Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)

Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da kardinaliteten til mengden. Overfører man denne terminologien tilbake til daglidagstale, blir det noe tungvint: man sier for eksempel at en edderkopp har 8 bein, ikke at kardinaliteten til mengden av bein på en edderkopp er 8. I matematikk er det litt situasjonbetinget om det er best å si at det finnes 4 avbildninger fra {0, 1} til {0, 1} eller at mengden av avbildninger fra {0, 1} til {0, 1} har kardinalitet 4. Vi skal her innføre en notasjon som gjør det mulig å skrive det enda mer konsist: {0, 1} {0,1} = 4. (1) Mengdeteorien gjør det mulig å snakke om uendelige mengder (dvs mengder som ikke er endelige!) og det gjør det nødvendig å presisere hva vi har i tankene når vi snakker om kardinalitet: hvordan sammenlikne størrelsen på uendelige mengder? Utgangspunktet er at to endelige mengder er like store når det finnes en bijeksjon mellom dem. Bruker vi den samme definisjonen på uendelige mengder oppnår vi paradokser som at det finnes like mange naturlige partall som det finnes naturlige tall. Et annet paradoks er Hilberts hotell : der er det alltid plass til en ny gjest, selv om hotellet er fullt. Disse paradoksene er indikasjon på at teorien må bygges opp møysommelig, til og med for endelige mengder. Denne måten å sammenlikne størrelse på uendelige mengder er ikke den eneste mulige. Når man snakker om volumet til, la oss si, et tredimensionalt legeme er det et annet begrep, for eksempel. 1 Endelige mengder 1.1 Definisjon av kardinalitet og endelige mengder Hva vil det si å telle antall elementer i en (endelige mengde). Vi kan si at en enumerasjon av en mengde A, er en avbildning: e : [[1, n] A, () med n N. Vi krever at hvert element i A opptrer én og bare én gang i enumerasjonen, altså at e er en bijeksjon. Det naturlige tallet n kalles da kardinaliteten til A. Men vent nå litt... er n bare avhenging av A eller kunne det tenkes at n er avhengig av valg av enumerasjon? Vi velger her å enumerere på en litt annen måte ; vi definerer N n = [[0, n[[. (3) 1

Spesielt har vi N 0 =. Man kan si at poenget med N n er at det er en referansemengde som på en opplagt måte har kardinalitet n. Definisjon og Proposisjon 1.1. La A være en mengde. Vi sier at A er endelig dersom det finnes n N slik at det finnes en bijeksjon N n A. I såfall er n entydig bestemt av A og kalles kardinaliteten til A, og vi skriver n = A. Påstanden i definisjonen kan utledes av følgende intuitive resultat, ofte kalt dueslagsprinsippet: Teorem 1.1. La m, n N. Hvis det finnes en injeksjon N m N n har vi m n. Bevis: Ved induksjon på n. For hver n N, la P (n) være følgende egenskap: For hver m N, hvis det finnes en injeksjon N m N n, er m n. Hvis N m er en avbildning må m = 0 dermed m 0. Dette viser P (0). La n N og anta P (n). La m N og anta at u : N m N n+1 er en injeksjon. Hvis u ikke tar verdien n bestemmer u en injeksjon N m N n dermed har vi m n n + 1. Hvis u tar verdien n, har vi m 1 og vi lar p N m være slik at u(p) = n. La σ : N m N m være bijeksjonen som utveksler p og m 1 og lar andre elementer i fred. Da er u σ : N m N n+1 en injeksjon slik at u σ(m 1) = n. Den bestemmer en injeksjon N m 1 N n. Fra induksjonshypotesen følger det at m 1 n, dermed m n + 1. Vi har med det vist P (n) P (n + 1). Lemmaet følger av induksjonsprinsippet. Følgende korollar garanterer at kardinalitet er veldefinert. Korollar 1.. La m, n N. Hvis det finnes en bijeksjon N m N n har vi m = n. Korollar 1.3. La A og B være to endelige mengder. Det finnes en bijeksjon fra A til B hvis og bare hvis A = B. Vi kan også formulere dueslagsprinsippet for generelle mengder: Korollar 1.4. La A og B være to endelige mengder. Det finnes en injeksjon fra A til B hvis og bare hvis A B. En variant er: Korollar 1.5. La A og B være to endelige mengder. Det finnes en surjeksjon fra A til B hvis og bare hvis A B.

Eksempel 1.1. For hver n N er N n endelig og N n = n. For hver x er {x} endelig og {x} = 1. For hver endelige mengde A har vi: A = A = 0. For m, n N med m n er intervaller med endepunkter m og n endelige og vi har for eksempel: [[m, n] = n m + 1. (4) Lemma 1.1. La A være en mengde og x / A. Da er A endelig hvis og bare hvis A {x} er endelig. I såfall har vi A {x} = A + 1. Bevis: Hvis A er endelig, med kardinal n velger vi en bijeksjon u : N n A. Vi utvider u til ũ : N n+1 A {x} ved å sette ũ(n) = x. Da er ũ en bijeksjon og vi ser at A {x} = A + 1. Hvis A {x} er endelig med kardinal m velger vi en bijeksjon u : N m A {x}. Vi har 1 = {x} m. La p N m være slik at u(p) = x. La σ : N m N m være bijeksjonen som utveksler p og m 1 og lar andre elementer i fred. Da har vi u σ(m 1) = x så u σ bestemmer en bijeksjon N m 1 A. Dermed er A endelig. Teorem 1.6. La A være en endelig mengde og B en del av A. Da er B endelig og B A. I tillegg har vi: B = A B = A. (5) Bevis: Vi bruker induksjon på kardinalen til A. Teoremet er sant når A har kardinal 0. La n N og anta at teoremet holder for alle endelige mengder A med kardinal n. La A være en endelig mengde med kardinal n + 1. La B være en del av A. Hvis B = A er det trivielt at B er endelig og B = A. Hvis B A velger vi en y A \ B. Fra Lemma 1.1 følger det at A \ {y} endelig med kardinal n. Vi har B A \ {y}. Fra induksjonshypotesen følger det at B er endelig og B n < A. Dette teoremet har følgende viktige korollar. Korollar 1.7. La A være en endelig mengde. Hvis f : A A er en injeksjon er f en bijeksjon. Bevis: La altså A være en endelig mengde og la f : A A være en injeksjon. Da induserer f en bijeksjon A f (A) så f (A) = A. Siden vi har f (A) A følger det at f (A) = A. Dermed er f en bijeksjon. 3

Korollar 1.8. La A være en endelig mengde. Hvis f : A A er en surjeksjon er f en bijeksjon. Bevis: Dette får være en oppgave. Proposisjon 1.9. La A og B være to endelige mengder. Anta A B =. Da er A B endelig og: A B = A + B. (6) Bevis: La A være en endelig mengde. Vi viser resultatet med induksjon på kardinalen til B ved hjelp av Lemma 1.1. Hvis B = 0 har vi B = så A B er endelig og: A B = A = A + B. (7) Anta at n N og at resultatet er vist for alle B med kardinalitet n. La B være en mengde med kardinal n + 1. Velg y B. Da er B \ {y} endelig, har kardinalitet n og er disjunkt fra A. Dermed har vi: Siden y / A (B \ {y}) har vi: A (B \ {y}) = A + n. (8) A B = A + n + 1 = A + B. (9) Dette fullfører beviset. Korollar 1.10. La A og B være to endelige mengder. Da er A B og A B endelige og: A B + A B = A + B. (10) Bevis: Vi har: A B + A B = A + B \ A + A B, (11) = A + B. (1) Oppgave 1.1. La A, B og C være tre endelige mengder. Vis at: A B C = A + B + C (13) A B B C C A (14) + A B C. (15) Kan du generalisere til en familie endelige mengder, indeksert av en endelig mengde? 4

Proposisjon 1.11. La A og B være to endelige mengder. Da er A B endelig og : A B = A B. (16) Bevis: Man lar den ene faktoren være gitt og resonnerer med induksjon på kardinalen til den andre, ved hjelp av Lemma 1.1. La B være gitt (egentlig bedre å la A være gitt!). Dersom A = 0 har vi A =, derfor A B =, så: A B = 0 = A B. (17) La n N og anta at resultatet holder for mengder A med kardinal n. La A være en mengde med kardinal n + 1. Velg x A. Da har vi: A B = ((A \ {x}) B) ({x} B). (18) Disse mengdene er disjunkte. I tillegg er A \ {x} endelig med kardinal n, og {x} B er endelig med kardinal B (hvorfor?). Fra Proposisjon 1.9 og induksjonshypotesen følger det at: A B = n B + B = A B. (19) Dette avslutter beviset. 1. Videre eksempler på kardinaliteter Her bruker vi en del regneoperasjoner som bør defineres først: potens og fakultet kan defineres ved induksjon. Binomialkoeffisienter er naturlige tall, men det er mest behagelig å definere dem når man har innført brøker. Proposisjon 1.1. La A og B være to endelige mengder. Da er B A endelig og : B A = B A. (0) Bevis: La B være gitt. Vi resonnerer ved induksjon på kardinaliteten til A. Hvis A = 0 er A =. Da har vi B A = {(, B, )}. Dermed: B A = 1 = B A. (1) La n N og anta at resultatet holder for alle A med kardinalitet n. La A være en mengde med kardinalitet n + 1. Velg x A. Fra Proposisjon?? har vi en kanonisk bijekson: B A B A\{x} B {x}. () Siden A \ {x} er endelig med kardinalitet n og B {x} er endelig med kardinal B (hvorfor?), følger det av Proposisjon 1.11 at B A er endelig og: B A = B n B = B A. (3) 5

Dette avslutter beviset. Endelige unioner og produkter...: bruk av summetegn og produkttegn. Proposisjon 1.13. La A og B være endelige mengder med kardinalitet henholdsvis m og n. Antall injeksjoner A B er n!/(n m)!. Proposisjon 1.14. Hvis A er en endelig mengde med kardinal n, er det ( n ) m delmengder av A med kardinal m. Uendelige mengder.1 Definisjon av tellbarhet og uendelighet Definisjon.1. En mengde sies å være uendelig dersom den ikke er endelig. Definisjon.. Vi sier at en mengde A er tellbar dersom det finnes en bijeksjon N A. Proposisjon.1. Tellbare mengder er ikke endelige. Definisjon.3. Vi sier at en mengde A er høyst tellbar, dersom den er endelig eller tellbar. Proposisjon.. La A være en mengde. Følgende er ekvivalente: A er uendelig Det finnes en injeksjon N A. A har en tellbar delmengde. Bevis: Man konstruerer injeksjonen ved induksjon, men man gjør uendelig mange valg etter hverandre. Dette krever egentlig Zorn s lemma. Proposisjon.3. La A være en uendelig delmengde av N. Da er A tellbar og det finnes det en og bare en voksende bijeksjon N X. Bevis: (i) Entydighet. (ii) Eksistens: Vi definerer f : N A, ved induksjon 1 slik: f(0) = min A. (4) f(n + 1) = min(a \ {f(k) : k [[0, n]}). (5) 1 Dette er en ny type konstruksjon ved induksjon, og bør begrunnes for seg... 6

injektivitet av f: opplagt. surjektivitet av f: La V f være verdimengden til f. Vi viser ved induksjon at for hver n N har vi at utsagnet P (n) definert som: A [[0, n[[ V f, (6) er sant. Korollar.4. La A være en delmengde av en tellbar mengde. Da er A enten endelig eller tellbar. Proposisjon.5. La A være en mengde. Følgende er ekvivalente: A er høyst tellbar. Det finnes en injeksjon A N. Det finnes en surjeksjon N A eller A er tom. Teorem.6. Det finnes en bijeksjon N N N. Bevis: Vi bemerker: n(n + 1) Gitt k N finn n N slik at: Definer så: Vi definerer da: n(n + 1) l = k + n + 1 = k < n(n + 1) Påstand: Φ : N N N er en bijeksjon. Først bør man sjekke at n er veldifinert fra k... (n + 1)(n + ). (7) (n + 1)(n + ). (8) [[0, n]. (9) Φ(k) = (l, n l). (30) Teorem.7. La U og I være mengder. Anta at I er høyst tellbar. Anta videre at (A i ) i I er en familie delmengder av U slik hver A i er høyst tellbar. Da er i I A i høyst tellbar. Bemerkning.1. En av de første anvendelsene av dette prinsippet var å vise at det finnes transendentale tall, uten å gi noen eksempler! Dette krever forøvrig noen presiseringer om hva reelle tall er... 7

Hvor store mengder finnes det? Følgende proposisjon viser at P(A) alltid vil være strengt større en A, i en viss forstand. Proposisjon.8. La A være en mengde. Det finnes ingen surjeksjon X P(X). Bemerkning.. Definer en naturlig injeksjon A P(A). Bemerkning.3. Proposisjonen viser spesielt at P(N) representerer en strengt større form for uendelighet en N. Finnes det noen uendelighet som ligger strengt mellom N og P(N)? Dette var et av Hilberts problemer. Arbeider av Gödel og Cohen viser at dette hverken kan bevises eller motbevises i det aksiomatiske systemet vi bruker for mengdeteorien (ZFC).. Videregående temaer For den interesse det måtte ha: Teorem.9. La A og B være mengder. Da finnes det en injeksjon fra A til B eller en injeksjon fra B til A. Bevis: Ved hjelp av Zorn s lemma. Teorem.10 (Cantor Bernstein Schröder). For alle mengder A, B har vi at hvis det finnes en injeksjon A B og en injeksjon B A, finnes det en bijeksjon A B. Definisjon av kardinaler som ordinaler: Man kan utvide kardinalitets begrepet til uendelige mengder, som visse tall brukt til å måle størrelsen på mengder som kan være uendelige... 8