UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i Eksamensdag: 9. april,. Tid for eksamen: : :. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus og lineær algebra. Ingen. Formelsamling, godkjent kalkulator. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Husk å fylle inn kandidatnummer under. Kandidatnr: Alle oppgavene teller poeng hver. Den totale poengsummen er altså. Det er 5 svaralternativer for hvert spørsmål, men det er bare ett av disse som er riktig. Dersom du svarer feil eller lar være å krysse av på et spørsmål, får du null poeng. Du blir altså ikke straffet med minuspoeng for å svare feil. Lykke til! (Fortsettes på side.)
Deleksamen i MAT, 9. april,. Side Oppgave. Sett Oppgave- og svarark F(x, y) = (y, x), og la C være kurven r(t) = (t cos t, t sin t), der t π. Linjeintegralet F dr blir da: C π8 7 Eksisterer ikke π π Oppgave. La C være kurven parametrisert ved r(t) = (cos ( π(e t ) ), sin ( π(e t ) ) ), t ln, og la F(x, y) = (x y, xy ). Da er C F dr lik: π ln e (Fortsettes på side 3.)
Deleksamen i MAT, 9. april,. Side 3 Oppgave 3. La C være kurven definert ved r(t) = ( t cos(t), t sin(t)), t π. Kurven ser da slik ut:....6.8..8.6.....5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 3 3.8.6.....8.6.... Oppgave. Mengden { (x, y) sin(x + y ) = } blir en sirkel med radius π. Punktet (, ), sammen med uendelig mange sirkler, der sirklene med større radier er nærmere hverandre. kun punktet (, ). punktet (, ), sammen med uendelig mange sirkler, der sirklene har lik avstand mellom hverandre. punktet (, ), sammen med uendelig mange sirkler, der sirklene med større radier er lenger unna hverandre. (Fortsettes på side.)
Deleksamen i MAT, 9. april,. Side Oppgave 5. Ligningen beskriver: en rett linje en parabel x y + x 3y + = en ellipse en hyperbel det fins ingen punkter (x, y) som oppfyller ligningen Oppgave 6. En lysstråle kommer inn parallelt med aksen til parabelen y = x fra punktet (, ), med retning mot y-aksen, og blir reflektert via parabelen to ganger (vi tenker oss parabelen som et perfekt speil). Den totale lengden lyset tilbakelegger før det treffer linjen x = 5 er: 9 avhengig av lyshastigheten Oppgave 7. Vi definerer funksjonene F : R R og G : R R ved F (u, v) = u cos(v) og G(x, y) = (e xy, x ). Da er tangentplanet til grafen til den sammsensatte funksjonen H(x, y) = F (G(x, y)) i (x, y) = (, ) gitt ved: y = x + y + z = Tangentplanet eksisterer ikke i det gitte punktet x y z = x + z = (Fortsettes på side 5.)
Deleksamen i MAT, 9. april,. Side 5 Oppgave 8. Lineæravbildningen T : R 3 R 3 er slik at alle punkter speiles gjennom planet x + y =. Matrisen til T er da gitt ved: Oppgave 9. T En affinavbildning T x = Ax + c, er gitt ved at ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 =, T =, og T =. Matrisen til T (altså A) er da gitt ved: ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) (Fortsettes på side 6.)
Deleksamen i MAT, 9. april,. Side 6 Oppgave. Arelaet av området som er avgrenset av kurvene y = x / og y = x er: 3 5 5 Oppgave. La den parametriserte kurven C være gitt ved r(t) = (e t, t, e t ), t. Da blir xz ds C e e e e + e Oppgave. t = er: Buelengden til kurven r(t) = ( t, 8 3 t3/, 8t) fra t = til 7 3 Oppgave 3. I punktet (,, ) vokser funksjonen raskest i retningen: (,, 3) (,, 3) (,, ) (,, ) (,, ) f(x, y, z) = x + y + z + e x +y Oppgave. For funksjonen f(x, y, z) = x + y + z + e x +y i forrige deloppgave er (,, ) (origo): et globalt minimum for f et globalt maksimum for f et lokalt minimum for f et lokalt maksimum for f ikke et kritisk punkt for f (Fortsettes på side 7.)
Deleksamen i MAT, 9. april,. Side 7 Oppgave 5. Vi lar R = {(x, y) R x + y }. For hvilke positive tall p vil det uegentlige integralet (x + y ) p dxdy konvergere? Kun for p = p p > Ikke konvergens for noen p p R Oppgave 6. La A være paraboloiden gitt ved z = x + y. Da er arealet av den delen av A som har x + y lik: π π/ π(5 5 )/6 5π π Oppgave 7. Volumet til legemet avgrenset av paraboloiden z = x + y, sylinderen x + y = 5, xy-planet, og som ligger i første oktant (d.v.s. x, y, z ) er: 65π 5π 8 5π π 65π 8 (Fortsettes på side 8.)
Deleksamen i MAT, 9. april,. Side 8 Oppgave 8. er gitt ved: Den inverse til matrisen 5 3 3 8 6 3 3 8 6 3 3 3 8 3 3 3 3 5 8 3 3 7 8 6 3 Oppgave 9. Vektorene a =, b = tilfredsstiller: d = a b + 3c d = a b + c d = 3 a b + c d = a b + c d = a + b + c, c = 9, d = 3 8 (Fortsettes på side 9.)
Deleksamen i MAT, 9. april,. Side 9 Oppgave. La T : R n R n være en affinavavbildning. Hvillket av følgende utsagn er riktig? (for alle affinavbildninger T )? T er unikt bestemt av T (e ), T (e ),, T (e n ), der e i er vektoren med på plass i, ellers. T (tx) = tt (x) for alle x R n, der t er et vilkårlig tall T (x y) = T (x) T (y) Avbildningen S(x) = T (x) T () er lineær Funksjonen f(x) = T (x) har et globalt minimum for x = SLUTT