Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 0. desember 205 Eksamenstid (fra til): 09:00 3:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: C: Bestemt, enkelt kalkulator og Rottmann matematisk formelsamling. Annen informasjon: Alle svar må begrunnes. Du må ha med nok mellomregninger til at tenkemåten din klart fremgår. Et formelark er vedlagt. Målform/språk: bokmål Antall sider: 3 Antall sider vedlegg: 2 Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
TMA435 Matematikk 4D, 0. desember 205 Side av 3 Oppgave Bruk Laplace-transformasjon for å løse integro-differensialligningen t y (t) + y (t) + y(t) = t 2 y(τ)e t τ dτ, t 0 0 med initialbetingelsene y(0) = og y (0) = 0. Oppgave 2 La f a : R R være gitt ved f a (x) = e ax2. Regn ut konvolusjonen f a f b med a > 0 og b > 0 konstanter. Oppgave 3 a) Du er gitt matrisen Regn ut LU-faktoriseringen av A, altså 3 9 6 A = 8 48 39. 9 27 42 A = LU hvor U er en øvre-triangulær matrise og L er en nedre-triangulær matrise med bare på diagonalen. b) Vis hvordan du kan bruke LU-faktoriseringen for å løse ligningen for en gitt vektor b. Bruk LU-faktoriseringen for å løse ligning () når Ax = b () 3 b = 3. 7 Oppgave 4 La f være den 2π-periodiske funksjonen definert av f(x) = x for π < x < π. Finn Fourier-rekken til f. La S(x) betegne dens verdi i x. Beregn S(π). Tegn også grafen til S på intervallet [ 2π, 2π].
Side 2 av 3 TMA435 Matematikk 4D, 0. desember 205 Oppgave 5 Betrakt den partielle differensialligningen for 0 x π og t 0. 2 u u (x, t) + 4u(x, t) = (x, t) (2) x2 t a) Finn alle ikke-trivielle løsninger av ligning (2) på formen u(x, t) = F (x)g(t) som tilfredsstiller randbetingelsene for alle t 0. u(0, t) = u (π, t) = 0 x b) Finn en løsning av ligning (2) som i tillegg til randbetingelsene fra 5a også tilfredsstiller initialbetingelsen ( ) ( ) ( ) 3 5 7 u(x, 0) = sin 2 x + 2 sin 2 x + 3 sin 2 x for alle 0 x π. c) Utled Crank Nicolsons metode for numerisk løsning av ligning (2) med (de nye) randbetingelsene u(0, t) = u(π, t) = 0 for alle t 0. Skriv h for steglengden i rom. Angi matriseformen til det lineære ligningssystemet som må løses for å gjøre et tidsskritt av lengde k. (Du trenger ikke å løse ligningssystemet!) Oppgave 6 Du er gitt følgende Python-kode. from math import log, exp # l o g er den n a t u r l i g e l o g a r i t m e n. # l o g i s t h e n a t u r a l l o g a r i t h m. def metodeen (N) : x = 0. 5 for n in range ( 0, N) : # 0 <= n < N x = l o g ( x ) return x def metodeto (N) : x = 0. 5 for n in range ( 0, N) : # 0 <= n < N x = exp( x ) return x
TMA435 Matematikk 4D, 0. desember 205 Side 3 av 3 Hvilke(n), hvis noen, av de to funksjonene i koden (metodeen og metodeto) gir garantert en tilnærmet løsning av ligningen x + ln x = 0 når argumentet N er stort? (Ikke «kjør» de to funksjonene for å se på verdiene de regner ut!) Formelark følger som vedlegg.
TMA435 Matematikk 4D, 0. desember 205 Side i av ii Numerical formulas Let p(x) be the polynomial of degree n which coincides with f(x) at points x i, i = 0,,..., n. If that x and all the x j lie in the interval [a, b], f(x) p(x) = (n + )! f (n+) (ξ) n (x x i ). Newton s divided difference interpolation formula p(x) of degree n: p(x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x ] + (x x 0 )(x x )f[x 0, x, x 2 ] Simpson s rule of integration: x2 i=0 + + (x x 0 )(x x )... (x x n )f[x 0,..., x n ] x 0 f(x) dx h 3 (f 0 + 4f + f 2 ) Newton s method for solving a system of nonlinear equations f(x) = 0 is given by the scheme J (k) x (k) = f ( x (k)) x (k+) = x (k) + x (k). Iteration methods for solving systems of linear equations Ax = b when A i,i = : Jacobi: x (m+) = b (A I)x (m) Gauss Seidel: x (m+) = b Lx (m+) Ux (m) Strict diagonal dominance of A is a sufficient convergence criterion for both. Butcher tables for Runge Kutta methods, where s s y n+ = y n + b i k i, k i = hf(x n + c i h, y n + a i,j k j ) : Discrete Fourier transform: i= (Forward) Euler: 0 0 Heun/improved Euler: 0 0 0 0 /2 /2 Backward Euler: RK4: 0 0 0 0 0 /2 /2 0 0 0 /2 0 /2 0 0 0 0 0 /6 /3 /3 /6 ˆf n = N k=0 f k e 2πink/N j=
Side ii av ii TMA435 Matematikk 4D, 0. desember 205 Table of some Laplace transforms f(t) F (s) = L{f(t)} = t t n (n = 0,, 2,...) s s 2 n! s n+ e at s a cos ωt sin ωt cosh at sinh at e at cos ωt e at sin ωt 0 s s 2 + ω 2 ω s 2 + ω 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 s a (s a) 2 + ω 2 ω (s a) 2 + ω 2 e st f(t) dt δ(t a) e as Table of some Fourier transforms f(x) g(x) = f(ax) ˆf(ω) = F{f(x)} = 2π ĝ(ω) = a ˆf ( ω ) a e ax2 e ω2 4a 2a e a x 2 π a ω 2 + a 2 f(x)e iωx dx