Lektion 4 Repetition
Naturlige eksponentialfunktion 7 6 5 4 y y=sin().5 6 4 4 6.5 y=tan() 5.5.5 y 5 y=arcsin().5.5.5.5.8.6.4...4.6.8 Naturlige logaritmefunktion 4 6 8 Standardfunktioner (cos(), sin()) er koordinaterne for det punkt på enhedscirklen som (, ) føres over i ved en drejning på (radianer) mod uret tan() = sin() cos(), cot() = cos() sin() arcsin(), arccos(), ( ), arctan() og arccot() (defineret for alle ) er de inverse funktioner til sin(), cos(), tan() og cot() ln() er arealet (regnet med fortegn) mellem og under grafen y = (logaritme med grund- log a () = ln() ln(a) tal a > ) ep() = e er den inverse funktion til ln()
Eksponentialfunktioner 7 6 5 4 4 4 4 Potensfunktioner med positiv eksponent..4.6.8..4.6.8 4.5.5.5.5 Potensfunktioner med negativ eksponent.6.8..4.6.8 a = e ln(a) (eksponentialfunktion med grundtal a > ) r = e r ln() (potensfunktion med eksponent r) Regneregler for trigonometriske funktioner: sin () + cos () =, sin( + π ) = cos() sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y) cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin() = sin() cos() cos() = cos () = sin () sin(arcsin()) = = arcsin(sin()) ( π π ) Regneregler for logaritmefunktioner: ln() =, ln(e) = ln( y) = ln() + ln(y), ln ( ) = ln() ln(y) y ln( r ) = r ln() log a () = ln() ln(a) = ln(b) ln(a) log b() log a (a ) = = a log a
Regneregler for potensfunktioner: r+s = r s, =, rs = ( r ) s, = r s = r s, r s = ( r ) s r n = n r = ( n ) r, r n = n r, r = r n=,,... Regneregler for eksponentialfunktioner: ep() =, ep() = e, e =, e = e ep( + y) = ep() ep(y), e +y = e e y ep( y) = ep() ep(y), e y = e e y ep(r) = ep() r, e r = (e ) r a = e ln(a) ln(a) = b ln(b) a +y = a a y, a y = a a y, a y = (a ) y a = a
Regneregler for inverse trigonometriske funktioner: arcsin() + arccos() = π,, arctan() + arccot() = π, + Værdier for trigonometriske funktioner og deres inverse sin() cos() tan() cot() π 6 π 4 π π Tabellen viser at arcsin ( ) = arcsin ( sin( π 6 ) ) = π 6 arctan ( ) ( = arctan (tan( π ) ) = π arccos ( ) = π = arccot ( ) 4
Grænseværdi Definition: Funktionen f() har grænseværdien b for gående mod a, hvis vi kan få funktionsværdierne f() til at ligge lige så tæt det skal være ved b ved at vælge tæt nok ved a. Vi skriver så lim a f() = b. Eksempel:. lim a = a. lim sin() =. lim cos() = 4. lim ln() = 5. lim ep() = 5
Regneregler for grænseværdi: Hvis alle involverede grænseværdier eksisterer, så er. lim a ( Af() + Bg() ) = A lim a f() + B lim a g(). lim a ( f() g() ) = lim a f() lim a g(). lim a f() g() = lim a f() lim a g() hvis lim a g() 4. lim a f(g()) = f(lim a g()) hvis funktionen f() er kontinuert i punktet lim a g(). 6
Kontinuitet Definition: En funktion f() er kontinuert i punktet a hvis lim a f() = f(a), hvis f() nærmer sig funktionsværdien i a når nærmer sig a. Hovedsætning om kontinuerte funktioner Lad f(), a b, være en kontinuert funktion.. Funktionen f() har en mindsteværdi, m, og en størsteværdi, M.. Funktionen f() antager alle værdier mellem sin mindsteværdi og sin størsteværdi. Eksempel Hvis f() = er kvadratroden, så er værdierne for 4 tallene y. 7
Differentiation Definition: En funktion f() er differentiabel i punktet hvis differenskvotienten f( + h) f() h har en grænseværdi for h. Hvis grænseværdien findes, betegnes den med f (), df d () eller d d f(). Regneregler for differentiation:. ( Af() + Bg() ) = Af () + Bg (). ( f() g() ) = f ()g() + f()g (). ( ) f() g() = f ()g() f()g () g() 4. ( f(g()) ) = f (g()) g () 5. ( f ) (f()) = f () 8
Tolkninger: f () er hældningen af grafen y = f() i punktet (, f()). Monotoniforhold. Bestemmelse af ma og min: Hvis den differentiable funktion f(), a < < b, har et lokalt maimum eller minimum i punktet, så er f ( ) = (vandret tangent). Eksempler på differentiation:. d ( ) sin()+ cos() = cos() sin() d. d d( ln()) = ln() + = ln() +. d d = 4. 5. d d ( sin() cos() cos () d d ) = cos() cos() sin()( sin()) cos () ( sin( ) = cos( ) () ( ) arcsin (sin()) = cos() = ( π < < π ) så d du arcsin(u) = u sin (), 9
Det ubestemte integral Definition: Funktionen F () er et ubestemt integral af f(), eller en stamfunktion til f(), hvis F () = f() for alle. Funktionen F () betegnes med f() d. Regneregler for ubestemte integraler:. (Af()+Bg()) d = A f() d+b g() d. f ()g() d = f()g() f()g () d. f(g())g () d = ( f(u) du ) (g()) 4. d d f() d = f() = d d f() d
Eksempler på ubestemte integraler:. ( sin() + cos() ) d = cos() + sin() (Additivitet) d. ln() d = ln() = ln() 4 (Partiel integration). + d = ( ) u du ( + ) = ( u ) ( + ) = ( + ) (Direkte substitution) 4. cos () d = ( + cos()) d = + 4 sin() = + sin() cos() = + sin() sin () 5. ( u d ) (sin()) (Omvendt substitution) = sin () cos() d = cos () d = + sin() sin () = ( arcsin(u) + u u ) (sin())
6. arcsin() d = arcsin() d = arcsin() d = = arcsin() + = arcsin() + d d ( ) d 7. sin n () d = sin() sin n () d = cos() sin n ()+(n ) cos () cos n () d = cos() sin n () + (n ) (sin n () sin n ()) d så sin n () d = n cos() sinn ()+ n n sin n () d 8. a + = a +( a ) d = a = a arctan( a ) + C d d ( a ) +( a ) 9. a d = a a+ d = a ( a + a+ ) d ( ln a + ln a + ) + C = = a a ln a+ a + C
Differentiation og og integration af standardfunktioner f() f () f() d sin() cos() cos() + C cos() sin() sin() + C tan() + tan () = cos () ln cos() + C cot() cot () = ln sin() + C sin () arcsin() arcsin() + arccos() arccos() arctan() arctan() + ln( + ) arccot() arccot() + + ln( + ) r r r r+ r+ + C (r ) ln( ) + C e e e + C ln( ) ln( ) + C a ln(a) a ln(a) a + C
Det bestemte integral Definition: b a f() d = F (b) F (a) hvor F () = f() d er et ubestemt integral af f(). Tolkning: Hvis f() så er b a f() d lig med arealet mellem -aksen og grafen y = f() fra = a til = b. Integral- og differentialregningens hovedsætning d d a f(t) dt = f() Eksempel: d d t dt =. 4
Regneregler for bestemte integraler:. b a f()d = a b f()d, a a f()d =. b a f()d + c b f()d = c a f()d. b a (Af() + Bg())d = A b a f()d + B b a g()d 4. b a f () d = f(b) f(a) 5
Eksempler på bestemte integraler:. d = [ ] = = = 7 8 = 9. π sin()d = [ cos() ] π = cos(π) + cos() = + =. π cos ()d = [ + sin() ] π = π 4. + d = [ ( + ) ] = ( ) = ( ) 5. d = [ arcsin()+ ] = (arcsin() arcsin()) = π = π 4. 6. arcsin()d = [ arcsin()+ ] = arcsin ( ) + 4 = π + 6
7. + d = [ ] arctan arctan = = π 6 8. d = [ ln + = ln + = ln ( = ln( + ) ] +) 7
Differentialligninger Definition: En differentialligning er en ligning hvor den ubekendte er en funktion. I ligningen kan indgå den ukendte funktion og dens afledte funktioner (evt. af højere orden). Separable differentialligninger: Løsningerne til en separabel differentialligning dy d = f()g(y) er de konstante funktioner y = y g(y ) = samt løsningerne til ligningen dy g(y) = f()d hvor 8
Eksempler:. Løsningerne til y = cy er y(t) = y e ct, eksponentiel vækst (c > ) med fordoblingstid T = ln() c.. Løsningerne til y = cy(k y) er de konstante funktioner y =, y = K, samt y(t) = Ky y + (K y )e Kct, logistisk vækst med MSY = c K 4. 9
Lineære differentialligninger: Løsningerne til.ordens differentialligningen er y () + p()y() = f() y = e P () e P () f() d + Ce P () hvor P () = p() d er et integral til p(). Specielt har differentialligningen med konstante koefficienter løsningen y () + ay() = b y() = b a + Ce a
Løsningerne til en homogen.ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter ay () + by () + cy() = aflæses af hjælpepolynomiet ar + br + c =. Løsningerne til en inhomogen.ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter ay () + by () + cy() = f() består af alle løsninger til den tilhørende homogene ligning plus en enkelt løsning til den inhomogene ligning (som vi finder ved at gætte på en funktion, der ligner højresiden f()).
Løsningerne til et lineært differentialligningssystem = a + by y = c + dy finder vi ved at omforme til. ordens ligningen + (a + d) + (ad bc) =
Opgaver til Lektion 4. (Eksamen Januar 999) Find nedenstående integraler eksakt a. (5 + ) d. 4 b. (4 ) d.. (Eksamen Januar 998) En undersøgelse af blyforureningen langs motorvej A8 viser at, hvis B() betegner jordens blyindhold meter fra vejen, gælder B() = e + e i passende enheder. Beregn den eksakte værdi af middelværdien af jordens blyindhold i en meter bred bræmme langs den ene side af vejen, dvs B() d. For en bestemt fisk gælder at dens vægt, v, som funktion af alderen, t, opfylder dv dt = Av/ e kt hvor A og k er kendte positive konstanter. Endvidere er v() = med de valgte enheder. a. Bestem fiskens vægt som funktion af dens alder. b. Vis at lim t v(t) = ( A k + ). Hvad udtrykker dette tal? 4. (Eksamen Januar 998) Mængden af alger i en sø betegnes M(t). Det antages at M (t) = 9M(t) + 8 samt at M() = og M () = 6. Bestem mængden af alger i søen som funktion af tiden. 5. (Eksamen Januar ) Betragt differentialligningen y = y. a. Gør rede for at funktionen f(t) = et e t e t + e t
er en løsning til differentialligningen. b. Find en konstant løsning til differentialligningen. 6. (Eksamen April ) Find den eksakte værdi af det bestemte integral 5 d 7. (Eksamen April ) Lad N være funktionen der, for alle reelle tal t, er givet ved N(t) = A ep( 5 e t ) hvor A er en positiv konstant. a. Vis, at funktionen N opfylder differentialligningen d dt( ln N(t) ) = e t. b. Bestem A, så N() =. 8. (Eksamen Januar ) Find den generelle løsning til differentialligningen dy d = r y ( > ) hvor r er en positiv konstant. 9. Betragt en population P (t) som kan modelleres ved dp dt = (, 4)P (P 5) Find P (t) i disse to tilfælde: a) P () = b) P () =. Vis at populationen i tilfælde a) eksploderer i antal og i tilfælde b) uddør. Findes der en værdi af P () som giver en konstant bestandsstørrelse?