Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boka.12.1 X har pdf p X (k) = 1/n, k = 0, 1,..., n 1 og 0 ellers. Vi skal vise at M X (t) = 1 ent n(1 e t ). Per definisjon er M X (t) = E(e tx ), så vi har n 1 M X (t) = E(e tx ) = e tk 1 n = = 1 n k=0 k=0 n 1 e tk = 1 1 e nt n 1 e t = 1 ent n(1 e t ).12. Vi vil finne forventningsverdien til e X når X er en binomisk stokastisk variabel med n = 10 og p = 1/. Vi skal altså finne E(e X ), og kjenner igjen dette som noe som ser ut som definisjonen av den momentgenererende funksjonen, evaluert i t =. Vi får: E(e X ) = M X (t = ) = ( 1 p + pe ) n = ( 1 1 + 1 e ) 10 = ( 2 + 1 ) 10 e = 1 ( 2 + e ) 10 10.12.14 Vi vil ha et uttrykk for E( k ) når M (t) = (1 t/λ) r, λ 0 or r = 0, 1, 2,.... Teorem.12.1 sier at M (r) W (0) = E(W r ). Det betyr at vi vil ha M (k) (0) for generell k, så da må vi derivere: 4. februar 2019 Side 1 av 6
Løsningsforslag Øving 8 Så setter vi inn t = 0: M (1) (t) = r (1 t/λ)( (r+1) λ M (2) M () r(r + 1) (t) = λ 2 (1 t/λ) ( (r+2) r(r + 1)(r + 2) (t) = λ (1 t/λ) ( (r+) Her ser vi et mønster: M (1) (0) = r λ M (2) r(r + 1) (0) = λ 2 M () r(r + 1)(r + 2) (0) = λ M (k) r(r + 1)... (r + k) (r + k 1)! (0) = λ k = (r 1)!λ k Eksamensoppgaver Eksamen desember 2007, oppgave 2 og Eksamen juni 2007, oppgave 2 a) og b) 4. februar 2019 Side 2 av 6
R-oppgave library(ggplot2) library(scales).11.11 X e x, x > 0 (0 ellers). Dette kan vi kjenne igjen som en eksponensialfordeling med λ = 1. Vi vil illustrere at X er glemsom ved hjelp av simulering, det vil si at vi vil vise: P (X > s + t X > t) = P (X > s), s, t > 0 # simulerer 10000 eksponensialfordelte variabler N <- 10000 X <- rexp(n, rate = 1) # lager en funksjon for å teste påstanden over # den regner ut P(X > s+t X > t), og trekker fra P(X > s) # vi vil da forvente å få 0 tilbake glemsom <- function(x, s, t){ } X_1 <- X[X > t] # plukker ut den delen av X som er større enn t # sender en advarsel hvis det blir for få variabler igjen if (length(x_1) < 100) warning("det er mindre enn 100 variabler i X som er større enn t") return(mean(x_1 > s+t) - mean(x > s)) glemsom(x, 1, 1) ## [1] 0.00565651 glemsom(x, 1.5, 0.) ## [1] -0.00826 glemsom(x, 2, 4) ## [1] -0.005015 glemsom(x, 2., 4) ## [1] 0.01089724 Forskjellen mellom P (X > s + t X > t) og P (X > s) er liten, og vi har illustrert at X e x er glemsom..11.15 Vi vil finne en approksimasjon ˆf til f ved hjelp av simulering. Vi har at f x = 2y + 4x 1 + 4x, f X(x) = 1 (1 + 4x) 1
for 0 < x < 1 og 0 < y < 1. Vi finner marginalfordelingen til teoretisk først, og starter med simultanfordelingen: f X, (x, y) = f x (y) f X (x) = Deretter finner vi marginelfordelingen til ved å integrere ut x: 2y + 4x 1 + 4x 1 (1 + 4x) = 2 (y + 2x) f (y) = 1 0 f X, (x, y)dx = 1 0 2 (y + 2x)dx = 2 [ xy + x 2 ] 1 0 = 2 (y + 1), 0 y 1 Nå skal vi finne fram til marginalfordelingen ved å bruke simulering. Da må vi simulere fra f x og f X (x), og ingen av dem er fra en kjent familie av fordelinger. Da må vi finne andre måter å simulere fra dem, og vi velger en funksjon som heter AbscontDistribution fra biblioteket distr.?abscontdistribution gir deg info om funksjonen. # først må vi lage funksjoner for f_( x) og f_x # merk at disse bare er gyldige for 0 < x, y < 1 f_yx <- function(y, x) (2*y + 4*x)/(1 + 4*x) f_x <- function(x) (1 + 4*x)/ library(distr) # laster inn biblioteket ## Loading required package: startupmsg ## Utilities for Start-Up Messages (version 0.9.5) ## For more information see?"startupmsg", NEWS("startupmsg") ## Loading required package: sfsmisc ## Object Oriented Implementation of Distributions (version 2.7.0) ## Attention: Arithmetics on distribution objects are understood as operations on corresponding random v ## Some functions from package 'stats' are intentionally masked ---see distrmask(). ## Note that global options are controlled by distroptions() ---c.f.?"distroptions". ## For more information see?"distr", NEWS("distr"), as well as ## http://distr.r-forge.r-project.org/ ## Package "distrdoc" provides a vignette to this package as well as to several extension packages; try ## ## Attaching package: 'distr' ## The following objects are masked from 'package:stats': ## ## df, qqplot, sd # lager et objekt av fordelingen X_obj <- AbscontDistribution(d = f_x, low1 = 0, up1 = 1) rfx <- r(x_obj) # lager en funksjon som kan sample fra fordelingen # for å lage et object at f_( x) må vi først ha simulert X, # og deretter opprette fordelingsobjektet # vi trenger en for-løkke, som vi lar gå til N # OBS! Dette går litt sakte N <- 10000 <- c() 2
for (i in 1:N){ X <- rfx(1) # trekker en X f_yx_tmp <- function(y) f_yx(y, x = X) # lager en funksjon for y der x er kjent _obj <- AbscontDistribution(d = f_yx_tmp, low1 = 0, up1 = 1) rfy <- r(_obj) # funksjon for å sample fra x [i] <- rfy(1) # sampler fra } # lager en funksjon for marginalfordelingen til fy <- function(y) (y+1) * (2/) hist(, freq = FALSE) curve(fy, from = 0, to = 1, n = 201, add = TRUE, lwd = 2) Histogram of Density 0.0 0.4 0.8 1.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0