MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. Oppgave a Vi har x = 6. og x i x = 4.6. Herav s x = n Et 90% kondensintervall er gitt ved x i x = 4.6 = 0.89 6 SX X t 0.056 X + t S X 0.056 ; dvs.: 0.89 0.89 6..943 6. +.943 = 5.55 6.85 Vi må forutsette at dataene kommer fra uavhengige og normalfordelte tilfeldige variable X... X. b La µ være forventet kjøretid.. Vi vil teste: H 0 : µ = 5.0 mot H : µ > 5.0.. Teststørrelse: T = X 5 SX 3. Test: forkaster H 0 dersom T > t 0.056 =.943 6. 5 0.89 = 3.5 > t 0.056. 5. Konklusjon: vi forkaster H 0 med test på 5% signikansnivå. c La µ X være forventet kjøretid om formiddag og µ Y være forventet kjøretid om ettermiddag. Vi antar at X i 'ene og Y i 'ene ha lik varians og vi denerer: S p = n X S X + n Y S Y n x + n y der S X er S X = n X X i X for de n X = 5 nye formiddagsmålingene og S Y er tilsvarende for de n Y = Y i 'ene. Estimert: 4.3 + 6.68 30 =.4
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s.. Vi vil teste: H 0 : µ X µ Y = 0 mot H : µ X µ Y < 0.. Teststørrelse: T = X Y S p 5 + 3. Test: forkaster H 0 dersom T < t 0.055+ =.69 5. 6.9.4 5 + =.9 < t 0.0530. 5. Konklusjon: vi forkaster H 0 med test på 5% signikansnivå. Ett minutts forskjell i forsinkelse kan testes mot mer enn ett minutt i forsinkelse ved:. H 0 : µ X µ Y = mot H : µ X µ Y <.. Tetsstørrelse: T = X Y + S p 5 + 3. Test: forkaster H 0 dersom T < t 0.055+ =.69 5. 6.9 +.4 5 + = 0.4 t 0.0530. 5. Konklusjon: vi kan ikke forkaste H 0 med test på 5% signikansnivå. d Vi har estimat av p : 95/00 = 0.45. Et 96% kondensintervall for p er gitt ved: p p p.96 p +.96 n p p n der p = X og X = antall som er for blant de n = 00. n 0.45 0.45 0.45 0.45 Utregnet: 0.45.96 0.45 +.96 = 0.406 0.544. 00 00 La p = X n og X = antall som er for blant de n = 50. Vi vil sammenligne p og p. Estimat av p er 8/50 = 0.58. Et 90% kondensintervall for forskjellen p p er gitt ved: p p p p.645 + p p p p p p +.645 + p p n n n n Utregnet: 0.45 0.45 0.58 0.45.645 + 00 50 0.45 0.45 0.58 0.45 +.645 + 00 0.58 0.58 0.58 0.58 = 0.0 0.93. 50 Siden hele intervallet ligger på oversiden av null sier dette at vi kan forkaste nullhypotesen i en test på nivå 5% av H 0 : p = p mot H 0 : p > p.
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. 3 Oppgave a Modell for y ij = elastisitetsmodul for måling nr. j av ståltype nr. i i = : er A i = : er B og i = 3 : er C. Y ij = µ i + ε ij der ε ij uavh. N 0 σ der µ i er forventet elastisitetsmodul for måling nr. j av ståltype nr. i og ε ij er feilleddet tilfeldig variasjon. Diagram av dataene: 9 5 3 3 Gjennomsnitt for hver ståltype indikert med rød strek. b Variansanalysetabell ANOVA: Kilde SS df MS F p verdi Ståltype mellom grupper SSA k SSA/k MSA/MSE P F f obs Feil innen grupper SSE N k SSE/N k = S Total SST N SST = k ni j=y ij Y SSA = k n i Y i Y og SSE = k ni j=y ij Y i og SST = SSA + SSE. Vi har her at utregnede verdier av SSA = 3 n i Y i Y er: 5 5 + 33 5 + 44 5 = 36 Siden SSE = SST - SSA får vi at utregnet verdi av SSE er: 54-36 = 8. Fullstendig ANOVA-tabell: Kilde SS df MS F p verdi Ståltype mellom grupper 36 8 9 0.00 Feil innen grupper 8 9 Total 54 Det forventes ikke at p-verdien skal beregnes i dette tilfellet.
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. 4 c Vil teste H 0 : µ = µ = µ 3 mot H : minst en ulik Vi forkaster H 0 dersom forskjellene i gjennomsnittsverdi i hver gruppe er stor i forhold til den tilfeldige feilen mer presist dersom: F = SSA/k SSE/N k = MSA MSE f αk N k = f 0.059 = 4.6 Fra variansanlysetabellen får vi at f obs = 9 dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. Konklusjonen blir at det er forskjell på forventet elastisitetsmodul til de ulike ståltypene. Oppgave 3 a Spredningsdiagram med inntegnet regresjonslinje: y 0 3 4 5 6 y 0 3 4 5 6 0 3 4 5 6 x 0 3 4 5 6 x Når regresjonslinjen skal tegnes inn på øyemål må vi prøve å velge en linje som gjør avvikene mellom linje og datapunktene indikert i gur til høyre samlet minst mulig. b Data: x y... x n y n ; modell: Y i = βx i + ɛ i i =... n ɛ... ɛ n : uif. N0 σ. Parameteren β kan estimeres ved å nne den verdien av b som minimerer de kvadrerte avvikene mellom måling y i og tilsvarende verdi på regresjonslinje bx i. Dvs. vi denerer SSEb ved: SSEb = y i ŷ i = y i bx i ŷ i = bx i Velg stigningstallet b slik at SSE blir minimert. Betrakt SSE som en funksjon av b deriverer funksjonen SSEb mht. b og sett den deriverte lik null.
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. 5 d db SSEb = n d db {y i bx i } = { n {y i bx i }x i == y i x i b } x i = 0 b = n y i x i n. x i Derfor er minstekvadratersestimatoren for β: β = n Y i x i n x i c Estimat: 0.4 +.8 + 3.0 + 4 3.4 + 5 5. + + 3 + 4 + 5 = 5. 55 = 0.99. Forventing til estimator: E β = E n Y i x n i EY i x i n = x n i x i = n EY i {}}{ βx i x i n x i n x i x i = β n x i = β dvs. estimatoren β er forventingsrett for β.