to tyer ta. Det ene er ta å grunn a enkeltottaner, for ekeel utlø, innlø, entiler, ben, innnering a rør, utiele a rør o. Det anre er ta i rør og kanaler å grunn a frikjon ot egger, inre frikjon, turbulen o. Vi beanler ført rør- og kanalottan. g Rør- og kanalottan. Mottanøyen e rør- og kanalottan kan uttrykke e λ Her er λ et ienjonløt ottantall, er røret eller kanalen lenge, er en yraulike iaeteren. Det ier eg at ottantallet λ er aengig a Reynol tall og en relatie ruet k/ i røret. Her er k oerflaterueten og er en yraulik iaeteren. Oerflateruet for noen tyer rør. Materiale Tiltan Ruet k ( Meing, koer, aluiniu, lat, gla Slette og rene 0,0 Stål Støejern Nye Rutne orinkee Nye Rutne g 0,05-0,0 0,0-0,0 0, 0,5,0 -,5 Ve lainær trøning kan an ie at ottantallet er gitt e 64 λ Re Hi i ikke ar lainær trøning kan ottantallet betee a Mooy iagra, ero an kjenner røret ruet og Reynol tall. Se figuren å nete ie og å ie 4. Vi beregner Reynol tall og relati ruet. Deretter går i inn å aken for Reynol tall og o til en riktige kuren for relati ruet og erfra ut til aken for ottantallet λ. Vi får noen robleer når trøningatigeten er ukjent, for a kan i ikke beregne Reynol tall. Vi er nå å noen ekeler or i bruker Mooy iagra
λ Mottantall k/ 0,00 k/ 0,005 Reynol tall Re Ekeel. Vann trøer ut a et reeroar gjenno et tøejernrør e iaeter 00 og ruet k 0,0. Høyeforkjellen ello reeroaret og utløet a røret er H,5. Røret kal a en iniuannføring å q 5 l/. Vannet kineatike ikoitet er Vann H,0 0-6 /. Ha er en tørte lengen røret kan a? Vannet atiget: Reynol tall: 4q q A q π 4 π Re 9,55 0 ν Vi er at trøningen er turbulent. 4 0,477
4
Røret relatie ruet: k,5 0 A Mooy iagra er i at ottantallet λ blir: λ 0,05 Vi bruker Bernoulli likning og er å unktene : reeroaret oerflate og : Utløet a røret. Reeroaret er å tort at annatigeten 0 /. Røret akiale lenge blir: a a + + H + + 0 + λ g g g H ( + λ g gh ( 8,6 k λ Ekeel. Vi er igjen å ekeel. Røret er nå 5000 langt. Ha er nå annføringen i røret? Sien i ikke kjenner atigeten, kan i ikke regne ut Reynol tall. Vi gjetter erfor at λ 0,05. Så bruker i Bernoulli likning til å beregne annet atiget. orelen blir en ae o i forrige ekeel. a a + + H + + 0 + λ g g g Me enne atigeten blir Reynol tall: H ( + λ g gh + λ Re,5 0 ν 0,6 Vi leer a λ i Mooy iagra for å kontrollere og får: λ 0,04 Dette tete ikke elt, å i regner ut atigeten en gang til e et nye ottantallet: Reynol tall blir nå: gh 0,64 + λ Re,8 0 ν Vi beteer å nytt ottantallet e jel a Mooy iagra og får igjen: λ 0,04 Vi ar erfor funnet en riktige erien for ottantallet. Denne roeyren kan gjenta elt til i ar funnet en tabil eri å λ. Volutrøen i røret blir: q A π( 5,0 0 5 Enkeltottaner. De trøningtaene i ar regnet e ittil gjeler for rette rør e kontant terrnitt. I tillegg koer ta å grunn a enkeltottaner. Dette kan ære: Innlø, utlø, ben, lutelig terrnittøkning, lutelig innnering, entiler o. Taøyen i ert likt tilfelle il ære gitt e ζ or ζ er en takoeffiient. g 5
Ekeel 4. To reeroarer ar en øyeforkjell å 56. Mello e går et tålrør e iaeter 75 og lenge 78. Det er et karkantet innlø og utlø til røret. Røret ruet er k 0,050 og takoeffiienten e karkantet utlø og innlø er ζ,0. Vannet kineatike ikoitetkoeffiient er,0 0-6 /. Hor tor er anntrøen i rørene? Hor tore er taene? Vi antar at reeroarene er å tore at oerflatene ar atiget 0. Vi bruker Bernoulli likning å e to annoerflatene: Vi finner et uttrykk for annet atiget: a a + 0 + H + 0 + 0 + ζ + λ g g H (ζ + λ g gh ζ + λ Vi kjenner ikke λ, å i er i Mooy iagra for å finne en rielig eri. ørt beteer i en relatie rueten. k 0,00067 Vi er i Mooy iagra og er at λ 0,0 kan ære i næreten a riktig eri. Vannet atiget: Reynol tall: gh ζ + λ Re,44 0 ν,5 A Mooy iagra finner i ottantallet: λ 0,09 Ny eri for annet atiget: gh ζ + λ 5, Enringen ar å liten at i å ære nær et riktige aret. Ta å grunn a enkeltottanene: ζ g enkelt, Ta i røret: λ g 54, Akjon- og reakjonkrefter. Iuletningen Når i kal finne kreftene o irker å et rør o inneoler en trøene æke, å ier et eg at et lønner eg å bruke iulloen. Iulloen ier at en totale iulen å et legee, er lik enringen i legeet beegeleenge. 6
H H H H H J t Her Σ uen a kreftene o irker å legeet, t er tia kreftene irker, er ækeatigeten i tarten å tiinterallet og er ækeatigeten i lutten. Vi bruker iuletningen å en æken o befinner eg ello og i røret i figuren. I tia t flytter greneflaten eg til og greneflaten flytter eg til. Hele ækeoluet ar flyttet eg til -. Væken er i enne tia utatt for en iul o kyle kreftene o irker å æken. Die kreftene er: : Kraften å grunn a trykket ot æken i greneflaten. : Kraften å grunn a trykket ot æken i greneflaten. : Kraften fra eggene i røret å æken. 4 : Tyngen a æken. Vi er at æken ello og ar akkurat ae beegeleenge o før. Enringen i beegeleenge å erfor kyle æken ello og (tillegg og æken ello og (frarag. Enringen i beegeleenge for ækelegeet blir a: H H ρ V H ρ V H ρ V( H Iulloen gir: H H H H V H H H H H t ρ V( ρ ( ρq( t Her ar i innført q o er olutrøen og i ar benyttet at æken er inkoreibel lik at oluet ello og ' er et ae o oluet ello og '. Her ar i iulloen å en for o egner eg til bruk å trøene æker: H H H ρq( egg erke til at ette er en ektorlikning, lik at i ogå ar koonentlikninger. x ρq( x x y ρq( y y z ρq( Når i kal bruke enne loen, trenger i ikke gå gjenno ele reonneentet foran. Vi kan nøye o e å e å oluet begrenet a flatene og, fori ρq er knyttet til æken o trøer ut a oluet - e og ρq er knyttet til æken o trøer inn i oluet - e. Så når i kal løe en ogae or i kal finne kreftene o irker å en el a ei æke elger i o et betet olu; i er å æken o går ut a oluet og å æken o går inn i oluet og å kreftene o irker å æken i oluet. Dette oluet kaller i kontrolloluet. z z 7
Ekeel 5. Et rør e iaeter 00 ener i en ye e utløiaeter 0. Vann e kineatik ikoitet,0 0-6 / trøer gjenno røret. ike før yen er oertrykket i røret 00 kpa. Bete kraften o irker å annet fra yen i oriontal retning. Anta trøning uten ta. So kontrollolu bruker i ABCD i figuren. Kreftene o irker oriontalt å annet i B kontrolloluet er a: C a : Trykkraften å terrnittet AB. ( + a A or A er terrnittarealet og a er atofæretrykket. : Kraften å terrnittet CD. a A D : Kraften fra ya å annet. Vi er bare å oriontalkoonentene A a kreftene lik at tyngen kan neglijere. Vi finner ført trøningatigetene e å bruke Bernoulli likning og kontinuitetlikningen. + a + g a + y + g + y + g g Dette gir π ( π( + g g g ρ 4 4 4 + 4 g g 4,6 og, Volutrøen: q π( 7,4 0 Iulloen gir a når i bare er å x-retningen: ρq(,9 0 N Dette er kreftene å annet. Suen a e er rettet ot øyre og gir annet en akelerajon i ya. Vi il finne kraften,, fra ya å annet: x ( + a A aa A + a (A A x x,69 0 Dette er kraften fra ya å annet. en er rettet ot entre. Motkraften er kraften fra annet å ya. Den er like tor, en rettet ot øyre. N 8
Ekeel 6 iguren ier en oriontal anntråle e atiget 5,0 / og A iaeter 5 o treffer en fat ertikal egg. Etter at annet ar truffet eggen brer et eg utoer i alle retninger og ar atigeten 0 i x-retningen. Vi il betee kraften fra eggen å annet. Vi elger et koorinatyte e x-retning ot øyre, og i er bare å x-koonentene a kreftene. Kontrolloluet er tilet i figuren. Kreftene å annet i kontrolloluet er kraften fra entre ot terrnittet A og kraften fra eggen ot annet. Det er bare ie to kreftene o irker i x-retningen. Iulloen gir a: Kraften fra eggen ot annet: ρq(0 ρ q + ρq A + a ρ Trykket i anntrålen er lik lufttrykket a. Kraften fra annet å eggen blir like tor, en otatt rettet og nettokraften å eggen når i regner e lufttrykk å bakien, blir ρq Volutrøen: q π(,45 0 Nettokraft å eggen: ρq, N Vi tenker o nå at eggen beeger eg ot øyre e atiget u,0 /. Hor tor blir nå kraften fra anntrålen ot eggen? Iulloen er en koneken a Newton. lo og gjeler erfor i alle tregetyteer. Sien et koorinatyte o beeger eg e kontant fart ogå er et tregetyte, elger i et kontrollolu o er fetet til eggen og beeger eg aen e en. Vi kan bruke ae figur o før, en eggen er nå i beegele ot øyre e atiget u. Hatigetene å erfor korrigere: Hatiget inn i kontrolloluet: inn Hatiget ut a kontrolloluet: ut 0 u Volutrø: q A( u or q A π( Iulloen gir a: ρq( ρa( u Kraften fra eggen å annet: ut inn + ρa( u aa + ρa( u Kraften fra annet å eggen blir like tor, en otatt rettet og nettokraften å eggen når i regner e lufttrykk å bakien, blir ρa( u Hor tor effekt oerføre fra annet til eggen? ra før et i at effekten kan uttrykke e P u : 4,4 N 9
P u ρa( u u 8,8 W Hor tor fart å eggen a for at effektoerføringen kal bli tørt ulig? Vi er a forelen for effekten at P 0 W når u 0 / og når u. I interallet fra 0 til å et erfor ære et akiu. Vi finner ette akiuet e å eriere. Prouktregelen gir: [ u( u + ( u ] ρa( u( u + u ρa( u( u P ρa ( u Vi er at en erierte ar ett nullunkt i interallet, for enne erien a u. Effekten er a u. Effektoerføringen er altå tørt 4 4ρA Pax ρa( u u ρa( ρa 9, W 9 7 Ekeel 7 Vi kal nå e å effektoerføringen til et koljul. I førte ogang er i å en kol. Skolen er kontruert lik at annet følger kolen lik at et forlater kolen e ae atiget o et treffer en e, en e otatt retning. Hi kolen er i beegele å i regne e atigeter relatit til kolen. Vi antar nå at kolen ar atiget u. Kontrolloluet, o er tilet, er fetet til kolen. Dienjonene og atigeten til anntrålen blir likean o i forrige ekeel. Hatigetene blir a: Volutrøen: q A( u inn Iulloen gir a: ρq[ ( u ( u ] u ( u ut ρq( u ρa( u blir akkurat obbelt å tor u i forrige ekeel. Kreftene o irker i x-retningen er ogå e ae o før lik at kraften fra kolen å annet blir: + ρa( u aa k + ρa( u Her er A k ele en oerflaten i kontrolloluet o ener ot entre, en A er terrnittet til anntrålen. Kraften fra annet å kolen blir like tor, en otatt rettet og nettokraften å kolen når i regner e lufttrykk å bakien, blir ρa( u Vi fortår at effektoerføringen til kolen blir tørt når u, ien et er ae kraft o i tilfellet e beegelig egg, bortett fra faktoren. Makial effekt blir nå P ax 8ρA 7 0
Ha kjer i i ar et koljul i teet for bare en kol? Vi å a bruke et kontrollolu o tår i ro. Det il a koe taig nye koler inn i kontrolloluet, og æken trøer inn i kontrolloluet e atiget inn. Volutrøen inn i kontrolloluet blir a: q A Vi å å finne atigeten til æken iet en trøer ut a kontrolloluet. Relatit til kolen er ækeatigeten ut a kontrolloluet ( u og relatit til kontrolloluet blir atigeten ut ( u + u u Nettokraften å æken i kontrolloluet blir a: ρq( ut inn ρa(u ρa(u Effekten blir nå: P u ρa( uu ρa(u u P Vi finner akial effekt å ae åte o før: ρa( u u P Vi er at 0 når u og en akiale effekten blir: u P ax ρa( ρa Vanntrålen ut fra kolen ar nå atigeten ( u. Skolen ar atigeten u og i er at annet abolutte atiget er 0 iet et forlater kolen. Det il i at all energi i annet er oerført til koljulet. Puer. Sugeie Trykkie iguren ier ei ue. Væken trøer i ila retning, fra til. Pua irkning er at en tilfører energi til æken. Energien i æken å trykkien er tørre enn energien å ugeien. Vi å erfor korrigere Bernoulli likning otrent å ae åten o i korrigerer for ta. Når i korrigerer for ta å i legge til et le (ottanøyen å øyre ie a likningen for å koenere for en tate energien. Når i ar ei ue i æketrøen å i legge til et le (ua løfteøye H for å koenere for tilleggenergien ua gir æken. Når i bruker Bernoulli likning å innløet og utløet a ua og antar at innløet og utløet ar ae øye og at rørienjonen kan ære forkjellige å er ie a ua, får i: + + + y + H g + + y g + + H g Ekeel 8 I figuren ar i et ueyte o tranorterer ann fra et again til et annet. Nere again er en brønn lik at er lufttrykket. a,0 0 5 Pa. Øre again er en tank er trykket er 4,0 0 5 Pa. Høyeforkjellen ello ækeoerflaten i øre og nere again er H 0. Rørene ar ae ienjon å begge ier a ua. Diaeteren er g
H t H 50. Rørlengen å ugeien er 0 og å trykkie t 5. Mottantallet i begge rørene er λ 0,00. Den totale takoeffiienten å grunn a enkeltottaner er ζ 6,0 å ugeien og ζ t 4,0 å trykkien. Vannet ar atigeten,0 / i rørene. Vi kal betee ua løfteøye. Vi bruker Bernoulli likning å ækeoerflaten i nere again og å ækeoerflaten i øre again. Vi antar at oerflatene er å tore at i kan ette ækeatigeten lik 0. + H + H + + I enne forelen er H lik uen a ugeøye og trykkøye. e H H + H (Se figur t Her er ottanøyen å grunn a rørottanen: λ + t g e er ottanøyen å grunn a enkeltottaner: Dette gir e ( ζ + ζ t g + t H + H + + e + H + ( ζ + ζ t + λ 55 g Pua effekt. Effekten ua leerer til annet løfter annet en øye gitt e ua løfteøye, H. Volutrøen gir o oluet o trøer gjenno ua r. tienet, og enne ækeengen løfte øyen H. Effekten leert til annet blir erfor P qh Effekten leert til annet for et ekelet i ar ett å:
Volutrøen: Effekten: q π(,9 0 P qh, kw Men ua utnytter ikke all energien en får tilført. Hi ua irkninggra er η 70%, blir ua effektforbruk: P,0 kw η Makial teoretik ugeøye for ei ue. Vi bruker Bernoulli likning å oerflaten i nere again og å innløet til ua. Høyeforkjellen eller ugeøyen er H : Vi løer likningen e enyn å : g + + + H ( g gh ρ Dero et kal gå ann i røret, å uttrykket uner rottegnet ære oitit. Det il i ( ρ g gh 0 H ( Hi trykket å ugeien a ua er 0 og ottanøyen er neglijerbar, får i en akiale teoretike ugeøyen: H,ax Hi æken er ann og trykket oer nere again er noralt lufttrykk blir en akiale teoretike ugeøyen H,ax 0,. Den irkelige ugeøyen er langt inre. I ei brukbar ue å et ære en i ækegjennotrøning og a får i et ta i rørleningen og noe a energien bruke til å gi æken fart. I tillegg ar i et annatrykk o gjør at trykket å ugeien a ua alri blir inre enn ette. Ogaer Ogae. Vann e kineatik ikoitet ν,0 0-6 / renner gjenno et oriontalt betongrør e iaeter,0 og lenge 00. Røret ruet er k,0. Volutrøen i røret er q,0 /. Hor tort å trykket e innløet til røret ære i utløet er i friluft. ait:,06 0 5 Pa
Ogae. Vann trøer i et oriontalt tålrør e iaeter 50. Røret er 60 langt. Rueten er k 0,050. Ei ue e løfteøye H 5 er laert i røret. Anta ae trykk i begge ener a røret. Hor tor blir olutrøen i røret? Hor tor effekt leerer ua til annet? ait: 6,7 0 - /, 9,9 0 W Ogae. Ve et annkraftanlegg ligger turbinen B 000 laere enn anneilet i inntakagainet A. Rørleningen ar,0 innenig iaeter og er 4500 lang. 500 fra turbinen fører a reguleringteknike grunner en grenlening DC o til et åent baeng. Se figuren. Vi kan e bort fra enkeltottaner, en å ta enyn til rørfrikjonen e ottantall 0,0. Ve full ytele a turbinene ier et anoeter uielbart foran innløet til turbinen at oertrykket i leningen er 9,7 0 6 Pa. a Bete olutrøen gjenno turbinen. C b inn øyeforkjellen H ello anniået i baenget og i inntakagainet. A c Turbinen irkninggra D er 0,9. Beregn turbinen ytele i kw. B ait: a 8,7 / b 9, c 7,7 0 4 kw Ogae 4. ra beoleren A trøer et ann gjenno en rørlening og inn i beoleren B. Se figuren. Denne beoleren er elt i kaere e en oriontal killeegg, o ar et karkantet irkulært ull. Hullet og røret ar ae iaeter 0. Rørlengen er,0. or rørfrikjonen antar i at ottantallet er λ 0,05 og takoeffiienten for utløet og innløet til aen er,0. a Ha er olutrøen gjenno røret når nere kaer ikke er fullt, og e to anneil ar en niåforkjell å H 4,0? b Når nere kaer er fullt trenger annet gjenno ullet og o i øre kaer. or ullet antar i en takoeffiient å 0,60. Hor tor er olutrøen gjenno røret når niåforkjellen ello anneilene er H,0? A B H ait: a,5 0 - / b 9,7 0-4 / 4